Salatiga, 5 Juni 23, Vol 4, No., ISSN:287 922 ANALISA SAHAM MENGGUNAKAN TRANSFORMASI FOURIER STOKASTIK Kharisma Yusea Kristaksa ) Hanna Arini Parhusip 2), dan Bambang Susanto 3) ) Mahasiswa Program Studi Matematika 2) 3) Dosen Program Studi Matematika email: ) kharismakristaksa@yahoo.com 2) hannaariniparhusip@yahoo.co.id 3) bsusanto5@gmail.com Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro 52-6 Salatiga 57 ABSTRAK Analisa fluktuasi saham untuk menentukan risiko pada salah satu perusahan dengan menggunakan deret Fourier telah dibahas. Hasil yang diperoleh mempunyai frekuensi.492 dengan resiko yang terbesar yaitu return data pada periode (25/4/22 8/5/22). Semakin besar risiko maka semakin besar pula nilai harapan return yang diperoleh. Oleh karena frekuensi yang dihasilkan dari deret Fourier juga menunjukkan konsekuensi risiko yang sama yaitu frekuensi yang terbesar dari data juga menjelaskan risiko yang terbesar. Dalam makalah ini, data volume saham dianalisa dengan cara yang sama yaitu data volume sebagai deret Fourier. Akan tetapi pada penelitian ini data volume hasil Fuorier dimodelkan secara stokastik sebagai kombinasi linear antara rata-rata dan standar deviasi. Bobot kombinasi linier divariasi. Hasil penelitian menunjukkan bahwa data volume mempunyai frekuensi.454 dengan resiko terbesar yaitu data volume pada periode (25/4/22 8/5/22). Jadi dari kedua analisa, frekuensi yang diperoleh terdapat pada periode yang sama. Kata-kata kunci: Deret Fourier, Distribusi Normal, Return Saham, Risiko Saham, Stokastik Fourier PENDAHULUAN Analisa return saham Asuransi Bina Dana Arta Tbk pada periode /2/22 3//23telah dilakukan [] dengan menggunakan deret Fourier untuk mendapatkan frekuensi terbesar. Dari frekuensi terbesar yang diperoleh dapat didefinisikan resiko yang terbesar dan dapat ditentukan periodenya. Berdasarkan penelitian tersebut frekuensi yang dihasilkan dari Fourier juga menunjukkan konsekuensi risiko yang sama yaitu frekuensi yang terbesar dari data juga menjelaskan risiko yang besar. Dari data diperoleh bahwa pada posisi ke 6-7 (25/4/22 8/5/22) memberikan ekspektasi return terbesar bagi perusahaan. Untuk selanjutnya, tujuan dari makalah ini adalah menganalisa data volume saham dengan cara yang sama yaitu data volume sebagai deret Fourier. Akan tetapi pada penelitian ini data volume hasil Fuorier dimodelkan secara stokastik sebagai kombinasi linear antara rata-rata dan standar deviasi. Bobot kombinasi linier divariasi. Data volume yang digunakan doperoleh dari data indeks saham perusahaan sama yaitu Asuransi Bina Dana Arta Tbk. yang di www.yahoo.finance.com DASAR TEORI Distribusi Normal. Distribusi probabilitas yang paling terkenal dan paling banyak digunakan adalah distribusi Gaussian atau normal. Distribusi normal memiliki fungsi kepadatan probabilitas yang diberikan oleh[3], () dimana dan adalah parameter distribusi, yaitu berturut - turutanan mean dan deviasi standar dari X. Distribusi normal sering diidentifikasi sebagai N (, ) Distribusi Normal Standar. Sebuah distribusi normal dengan parameter = dan =, disebut distribusi normal standar, dilambangkan sebagai N (, ). Dengan demikian fungsi kepadatan dari variabel standar normal (Z) diberikan oleh, (2) Perhatikan bahwa setiap variabel terdistribusi normal (X) dapat ditransformasi sebagai variabel normal standar dengan menggunakan transformasi 472
