J. Mth. d Its Appl. ISSN: 1829-605X Vol. 3, No. 2, Nov 2006, 81 93 Kji Itegrl Cvlieri-Wllis d Itegrl Porter-Wllis sert Kity deg Itegrl Riem Rt Sri Dewi d Sursii Jurus Mtemtik ITS Istitut Tekologi Sepuluh Nopember Surby sursii@mtemtik.its.id Abstrk Itegrl Cvlieri-Wllis d itegrl Porter-Wllis dlh sutu kosep bru dlm Mtemtik, dibgu berdsrk kosep idivisible yg dikembgk oleh Cvlieri d Wllis. Metode idivisible dlh pemikir tetg re di bwh kurv sebgi jumlh dri seluruh gris vertikl yg sejjr, yg d di bwh kurv. Itegrl Cvlieri-Wllis d Porter-Wllis dibgu mellui pedekt limit dri jumlh tiggi kurv pd msig-msig subitervl. Pd mklh ii dikji bgim membgu itegrl Cvlieri-Wllis d itegrl Porter-Wllis d siftsifty, sert keterkit tr kedu itegrl tersebut deg itegrl Riem. Dlm keyty, setip fugsi yg teritegrl Riem psti teritegrl Cvlieri-Wllis d Porter-Wllis. Kt Kuci: itegrl Cvlieri-Wllis, itegrl Porter-Wllis, itegrl Riem, metode idivisible. 81
82 Kji Itegrl Cvlieri-Wllis... 1. Pedhulu Itegrl Riem dlh itegrl yg plig byk diguk utuk meyelesik persol mtemtik, bik dlm mtemtik muri mupu pliksiy. Ak tetpi terdpt kekurg pd itegrl Riem, yitu terdpt kels fugsi teritegrl Riem yg reltif kecil, kre dibtsi oleh kekotiu tu kekotiu sepotog-sepotog d opersi limit serig kli meemui kesulit yg tidk dpt ditgi. Hl ii meyebbk muculy byk teori itegrl yg bru. Broislw Czroch d Vud Prbhu dlm Idivisibles i Cotemporry Clculus [?], memuculk sutu itegrl bru yg belum byk dibhs, yitu itegrl Cvlieri-Wllis d itegrl Porter-Wllis. Dlm kedu itegrl itu, peghitug- lus re dilkuk deg metode idivisible. Metode Idivisible dlh sutu pemikir tetg re di bwh kurv sebgi jumlh dri seluruh gris vertikl yg sejjr, yg d di bwh kurv. 2. Itegrl Riem Sebelum di bhs megei kit tr itegrl Cvlieri-Wllis d itegrl Porter-Wllis deg itegrl Riem, terlebih dhulu k di bhs megei itegrl Riem. Itegrl Riem dlh itegrl deg fugsi terbts f yg didefiisik pd itervl tertutup terbts [, b]. Prtisi dri [, b] dlh P yitu koleksi terbts dri titik-titik di [, b] sedemiki higg = x 0 < x 1 < < x k = b. Titik-titik ii membgi [, b] mejdi sub itervl I k = [x k 1, x k ], k = 1, 2,,. Diberik f : I R dlh fugsi terbts pd I d P := (x 0, x 1,, x k ) dlh prtisi dri I. Utuk k = 1, 2,,, didefiisik m k = if{f(x) : x [x k 1, x k ]} M k = sup{f(x) : x [x k 1, x k ]} Jumlh bwh (lower sum) dri f terkit deg P prtisi didefiisik sebgi L(P ; f) := m k (x k x k 1 ) k=1 Jumlh ts (upper sum) dri f terkit deg P prtisi didefiisik sebgi U(P ; f) := M k (x k x k 1 ) k=1
