Recursion, Algoritma, Struktur Data Recursion Erick Pranata Edisi II 04/04/2013
Definisi Bayangkan definisi suatu frase yang bersifat sirkular Status Galau: Kondisi galau yang dicerminkan dalam bentuk tulisan Perhatikan bahwa galau kembali digunakan untuk menerangkan status galau. Definisi tersebut menggunakan mengalihfungsikan kata-kata yang seharusnya dijelaskan, menjadi penjelas. Inilah yang disebut recursion. Dalam dunia pemrograman, recursion tergolong dalam rumpun iteration (repetition, terdiri atas iteration dan recursion). Dengan demikian, struktur ini dapat digunakan untuk menjalankan statement yang berulang. Thinking Recursively Berpikir rekursif dapat dilakukan dengan: 1. memecah permasalahan menjadi masalah-masalah yang lebih kecil 2. menentukan pola umum yang digunakan untuk memecahkan masalahmasalah tersebut 3. menyatukannya untuk dapat menyelesaikan permasalahan secara utuh Sebagai contoh, andaikata terdapat sebuah fungsi untuk menghitung total kuadrat dari bilangan m sampai n, SumSquares(m,n), dengan syarat m<=n, secara iteratif ia dapat dinyatakan sebagai berikut: Code 1. SumSquares secara Iteratif function SumSquares(m, n) total = 0 for i = m to n total = total + i*i next SumSquares = total end function Dengan demikian, nilai dari SumSquares (5, 10) adalah = 5 2 +6 2 +7 2 +8 2 +9 2 +10 2 = 255. Erick Pranata - Recursion - 04/04/2013 1
Menyelesaikan problem ini secara rekursif dapat dilakukan dengan memecah masalah tersebut menjadi masalah masalah yang lebih kecil: SumSquares(5, 10) = 5 2 + 6 2 + 7 2 + 8 2 + 9 2 + 10 2 SumSquares(6, 10) = 6 2 + 7 2 + 8 2 + 9 2 + 10 2 SumSquares(7, 10) = 7 2 + 8 2 + 9 2 + 10 2 SumSquares(8, 10) = 8 2 + 9 2 + 10 2 SumSquares(9, 10) = 9 2 + 10 2 SumSquares(10, 10) = 10 2 Perhatikan ilustrasi di atas. Bukankah, masalah-masalah tersebut dapat ditulis sebagai berikut? SumSquares(5, 10) = 5 2 + SumSquares(6, 10) SumSquares(6, 10) = 6 2 + SumSquares(7, 10) SumSquares(7, 10) = 7 2 + SumSquares(8, 10) SumSquares(8, 10) = 8 2 + SumSquares(9, 10) SumSquares(9, 10) = 9 2 + SumSquares(10, 10) SumSquares(10, 10) = 10 2 Dan jika digeneralisasi, bukankah akan menjadi berikut? SumSquares(m, n) = m 2 + SumSquares(m+1, n) SumSquares(m, n) = 10 2 <- Jika m=n Masalah tersebut ternyata hanya menjadi 2 pola saja! Perhatikan bahwa perulangan berhenti ketika nilai m=n. Dengan demikian bila digabungkan, fungsi tersebut dapat ditulis secara rekursif sebagai berikut: Code 2. SumSquares secara Rekursif function SumSquares(m, n) if m=n then SumSquares = m * m 'Base Case else SumSquares = m * m + SumSquares(m+1, n) 'Recursive Case end if end function Erick Pranata - Recursion - 04/04/2013 2
Beberapa contoh kasus lain yang dapat digunakan untuk mempelajari recursion adalah: 1. Faktorial 2. Fibonacci 3. Perkalian 4. Pangkat Tracing Tracing, atau pengkajian suatu fungsi atau prosedur rekursif dapat dilakukan dengan 2 cara: 1. Call Tree 2. Call Trace Ambil contoh code 2. Semisal Anda ingin memeriksa apakah fungsi tersebut telah berjalan dengan benar, lakukan trace dengan menggunakan call tree sebagai berikut Gambar 1 Call Tree Erick Pranata - Recursion - 04/04/2013 3
atau call trace sebagai berikut Gambar 2 Call Trace Tower of Hanoi Alkisah di suatu daerah di Asia, terdapat sejumlah biarawan yang berusaha memindahkan kepingan emas. Konon, ketika mereka selesai memindahkan ke 64 kepingan tersebut dari pilar 1 ke pilar 3, maka dunia akan hancur dan kembali ke masa awal, ketika dunia baru diciptakan. Ke 64 keping memiliki ukuran yang berbeda, dan para biarawan harus mematuhi 2 aturan: 1. Hanya 1 keping yang dapat dipindahkan pada suatu waktu 2. Keping yang lebih besar tidak boleh diletakkan di atas keping yang lebih kecil Jika mereka bekerja nonstop 24/7, dan butuh 1 detik untuk memindahkan sebuah keping, kapankah dunia akan hancur? Ilustrasi permasalahan ini untuk 4 keping ditunjukkan pada gambar 3. Gambar 3 Tower of Hanoi Erick Pranata - Recursion - 04/04/2013 4