Salatiga, 5 Juni 23, Vol 4, No., ISSN:287 922 (3) dengan probabilitas / (4) dari Persamaan (4) dan =, Persamaan (4) dapat ditulis kembali sebagai / (5) / Integral ini merupakan luas di bawah kurva normal standar kepadatan antara / dan / dan karena (6) Penyusunan Fourier stokastik Ma ruf,(2) menjelaskan proses stokastik dan dimana bentuk Bayesian juga dibahas. Analisa Fourier juga diperekanlakan untuk fungsi Step Function dan estimasi spectral juga dilakukan untuk sinyal sinus Untuk mendekati data volume sebagai gelombang maka kita perlu memilih tipe gelombang yang diasumsikan dapat mempresentasikan data yang ada. Pada makalah ini akan dicari bentuk gelombang yang dianggap sesuai. Dari persamaan (3) data volume saham dinyatakan sebagai /, t =,2,...,T (7) Setelah data ditransformasi menurut persamaan (7) maka data akan dinyatakan dalam bentuk Fourier. Pada makalah [[ deret Fourier untuk data return berbentuk sin sin 3 sin 5 (8) Pada penelitian ini digunakan cara yang sama untuk data volume saham. Dengan mengikuti pemodelan program linear stokastik [3], maka Volume Fourier persamaan (8) dapat dinyatakan sebagai: (9a) dimana : := rata-rata volume dan :=deviasi volume. Parameter k dan k 2 bilangan tak negatif yang menjelaskan hubungan relatif pentingnya V dan standard deviasi V untuk optimasi. Jadi untuk k 2 = menandakan bahwa nilai harapan V diminimalkan tanpa memperhatikan standard deviasi V. Sebaliknya jika k =, menandakan bahwa kita tertarik dengan peminimalan variabilitas V disekitar rataratanya tanpa terganggu dengan apa yang terjadi dengan nilai rata-rata V. Secara sama jika k = k 2 =, hal ini menjelaskan bahwa kita memandang bahwa rata-rata dan standard deviasi sama pentingnya. Pada pembahasan maka nilai k dan k 2 akan divariasi sebagai bahan kajian. Untuk menyusun frekuensi maka digunakan formula (Kristaksa,dkk,23) 2 (9b) dimana 2 menyatakan banyaknya data yang memenuhi syarat untuk menyusun Fourier. Sedangkan T menyatakan subinterval waktu yang digunakan. Jadi Untuk mendapatkan nilai frekuensi (f),dapat dituliskan dan maka. () untuk lebih jelasnya, berikut ini diberikan contoh penggunaan model tersebut pada sebagian data. Menentukan dan yang optimal Parameter k dan k pada persamaan (9a)dapat divariasi dengan menetapkan dahulu, dan dapat pula ditentukan dengan cara optimasi dengan metode kuadrat terkcil. Unutk mendapatkan parameter k dan k yang optimal akan digunakan metode kuadrat terkecil [2] yaitu: min,,, () Syarat kritis o dimana tiap komponennya adalah o. (2) dalam notasi vektor persamaan () ditulis dalam bentuk dengan komponen pertama dari persamaan () adalah 2 dimana (3) Tiap komponen adalah. Jadi diperoleh 2 2, 2, 2, dan untuk dapat disusun secara sama seperti yaitu 473
Salatiga, 5 Juni 23, Vol 4, No., ISSN:287 922 2 Jadi dengan menyelesaikan atau diperoleh. Untuk menguji meminimumkan R maka perlu ditunjukkan yaitu Hessian R positive definite yang artinya, nilai eigen matriks Hessian R pada semua positif [2]. Bentuk Hessian R adalah Untuk mendapatkan sebagai berikut : Karena dan. 2 maka 2 dimana adalah vektor dengan komponen sebagai berikut : Diketahui maka vektor. Komponen baris ke- kolom ke-2 dari Hessian R adalah : 2 2 dimana, sehingga. Komponen pertama dapat diperoleh dengan mengetahui sehingga maka dan secara sama dapat disusun untuk komponen-komponen yang lain dari matriks Hessian R. Selanjutnya