Rt Sri Dewi d Sursii 83 Misl P(I) meotsik koleksi semu prtisi dri itervl I. Jik f : I R terbts, mk msig-msig prtisi P dlm P(I) meetuk du bilg yitu jumlh bwh L(P ; f) d jumlh ts U(P ; f). Berikut ii k diberik defiisi itegrl ts d itegrl bwh. Defiisi 2.1 [1] (R.G. Brtle d D.R. Sherbert, hl.233) Diberik I := [, b] d f : I R dlh fugsi terbts. Itegrl bwh dri f pd I dlh Itegrl ts dri f pd I dlh L(f) := sup{l(p, f) : P P(I)} U(f) := sup{u(p, f) : P P(I)} Defiisi 2.2 [1] (R.G. Brtle d D.R. Sherbert, hl.234) Diberik I := [, b] d f : I R dlh fugsi terbts, mk f diktk teritegrl Riem pd I jik L(f) = U(f). Itegrl Riem dri f pd I didefiisik sebgi ili dri L(f) = U(f), d diotsik oleh. f tu f(x) dx Kit tr itegrl Cvlieri-Wllis d itegrl Porter-Wllis deg itegrl Riem k dicri mellui jumlh Riem. Oleh kre itu di bwh ii k diberik defiisi d teorem megei jumlh Riem. Defiisi 2.3 [1] (R.G. Brtle d D.R. Sherbert, hl.262) Diberik I := [, b] d f : I R dlh fugsi terbts. Jik P := (x 0, x 1,, x } dlh prtisi dri I d jik (ξ 1, ξ 2,, ξ ) dlh titik-titik di dlm itervl I sedemiki higg x k 1 ξ k x k utuk k = 1, 2,,, mk jumlh S(P ; f) := f(ξ k )(x k x k 1 ) k=1 disebut jumlh Riem ( Riem sum) dri yg terkit deg prtisi d ili tr. Teorem 2.4 [1] (R.G. Brtle d D.R. Sherbert, hl.263) Diberik I := [, b] d f : I R dlh fugsi teritegrl pd I. Jik diberik ε > 0, terdpt P ε prtisi d jik S(P ; f) dlh jumlh Riem, mk S(P ; f) f < ε
84 Kji Itegrl Cvlieri-Wllis... f dlm Teorem 2.4 dpt ditulis sebgi f = lim S(P ; f) 3. Itegrl Cvlieri-Wllis d Itegrl Porter- Wllis Itegrl Cvlieri-Wllis d itegrl Porter-Wllis dlh teori yg dibgu berdsrk kosep idivisible dri Cvlieri d Wllis. Deg megguk prisip idivisible, Bovetur Cvlieri membetuk metode utuk meghitug lus derh segitig. Lus segitig dlh setegh dri lus persegi empt yg mempuyi pjg d lebr yg sm deg pjg ls d tiggi segitig tersebut. Cvlieri medekti derh segitig deg persegi empt-persegi empt kecil, seperti pd Gmbr 1. Pd st lebr (ls) persegi empt itu semki kecil, mk persegi empt tersebut k berubh mejdi gris-gris vertikl d membetuk segitig Gmbr 1: Gmbr 2: Gmbr 1 dlh gmbr sebuh persegi empt deg pjg 6 stu d lebr 5 stu. Lus persegi pjg pd Gmbr 1 dlh. Utuk meghitug lus derh yg dirsir yg d didlm persegi pjg dlh deg mejumlhk lus seluruh persegi pjg yg kecil. Jik dibdigk tr lus derh yg dirsir deg lus persegi pjg, yg seljuty k disebut sebgi rsio, mk diperoleh Lus derh yg dirsir Lus derh persegi pjg = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 5 6 30 = 1 2
