APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL PADA UNIT PELAKSANA TEKNIS (UPT) PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

APLIKASI SISTEM ANTRIAN DENGAN SALURAN TUNGGAL PADA UNIT PELAKSANA TEKNIS (UPT) PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG SKRIPSI Diajukan dalam Rangka Penyelesaian Studi Strata 1 untuk Mencapai Gelar Sarjana Sains Oleh Nama : Diah Puspitasari NIM : 4150401031 Prodi : Matematika S1 Jurusan : Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2005

ABSTRAK Dalam kehidupan sehari-hari kita sering terjadi suatu antrian apabila sedang menunggu giliran. Antrian terjadi karena jumlah pelanggan yang dilayani melebihi kapasitas pelayanan. Pada penelitian ini mengambil kasus yang terjadi pada UPT Perpustakaan UNNES Permasalahan dalam penelitian ini bagaimana model antrian di UPT Perpustakaan UNNES, berapa rata-rata jumlah pengunjung di dalam sistem dan antrian pada masing-masing loket, berapa rata-rata waktu pengunjung menunggu di dalam sistem dan antrian pada masing-masing loket, dan berapa persentase waktu menganggur untuk pelayan pada masing-masing loket, dan berapa jumlah pelayan ideal. Tujuan dilakukan penelitian ini untuk mengetahui model antrian pada UPT Perpustakaan UNNES, untuk mengetahui rata-rata jumlah pengunjung rata-rata di dalam sistem dan antrian pada masing-masing loket, untuk mengetahui rata-rata waktu pengunjung menunggu di dalam sistem dan antrian pada masing-masing loket, dan untuk mengetahui persentase waktu menganggur untuk pelayan pada masingmasing loket, dan untuk mengetahui jumlah pelayan ideal. Penelitian yang dilakukan dalam penelitian ini melalui beberapa tahap yaitu perumusan masalah, studi pustaka, dan pemecahan masalah. Untuk pemecahan masalah dilakukan pengumpulan data selama 3 hari. Dari data yang dipeoleh dilakukan analisis data. Langkah-langkah dalam analisis data yaitu menentukan distribusi peluang dari data yang diperoleh dengan uji kebaikan suai khi kuadrat, menentukan model antrian, menghitung rata-rata jumlah pengunjung yang berada dalam sistem dan antrian pada loket yang diteliti, menghitung rata-rata waktu yang dihabiskan seorang pelanggan dalam sistem dan antrian pada loket yang diteliti, dan menghitung persentase menganggur para pelayan pada loket yang diteliti. Dari hasil penelitian diperoleh bahwa sistem antrian pada UPT Perpustakaan UNNES mengikuti sistem antrian tunggal. Waktu antar kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial. 1. Pada loket peminjaman buku Hari,tanggal L L q W (menit) W q (menit) X (%) Senin, 15 Agustus 2005 3,785 2,994 5,988 4,736 20,88 Selasa, 16 Agustus 2005 6,042 5,184 10,101 8,667 14,16 Kamis, 18 Agustus 2005 1,551 0,943 2,660 1,617 39,21 2. Pada loket pengembalian buku Hari,tanggal L L q W (menit) W q (menit) X (%) Senin, 15 Agustus 2005 4,291 3,480 9,174 7,435 18,96 Selasa, 16 Agustus 2005 0,923 0,443 2,358 1,133 51,96 Kamis, 18 Agustus 2005 1,146 0,612 2,544 1,358 46,62 Waktu menunggu yang diinginkan pengunjung tidak lebih dari 15 menit dan waktu menganggur pelayan yang diperbolehkan oleh UPT Perpustakaan UNNES adalah 10% maka banyaknya pelayan ideal pada loket peminjaman buku maupun pada loket pengembalian buku adalah satu orang. Saran yang dapat diberikan yakni perlu adanya peningkatan kualitas pelayanan pada UPT Perpustakaan UNNES dan pada waktu terjadi antrian yang sangat panjang sebaiknya waktu pelayanan dipercepat sehingga tidak mengakibatkan waktu menunggu yang terlalu lama. ii