nilai disubstitusikan pada Hessian R dan dicari nilai eigennya. Jika semua positif maka jelas bahwa meminimumkan R. Contoh. Data volume saham Dengan menggunakan data volume saham, persamaan (8) digunakan untuk menyatakan data volume secara Fourier. Hasil ditunjukkan pada Gambar, dimana A dan pada persamaan (8) berturut-turut adalah : A =.596 dan = 2.3268 Hasil pendekatan ini diilustrasikan pada Gambar dimana data dinyatakan dengan interpolasi. Intropalasi dilakukan karena data harus dalambentuk 2 agar dapat menggunakan Fourier..8.6.4.2 -.2 -.4 -.6 -.8 2 3 4 5 6 7 8 9 Gambar Hasi deret Fourier untuk data dari data ke 5-6 dibandingkan dengan data yang diinterpolasi.4.35.3.25.2.5..5.2.4.6.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 Gambar 2 Periode(Horizontal) dan Frekuensi (Vertikal) dari deret Fourier Gambar Sebagaimana pada penelitian awal (Kristaksa,dkk,23), amplitudo gelombang tidak diperlukan. Informasi yang digunakan adalah frekuensi dari deret Fourier menurut persamaan (9)-(). Deret sudah menjelaskan frekuensi data yang diperlukan diperoleh T = 2.72 dan frekuensi f =.3687yang ditunjukkan pada Gambar 2. METODO PENELITIAN Tahap. Menyusun data volume saham sebagai deret Fourier sesuai dengan persamaan (8) Tahap 2. Menyusun hasil deret Fourier Volume menggunakan stokastik Fourier menurut persamaan (9a), dengan rata-rata dan untuk setiap data berturutan Tahap 3. Menentukan probabilitas distribusi normalnya dari hasil stokastik Fourier menggunkan persamaan (6) dengan Parameter k dan k 2 bilangan tak negatif 474
Salatiga, 5 Juni 23, Vol 4, No., ISSN:287 922 Tahap 4. Dengan menggunakan cara yang sama seperti persamaan (6) menentukan probabilitas frekuensi return saham. Tahap 5. Didapatkan informasi probabilitas dari hasil stokastik Fourier Volume dan Frekuensi return saham. Tahap 6. Hasil probabilitas akan dibandingkan antara volume saham dan return saham terhadap risiko Tahap 7. Studi Frekuensi yang dihasilkan ANALISA DAN PEMBAHASAN Dalam menganalisa berikut ini data yang digunakan adalah semua data volume dengan banyak data 26 data. Proses ini dilakukan secara sama untuk setiap data dari seluruh data volume. 5 4 3 2 - -2 5 5 2 25 3 Gambar 3 Deret Fourier untuk 26 data volume Untuk 26 data volume dengan cara yang sama seperti sebelumnya dapat dilihat pada gambar 3 dimana data dinyatakan dengan interpolasi..9.8.7.6.5.4.3.2. 5 5 2 25 3 Gambar 4 Periode(Horizontal) dan Frekuensi (Vertikal) dari hasil deret Fourier untuk data beruntun dari 26 data Pada Gambar 4 menunjukan setiap data yang mempunyai frekuensi berada pada sekitar.3 sampai.49,selain itu ada 2 frekuensi yang berbeda yaitu f =.953 dan f =.67 pada T =.46 dan T = 5.9888. Dengan menggunakan persamaan (9a), rata-rata V(t) ditulis dan variansi V(t) ditulis untuk setiap data berturutan yang ditunjukkan pada Tabel. Tabel. Nilai dan M M.4.38 4.58.69 2.5.44 5.2.485 3.27.48 6 -.2.87 4 -.4744.232 7.3.49 5.78.2944 8.5.43 6.738.5995 9.25.665 7 -.6.254 2.56.629 8.55.2557 2.27.3339 9.69.8877 22 -..365.7.488 23..865..623 24..425 2 -.27.94 25 -.2.68 3.7.89 26 -.55.584 Berdasarkan hasil Tabel, jelas sangat kecil karena berosilasi sekitar sehingga k tentunya cukup kecil dan k cukup besar yang menunjukan stadar deviasi lebih peting dari rata-rata. Setelah mendapatkan nilai dan maka akan dicari stokastik dari frekuensi dimana nilai k dan k. Maka diperoleh hasil pada Tabel 2 untuk setiap data berturutan untuk seluruh data. Contoh 2. Menentukan volume menurut persamaan (9a) Kasus. Untuk k dan k pada data ke- Tabel diperoleh dengan car sebagai berikut:.4.38.4 Tabel 2. untuk k dan k M M.4 4.58 2.5 5.2 3.27 6.2 4.4744 7.3 5.78 8.5 6.738 9.25 7.6 2.56 8.55 2.27 9.69 22..7 23..3 24. 2.27 25.2 3.7 26.55 Kasus 2. Menggunakan data dan cara yang sama dengan nilai k.5 dan k.5 diperoleh.5.4.5.38 475