Rt Sri Dewi d Sursii 85 Deg cr yg sm pd persegi pjg yg lebih besr, diperoleh rsio Lus derh yg dirsir Lus derh persegi pjg = i 1 ( + 1) = 2( + 1) ( + 1) = 1 2, N Kemudi Cvlieri megembgk metode utuk meghitug lus re di bwh kurv y = x 2. Gmbr 2 dlh gmbr kurv y = x 2, x 0. Pd Gmbr 2 terliht bhw msig-msig persegi pjg kecil mempuyi pjg ls (lebr) 1 stu di sepjg sumbu-x, d tiggi (pjg) x 2 di sepjg sumbu-y. Sedgk lus persegi pjg yg besr mempuyi pjg ls (lebr) m + 1 d tiggi (pjg) m 2, sehigg diperoleh rsio Lus m persegi pjg Lus yg dibtsi persegi pjg = 02 + 1 2 + 2 2 + + m 2 = 1 (m + 1)m 3 + 1 6m Pd st m semki besr medekti tk higg, mk ( 1 lim m 3 + 1 ) = 1 6m 3 Wllis megguk idivisibles seperti yg dilkuk oleh Cvlieri utuk meghitug rsio lus derh di bwh kurv y = x 2 pd [0, 1] deg lus derh persegi pjg yg megeliligiy. Utuk meghitug rsio dri lus derh di bwh kurv deg persegi pjg yg megeliligiy, Wllis memberik rsio dri kurv deg itervl dlh x 2 : 1 2. Wllis meghitug rsio dri jumlh subitervl deg itervl, sehigg diperoleh utuk N. ( 0 )2 + ( 1 )2 + ( 2 )2 + + ( )2 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 = ( 0 )2 + ( 1 )2 + ( 2 )2 + + ( )2 ( )2 + ( )2 + ( )2 + + ( )2 Pd st semki besr tu medekti tk higg, diperoleh ( 0 lim )2 + ( 1 )2 + ( 2 )2 + + ( )2 ( 0 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 = lim )2 + ( 1 )2 + ( 2 )2 + + ( )2 ( )2 + ( )2 + ( )2 + + ( )2 Kre mk ( 0 )2 + ( 1 )2 + ( 2 )2 + + ( )2 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 = 1 3 + 1 6 ( 0 lim )2 + ( 1 )2 + ( 2 )2 + + ( )2 1 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 = lim 3 + 1 6 = 1 3 Tekik Cvlieri-Wllis dlh sutu tekik utuk megukur lus derh yg dibtsi oleh kurv y = x 2 pd [0, 1], yg berdsrk pd kerj Bovetur
86 Kji Itegrl Cvlieri-Wllis... Cvlieri d Joh Wllis (metode Idivisible). Rsio Cvlirieri-Wllis ( ) dibetuk dri Metode Wllis kedlm betuk pedekt limit dri jumlh, yg dpt ditulis sebgi 1 = 02 + 1 2 1 2 + 1 2 = 1 2 = 1 3 + 1 6 1 2 = 02 + 1 2 + 2 2 2 2 + 2 2 + 2 2 = 5 12 = 1 3 + 1 6 2 3 = 02 + 1 2 + 2 2 + 3 2 3 2 + 3 2 + 3 2 + 3 2 = 14 36 = 1 3 + 1 6 3. =.. = 02 + 1 2 + 2 2 + + 2 2 + 2 + 2 + + 2 = 1 3 + 1 6, N Betuk dpt diekspresik deg fugsi f(x) = x 2 pd [0, 1] yg dibgi mejdi itervl yg sm. = 02 + 1 2 + 2 2 + + 2 2 + 2 + 2 + + 2 = 02 + 1 2 + 2 2 + + 2 2 ( + 1) = = 0 2 2 + 12 2 + 22 2 + + 2 2 ( + 1) deg f mx = 1, sehigg diperoleh ( i + 1 ) 2 ( ) i f = f mx ( + 1) ( ) i f = 1 ( + 1) Jik f fugsi yg terbts pd itervl [0, 1] mk M = f mx, sehigg bis ditulis ( ) i f = (1) M( + 1) deg x i = + (b )i utuk N d M dlh supremum dri fugsi f.