HALAMAN PENGESAHAN Skripsi dengan judul Aplikasi Sistem Antrian dengan Saluran Tunggal pada Unit Pelaksana Teknis (UPT) Perpustakaan Universitas Negeri Semarang ini telah dipertahankan dihadapan sidang Panitia Ujian Skripsi fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang pada Hari : Rabu Tanggal : 21 Desember 2005 Panitia Ujian Ketua, Sekretaris, Drs. Kasmadi Imam S., M.S Drs. Supriyono, M.Si NIP. 130781011 NIP. 130815345 Pembimbing Utama Anggota Penguji Dra. Nur Karomah D., M.Si Dra. Sunarmi, M.Si NIP. 131876228 NIP. 131763886 Pembimbing Pendamping Dra. Nur Karomah D., M.Si NIP. 131876228 Drs. Supriyono, M.Si Drs. Supriyono., M.Si NIP. 130815345 NIP. 130815345 iii

MOTTO DAN PERSEMBAHAN MOTTO Allah tidak membebani seseorang melainkan dengan kesanggupannya (QS. Al Baqarah : 286) Sesungguhnya bersama kesulitan itu ada kemudahan (QS. Al Insyirah : 6) Bertanyalah kamu kepada ahli ilmu jika kamu tidak tahu (QS. An Nahl : 43) PERSEMBAHAN Kedua orang tuaku tercinta Adik-adikku Mas Agus tersayang Teman seperjuangan Mat 01 B Teman-teman kost Reyna iv

KATA PENGANTAR Puji syukur kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul Aplikasi Sistem Antrian dengan Saluran Tunggal pada Unit Pelaksana Teknis UPT Perpustakaan Universitas Negeri Semarang ini dengan baik. Penyusunan skripsi ini tidak lepas dari bantuan berbagai pihak, untuk itu dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1. Bapak Dr. H. A.T. Soegito, SH, MM, Rektor UNNES 2. Bapak Drs. Kasmadi Imam S, M. S, Dekan FMIPA UNNES. 3. Bapak Drs. Supriyono, M. Si, Ketua Jurusan Matematika FMIPA UNNES. 4. Ibu Dra. Nur Karomah, M. Si dan Bapak Drs. Supriyono, M. Si, yang telah memberikan bimbingan dan pengarahan kepada penulis dalam penyusunan skripsi ini. 5. Bapak Drs. Murgono, SIP, Kepala UPT Perpustakaan UNNES yang telah memberikan ijin kepada penulis dalam melaksanakan penelitian. 6. Semua pihak yang telah membantu dalam penyelesaian skripsi ini. Penulis menyadari sepenuhnya bahwa skripsi ini belum sepenuhnya sempurna, oleh karena itu saran dan kritik yang membangun sangat diharapkan untuk kesempurnaan skripsi ini. Semarang, Oktober 2005 v Penulis

DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL... ABSTRAK... HALAMAN PENGESAHAN... MOTTO DAN PERSEMBAHAN... KATA PENGANTAR... DAFTAR ISI... DAFTAR TABEL... DAFTAR GAMBAR... DAFTAR LAMPIRAN... i ii iii iv v vi viii x xi BAB I PENDAHULUAN... 1 A. Latar Belakang Masalah... 1 B. Permasalahan... 3 C. Batasan Masalah... 3 D. Tujuan dan Manfaat... 4 E. Sistematika Skripsi... 4 BAB II LANDASAN TEORI... 7 A. Distribusi Poisson dan Eksponensial... 7 B. Peran Distribusi Poisson dan Eksponensial... 9 C. Uji Kebaikan Suai... 13 D. Proses Kelahiran-Kematian... 15 E. Teori Antrian... 17 vi

BAB III METODE PENELITIAN... 36 A. Perumusan Masalah... 36 B. Studi Pustaka... 36 C. Pemecahan Masalah... 36 BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN... 39 A. Hasil Penelitian... 39 B. Pembahasan... 56 BAB V PENUTUP... 60 A. Simpulan... 60 B. Saran... 62 DAFTAR PUSTAKA... 63 LAMPIRAN-LAMPIRAN... 64 vii