Salatiga, 5 Juni 23, Vol 4, No., ISSN:287 922.879 Kasus 3. Untuk nilai k dan k diperoleh.4.38.38. Kasus 4. Untuk menguji parameter k dan k yang diperoleh optimal maka akan diselidiki persamaan (-3) untuk parameter Volume Stokastik Fourier, sehingga Untuk parameter k 2.2574.2.548 Untuk parameter k 22.648.3 4.3296 Hasil yang diperoleh menunjukan matrik Hessian untuk k dan k.548 4.3296 Sehingga matrik Hessian definit positif, jadi diperoleh k dan k ptimal tetapi error yang dihasilkan 32%. Untuk hasil yang optimal diperoleh parameter k.7879 dan k.66, sehingga.7879.4.66.38.88 Hasil dari semua data volume stokasitik Fourier ditunjukkan pada Gambar 5. Dengan cara yang sama dilakukan untuk data return stokastik Fourier ditunjukan pada Gambar 6. Contoh 3. Dengan cara yang sama pada Contoh 2 untuk return: Kasus 5. Untuk k dan k pada data ke- Tabel diperoleh.47 Kasus 6. Untuk nilai k.5 dan k.5 diperoleh.5.5.47.343 Kasus 7. Untuk nilai k dan k diperoleh.47.47. Kasus 8. Untuk nilai k.825 dan k.63 yang dihasilkan dari metode kuadrat terkecil sama seperti Kasus 4 diperoleh.825.4.63.38.9 k=, k2= k=, k2= Stokastik Fourier.5 k=.78, k2=.6 k=, k2= -.5 5 5 2 25 3 Data ke-m Gambar 5. Hasil Volume Stokastik Fourier dengan k, k dan k.5, k.5 dan k, k dan k.7879, k.66.2. k=, k2= Stokastik Fourier -. -.2 k=, k2= k=.8, k2=.6 -.3 k=, k2= -.4 k=, k2= k=.8, k2=.6 -.5 5 5 2 25 3 Data ke-m Gambar 6. Hasil Return Stokastik Fourier dengan k, k dan k.5, k.5 dan k, k dan k.683, k.246 Probabilitas distribusi untuk Volume dengan menggunakan persamaan (6) akan stokastik Fourier yang diperoleh dicari dicari probabilitas menurut persamaan (6) dan dari Tabel 2. Untuk k = dan k = yaitu didapat..8.85.77 476
Salatiga, 5 Juni 23, Vol 4, No., ISSN:287 922 Dalam bentuk variabel yang sudah distandarisasi maka penyataan tersebut menjadi.85.8..77.8..637.4.637.4.445.5.945 94.5%. Dengan cara yang sama untuk k.5 dan k.5 didapat.29.2 sehingga.3.2.29.2889.2.29 2.597.7275 2.597.7275.54.2269.2323 23.23%. Untuk k dan k didapat.245.4 diperoleh.2345.4.245.5855.4.245 3.59.8582 3.59.8582.8.98.987 9.87%. Selanjutnya, dengan cara yang sama pada data berikutnya diperoleh probabilitas untuk Volume stokastik Fourier pada Tabel 5. Tabel 5. Prosentase distribusi normal (M := periode ke-m) M k k k.5 k.5 k k k.7 k.6 94.5% 23.23% 9.87% 4.6% 2 94.5% 58.28% 22.83% 77.5% 3 92.5%.45% 6.8% 7.95% 4.% 48.4% 5.9%.7% 5 8.38% 5.66% 9.28% 54.86% 6 42.49% 44.7% 4.6% 48.87% 7 92.5% 2.62% 6.8% 39.73% 8 88.5% 2.8% 6.8% 43.25% 9 8.99%.6% 29.4% 3.64% 94.5% 7.86% 4.88% 2.62% 94.5% 5.95%.89% 3.7% 2 92.5% 2.62% 7.92% 5.77% 3 94.5%.45% 5.9% 8.74% 4 8.28% 5.95%.8% 3.7% 5 84.9% 7.86% 4.88% 2.62% 6 94.5%.% 4.6% 28.77% 7 84.9% 29.36%.4% 8.97% 8 94.5%.% 4.82% 22.% 9 84.9% 5.95%.89% 3.7% 2 8.28% 5.95%.89% 3.7% 2 84.9% 7.86% 2.76% 57.28% 22 94.5% 8.8%.89% 54.86% 23 94.5%.% 4.82% 28.77% 24 94.5% 26.22% 9.93% 73.82% 25 94.5% 29.44% 25.95% 8.97% 26 56.8%.% 4.6% 22.% Menggunakan cara yang sama akan dicari probabilitas untuk data return stokastik Fourier yang ditunjukkan pada Gambar 6. 9 8 7 k=, k2= k=, k2= k=.7, k2=.6 k=, k2= Prosentase 6 5 4 k=.7, k2=.6 3 2 k=, k2= 5 5 2 25 3 Data ke-m Gambar 7. Prosentase distribusi normal untuk hasil volume stokastik Fourier 9 8 k=, k2= k=, k2= k=.8, k2=.6 7 k=, k2= Prosentase 6 5 4 3 k=.8, k2=.6 2 k=, k2= 5 5 2 25 3 Data ke-m Gambar 8. Prosentasai distribusi normal untuk hasil Return stokastik Fourier 477