Rt Sri Dewi d Sursii 87 Jik semki besr medekti tk higg, mk x i = x i+1 x i utuk i = 1, 2, k semki kecil dim ( ) ( ) (b )(i + 1) (b )i) x i = + + = b sehigg b lim = 0 Deg demiki persegi empt yg diguk utuk medekti lus derh di bwh kurv, k mejdi gris-gris vertikl yg sejjr di bwh kurv (idivisible). Seljuty k diberik defiisi itegrl Cvlieri-Wllis. Defiisi 3.1 Diberik f : [, b] R fugsi terbts. Itegrl Cvlieri-Wllis dri fugsi f pd [, b] didefiisik sebgi f(x)dx = lim tu b f(x)dx = lim M(+1), deg x (b )i i = + d M dlh supremum dri fugsi f. lim Sutu fugsi terbts f : [, b] R diktk teritegrl Cvlieri-Wllis jik M(+1) d. Setelh megethui defiisi itegrl Cvlieri-Wllis, berikut ii k diberik defiisi itegrl Porter-Wllis. Ak tetpi sebelumy k diberik terlebih dhulu megei jumlh rt-rt tiggi (P W ). Diberik sutu fugsi terbts f : [, b] R, utuk setip N mk jumlh rt-rt tiggi (P W ) didefiisik sebgi P W = M( + 1) (2) deg x 0 =, x 1 = + b,, x = + (b ) = b. Defiisi 3.2 Diberik f : [, b] R dlh fugsi terbts d utuk setip, didefiisik jumlh rt-rt tiggi P W = +1, deg x 0 =,
88 Kji Itegrl Cvlieri-Wllis... x 1 = + b (b ) lim,, x = + (b ) = b. Itegrl Porter-Wllis didefiisik sebgi (+1) tu (b ) lim P W (f) d ditulis sebgi P W f(x)dx. 4. Kit tr Itegrl Cvlieri- Wllis d Itegrl Porter-Wllis deg Itegrl Riem Dri Defiisi 2.2 k dibhs megei keterkit itegrl Cvlieri-Wllis deg jumlh Riem. Jik f fugsi terbts mk M = f mx, sehigg f(x)dx = lim f ( + ) (b ) i f mx ( + 1) f() = lim f mx ( + 1) + lim = lim = lim f() f mx ( + 1) + lim f i=1 ( + ) (b ) i f mx ( + 1) ( + 1)A r R ( + 1)A r R (3) ( deg R = f + b ) ( ) b i dlh jumlh Riem d A r = i=1 f mx (b ) dlh lus re persegi empt deg pjg ls (b ) d tiggi f mx. Utuk medptk hubug tr itegrl Cvlieri-Wllis deg itegrl Porter-Wllis yg merupk betuk ksus tertetu dri itegrl Cvlieri-Wllis, k diurik Defiisi 2.3. P W f(x)dx = (b ) lim ( + 1) = (b )M lim M( + 1) = (b )M lim (4)
Rt Sri Dewi d Sursii 89 Seljuty k diberik teorem megei keterkit tr itegrl Cvlieri-Wllis d itegrl Porter-Wllis deg itegrl Riem. Teorem 4.1 Kels dri fugsi teritegrl Riem berd di dlm kels fugsi teritegrl Cvlieri-Wllis tu Porter-Wllis. Bukti: Utuk membuktik Teorem di ts, k ditujukk bhw lim ((b ) M ) = lim R +1 R +1 dlh jumlh Riem deg +1 prtisi. Mislk f fugsi teritegrl Riem pd [, b] d dlh supremum dri f, mk terdpt prtisi P +1 dri [, b], deg x 0 =, x 1 = + b + 1, x 2(b ) 2 = + + 1, x = + (b ) + 1, x +1 = + ( + 1)(b ) + 1 Jik (ξ 0, ξ 1, ξ 2,, ξ +1 ) dlh sutu bilg sedemiki higg utuk x + k 1 ξ k x k utuk k = 1, 2,, ( + 1), mk +1 f(ξ k ) lim R +1 = (b ) lim k=1 + 1 Mislk dimbil ξ k sedemiki higg ξ k = ξ k 1, sehigg diperoleh +1 f(x k 1 ) lim R +1 = (b ) lim k=1 M( + 1) Dri Persm (1),, x 0 =, x = b d M dlh supremum dri fugsi f. Oleh kre itu utuk yg sgt besr berlku b = b +1, mk lim R +1 = (b )M lim Hl ii berrti bhw jik f fugsi teritegrl Riem mk f jug teritegrl Cvlieri-Wllis. Kre itegrl Porter-Wllis merupk betuk ksus tertetu dri itegrl Cvlieri-Wllis (Persm (4), mk teorem ii berlku jug utuk itegrl Porter-Wllis. Di bwh ii k diberik Teorem Fudmetl Klkulus utuk itegrl Porter-Wllis.