DAFTAR TABEL Halaman Tabel 4.1 Hasil Penghitungan Rata-rata Waktu Menunggu dalam Antrian untuk Berbagai Nilai s pada Loket Peminjaman Buku Hari Senin, 15 Agustus 2005... 52 Tabel 4.2 Hasil Penghitungan Rata-rata Waktu Menunggu dalam Antrian untuk Berbagai Nilai s pada Loket Peminjaman Buku Hari Selasa, 16 Agustus 2005... 53 Tabel 4.3 Hasil Penghitungan Rata-rata Waktu Menunggu dalam Antrian untuk Berbagai Nilai s pada Loket Peminjaman Buku Hari Kamis, 18 Agustus 2005... 53 Tabel 4.4 Hasil Penghitungan Rata-rata Waktu Menunggu dalam Antrian untuk Berbagai Nilai s pada Loket Pengembalian Buku Hari Senin, 15 Agustus 2005... 53 Tabel 4.5 Hasil Penghitungan Rata-rata Waktu Menunggu dalam Antrian untuk Berbagai Nilai s pada Loket Pengembalian Buku Hari Selasa, 16 Agustus 2005... 54 Tabel 4.6 Hasil Penghitungan Rata-rata Waktu Menunggu dalam Antrian untuk Berbagai Nilai s pada Loket Pengembalian Buku Hari Kamis, 18 Agustus 2005... 54 Tabel 4.7 Hasil Penghitungan Persentase Waktu Menganggur Pelayan untuk Berbagai Nilai s pada Loket Peminjaman Buku Hari Senin, 15 Agustus 2005... 55 Tabel 4.8 Hasil Penghitungan Persentase Waktu Menganggur Pelayan untuk Berbagai Nilai s pada Loket Peminjaman Buku Hari Selasa, 16 Agustus 2005... 55 Tabel 4.9 Hasil Penghitungan Persentase Waktu Menganggur Pelayan untuk Berbagai Nilai s pada Loket Peminjaman Buku Hari Kamis, 18 Agustus 2005... 55 viii

Tabel 4.10 Hasil Penghitungan Persentase Waktu Menganggur Pelayan untuk Berbagai Nilai s pada Loket Pengembalian Buku Hari Senin, 15 Agustus 2005... 56 Tabel 4.11 Hasil Penghitungan Persentase Waktu Menganggur Pelayan untuk Berbagai Nilai s pada Loket Pengembalian Buku Hari Selasa, 16 Agustus 2005... 56 Tabel 4.12 Hasil Penghitungan Persentase Waktu Menganggur Pelayan untuk Berbagai Nilai s pada Loket Pengembalian Buku Hari Kamis, 18 Agustus 2005... 56 ix

DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 2.1 Struktur Dasar Antrian... 18 Gambar 2.2 Sistem Antrian Dasar... 21 Gambar 2.3 Skema Antrian Satu Saluran Satu Tahap... 21 Gambar 2.4 Skema Antrian Banyak Saluran Satu Tahap... 22 Gambar 2.5 Skema Antrian Satu Saluran Banyak Tahap... 22 Gambar 2.6 Skema Antrian Banyak Saluran Banyak Tahap... 22 x

DAFTAR LAMPIRAN Halaman Lampiran 1. Data Penelitian Loket Peminjaman Buku UPT Perpustakaan UNNES... 64 Lampiran 2. Data Penelitian Loket Pengembalian Buku UPT Perpustakaan UNNES... 70 Lampiran 3. Data Penelitian Per Interval waktu Lima Menit Loket Pemunjaman buku... 76 Lampiran 4. Data Penelitian Per Interval waktu Lima Menit Loket Pengembalian buku... 77 Lampiran 5. Hasil Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat Kedatangan Pengunjung Loket Peminjaman Buku UPT Perpustakaan UNNES... 78 Lampiran 6. Hasil Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat Kedatangan Pengunjung Loket Pengembalian Buku UPT Perpustakaan UNNES... 80 Lampiran 7. Hasil Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat Waktu Pelayanan Loket Peminjaman Buku UPT Perpustakaan UNNES... 81 Lampiran 8. Hasil Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat Waktu Pelayanan Loket Pengembalian Buku UPT Perpustakaan UNNES... 82 Lampiran 9. Tabel Distribusi Khi Kuadrat... 83 Lampiran 10 Angket Pengunjung UPT Perpustakaan UNNES... 84 xi