Salatiga, 5 Juni 23, Vol 4, No., ISSN:287 922 Berdasarkan Gambar 7 dan Gambar 8 ditunjukan Prosentase distribusi normal untuk hasil volume stokastik Fourier dengan 4 parameter yang berbeda. Pada parameter k dan k menunjukan beberapa prosentase yang terbesar karena pada k dan k hasil stokastik Fourier dari volume dan return berosilasi di sekitar nol dan pada saat itu nilai probabilitas mendekati satu. Jadi penulis memilih frekuensi yang dihasilkan dengan stokastik Fourier untuk k dan k KESIMPULAN Pada makalah telah dibahas tetang data volume yang dinyatakan oleh bentuk stokastik Fourier sehinggadapat dihasilkan frekuensi. Hasil menunjukan interval frekuensi yang hampir sama yaitu diantara.3 sampai.49. Dari hasil makalah sebelumnya menggunakan data return saham didapat pada indeks ke 7 untuk frekuensi tertinggi yaitu f =.492 dan T = 2.4437 sedangkan untuk makalah ini menggunakan data volume saham pada indeks ke 7 diperoleh f =.454 dan T = 2.4669. Dilihat dari kedua hasil yang diperoleh tidak menunjukan perbedaan yang signifikan. Jadi pada interval yang sama frekuensi yang dihasilkan bisa dibilang sama. Berdasarkan analisa data dan hasil pembahasan untuk volume dan return stokastik Fourier diperoleh frekuensi yang terbesar pada data ke-7 dengan menggunakan parameter k dan k diperoleh probabilitas untuk volume.925 dengan prosentase 92.5% sedangkan probabilitas untuk return.849 dengan prosentase 84.9%. Kedua hasil ini tidak menunjukan perebedaan yang signifikan. Jadi risiko tertinggi terdapat pada data ke-7 untuk periode (25/4/22 8/5/22) Logistic Function, proceeding of The Fifth International Symposium on Computational Science, ISSN:2252-776,Vol, pp9-, GMU. [3] Rao, S.S. 29. Engineering Optimization, John Wiley & Sons, Inc, BAB [4] Salivahan, S.,Vallavaraj, A., Gnanapriya C., 2. Digital Signal Processing. Singapore: McGraw-Hill Companies.Inc [5] Ma ruf, A. 2. Introduction to Stochastic Process Analysis: Spectral and Bayesian Techniques for Estimation and Prediction. American University Honors Capstone. DAFTAR PUSTAKA [] Kristaksa. K.Y, Perhusip. H.A dan Susanto, B. 23.Analisa Fluktuasi Saham menggunakan Fast Fourier Transform. FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta. Yogyakarta. [2] Parhusip, H.A dan Martono, Y.22, Optimization Of Colour Reduction For Producing Stevioside Syrup Using Ant Colony Algorithm Of 478
Salatiga, 5 Juni 23, Vol 4, No., ISSN:287 922 Nama Penanya : Astuti Irma Suryani Instansi : UKSW Pertanyaan :. Volum dalam saham itu apa? 2. Dengan FFT apa yang akan dipakai untuk data volum tersebut? Jawaban :. Volum pada saham merupakan banyaknya saham yang terjual dengan satuan lembar. 2. Dari volume saham dengan menggunakan FFT akan mengetahui resiko yang terbesar. Nama Penanya : Trevi Meri Andriyani Instansi : UKSW Pertanyaan :. Mengapa menggunakan metode AHP dalam menentuak kinerja kerja? Jawaban :. AHP penentuannya jelas 479