Jurnal Matematika UNAND Vol 5 No 1 Hal 90 95 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND DIMENSI METRIK DARI (K n P m ) K 1 NOFITRI RAHMI M, ZULAKMAL Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas, Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia, email : nofitrirahminr@gmailcom Abstrak Misalkan terdapat graf G = (V, E) dan W V (G), dimana W = K, dan W = {v 1, v 2,, v k } Representasi metrik dari titik v V terhadap W adalah r(v W ) = (d(v, v 1 ), d(v, v 2 ),, d(v, v k )) Himpunan W dikatakan sebagai resolving set di G jika untuk setiap pasangan dari titik-titik berbeda u, v V, r(u W ) r(v W ) Dimensi metrik dari G adalah kardinalitas minimum dari resolving set untuk G dan dinotasikan dim(g) Graf (K n P m) adalah graf hasil kali Kartesius antara graf lengkap (K n) dengan n titik dan graf lintasan (P m) dengan m titik Graf (K n P m) K 1 adalah graf yang diperoleh dari graf (K n P m) dengan nm titik dan graf lengkap K 1 dengan cara menghubungkan titik v ij di (K n P m) ke titik u ij, yang merupakan salinan ke-ij dari graf K 1, untuk 1 i n dan 1 j m Pada paper ini dikaji kembali makalah [4] yang membahas tentang penentuan dim((k n P m) K 1 untuk n 3 dan m 2 Kata Kunci: Dimensi metrik, resolving set, hasil kali kartesius, graf korona 1 Pendahuluan Misalkan G = (V, E) adalah graf sederhana dan u, v V adalah dua titik berbeda dari graf G, jarak d(u, v) antara dua titik u dan v adalah panjang dari lintasan terpendek antara u dan v Himpunan titik-titik W = {v 1, v 2,, v k } dari graf G Representasi metrik dari titik v V terhadap W adalah r(v W ) = (d(v, v 1 ), d(v, v 2 ),, d(v, v k )) Himpunan W dikatakan sebagai himpunan pembeda (resolving set) di G jika untuk setiap pasangan dari titik-titik berbeda u, v V, r(u W ) r(v W ) Himpunan pembeda (resolving set ) dengan kardinalitas minimum untuk graf G disebut dengan himpunan pembeda (resolving set) minimum atau basis dari G Dimensi metrik dari G adalah kardinalitas minimum dari himpunan pembeda (resolving set) untuk G dan dinotasikan dim(g) Kardinalitas merupakan banyaknya anggota dari suatu himpunan Misalkan terdapat graf G dengan himpunan titik V (G) = {v 1, v 2,, v n } dan graf H dengan himpunan titik V (H) = {u 1, u 2,, u m } Hasil kali Kartesius (Cartesian Product) dari graf G dan H adalah G H, yang dibentuk oleh titik-titik V = {w ij w ij = (v i, u j ) : 1 i n, 1 j m} dan dua titik (v i, u j ) dan (v k, u l ) bertetangga di G H jika dan hanya jika (v i = v k dan u j bertetangga u l ) atau (v i bertetangga v k dan u j = u l ) 90
Dimensi Metrik Dari (K n P m) K 1 91 Salinan adalah graf dengan himpunan titik dan himpunan sisi yang sama dari graf G Misal terdapat graf G dengan n titik Graf G korona H, dinotasikan G H didefinisikan sebagai graf yang diperoleh dengan mengambil satu salinan graf G dan n salinan H 1, H 2,, H n dari graf H, kemudian menghubungkan titik ke-i dari G ke setiap titik di H i, untuk 1 i n 2 Dimensi Metrik Dari (K n P m ) K 1 Misalkan terdapat graf K n dengan himpunan titik V (K n ) = {v 1, v 2,, v