K-3 mtemtik K e l s XI IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA ELIPS Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Dpt menentukn persmn gris singgung di titik (, ) pd elips.. Dpt menentukn persmn gris singgung ng mellui titik (, ) di lur elips. 3. Dpt menentukn persmn gris singgung elips jik dikethui grdienn m. Gris singgung elips merupkn sutu gris ng meninggung elips. Ad tig jenis persmn gris singgung elips, itu persmn gris singgung di titik (, ) pd elips, persmn gris singgung ng mellui titik (, ) di lur elips, dn persmn gris singgung elips jik dikethui grdienn m. A. Persmn Gris Singgung di Titik (, ) pd Elips Persmn gris singgung di titik (, ) pd elips dengn pust (0, 0) dpt ditentukn segi erikut. Persmn Gris Singgung di Titik (, ) pd Elips dengn Pust (0, 0) Persmn Elips = = Persmn Gris Singgung = =
Sementr itu, persmn gris singgung di titik (, ) pd elips dengn pust (h, k) dpt ditentukn segi erikut. Persmn Gris Singgung di Titik (, ) pd Elips dengn Pust (h, k) Persmn Elips ( h) ( k) = ( h) ( k) = Persmn Gris Singgung h h k k = h h k k = Contoh Sol Buktikn hw untuk persmn elips (, ) pd elips dlh segi erikut. =, persmn gris singgung di titik = Pemhsn: Perhtikn gmr elips erikut! (, ) ( h, k) O (, ) terletk pd elips, sehingg erlku: =... ()
( h, k) jug terletk pd elips, sehingg erlku: ( h) ( k) h h = k k = h h k k = h h k k =... sustitusi persmn () = h h k k h( h) k( k) = k ( h) = h k Dengn demikin, grdien gris singgung (m gs ) elips dpt ditentukn segi erikut. m gs k =lim h 0 h k 0 h =lim h 0 k k 0 = Sustitusikn nili m gs pd formul umum persmn gris singgung, sehingg diperoleh: = m gs = = = = = = 3
Jdi, terukti hw untuk persmn elips titik (, ) pd elips dlh =. =, persmn gris singgung di Contoh Sol Tentukn persmn gris singgung elips 8 = di titik (, )! Pemhsn: Tentukn dhulu posisi titik terhdp elips. Dengn sustitusi titik (, ) ke persmn elips, diperoleh: 8 () = 4 8 = == Oleh kren = mk titik (, ) terletk pd elips. Selnjutn, tentukn persmn gris singgungn dengn rumus erikut. 8 = 8 = 4 = =4 Jdi, persmn gris singgung elips 8 = di titik (, ) dlh = 4. Contoh Sol 3 Tentukn persmn gris singgung elips = 6 di titik (, ). Pemhsn: Tentukn dhulu posisi titik terhdp elips. Dengn sustitusi titik (, ) ke persmn elips, diperoleh: () () = 4 = 6 = 6 Oleh kren 6 = 6 mk titik (, ) terletk pd elips. 4
Selnjutn, tentukn persmn gris singgungn dengn rumus erikut. =6 () =6 = 6 =3 Jdi, persmn gris singgung elips = 6 di titik (, ) dlh = 3. Contoh Sol 4 Persmn gris singgung elips erikut ini di titik (3, ) dlh... ( ) ( ) 6 3 Pemhsn: = Tentukn dhulu posisi titik terhdp elips. Dengn sustitusi titik (3, ) ke persmn elips, diperoleh: ( 3 ) ( ) 6 3 = 4 6 3 = 3 3 == Oleh kren = mk titik (3, ) terletk pd elips. Selnjutn, tentukn persmn gris singgungn dengn rumus erikut. = 6 3 ( 3 )( ) ( ) = 6 3 ( ) ( ) = 6 3 ( ) ( ) =3 = Jdi, persmn gris singgung elips terseut di titik (3, ) dlh =.
