ALJABAR ATAS SUATU LAPANGAN DAN DUALISASINYA TESIS Karya tulis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister dari Institut Teknologi Bandung Oleh: Program Studi Matematika Institut Teknologi Bandung 2007
ALJABAR ATAS SUATU LAPANGAN DAN DUALISASINYA Oleh Program Studi Matematika Institut Teknologi Bandung Menyetujui Pembimbing Bandung, 18 Mei 2007 Dr. Irawati NIP : 131284819
ABSTRAK ALJABAR ATAS SUATU LAPANGAN DAN DUALISASINYA Oleh Suatu aljabar (A,.,+;k) atas suatu lapangan k adalah suatu gelanggang (A,.,+) yang dilengkapi suatu aksi dari k pada A sedemikian sehingga (A,+,k) suatu ruang vektor atas lapangan k dan berlaku λ(ab)=(λa)b=a(λb) untuk semua a, b A dan λ k. Hasilkali tensor akan memberikan definisi aljabar yang ekuivalen dengan definisi pertama di atas. Dualisasi aljabar melalui hasilkali tensor membawa kepada konsep koaljabar. Tulisan ini memperlihatkan bahwa suatu aljabar atas suatu lapangan senantiasa dapat diperoleh dari dual suatu koaljabar dan sebaliknya koaljabar dapat diperoleh dari dual aljabar untuk kasus aljabar yang berdimensi hingga. Kata kunci : Hasilkali tensor, aljabar, dan koaljabar i
ABSTRACT ALGEBRA OVER A FIELD AND ITS DUALITY by An algebra (A,.,+;k) over a field is a ring (A,.,+) endowed with an action of k on A which is compatible with both the multiplication and addition. Thus (A,.,+) is a ring, (A, +; k) is a vector space and λ(ab)=(λa)b=a(λb) for all a, b A and λ k. Tensor product will suggest to the algebra definition equivalently with the first definition above. The duality of this definition suggests to the concept of a coalgebra. This thesis shows that any algebra is the dual of coalgebra and the convers is true if the algebra dimension is finite Key word : Tensor product, algebra, and coalgebra ii
PEDOMAN PENGGUNAAN TESIS Tesis S2 yang tidak dipublikasikan terdaftar dan tersedia di perpustakaan Institut Teknologi Bandung dan terbuka untuk umum dengan ketentuan bahwa hak cipta ada pada pengarang dengan mengikuti aturan HaKI yang berlaku di Institut Teknologi Bandung. Referensi kepustakaan diperkenankan dicatat, tetapi pengutipan atau peringkasan hanya dapat dilakukan seizin pengarang dan harus disertai dengan kebiasaan ilmiah untuk menyebutkan sumbernya. Memperbanyak atau menerbitkan sebagian atau seluruh tesis haruslah seizin Direktur Sekolah Pascasarjana, Institut Teknologi Bandung iii
KATA PENGANTAR Penulis mengucapkan puji dan syukur ke Hadirat Allah Swt. karena berkat rahmat dan karunia-nya penulis dapat menyelesaikan tesis ini. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada Dr. Irawati yang telah membimbing penulis dalam menyelesaikan tesis ini. Juga penulis mengucapkan terima kasih kepada Beliau yang selama dua tahun terakhir ini telah membimbing penulis sebagai dosen wali. Penulis mengucapkan terima kasih juga kepada: 1. Dr. Muchtadi Intan Detiena dan Mulyana Halim A.,M.Si sebagai dosen penguji yang telah memberikan masukan dalam perbaikan penulisan tesis ini. 2. Staf Tata Usaha Program Studi Matematika Institut Teknologi Bandung. 3. Ani Nurlaesari dan keluarga yang telah memberikan motivasi dalam menyelesaikan Program Magister ini. 4. Dosen-dosen Matematika FMIPA UNPAD khususnya Ibu Isah Aisah, Ibu Euis Hartini, Ibu Ema Carnia, dan Ibu Nursanti yang telah memberikan banyak masukan yang sangat baik selama menyelesaikan Program S2 ini. 5. Rekan-rekan S2 matematika angkatan 2005 dan 2006 khususnya Ibu Betty Subartini dan Rini Cahyandari serta Ibu Hanni Garminia,M.Si yang selama ini telah memberikan masukan dan teman diskusi bagi penulis. 6. Semua pihak yang tidak bisa disebutkan satu persatu yang telah membantu menyelesaikan tesis ini. Akhirnya penulis berharap semoga tesis ini memberikan manfaat. Kritik dan saran demi perbaikan tesis ini senantiasa penulis harapkan Bandung, 18 Mei 2007 Penulis iv
DAFTAR ISI ABSTRAK... i ABSTRACT... ii PEDOMAN PENGGUNAAN TESIS.... iii KATA PENGANTAR........ iv DAFTAR ISI... v BAB I PENDAHULUAN...1 1.1 Latar Belakang........1 1.2 Identifikasi Masalah.......1 1.3 Batasan Masalah.... 1 1.4 Maksud dan Tujuan.... 2 1.5 Sistematika Penulisan........2 BAB II TINJAUAN PUSTAKA......3 2.1 Ring, Lapangan, dan Ruang vektor... 3 2.2 Hasilkali Tensor....4 BAB III PEMBAHASAN........14 3.1 Aljabar atas lapangan.....14 3.2 Koaljabar sebagi dualisasi dari aljabar..... 19 3.3 Penerapan Hasil...25 BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN.........27 4.1 Kesimpulan.. 27 4.2 Saran. 27 DAFTAR PUSTAKA....28 v
vi
vii
ABSTRAK ALJABAR ATAS SUATU LAPANGAN DAN DUALISASINYA Oleh Suatu aljabar (A,.,+;k) atas suatu lapangan k adalah suatu gelanggang (A,.,+) yang dilengkapi suatu aksi dari k pada A sedemikian sehingga (A,+,k) suatu ruang vektor atas lapangan k dan berlaku λ(ab)=(λa)b=a(λb) untuk semua a, b A dan λ k. Hasilkali tensor akan memberikan definisi aljabar yang ekuivalen dengan definisi pertama di atas. Dualisasi aljabar melalui hasilkali tensor membawa kepada konsep koaljabar. Tulisan ini memperlihatkan bahwa suatu aljabar atas suatu lapangan senantiasa dapat diperoleh dari dual suatu koaljabar dan sebaliknya koaljabar dapat diperoleh dari dual aljabar untuk kasus aljabar yang berdimensi hingga. Kata kunci : Hasilkali tensor, aljabar, dan koaljabar
ABSTRACT ALGEBRA OVER A FIELD AND ITS DUALITY by An algebra (A,.,+;k) over a field is a ring (A,.,+) endowed with an action of k on A which is compatible with both the multiplication and addition. Thus (A,.,+) is a ring, (A, +; k) is a vector space and λ(ab)=(λa)b=a(λb) for all a, b A and λ k. Tensor product will suggest to the algebra definition equivalently with the first definition above. The duality of this definition suggests to the concept of a coalgebra. This thesis shows that any algebra is the dual of coalgebra and the convers is true if the algebra dimension is finite Key word : Tensor product, algebra, and coalgebra