n } dan graf P m dengan himpunan titik V (P m ) = {u 1, u 2,, u m } dan graf K 1 dengan V (K 1 ) = {x 1 } Graf (K n P m ) adalah graf hasil kali Kartesius antara graf K n dan graf P m Graf (K n P m ) K 1 adalah graf yang diperoleh dari graf (K n P m ) dengan nm titik dan graf lengkap K 1 dengan cara menghubungkan titik v ij di (P n P m ) ke titik u ij, yang merupakan salinan ke-ij dari graf K 1, untuk 1 i n dan 1 j m Gambar 1 Graf (K n P m) K 1 Teorema 21 [4] Jika m 2, maka dim((k n P m ) K 1 ) = { n 1, untuk n 4; 3, untuk n = 3 Bukti Misalkan V (K n ) = {v 1, v 2,, v n } adalah himpunan titik dari graf K n dan V (P m ) = {u 1, u 2,, u m } adalah himpunan titik dari graf P m Definisikan V (K n P m ) = {v ij v ij = (v i, u j )} dan titik pendant dari v ij pada (K n P m ) K 1 dinotasikan sebagai u ij Karena (K n P m ) K 1 bukan lintasan, maka dim((k n P m ) K 1 ) 2 Akan ditunjukkan dim((k n P m ) K 1 ) 3, yaitu dengan menunjukkan bahwa jika himpunan pembeda terdiri dari dua anggota, akan diperoleh dua titik pada graf tersebut dengan representasi yang sama Pilih S = {a, b} adalah himpunan pembeda untuk (K n P m ) K 1 Jika terdapat dua lintasan berbeda dengan panjang d(a, b) antara a dan b, maka terdapat dua titik-titik berbeda c, e dari (K n P m ) K 1 sedemikian sehingga d(c, a) = d(e, a) dan d(c, b) = d(e, b) Maka r(c S ) = r(e S ), kontradiksi Misalkan hanya ada satu lintasan Q, dengan panjang d(a, b), antara a dan b, maka terdapat titik v berderajat 4 yang berada dalam lintasan Q Sehingga, v memiliki dua tetangga c, e bukan termasuk lintasan Q, sedemikian sehingga
92 Nofitri Rahmi M, Zulakmal d(c, a) = 1 + d(e, a) dan d(c, b) = 1 + d(v, b) = d(e, b) Maka r(c S ) = r(e S ), kontradiksi Karena itu, dim((k 3 P m ) K 1 ) 3 Kemudian, akan ditunjukkan bahwa dim((k 3 P m ) K 1 ) 3 Pilih S = {v 11, v 21, v 3m } sebagai himpunan pembeda untuk (K 3 P m ) K 1 Maka representasi dari titik-titik (K 3 P m ) K 1 terhadap S adalah sebagai berikut: r(v ij S) = (d(v ij, v 11 ), d(v ij, v 21 ), d(v ij, v 3m )), = (j + i 2, j + i 3, m + i j 3), r(u ij S) = (d(u ij, v 11 ), d(u ij, v 21 ), d(u ij, v 3m )), = (j + i 1, j + i 2, m + i j 2), r(v kl S) = (d(v kl, v 11 ), d(v kl, v 21 ), d(v kl, v 3m )), = (l + k 2, l + k 3, m + k l 3), r(u kl S) = (d(u kl, v 11 ), d(u kl, v 21 ), d(u kl, v 3m )) = (l + k 1, l + k 2, k + m l 2) Akan ditunjukkan bahwa representasi setiap titik di (K 3 P m ) K 1 terhadap S berbeda Representasi setiap titik di (K 3 P m ) K 1 dijabarkan sebagai berikut: r(v 11 S) = (d(v 11, v 11 ), d(v 11, v 21 ), d(v 11, v 3m )) = (0, 1, m), r(v 12 S) = (d(v 12, v 11 ), d(v 12, v 21 ), d(v 12, v 3m )) = (1, 2, m 1), r(v 1m S) = (d(v 1m, v 11 ), d(v 1m, v 21 ), d(v 1m, v 3m )) = (m 1, m, 1), r(v 3m S) = (d(v 3m, v 11 ), d(v 3m, v 21 ), d(v 3m, v 3m )) = (m, m, 0), r(u 11 S) = (d(u 11, v 11 ), d(u 11, v 21 ), d(u 11, v 3m )) = (1, 2, m + 1), r(u 12 S) = (d(u 12, v 11 ), d(u 12, v 21 ), d(u 12, v 3m )) = (2, 1, m), r(u 1m S) = (d(u 1m, v 11 ), d(u 1m, v 21 ), d(u 1m, v 3m )) = (m, m + 1, 2), r(u 