PENURUNAN PERSAMAAN NAVIER STOKES DALAM BENTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL UNTUK GERAK FLUIDA LAMINER SKRIPSI RAHMAYANTI HARAHAP 070801001 DEPARTEMEN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENEGTAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011
PENURUNAN PERSAMAAN NAVIER STOKES DALAM BENTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL UNTUK GERAK FLUIDA LAMINER SKRIPSI Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains RAHMAYANTI HARAHAP 070801001 DEPARTEMEN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENEGTAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011
PERSETUJUAN Judul :PENURUNAN PERSAMAAN NAVIER STOKES DALAM BENTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL UNTUK GERAK FLUIDA LAMINER Kategori Nama : SKRIPSI : RAHMAYANTI HARAHAP Nomor Induk Mahasiswa : 070801001 Program Studi Departemen : SARJANA (S1) FISIKA : FISIKA Fakultas :MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA Diluluskan di Medan, 09 Agustus 2011 Diketahui Pembimbing, Departemen Fisika FMIPA USU Ketua, Dr.Marhaposan Situmorang Drs. Milangi Ginting, MS NIP:195510301980031003 NIP. 194708231981021001
PERNYATAAN PENURUNAN PERSAMAAN NAVIER STOKES DALAM BENTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL UNTUK GERAK FLUIDA LAMINER SKRIPSI Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya. Medan, 09 Agustus 2011 RAHMAYANTI HARAHAP 070801001
PENGHARGAAN Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang Maha Pemurah dan Maha Penyayang, karena berkat limpah rahmat dan karunia-nya, tugas akhir yang berjudul : Penurunan Persamaan Navier Stokes Dalam Bentuk Persamaan Diferensial Untuk Gerak Fluida Laminer dapat diselesaikan tepat pada waktunya. Sholawat serta salam semoga senantiasa tercurahkan pada nabi kita Muhammad SAW yang telah menuntun kita untuk senantiasa dapat memaknai hidup ini dengan penuh arti. Ucapan terima kasih saya sampaikan kepada pihak-pihak yang telah banyak membantu serta mendukung saya dalam menyelesaikan skripsi ini, Untuk itulah patut kiranya apabila penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1. Bapak Drs.Milangi Ginting.Ms, selaku dosen pembimbing yang bersedia meluangkan waktunya untuk membimbing penulis. 2. Bapak Prof. Drs. M. Syukur, Ms selaku dosen wali penulis. 3. Bapak Dr Marhaposan Situmorang selaku ketua departemen Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Medan. 4. Ibu Dra Yustinon Ms, Selaku sekretaris departemen Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Medan. 5. Seluruh staf dosen departemen Fisika fakultas matematika dan Ilmu pengetahuan alam. 6. Dekan dan pembantu dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA), seluruh pegawai dilingkungan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. 7. Ibunda tercinta (Syahrina Siregar) yang telah melahirkan aku kedunia ini, yang merawat, memberikan kasih sayang, cinta yang tak terbatas, yang selalu menuntunku, mendoakanku agar menjadi orang yang berhasil dan berguna bagi semua orang. 8. Ayahanda tersayang ( Zainal Harahap) yang tiada pernah henti memberikan kasih sayang,nasehat, perhatian,dorongan, serta do a yang tiada pernah putus mengiringi langkahku.
9. Keluarga besarku terutama abangku (Erwin Harahap ) dan adikku (Irma, Rudi, Delima) engkau bagian dari hidupku, kebersamaan dan kasih sayang kita akan selalu ada sampai ajal memisahkan kita. 10. Sahabatku (Juli Harni, Eva Suraya, Rusdalena,Juriah,Ismatul Husna, Siska Futri Nst, Suci Rahmadani, Irhan Hanim, Fitri Susanti, Delovita Ginting, Julia Fadilla,Mila, Saima dan my Fatner.) yang selalu menemaniku, membantuku, memberi motivasi bagiku dan selalu menghiburku baik suka maupun duka. 11. Teman-temanku angkatan 07 yang selalu memberi semangat,dorongan, dan dukungan untuk-ku sehingga tugas akhir ini dapat diselesaikan. 12. Someone who inside my heart ( K. Siregar ). Terimakasih telah memberiku makna sebuah kejujuran, kesabaran, serta kepercayaan. 13. Seluruh rekan-rekan mahasiswa fisika dan seluruh teman-teman di fakultas matematika dan ilmu pengetahuan alam. Semoga Allah SWT akan membalasnya. Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan tugas akhir ini belum sempurna. Oleh karena itu segala kritik dan saran yang bersifat membangun untuk kesempurnaan tugas akhir ini, dari siapa pun datangnya, penulis akan menerima masukan dan saran dari pembaca agar tugas akhir ini dapat bermanfaat bagi kita semua.