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Dalam kehidupan sehari-hari, setiap manusia pasti dihadapkan pada sebuah situasi yang mengharuskannya untuk menunggu. Fenomena menunggu adalah hasil langsung dari keacakan dalam operasi pelayanan. Sangat menyenangkan jika diberi pelayanan tanpa ada keharusan untuk menunggu. Akan tetapi suka atau tidak, menunggu merupakan bagian dalam kehidupan sehari-hari. Menunggu dapat diidentikkan dengan suatu proses antrian yang tentunya memiliki permasalahan yangt dapat dipecahkan. Salah satu ilmu yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah antrian adalah matematika. Secara garis besar matematika dibagi menjadi dua yaitu matematika murni (pure mathematics) dan matematika terapan (applied mathematics). Teori antrian merupakan salah satu cabang dari matematika terapan yang sering digunakan aplikasinya. Teori antrian adalah teori yang mencakup studi matematis dari antrianantrian atau baris-baris penungguan. Formasi baris-baris penungguan ini tentu saja merupakan suatu fenomena yang bisa terjadi apabila kebutuhan akan suatu pelayanan melebihi kapasitas yang tersedia untuk menyelenggarakan pelayanan itu. Keputusan-keputusan yang berkenaan dengan jumlah kapasitas ini harus dapat dibuat suatu prediksi yang tepat mengenai kapan unit-unit yang membutuhkan pelayanan itu akan datang dan atau berapa lama waktu yang diperlukan untuk menyelenggarakan pelayanan itu. 1

2 Pelaku-pelaku utama dalam sebuah situasi antrian adalah pelanggan (customer) dan pelayan (server). Dalam model antrian, interaksi antara pelanggan dan pelayan adalah dalam kaitannya dengan periode waktu yang diperoleh pelanggan untuk menyelesaikan sebuah pelayanan. Jadi, dari sudut pandang kedatangan pelanggan yang diperhitungkan adalah interval waktu yang memisahkan kedatangan yang berturut-turut. Juga dalam pelayanan,yang diperhitungkanadalah waktu pelayanan per pelanggan. Dalam model-model antrian,kedatangan pelanggan dan waktu pelayanan diringkaskan dalam distribusi probabilitas yang umumnya disebut sebagai distribusi kedatangan (arrival distribution) dan distribusi waktu pelayanan (service time distribution). Teori antrian dengan saluran tunggal merupakan teori tentang kedatangan pelanggan dari satu barisan yang dilayani oleh seorang pelayan. Antrian dengan saluran tunggal hanya membutuhkan satu pelayan dengan satu garis antrian. Unit Pelaksana Teknis (UPT) Perpustakaan Universitas Negeri Semarang (UNNES) merupakan unit sarana pelayanan yang dimiliki UNNES. Sarana pelayanan tersebut bertujuan menyediakan bahan pustaka sesuai dengan kebutuhan dan mengorganisasi bahan-bahan pustaka tersebut supaya mudah digunakan. Bahan pustaka tersebut juga dapat mendorong mahasiswa untuk belajar sesuai dengan kurikulumnya. UPT Perpustakaan UNNES memiliki dua ruang pelayanan perpustakaan yaitu pelayanan sirkulasi dan pelayanan referensi. Dari pengamatan di UPT Perpustakaan UNNES, pada ruang pelayanan sirkulasi ditemukan sejumlah

3 antrian. Antrian tersebut bersumber dari satu saluran. Melalui penelitian ini akan dikaji sistem antrian di ruang pelayanan sirkulasi yaitu pada loket peminjaman buku dan loket pengembalian buku. B. Permasalahan Permasalahan dalam penelitian ini sebagai berikut. 1. Bagaimana model antrian di UPT Perpustakaan UNNES? 2. Berapa rata-rata jumlah pengunjung di dalam sistem dan antrian pada loket peminjaman dan loket pengembalian buku? 3. Berapa rata-rata waktu pengunjung menunggu di dalam sistem dan antrian pada loket peminjaman dan loket pengembalian buku? 4. Berapa persentase waktu menganggur untuk pelayan pada loket peminjaman dan loket pengembalian buku? 5. Berapa jumlah pelayan ideal pada loket peminjaman dan loket pengembalian buku? C. Batasan permasalahan Batasan masalah yang digunakan dalam penelitian ini adalah 1. Permasalahan dan data yang diambil hanya pada loket peminjaman buku dan pengembalian buku pada UPT Perpustakaan Universitas Negeri Semarang. 2. Penelitian dilakukan selama 3 hari pada pukul 09:00 11:00 di UPT Perpustakaan Universitas Negeri Semarang. D. Tujuan dan Manfaat 1. Tujuan Berdasarkan rumusan permasalahan, penelitian ini bertujuan