3m S) = (d(u 3m, v 11 ), d(u 3m, v 21 ), d(u 3m, v 3m )) = (m + 1, m + 1, 1) Andaikan terdapat dua titik berbeda x, y dari (K 3 P m ) K 1 sedemikian sehingga r(x S) r(y S) Pandang kasus berikut Kasus 1: x = v ij dan y = v kl Jika j = l dan i k sehingga untuk v i1 S diperoleh d(x, v i1 ) = j 1 < j = d(y, v i1 ) Jika j = l dan i = k = 3 diperoleh d(x, v 3m ) = m j = m l = d(y, v 3m ) Jika j < l dan i k sehingga untuk v i1 S diperoleh d(x, v i1 ) = j 1 < l 1 d(y, v i1 ) Jika j < l dan i = k = 3 diperoleh d(x, v 3m ) = m j > m l = d(y, v 3m ) Untuk j > l, pembuktian dilakukan dengan cara yang sama seperti kasus j < l Kasus 2: x = u ij dan y = u kl Pembuktian dilakukan dengan cara analog seperti Kasus 1
Dimensi Metrik Dari (K n P m) K 1 93 Kasus 3: x = v ij dan y = u kl Jika j = l dan i k sehingga untuk v i1 S diperoleh d(x, v i1 ) = j 1 < j d(y, v i1 ) Jika j = l dan i = k = 3 diperoleh d(x, v 3m ) = m j < m j + 1 = d(y, v 3m ) Untuk kasus j l pandang subkasus berikut Subkasus 31 Jika j l,i = k dan j = l + 1 Diperoleh d(x, v 3m ) = m j + 1 = m l < m l + 2 = d(y, v 3m ) Jika j l, i = k dan j l + 1 diperoleh d(x, v i1 ) = j 1 l + 1 = d(y, v i1 ) Subkasus 32 Jika j l, i = k dan j = l 1 Diperoleh d(x, v r1 ) = j = l 1 < l + 1 = d(y, v r1 ) Jika j l, i = k dan j l 1 diperoleh d(x, v 3m ) = m j m l + 1 = d(y, v 3m ) Jika j l dan i 3, diperoleh d(x, v r1 ) = j > j 1 d(y, v r1 ) Dengan demikian, untuk setiap titik-titik berbeda x, y dari (K 3 P m ) K 1, r(x S) r(y S) Oleh karena itu, dim((k 3 P m ) K 1 ) 3 Sehingga diperoleh dim((k 3 P m ) K 1 ) = 3 Selanjutnya, untuk n 4 akan ditunjukkan bahwa dim((k n P m ) K 1 ) = n 1 Pilih S = {v 1m, v 31, v 41,, v n1 } sebagai himpunan pembeda untuk (K n P m ) K 1 Maka representasi dari titik-titik di (K n P m ) K 1 terhadap S sebagai berikut: r(v ij S) = (d(v ij, v 1m ), d(v ij, v 21 ), d(v ij, v 41 ),, d(v ij, v n1 )), = (m + i j 1, i + j 4, i + j 5,, i + j n 1), r(u ij S) = (d(u ij, v 1m ), d(u ij, v 21 ), d(u ij, v 41 ),, d(u ij, v n1 )), = (m + i j, i + j 3, i + j 4,, j + i 1), r(v kl S) = (d(v kl, v 1m ), d(v kl, v 21 ), d(v kl, v 41 ),, d(v kl, v n1 )), = (k + l m 1, l + k 4, l + k 5,, k + l n 1), r(u kl S) = (d(u kl, v 1m ), d(u kl, v 21 ), d(u kl, v 41 ),, d(u kl, v n1 )), = (m + k l, k + l 3, k + l 4,, j + i 1) Akan ditunjukkan bahwa representasi setiap titik di (K n P m ) K 1 adalah sebagai berikut: r(v 11 S) = (d(v 11, v 1m ), d(v 11, v 31 ), d(v 11, v 41 ),, d(v 11, v n1 ) = (m 1, 1, 1,, 1), r(v 12 S) = (d(v 12, v 1m ), d(v 12, v 31 ), d(v 12, v 41 ),, d(v 1 ), v n1 ) = (m 2, 2, 2,, 2), r(v 1m S) = (d(v 1m, v 1m ), d(v 1m, v 31 ), d(v 1m, v 41 ),, d(v 1m, v n1 ) = (0, m, m,, m), r(v nm S) = (d(v nm, v 1m ), d(v nm, v 31 ), d(v nm, v 41 ),, d(v nm, v n1 ) = (1, n + m 4, n + m 5,, m 1) r(u 11 S) = (d(u 11, v 1m ), d(u 11, v 31 ), d(u 11, v 41 ),, d(u 11, v n1 ) = (m, 2, 2, 2), r(u 12 S) = (d(u 12, v 1m ), d(u 12, v 31 ), d(u 12, v 41 ),, d(u 12, v n1 ) = (m 1, 3, 3, 3),