ABSTRAK Umumnya Persamaan Navier-Stokes serangkaian persamaan yang menjelaskan pergerakan dari suatu fluida seperti cairan dan gas. Persamaan-persamaan ini menyatakan bahwa perubahan dalam momentum partikel-partikel fluida bergantung hanya kepada gaya viskos internal dan gaya viskos tekanan eksternal yang bekerja pada fluida. Oleh karena itu, persamaan Navier-Stokes menjelaskan keseimbangan gaya-gaya yang bekerja pada fluida. Gaya-gaya yang bekerja pada suatu fluida adalah gaya-gaya benda ( body forces) dan gaya-gaya permukaan (surface forces). Untuk menyelesaikan penurunan persamaan Navier Stokes, maka diselesaikan dengan cara Analitik atau Teori, dengan mensubtitusi tegangan normal dan tegangan geser pada gaya-gaya yang bekerja pada elemen fluida maka akan diperoleh keseimbangan gayagaya yang bekerja pada elemen fluida, dan kemudian disubtitusi ke persamaan kontinutas dan viskositas kinematik sehingga diperoleh persamaan kekekalan momentum yang dikenal dengan persamaan Navier Stokes. Persamaan ini berlaku untuk fluida dengan viskositas tidak sama dengan nol.
DECREASE IN THE NAVIER STOKES EQUESTION IN THE FORM OF DIFFERENTIAL EQUATION FOR LAMINER FLUID MOTION ABSTRACT Generally set of Navier-Stokes equations describing the motion of a fluid such as liquids and gases. This equation states that the change in momentum of fluid particles depends on the strength of internal and external pressure viscous forces acting on the fluid. Therefore, the Navier-Stokes equations describe the balance of forces acting on fluid. The forces acting on the fluid style of the object (body strength) and surface forces (surface forces). To solve the Navier Stokes decline, then solved by the Analytic or theory, with substituted for the normal stress and shear stress on the forces acting on the fluid element will be obtained by balancing the forces acting on the fluid element, and then substituted into the continuity equation and kinematic viscosity for gain momentum conservation equation, known as the Navier Stokes equations. The equation is applicable for fluid with a viscosity is not equal to zero.
DAFTAR ISI Persetujuan... Pernyataan... ii iii Abstrak... vi Abstract... vii Daftar Isi... Daftar Gambar... Daftar Simbol... viii x xi BAB I Pendahuluan 1.1. Latar belakang masalah... 1 1.2. Batasan Masalah... 2 1.3. Rumusan masalah... 2 1.4. Tujuan Penelitian... 3 1.5. Manfaat Penelitian... 3 1.6. Sistematika Penelitian... 4 BAB II Tinjauan Pustaka 2.1. Dinamika fluida... 5 2.2. Persamaan persamaan diferensial aliran fluida... 6 2.2.1. Persamaan Navier Stokes... 7 2.2.1.1. Penyelesaian Persamaan Navier Stokes... 13 2.2.2. Persamaan Kontinuitas... 16 2.2.2.1. Bentuk diferensial persamaan kontinuitas... 19 2.2.3. Persamaan gerak... 20 2.2.4. Persamaan gerak untuk fluida viskos... 22 2.3. Tekanan Fluida... 28
BAB III Metode Penelitian 3.1. Rancangan penelitian... 30 3.2. Teknik analisis data... 30 3.3. Diagram alir penelitian... 32 BAB IV Hasil dan Pembahasan 4.1. Persamaan navier stokes... 33 BAB V Kesimpulan dan Saran 5.1. Kesimpulan... 40 5.2. Saran... 41 Daftar Pustaka Lampiran I Lampiran II Lampiran III Lampiran IV Lampiran V
DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar Gambar 2.1. Tegangan normal dan tegangan geser pada elemen fluida berviskositas 8 Gambar 2.2. Fluida mengalir pada suatu bagian pipa dengan aliran tunak.. 16 Gambar 2.3. Aliran Laminer......... 26 Gambar 2.4. Aliran Turbulen.... 27
DAFTAR SIMBOL v kecepatan (rata-rata) fluida yang mengalir (m/s) D adalah diameter dalam pipa (m) ρ adalah masa jenis fluida (kg/m3) μ adalah viskositas dinamik fluida (kg/m.s) atau (N. det/ m2) σ adalah tegangan normal. τ adalah tegangan tangensial (tegangan geser). d adalah derivatif substantif (dikenal juga dengan istilah derivatif dari dt material) P adalah tensor yang menyatakan gaya-gaya permukaan yang bekerja pada partikel fluida. Q = debit A = luas penampang ρ g = satuan berat cairan ( N/m 3 ) h 2 h 2 = perbedaan ketinggian (m) p 2 p 1 = perbedaan tekanan (Pascal)