4 a. Untuk mengetahui model antrian pada UPT Perpustakaan UNNES. b. Untuk mengetahui rata-rata jumlah pengunjung rata-rata di dalam sistem dan antrian pada loket peminjaman dan loket pengembalian buku. c. Untuk mengetahui rata-rata waktu pengunjung menunggu di dalam sistem dan antrian pada loket peminjaman dan loket pengembalian buku. d. Untuk mengetahui persentase waktu menganggur untuk pelayan pada loket peminjaman dan loket pengembalian buku. e. Untuk mengetahui jumlah pelayan ideal pada loket peminjaman dan loket pengembalian buku. 2. Manfaat Manfaat dari penelitian yang dilakukan adalah a. Sebagai penerapan teori yang diperoleh selama kegiatan perkuliahan ke dalam praktik yang sebenarnya, serta sebagai pengalaman dalam menganalisis suatu masalah secara ilmiah. b. Sebagai bahan pertimbangan dalam pengambilan keputusan dalam menentukan jumlah pelayan ideal pada UPT Perpustakaaan Universitas Negeri Semarang. E. Sistematika Skripsi Secara garis besar sistematika penulisan skripsi ini dibagi menjadi tiga bagian yaitu bagian awal skripsi, bagian isi skripsi, dan bagian akhir skripsi. 1. Bagian Awal Skripsi

5 Bagian awal skripsi ini berisi halaman judul skripsi, abstrak, halaman pengesahan, motto dan persembahan, kata pengantar, daftar isi, daftar tabel, daftar gambar, dan daftar lampiran. 2. Bagian Inti Skripsi Bagian inti merupakan bagian pokok dalam skripsi yang terdiri dari lima bab, yaitu : BAB I Pendahuluan Bab ini berisi latar belakang masalah, permasalahan, batasan masalah, tujuan dan manfaat, dan sistematika skripsi. BAB II Landasan Teori Di dalam landasan teori ini akan dibahas tentang distribusi Poisson dan Eksponensial, peran distribusi Poisson dan Eksponensial, uji kebaikan-suai, proses kelahiran kematian, dan teori antrian. BAB III Metode Penelitian Di dalam bab ini dikemukakan metode penelitian yang berisi langkah-langkah yang ditempuh untuk memecahkan masalah yaitu, perumusan masalah, studi pustaka, pemecahan masalah. BAB IV Hasil Penelitian dan Pembahasan Bab ini berisi hasil penelitian dan pembahasan. BAB V Penutup Bab ini berisi simpulan dan saran

6 3. Bagian Akhir Skripsi Bagian ini berisi daftar pustaka yang digunakan sebagai acuan dan lampiran-lampiran yang melengkapi uraian bagian isi.

BAB II LANDASAN TEORI A. Distribusi Poisson dan Eksponensial 1. Distribusi Poisson Suatu eksperimen yang menghasilkan jumlah sukses yang terjadi pada interval waktu ataupun daerah yang spesifik dikenal sebagai eksperimen Poisson. Interval waktu tersebut dapat merupakan menit, hari, minggu, bulan, maupun tahun, sedangkan daerah yang spesifik dapat berarti garis, luas, sisi, maupun sebuah material.(dimyati, 1999:309) Sifat suatu eksperimen Poisson (Dimyati, 1999:309) adalah sebagai berikut. a. Jumlah sukses yang tejadi pada interval waktu atau daerah yang tertentu bersifat independen terhadap yang terjadi pada interval waktu atau daerah tertentu yang lain. b. Besar kemungkinan terjadinya sukses pada interval waktu atau daerah tertentu yang sempit, proporsional dengan panjang jangka waktu ataupun ukuran daerah terjadinya sukses tersebut. c. Besar kemungkinan terjadinya lebih dari satu sukses pada interval waktu yang singkat ataupun daerah yang sempit, diabaikan. Variabel random diskrit X dikatakan mempunyai distribusi Poisson dengan parameter λ jika fungsi kepadatan peluangnya sebagai berikut. 7