Solusi untuk permasalahan ini dapat dicapai dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Pindahkan 4 keping dari pilar 1 ke pilar 3 a. Pindahkan 3 keping dari pilar 1 ke pilar 2 i. Pindahkan 2 keping dari pilar 1 ke pilar 3 1. Pindahkan 1 keping dari pilar 1 ke pilar 2 a. Pindahkan sebuah keping dari pilar 1 ke pilar 2 2. Pindahkan sebuah keping dari pilar 1 ke pilar 3 3. Pindahkan 1 keping, dari pilar 2 ke pilar 3 a. Pindahkan sebuah keping dari pilar 2 ke pilar 3 ii. Pindahkan sebuah keping dari pilar 1 ke pilar 2 iii. Pindahkan 2 keping, dari pilar 3 ke pilar 2 1. dst b. Pindahkan sebuah keping dari pilar 1 ke pilar 3 c. Pindahkan 3 keping, dari pilar 2 ke pilar 3 i. Pindahkan 2 keping dari pilar 2 ke pilar 1 1. dst ii. Pindahkan sebuah keping dari pilar 2 ke pilar 3 iii. Pindahkan 2 keping, dari pilar 1 ke pilar 3 1. dst Memperhatikan urutan langkah di atas, dapat diketahui bahwa base case yang cocok adalah Pindahkan sebuah keping dari pilar start ke pilar tujuan. Perhatikan poin a, b, dan c di atas; Prosedur rekursif untuk mencetak solusi untuk Tower of Hanoi dapat ditulis demikian Code 3. Tower of Hanoi Sub ToH(n, start, tujuan, sementara) If n = 1 then document.write " Pindahkan sebuah keping dari pilar " & start & " ke pilar " & tujuan & "<br/>" else ToH(n-1, start, perantara, tujuan) End if End Sub document.write " Pindahkan sebuah keping dari pilar " & start & " ke pilar " & tujuan & "<br/>" ToH(n-1, perantara, tujuan, start) Erick Pranata - Recursion - 04/04/2013 5
Coba lakukan tracing. Benarkah prosedur tersebut? Jika setiap aksi dihitung, berikut hasil yang diperoleh untuk tiap keping: Tabel 1 Jumlah Aksi berdasarkan Jumlah Keping Jumlah Keping Jumlah Aksi 1 1 2 3 3 7 4 15 5 31 6 63 7 127 8 255 Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa jumlah instruksi bersifat eksponensial, dimana bila terdapat n keping, maka akan terdapat 2 n -1 aksi. Kembali ke cerita para biarawan; Terdapat 64 keping emas dan untuk memindahkan 1 keping, diperlukan 1 detik. Jika dalam 1 tahun, terdapat 31.536.000 detik, maka waktu yang diperlukan bagi para biarawan untuk memindahkan seluruh keping tersebut adalah (2 64-1)/ 31.536.000 = 584.942.417.355 tahun. Jadi, kita masih akan tetap hidup untuk beberapa saat Divide and Conquer Merupakan suatu strategi dalam menyelesaikan suatu masalah dengan: 1. Memecahnya menjadi subproblems yang lebih kecil dengan karakteristik yang sama 2. Menyelesaikan setiap subproblems secara rekursif 3. Menggabungkan setiap jawaban secara tepat Dengan strategi ini, setiap masalah akan dipecah menjadi masalah-masalah yang lebih kecil yang serupa dan sama, kemudian secara rekursif diselesaikan; jawaban yang diperoleh lalu digabungkan satu demi satu hingga solusi akhir diperoleh. Lihat kembali fungsi rekursif SumSquares yang berguna untuk menjumlahkan bilangan kuadrat dalam rentang tertentu pada Code 2. Erick Pranata - Recursion - 04/04/2013 6
SumSquares(5, 10) = 5 2 + 6 2 + 7 2 + 8 2 + 9 2 + 10 2 = 355 Permasalahan di atas dapat diselesaikan dengan pendekatan divide and conquer, dengan memecah-mecah masalah tersebut. Gambar 4 Call Tree untuk SumSquares dengan Divide and Conquer Dengan demikian, fungsi rekursif tersebut dapat disesuaikan menjadi sebagai berikut: Code 4. SumSquares dengan Divide and Conquer function SumSquares(m, n) if m = n then SumSquares = m * m else tengah = (m+n)\2 SumSquares = SumSquares(m,tengah) + SumSquares(tengah+1,n) end if end function Keuntungan strategi ini adalah penghematan memori yang digunakan. Hal ini dapat dilakukan dengan membandingkan gambar 1 dan gambar 4. Bukankah kedalaman Call Tree yang dihasilkan dengan strategi Divide and Conquer menjadi lebih kecil? Dengan demikian, memori yang dibutuhkan pun semakin kecil. Sebagai latihan, buatlah fungsi rekursif dengan strategi ini untuk kasus: 1. Perkalian 2. Pangkat 3. Mencari nilai maksimum/minimum dalam suatu array 4. Mencari nilai dalam suatu array dengan algoritma binary search Erick Pranata - Recursion - 04/04/2013 7
Implementasi: Sierpinski Fractal Salah satu contoh implementasi teknik recursion adalah penggambaran fractal (gambar yang dibentuk dengan menggambar dirinya sendiri). Salah satu fractal sederhana yang dapat diimplementasikan secara rekursif adalah Sierpinski Fractal: Algoritma 1. Gambar Segitiga Prosedur Segitiga(t1, t2, t3, jumlah) Jika jumlah = 0 maka gambarkan segitiga berdasarkan 3 titik Jika tidak Temukan titik tengah (t1, t2) -> t12 Temukan titik tengah (t1, t3) -> t13 Temukan titik tengah (t2, t3) -> t23 Segitiga(t1, t12, t13, jumlah-1) Segitiga(t2, t12, t23, jumlah-1) Segitiga(t3, t13, t23, jumlah-1) Kembali Algoritma 2. Pembuatan Fractal 1. Tentukan 3 titik awal -> t1, t2, t3 2. Tentukan jumlah perulangan -> jumlah 3. Segitiga(t1, t2, t3, jumlah) Referensi Thomas A. Standish, Data Structures, Algorithms & Software Principles in C, Addison- Wesley Publishing Company, 1995. Erick Pranata - Recursion - 04/04/2013 8