ANALISIS DAN KONTROL OPTIMAL MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT INFLUENZA H1N1 SKRIPSI

ANALISIS DAN KONTROL OPTIMAL MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT INFLUENZA H1N1 SKRIPSI DWI VENI YUNITA SARI PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA SURABAYA 2016

ANALISIS DAN KONTROL OPTIMAL MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT INFLUENZA H1N1 SKRIPSI DWI VENI YUNITA SARI PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA SURABAYA 2016 i

PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi kepustakaan, tetapi pengutipan harus seizin penulis dan harus menyebutkan sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen skripsi ini merupakan hak milik Universitas Airlangga. iv

KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat, taufiq dan hidayahnya sehingga penyusun dapat menyelesaikan skripsi dengan judul Analisis dan Kotrol Optimal Model Matematika Penyebaran Penyakit Influenza H1N1 dengan baik. Sholawat serta salam semoga tercurahkan kepada junjungan kita Nabi besar Muhammad SAW, beserta keluarga dan para sahabat serta orang-orang yang senantiasa istiqomah di jalan-nya. Tidak dapat dipungkiri bahwa penyusunan skripsi ini tak lepas dari begitu banyak bantuan dan dukungan dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini, penulis ingin mengucapkan terima kasih sebesar-besarnya kepada: 1. Dr. Fatmawati, M.Si selaku pembimbing I dan Dr. Miswanto, M.Si selaku pembimbing II yang memberikan bimbingan, dan masukan dalam penyelesaian skripsi. 2. Dr. Miswanto, M.Si selaku dosen wali selama menjadi mahasiswa program studi S-1 Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga. 3. Orangtua yaitu Ibu dan Ayah yang selalu memberikan doa dan dukungan baik secara moril maupun materil dalam penyusunan proposal skripsi ini. 4. Prabu Surya Pratamatios yang sudah menfasilitasi penyusun dan selalu bersedia menemani suka duka dalam penulisan proposal skripsi ini. vi

5. Arsita, Arista, Patria, Radifah, Boim, Rizka, Nurul, Lista, Nabila, Kiki, Auladi, Isa, Rezza, Steven, Yanti, Marcellia, Windha, yang telah membantu penyusun dalam pengerjaan skripsi ini. 6. Teman-teman program studi S-1 Matematika karena kurang lebih empat tahun bersama-sama dan selalu saling menolong selama jalannya proses kuliah hingga saat ini. 7. Semua pihak lain yang tidak dapat Penyusun sebutkan seluruhnya yang telah membantu dalam penyusunan skripsi. Penyusun telah berusaha sebaik mungkin dalam menyelesaikan skripsi ini, namun apabila ada saran dan kritik yang membangun akan penyusun terima dengan hati terbuka. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi para pembaca. Surabaya, Januari 2016 Dwi Veni Yunita Sari vii

Dwi Veni Yunita Sari, 2016, Analisis dan kontrol Optimal Model Matematika Penyebaran Penyakit Influenza H1N1. Skripsi ini dibawah bimbingan dari Dr. Fatmawati, M.Si. and Dr. Miswanto, M.Si. Mathematics Department, Faculty of Science and Technology, Airlangga University, Surabaya. ABSTRAK Influenza H1N1 termasuk virus yang menginfeksi berbagai spesies termasuk manusia. Cara penularan penyakit Influenza H1N1 dengan adanya kontak dengan permukaan yang terkontaminasi dan menular melalui nukleus droplet yang sangat kecil (juga disebut penularan dengan cara airborne). Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah untuk menganalisis kestabilan model matematika populasi penderita Influenza H1N1 baik secara analitik maupun numerik, selanjutnya diterapkan kontrol optimal pada model matematika populasi Influenza H1N1 tersebut. Dari analisis model tanpa kontrol optimal, didapatkan dua titik setimbang yaitu titik setimbang bebas penyakit dan titik setimbang endemik. Selain itu juga didapat besaran Basic Reproduction Ratio yang merupakan tolak ukur terjadinya endemik penyakit Influenza H1N1. Jika, maka titik setimbang bebas penyakit akan cenderung stabil asimtotis, sedangkan jika maka titik setimbang endemik akan cenderung stabil asimtotis. Dengan menggunakan Prinsip Maksimum Pontryagin, diperoeleh syarat cukup untuk eksistensi kontrol optimal dari pengontrol berupa karantina, vaksinasi dan pengobatan. Hasil simulasi numerik menunjukkan bahwa pemberian kontrol, dan secara bersamaan lebih efektif untuk meminimalkan jumlah populasi yang terinfeksi Influenza H1N1 dengan biaya minimal. Kata Kunci: Model Matematika, Influenza H1N1, Kestabilan, Kontrol Optimal. viii