94 Nofitri Rahmi M, Zulakmal r(u 1m S) = (d(u 1m, v 1m ), d(u 1m, v 31 ), d(u 1m, v 41 ),, d(u 1m, v n1 ) = (1, m + 1, m + 1,, n + 1), r(u nm S) = (d(u nm, v 1m ), d(u nm, v 31 ), d(u nm, v 41 ),, d(u nm, v n1 ) = (2, m + n 3,, m + n 4) Andaikan terdapat dua titik berbeda x, y dari (K n P m ) K 1 sedemikian sehingga r(x S) r(y S) Pandang kasus berikut Kasus 1 x = v ij dan y = v kl Jika j = l, maka i k Anggap i = 1 dan k = 2 Sehingga untuk v 1m S, diperoleh d(x, v 1m ) = m j < m j + 1 = d(y, v 1m ) Jika i / {1, 2} atau k {1, 2} diperoleh d(x, v i1 ) = j 1 < j = l = d(y, v i1 ) Jika j l, pilih j < l, maka terdapat v t1 S, t 3,, n, t k, akibatnya d(x, v t1 ) = d(x, v i1 ) + d(v i1, v t1 ), j 1 + d(v k1, v t1 ), < l 1 + d(v k1, v t1 ), = d(y, v k1 ) + d(v k1, v t1 ), = d(y, v t1 ) Kasus 2: x = u ij dan y = u kl Karena d(u ij, v) = d(v ij, v) + 1 untuk setiap v S, pembuktian dilakukan dengan cara analog seperti kasus diatas dan diperoleh r(u ij S) r(u kl S) Kasus 3: x = v ij dan y = u kl Jika j l, maka untuk setiap v t1 S diperoleh Jika j > l, maka d(x, v t1 ) = d(x, v i1 ) + d(v i1, v t1 ), = j 1 + d(v i1, v t1 ), < l 1 + d(v i1, v t1 ), l + d(v k1, v t1 ), = d(y, v k1 ) + d(v k1, v t1 ), = d(y, v t1 ) d(x, v 1m ) = d(x, v im ) + d(v im, v 1m ), = m j + d(v im, v 1m ), < m l + d(v im, v 1m ), m l + 1 + d(v km, v 1m ), = d(y, v km ) + d(v km, v 1m ), = d(y, v 1m ) Dengan demikian, untuk setiap titik-titik berbeda x, y dari (K n P m ) K 1, r(x S) r(y S) Oleh karena itu, dim((k n P m ) K 1 ) = n 1
3 Kesimpulan Dimensi Metrik Dari (K n P m) K 1 95 Pada tulisan ini telah dikaji kembali makalah [4] mengenai dimensi metrik dari graf (K n P m ) K 1 untuk n 3 dan m 2, dimana diperoleh bahwa jika m 2, maka; { n 1, untuk n 4; dim((k n P m ) K 1 = 3, untuk n = 3 4 Ucapan Terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Ibu Dr Lyra Yulianti, Bapak Dr Mahdhivan Syafwan, Bapak Narwen, MSi, Bapak Syafruddin, MSi yang telah memberikan masukan dan saran sehingga makalah ini dapat diselesaikan dengan baik Daftar Pustaka [1] Bondy, JA dan Murty, USR 2008 Graph Theory New York Springer [2] Caceres, J, Hernando, C, Mora, M, Pelayo, IM, Puertas, ML, dan Seara, C 2005 On the metric dimension of some families of graphs SIAM Journal of Discrete Mathematics 22: 129 133 [3] Chartrand, G, Eroh, L, Jhonson, M, dan Oellerman, OR 2000 Resolvability in graph and the metric dimension of a graph Discrete Applied Mathematics 105: 99 107 [4] D Kuziak, JA Rodriguez-Velazquez dan IG Yero Correction to the article The metric dimension of graph with pendant edges [Journal of Combinatorial Mathematics and Combinatorial Computing, 65 (2008) 139 145] arxiv:10101784v1 [mathco] 8 Oktober 2010 [5] H Iswadi, ET Baskoro, R Simanjuntak, ANM Salman 2008 The metric dimension of graph with pendant edges Journal of Combinatorial Mathematics and Combinatorial Computing 65 : 139 145 [6] F Harary, RA Melter 1976 On the metric dimension of a graph Ars Combinatoria 2 : 191 195 [7] M Bahri, Nurdin, MZakir, G Mahie dan Darmo 2013 The metric dimension of cross product of path graphs P m P 2 P 2, m 2 Manasir 1 : 15 18