ANALISIS MODEL FRAKSIONAL PENYEBARAN PENYAKIT CHIKUNGUNYA SKRIPSI SELVA PUTRI ARISWANA PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA 2016
ANALISIS MODEL FRAKSIONAL PENYEBARAN PENYAKIT CHIKUNGUNYA SKRIPSI SELVA PUTRI ARISWANA PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA 2016 i
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA SKRIPSI ANALISIS MODEL FRAKSIONAL... SELVA PUTRI A.
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA SKRIPSI ANALISIS MODEL FRAKSIONAL... SELVA PUTRI A.
PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi kepustakaan, tetapi pengutipan harus seizin penyusun dan harus menyebutkan sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen skripsi ini merupakan hak milik Universitas Airlangga. iv
ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA SKRIPSI ANALISIS MODEL FRAKSIONAL... SELVA PUTRI A.
KATA PENGANTAR Alhamdulillahirabbil alamin. Segala puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT karena hanya dengan rahmat dan karunia-nya, sehingga skripsi yang berjudul Analisis Model Fraksional Penyebaran Penyakit Chikungunya ini dapat diselesaikan dengan baik. Shalawat serta salam bahagia semoga senantiasa tercurahkan kepada junjungan kita, Nabi Besar Muhammad SAW, pemimpin sekaligus sebaik-baiknya suri tauladan bagi kehidupan umat manusia. Ucapan terima kasih disampaikan kepada : 1. Universitas Airlangga yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk menuntut ilmu. 2. Badrus Zaman, S.Kom., M.Cs. selaku Ketua Departemen Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga. 3. Dr. Mohammad Imam Utoyo, M.Si selaku dosen wali sekaligus dosen pembimbing I yang senantiasa penuh kesabaran, ketelitian, keramahan, dalam memberikan bimbingan berupa ilmu, arahan, waktu, serta semangat. 4. Dr. Fatmawati, M.Si selaku dosen pembimbing II yang senantiasa penuh kesabaran, ketelitian, keramahan, dalam memberikan bimbingan berupa ilmu, arahan, waktu, serta semangat. vi
5. Yang Tercinta Kedua orang tua penulis, Suwono dan Yayuk Minari, serta saudara-saudaraku, Lita, Irwan, Oki, Eko, Sukrisno, Dian, Debie, yang selalu memberikan dukungan, semangat, doa dan kasih sayangnya. 6. Teman-teman seperjuangan mahasiswa Matematika angkatan 2012 atas dukungan dan kebersamaannya selama ini. Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat sebagai bahan pustaka dan penambah informasi khususnya bagi mahasiswa Universitas Airlangga. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini, kemungkinan masih terdapat kekurangan sehingga saran dan kritik yang membangun sangat diharapkan untuk penulisan berikutnya. Surabaya, Februari 2016 Selva Putri Ariswana vii
Selva Putri Ariswana, 2016, Analisis Model Fraksional Penyebaran Penyakit Chikungunya. Skripsi ini dibimbing oleh Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si dan Dr. Fatmawati, M.Si, Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Surabaya. ABSTRAK Chikungunya adalah virus arthropod-borne atau arbovirus. Virus chikungunya ditransmisikan oleh nyamuk Aedes dan merupakan penyebab dari sedikit penyakit tropis akut dan tidak biasa yang terdokumentasi. Model matematika penyebaran penyakit chikungunya diperlukan untuk mengantisipasi penyebaran penyakit chikungunya yang lebih luas di berbagai tempat. Pada penelitian sebelumnya model matematika penyebaran chikungunya dikaji dalam bentuk Sistem Persamaan Diferensial Biasa non linier (SPDB). Dalam skripsi ini dibahas mengenai model penyebaran penyakit chikungunya dalam bentuk Sistem Persamaan Diferensial Fraksional nonlinier (SPDF) yang dimodifikasi dari Sistem Persamaan Diferensial Biasa nonlinier (SPDB). Metode yang digunakan untuk menyelesaikan SPDF adalah Metode Perturbasi Homotopi (HPM). HPM dilakukan dengan mengubah SPDF menjadi Sistem Persamaan Diferensial Homotopi dengan mengalikan setiap persamaan pada SPDF dengan parameter embedding. Solusi analitik yang diperoleh berupa deret tak hingga. Selanjutnya solusi numerik diperoleh dengan pemotongan pada empat suku pertama dari deret. Berdasarkan hasil simulasi, besarnya nilai order yang diberikan sebanding dengan besarnya penurunan pada populasi nyamuk pada fase embrio dan larva, populasi nyamuk rentan dan populasi manusia rentan serta peningkatan pada populasi nyamuk dan manusia terinfeksi. Kata kunci : Chikungunya, Model Matematika, Persamaan Diferensial, Turunan Fraksional, Homotopi. viii