B. Persmn Gris Singgung ng Mellui Titik (, ) di Lur Elips Perhtikn gmr elips erikut! Y (, ) k O X Persmn gris singgung ng mellui titik (, ) di lur elips tidk memiliki formul khusus. Untuk menentukn persmn gris singgungn, perhtikn lngkh-lngkh erikut.. Mislkn persmn grisn dengn = m( ).. Sutitusikn titik (, ) ke persmn terseut sehingg diperoleh persmn gris = m n. 3. Sutitusikn = m n ke persmn elips sehingg diperoleh persmn kudrt c = 0. 4. Gunkn srt gris meninggung kurv, itu D = 0 untuk mencri nili m.. Sutitusikn lik nili m ke persmn = m n sehingg diperoleh persmn gris singgungn. Contoh Sol Persmn gris singgung elips Pemhsn: = ng mellui titik (, ) dlh... Tentukn dhulu posisi titik terhdp elips. Dengn mensustitusikn titik (, ) ke persmn elips, diperoleh: =4 =4 > Oleh kren 4 > mk titik (, ) terletk di lur elips. 6
Selnjutn, tentukn persmn gris singgungn dengn lngkh-lngkh erikut. Mislkn persmn grisn dengn = m( ). Sustitusikn titik (, ) ke persmn terseut, sehingg diperoleh: = m = m = m m Sustitusikn = m m ke persmn elips, sehingg diperoleh: ( m m ) = m m m m = m 4m m 4m 4 m = m 4m m 4m 4m 4=0 ( m ) ( 4m m) 4( m m ) =0 Persmn kudrt terseut memiliki nili = ( m ), = 4m m, dn c = 4(m m ). Dengn menggunkn srt gris meninggung kurv, diperoleh: D =0 4 c = 0 4m m 4 m.4 m m =0 4 3 4 3 6m 6 m 4m 6 m m m m m = 0 4 3 4 3 6m 6 m 4m 6 m 6 m 6m 80 m 80 m 80=0 60 m 80 m80 =0 3m 4m 4=0 3 m m =0 m = 3 t u m = Sustitusikn nili m ke persmn = m m, sehingg diperoleh:. Untuk m = 3 = 3 3 = 7 3 3 3 7=0 7
. Untuk m = = = 3 3=0 Jdi, persmn gris singgung elips 3 7 = 0 tu 3 = 0. = ng mellui titik (, ) dlh C. Persmn Gris Singgung Elips Jik Dikethui Grdienn m Mislkn grdien gris singgung elips = dlh m dn persmn gris singgungn dlh = m n. Jik persmn gris singgung terseut disustitusikn ke persmn elips mk diperoleh: m n = m mn n = (klikn kedu rus dengn ) m mn n = m mn n =0 m mn n =0 Persmn kudrt terseut memiliki nili = ( m ), = mn, dn c = (n ). Nili diskriminn persmn kudrt terseut dlh segi erikut. D = 4c D = mn 4 m n 4 D =4m n 4 n 4 ( mn m ) 4 4 4 4 D =4m n 4 n 4 4 m n 4m D = 4 n m Srt gris meninggung kurv dlh D = 0. Dengn demikin, diperoleh: D =0 4 n m = 0 8
Fktor penghsil nol ng mungkin dlh segi erikut. n m =0 n = m n= ± m Dengn demikin, persmn gris singgung elips segi erikut. = dengn grdien m dlh = m ± m Anlog dengn cr di ts, persmn gris singgung elips m dlh segi erikut. = m ± m = dengn grdien Contoh Sol 6 Tentukn persmn gris singgung pd elips 9 4 = ng memiliki grdien. Pemhsn: Persmn elips 9 = memiliki nili = 3 dn =. 4 Dengn demikin, persmn gris singgung elips 9 4 = dengn grdien m = dpt ditentukn segi erikut. = m ± m = ± 3 = ± 49 = ± 7 Jdi, persmn gris singgung elips terseut ng memiliki grdien dlh = ± 7. Contoh Sol 7 Persmn gris singgung pd elips 3 = 7 ng mementuk sudut 4 terhdp sumu-x positif dlh... 9