8 x λ e f (x) = x! 0 λ, x = 0,1, 2,..., x yang lain (Djauhari, 1997:163-164) Parameter λ merupakan rata- rata banyaknya sukses dalam suatu selang. Parameter λ juga merupakan mean dan variansi dari X. 2. Disribusi Eksponensial Distribusi eksponensial digunakan untuk menggambarkan distribusi waktu pada fasilitas jasa pengasumsian bahwa waktu pelayanan bersifat acak. Artinya, waktu untuk melayani pendatang tidak tergantung pada pada banyaknya waktu yang telah dihabiskan untuk melayani pandatang sebelumnya, dan tidak bergantung pada jumlah pendatang yang sedang menunggu untuk dilayani. Variabel random kontinu X memiliki distribusi Eksponensial dengan L parameter ( ) q= 1-nP n n1 =, jika fungsi kepadatan peluangnya sebagai berikut. = Pn n P n n= 1 n= 0 - x λ e λ ;untuk x > 0, λ > 0 f ( x) = 0 ;untuk x yang lain (Djauhari, 1997:175-176 ) disini, X dapat menyatakan waktu yang dibutuhkan sampai terjadi satu kali sukses dengan λ= rata-rata banyaknya sukses dalam selang waktu satuan. B. Peranan Distribusi Poisson dan Eksponensial Pada situasi antrian dimana kedatangan dan kepergian (kejadian) yang timbul selama satu interval waktu dikendalikan dengan kondisi berikut ini.

9 Kondisi 1: Probabilitas dari sebuah kejadian (kedatangan dan kepergian) yang timbul antara t dan t + Δt bergantung hanya pada panjangnya Δt, yang berarti bahwa probabilitas tidak bergantung pada t atau jumlah kejadian yang timbul selama periode waktu (0, t). Kondisi 2: Probabilitas kejadian yang timbul selama interval waktu yang sangat kecil h adalah positif tetapi kurang dari satu. Kondisi 3: Paling banyak satu kejadian dapat timbul selama interval waktu yang sangat kecil h Ketiga kondisi di atas menjabarkan sebuah proses dimana jumlah kejadian selama interval waktu yang berturut-turut adalah Ekponensial. Dengan kasus demikian, dapat dikatakan bahwa kondisi-kondisi tersebut mewakili proses Poisson. Definisikan P n (t) = probabilitas kejadian n yang timbul selama waktu t Kemudian, berdasarkan kondisi 1, probabilitas tidak adanya kejadian yang timbul selama t + h adalah P 0 (t + h) = P 0 (t)p 0 (h) ( 2.1 ) (Taha, 1999:179) Untuk h > 0 dan cukup kecil, kondisi 2 menunjukkan bahwa 0 < P 0 (h) < 1. Berdasarkan kondisi ini, persamaan diatas memiliki pemecahan sebagai berikut. P 0 (t) = e -αt, t 0 ( 2.2 ) dimana α adalah konstanta positif.

10 Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa proses yang dijabarkan dengan P n (t), interval waktu antara beberapa kejadian yang berturut-turut adalah Eksponensial. Dengan menggunakan hubungan yang diketahui antara Eksponensial dan Poisson, kemudian dapat disimpulkan bahwa P n (t) pastilah poisson. Anggaplah f(t) merupakan fungsi kepadatan peluang dari interval waktu antar pemunculan kejadian yang berturut-turut, t 0 Misalkan bahwa t adalah interval waktu sejak pemunculan kejadian terakhir, maka pernyataan berikut ini berlaku Waktu antar kejadian Tidak ada kejadian P = P melebihi T sebelum T Pernyataan ini dapat diterjemahkan menjadi f ( t) dt = P0 ( T ) ( 2.3 ) T Dengan mensubstitusikan persamaan 2.2 dengan persamaan 2.3, maka akan diperoleh T f αt ( t) dt = e, T > 0 ( 2.4 ) atau f ( t) dt = 1 e 0 T αt, T > 0 ( 2.5 ) dengan mengambil derivatif dari kedua sisi dalam kaitannya denagan T pada persamaan 2.5, diperoleh f(t) = αe -αt, t 0 ( 2.6 )