90 Kji Itegrl Cvlieri-Wllis... Teorem 4.2 (Teorem Fudmetl Klkulus utuk Itegrl Porter-Wllis) Diberik f : [, b] R. Jik f kotiu pd [, b] deg d b ggot bilg rel, mk: P W f (x)dx = f(b) f() Bukti: f kotiu pd [, b], meurut Teorem 2.4 f kotiu sergm pd [, b]. Meurut Teorem 4.2 teritegrl Riem. Mislk P := (x 0, x 1,, x ) prtisi yg sm dri [, b], mk f (x i ) P W f (x)dx = (b ) lim P W (f ) = (b ) lim ( + 1) Utuk yg sgt besr, mk utuk t i [x i 1, x i ], deg i = 1, 2,, berlku f (x i ) f (t i ), berdsrk Teorem Nili Tegh, diperoleh P W P W 1 f(x)dx = (b ) lim + 1 f 1 (x)dx = (b ) lim + 1 = (b ) lim f(x i 1 ) x i x i 1 f(x i 1 ) (b ) (f(b) f()) = f(b) f() + 1 Seljuty k dibhs megei sift-sift itegrl Cvlieri-Wllis d itegrl Porter-Wllis. Teorem 4.3 (Sifi-sift Itegrl Cvlieri-Wllis d Porter-Wllis) Diberik f : [, b] R fugsi teritegrl Cvlieri-Wllis, utuk α R, mk d f + g teritegrl Cvlieri-Wllis sert i. αf(x)dx = α( ) f(x)dx ii. (f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx
Rt Sri Dewi d Sursii 91 iii. Jik f(x) 0 utuk semu x I, mk f(x)dx 0 iv. Jik f(x) g(x) utuk semu x I, mk f(x)dx g(x)dx Bukti: i. Ak dibuktik bhw αf(x)dx = α( ) f(x)dx, α R Jik α = 0, mk αf = 0, sehigg αf(x)dx = 0 Jik α > 0, mk αf(x)dx = α lim M( + 1) = α( ) f(x)dx Jik α < 0, mk αf(x)dx = α lim M( + 1) = α( ) f(x)dx ii. Ak dibuktik bhw (f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx
92 Kji Itegrl Cvlieri-Wllis... Kre (f + g)(x) = f(x) + g(x), mk (f + g)(x i ) (f(x) + g(x))dx = lim M( + 1) g(x i ) = lim M( + 1) + M( + 1) = f(x)dx + g(x)dx iii. Ak dibuktik jik f(x) 0 utuk semu x I, mk f(x)dx 0 Kre f(x) 0 utuk semu x I, mk 0 utuk semu x i d M supremum dri f. lim M( + 1) = Kre 0, mk f(x)dx 0 M( + 1) 0, sehigg iv. Ak dibuktik jik f(x) g(x), x I, mk g(x)dx f(x)dx Jik f(x) g(x), x I, mk g(x) f(x) 0, deg megguk Sift iii d ii, diperoleh (g(x) f(x))dx = g(x)dx f(x)dx sehigg f(x)dx g(x)dx Sift-sift ii jug berlku utuk itegrl Porter-Wllis.
Rt Sri Dewi d Sursii 93 5. Peutup Berdsrk pembhs di ts dpt dikethui bhw setip fugsi yg teritegrl Riem mk fugsi tersebut jug teritegrl Cvlieri-Wllis d Porter- Wllis. Akibty kels fugsi teritegrl Riem termsuk dlm kels fugsi teritegrl Cvlieri-Wllis d itegrl Porter-Wllis. Perlu peeliti lebih ljut megei cotoh sutu fugsi yg teritegrl Cvlieri-Wllis d Porter- Wllis tetpi tidk teritegrl Riem. Demiki jug deg keterkit tr itegrl Cvlieri-Wllis d Porter-Wllis deg itegrl Lebesgue. Pustk [1] Brtle, Robert.G. d Sherbet, Dold.R., (1994), Itroductio To Rel Alysis, Joh Wiley d sos. Sigpore. [2] Czroch, B. d Vrud Prbhu. Idivisibles i Cotemporry Clculus, NSF Grt #0126141, ROLE. [3] Czroch, B., Dubisky, E., Loch, S., Prbhu, V. d Vidkowic, D., (2001), Coceptio of Are: I Studet d I history, College Mthemtics Jourl v.32, #3. [4] Prbhu, V., Porter, J. d Czroch, B., (2004), Reserch ito Lerig Clculus, History of Mthemtics d Mthemticl Alysis, ICME-10, e- proceedigs.