Pemhsn: Grdien gris ng mementuk sudut α terhdp sumu-x positif dpt dirumuskn dengn m = tn α. Dengn demikin, grdien gris singgung elips terseut dlh m = tn 4 =. Perhtikn hw persmn elips pd sol dpt dintkn dlm entuk erikut. 3 =7 7 3 7 = 7 9 = = 3 3 3 Dri entuk terseut, dikethui elips erpust di titik O(0, 0) dengn nili =3 3 dn = 3. Dengn demikin, persmn gris singgungn dlh segi erikut. = m ± m =. ± 3 3 3 = ± 97 = ± 36 = ± 6 () Jdi, persmn gris singgung elips 3 = 7 ng mementuk sudut 4 terhdp sumu-x positif dlh = ± 6. Contoh Sol 8 Persmn gris singgung elips 4 = 6 ng tegk lurus dengn gris 4 3=0 dlh... Pemhsn: Gris 4 3= 0 tu = 3 4 4 memiliki grdien m = 4. Oleh kren gris singgung elips tegk lurus dengn gris terseut, mk grdien gris singgungn dlh m = = 4. 4 0
Perhtikn hw persmn elips pd sol dpt dintkn dlm entuk erikut. 4 =6 4 6 6 = 4 6 = 4 = Dri entuk terseut, dikethui elips erpust di titik O(0, 0) dengn nili = 4 dn =. Dengn demikin, persmn gris singgungn dlh segi erikut. = m ± m = 4 ± = 4 ± 4 6 4. 6 4 = 4 44 ± = 4 ± Jdi, persmn gris singgung elips 4 = 6 ng tegk lurus 4 3=0 dlh = 4 ±. Setelh memhmi persmn gris singgung elips ng erpust di O(0, 0), kmu peljri persmn gris singgung elips ng erpust di (h, k). Persmn gris singgung elips ng erpust di (h, k) memiliki entuk ng tidk juh ered dengn persmn gris singgung seelumn. Untuk leih jelsn, perhtikn tel erikut. Persmn Gris Singgung Elips ng Berpust di Titik (h, k) Persmn Elips Persmn Gris Singgung ( h) ( k) = k =m ( h) ± m ( h) ( k) = k =m ( h) ± m
Contoh Sol 9 Persmn gris singgung elips erikut ini ng sejjr dengn gris 3 = 0 dlh... ( 3) ( ) 6 Pemhsn: = Persmn elips pd sol dpt dintkn segi erikut. ( 3) ( ) 4 = Dri entuk terseut, dikethui elips erpust di (h, k) = (3, ) dengn nili = 4 dn =. Gris 3 = 0 tu = 3 memiliki grdien m =. Oleh kren gris singgung elips sejjr dengn gris terseut mk grdien gris singgungn dlh m gs =. Dengn demikin, persmn gris singgungn dlh segi erikut. = 3 ± 4 = 3 ± 4 = 3 ± 3 = 3± 6 ± 6=0 Jdi, persmn gris singgungn dlh = 0 tu = 0. Contoh Sol 0 Persmn gris singgung 4 00 6 6 = 0 ng mementuk sudut 60 terhdp sumu-x positif dlh...
Pemhsn: Uh entuk persmn umum elips pd sol menjdi entuk rumus umum. 4 00 6 6 =0 00 4 6 = 6 ( 4 ) = 6 4 4 ( ) 4 4 4 = 6 ( ) 00 4 ( ) 6 = 6 ( ) 4 ( ) =00 ( ) 4 = 00 00 00 00 ( ) ( ) = 4 Dri entuk terseut, dikethui elips erpust di (h, k) = (, ) dengn nili = dn = 4. Oleh kren persmn gris singgung mementuk sudut 60 terhdp sumu-x positif mk: m = tn θ m = tn 60 m = 3 Dengn demikin, persmn gris singgungn dlh segi erikut. = 3 ± 4 3 = 3 3 ± 37 = 3 3 ± 37 Jdi, persmn gris singgungn dlh = 3 3 ± 37. 3