Dwi Veni Yunita Sari, 2016, Analysis and Optimal Control of Mathematical Model of the Spread of Influenza H1N1. This thesis is supervised by Dr. Fatmawati, M.Si. and Dr. Miswanto, M.Si. Mathematics Department, Faculty of Science and Technology, Airlangga University, Surabaya. ABSTRACT Influenza H1N1 is a virus that infects various species including humans. Influenza H1N1 is transmitted when there is a contact with the contaminated surface and then it spreads through a tiny nucleus droplet, which is also called airborne transmission. The purpose of the thesis is to analyze the stability of mathematical model of influenza H1N1 patient population, both analytically and numerically. The next step is to apply optimal control on the model. From the model analysis without optimal control, we obtain two equilibriums. These are disease free equilibrium and endemic equilibrium. It is also obtained a value of, which is a measure of the endemic spread of Influenza H1N1. If, then the disease free equilibrium will tend to be asymptotically stable, while if, then the endemic equilibrium will tend to be asymptotically stable. Using Pontryagin Maximum Principle, we obtain sufficient conditions of the existence of optimal control of quarantine ( ), vaccination, and treatment. Numerical simulation results indicate that implementation of control, and simultaneously is more effective to minimize the number of Influenza H1N1 infection populations with minimal cost. Keyword : Mathematical Model, Influenza H1N1, Stability, Optimal Control. ix

DAFTAR ISI Halaman LEMBAR JUDUL... i LEMBAR PERNYATAAN... ii LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI... iii LEMBAR PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI... iv SURAT PERNYATAAN TENTANG ORISINALITAS... v KATA PENGANTAR... vi ABSTRAK... viii ABSTRACT... ix DAFTAR ISI... x DAFTAR TABEL... xiii DAFTAR GAMBAR... xiv DAFTAR LAMPIRAN... xv BAB I PENDAHULUAN... 1 1.1. Latar Belakang Masalah... 1 x

1.2. Rumusan Masalah... 4 1.3. Tujuan... 4 1.4. Manfaat... 4 1.5. Batasan Masalah... 4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA... 5 2.1. Pengertian Influenza... 5 2.1.1 Epidemilogi Influenza H1N1... 5 2.1.2 Cara Penyebaran Virus Influenza H1N1... 6 2.1.3 Faktor Risiko... 7 2.1.2 Cara Pencegahan... 8 2.2. Sistem Persamaan Differensial... 10 2.3. Kestabilan Sistem Linear... 12 2.4. Kriteria Routh-Hurwitz... 15 2.5. Masalah Kontrol Optimal... 18 2.6. Prinsip Maksimun Pontriyaqin... 19 2.7. Basic reproduction number... 21 2.8. Software Matlab... 22 BAB III METODOLOGI PENELITIAN... 24 xi

BAB IV PEMBAHASAN... 26 4.1 Analisis Model Matematika Penyebaran Influenza H1N1... 26 4.1.1 Titik Setimbang Model Penyebaran Influenza H1N1... 31 4.1.2 Analisis Kestabilan Asimstotis Lokal... 35 4.1.2.1 Kestabilan Asimtotis Lokal pada Titik Setimbang Penyakit Influenza H1N1... 36 4.1.2.2 Kestabilan Asimtotis Lokal pada Titik Setimbang Endemik Inluenza H1N1... 40 4.2 Penyelesaian Optimal Kontrol... 43 4.3 Simulasi dan Interpretasi... 50 BAB V Kesimpulan dan Saran... 66 5.1 Kesimpulan... 66 5.2 Saran... 68 DAFTAR PUSTAKA... 69 xii

DAFTAR TABEL Halaman Tabel 4.1 Variabel dalam Model Matematika Penyebaran Influenza H1N1... 27 Tabel 4.2 Parameter dalam Model Penyebaran Matematika Influenza H1N1.....27 Tabel 4.3 Nilai Awal... 41 Tabel 4.4 Nilai Parameter Model Penyebaran Influenza H1N1... 52 Tabel 4.5 Nilai Parameter Simulasi Model dengan Kontrol... 53 Tabel 4.6 Perbandingan jumlah populasi individu masa inkubasi Influenza H1N1.54 Tabel 4.7 Perbandingan jumlah populasi individu terinfeksi Influenza H1N1... 56 Tabel 4.8 Perbandingan jumlah populasi individu asyimtomatic... 58 Tabel 4.9 Fungsi ongkos atas kontrol yang diberikan... 65 xiii

DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 4.1 Diagram Transmisi Penyebaran Penyakit Influenza H1N1 29 Gambar 4.2 gambar grafik terhadap dari model penyebaran. Influenza H1N1...42 Gambar 4.3 Diagram Transmisi Penyebaran Influenza H1N1 dengan Kontrol.... 45 Gambar 4.4 Dinamika populasi Influenza H1N1 dalam masa Inkubasi... 53 Gambar 4.5 Dinamika populasi terinfeksi Influenza H1N1... 55 Gambar 4.6 Dinamika populasi asyimtomatic... 58 Gambar 4.7 Grafik kontrol... 59 Gambar 4.8 Grafik kontrol... 59 Gambar 4.9 Grafik kontrol... 60 Gambar 4.10 grafik kontrol dan... 61 Gambar 4.11 grafik kontrol dan... 62 Gambar 4.12 grafik kontrol dan... 62 Gambar 4.13 Grafik kontrol,, dan... 64 xiv

DAFTAR LAMPIRAN Lampiran 1 Perhitungan Lampiran 2 Perhitungan nilai titik setimbang Endemik Lampiran 3 Perhitungan persamaan karakteristik pada titik setimbang bebas penyakit Lampiran 4 Perhitungan persamaan karakteristik pada titik endemik Lampiran 5 Kode program Maple grafik bidang fase pada titik setimbang endemik xv