Selva Putri Ariswana, 2016, Fractional Model Analysis of The Spread of Chikungunya. This final project is under advised by Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si and Dr. Fatmawati, M.Si, Department of Mathematics, Science and Technology Faculty, Airlangga University, Surabaya. ABSTRACT Chikungunya is an arthropod-borne viral disease (arbovirus). It is transmitted by Aedes mosquitoes and is responsible for a little documented uncommon acute tropical disease. Mathematical model of the spreading of chikungunya is required to anticipate the larger spread of chikungunya in various places. On previous research the mathematical model of chikungunya spreading is examined in a nonlinear Ordinary Differential Equation System (ODES). In this final project, we develop the model of the chikungunya spreading on the nonlinear Fractional Differential Equation System (FDES) from a nonlinear Ordinary Differential Equation System (ODES). We solve the FDES with Homotopy Perturbation Method (HPM). It is solved by changing the FDES to Homotopy Differential Equation System by multiplying each equation in the FDES with embedding parameter. The analytic result is an infinite series. The numerical result is obtained with the truncation on the first four parts of the series. According to the simulation result, the value of order is associated with the decreasing of embryo and larva population, susceptible mosquito and human population, and the increasing of infected mosquito and human population. Keywords : Chikungunya, Mathematical Model, Differential Equation, Fractional Differential, Homotopy. ix
DAFTAR ISI Halaman LEMBAR JUDUL... i LEMBAR PERNYATAAN... ii LEMBAR PENGESAHAN... iii LEMBAR PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI... iv SURAT PERNYATAAN TENTANG ORISINALITAS... v KATA PENGANTAR... vi ABSTRAK... viii DAFTAR ISI... x DAFTAR TABEL... xii DAFTAR GAMBAR... xiii DAFTAR LAMPIRAN... xiv BAB I PENDAHULUAN... 1 1.1 Latar Belakang... 1 1.2 Rumusan Masalah... 4 1.3 Tujuan... 4 1.4 Manfaat... 5 1.5 Batasan Masalah... 5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA... 6 2.1 Pengertian Chikungunya... 6 2.2 Model Matematika Penyebaran Penyakit Chikungunya... 8 x
2.3 Sistem Persamaan Diferensial Order Fraksional Penyebaran Penyakit Chikungunya... 15 2.4 Metode Perturbasi Homotopi... 17 BAB III METODELOGI PENELITIAN... 20 BAB IV PEMBAHASAN... 22 4.1 Model Matematika Penyebaran Penyakit Chikungunya Order Fraksional... 22 4.2 Solusi Model Penyebaran Penyakit Chikungunya Order Fraksional Menggunakan Metode Perturbasi Homotopi (HPM)... 23 4.3 Simulasi Numerik Sistem Persamaan Diferensial Fraksional Penyebaran Penyakit Chikungunya... 39 BAB V PENUTUP... 47 5.1 Kesimpulan... 47 5.2 Saran... 50 DAFTAR PUSTAKA... 51 xi
DAFTAR TABEL No. Judul Halaman 2.1 Notasi dan Deskripsi Parameter Model Matematika Penyebaran Penyakit Chikungunya 10 4.1 Nilai Parameter Model Penyebaran Penyakit Chikungunya 39 xii
DAFTAR GAMBAR No. Judul Halaman 2.1 Diagram Transmisi Model Matematika Penyebaran Penyakit Chikungunya 11 4.1 Simulasi Numerik SPDB Nonlinier Penyebaran Penyakit Chikungunya 41 4.2 Simulasi Numerik SPDF Penyebaran Penyakit Chikungunya 41 4.3 Perbandingan Simulasi Numerik SPDB Nonlinier dengan SPDF pada Populasi Nyamuk dan Manusia 42 4.4 Pengaruh nilai order dan Terhadap Dinamika Populasi Nyamuk dan Manusia 44 4.5 Pengaruh nilai order dan Terhadap Dinamika Populasi Nyamuk dan Manusia 45 xiii
DAFTAR LAMPIRAN No. Judul Lampiran 1 Kode Program untuk Perbandingan antara SPDB dan SPDF dengan 2 Kode Program Pengaruh ( ) Terhadap Dinamika Populasi Nyamuk dan Manusia xiv