11 yang merupakan sebuah fungsi kepadatan peluang dari distribusi Eksponensial 1 dengan mean E () t = unit waktu. α Dengan diketahui bahwa f(t) merupakan sebuah distribusi Eksponensial, teori peluang dapat menjelaskan bahwa P n (t) adalah fungsi kepadatan peluang dari distribusi Poisson,yaitu: n αt ( αt) e Pn ( t) =, n = 0, 1, 2, ( 2.7 ) n! Nilai mean dari n selama periode waktu tertentu t adalah E{n t} = α t kejadian. Ini berarti bahwa α mewakili laju timbulnya kejadian. Kesimpulan dari hasil diatas adalah bahwa jika interval waktu antara 1 beberapa kejadian yang berturut-turut adalah Eksponensial dengan mean α unit waktu, maka jumlah kejadian dalam satu periode waktu tertentu pastilah Poisson dengan laju pemunculan rata-rata (kejadian per unit waktu) α, dan sebaliknya. Distribusi Poisson merupakan proses yang sepenuhnya acak (completely random process), karena memiliki sifat bahwa interval waktu yang tersisa sampai pemunculan kejadian berikutnya sepenuhnya tidak bergantung pada interval waktu yang telah berlalu. Sifat ini setara dengan pembuktian pernyataan probabilitas berikut ini. P (t > T + S t > S) = P (t > T) ( 2.8 ) Dimana S adalah interval waktu antara pemunculan kejadian terakhir. Karena t bersifat Eksponensial, maka

12 P (t > T + S t > S) = = P (t > T + S, t > S) P (t > S) P (t > T + S) P(t > S) e e α (T+ S) = αs = e -αt = P ( t > T ) ( 2.9 ) Sifat ini disebut sebagai forgetfullness atau lack of memory dari distribusi eksponensial, yang menjadi dasar untuk menunjukkan bahwa distribusi poisson sepenuhnya bersifat acak. Satu ciri unik lainnya dari distribusi poisson adalah bahwa ini adalah merupakan distribusi dengan mean yang sama dengan varian. Sifat ini kadangkadang digunakan sebagai indikator awal dari apakah sebuah sampel data ditarik dari sebuah distribusi poisson. (Taha, 1999: 178-180) C. Uji Kebaikan-Suai Uji kebaikan-suai (goodness of fit test) adalah uji yang dilakukan untuk menentukan distribusi probabilitas dari data yang dipereoleh dengan membandingkan frekuensi teoritis atau frekuensi yang diharapkan (Guttman, 1982:287) Gagasan untuk membandingkan distribusi empiris dan distribusi teoritis adalah dasar untuk uji Kolmogorov-Smirnov (K-S). Uji ini hanya

13 dapat diterapkan untuk variabel acak kontinu, memanfaatkan sebuah statistik untuk menerima atau menolak distribusi yang dihipotesiskan dengan tingkat signifikansi tertentu. Uji statistik lainnya yang berlaku untuk variabel diskrit maupuin kontinu adalah uji khi-kuadrat. Uji ini didasari oleh perbandingan fungsi kepadatan probabilitas, daripada fungsi kepadatan kumulatif seperti dalam uji K-S (Taha, 1997: 10-11). 1. Uji Kebaikan-Suai Kolmogorov-Smirnov Nilai K-S hitung dalam pengujian statistik dengan uji K-S diberi simbol D yang dapat diperoleh dengan menggunakan rumus D = max f e - f o ( 2.10 ) (Siegel, 1994:59) D adalah deviasi absolut yang tertinggi, berupa selisih tertinggi antara frekuensi harapan (f e ) dengan frekuensi teoritis (f o ) Dalam uji Kolmogorov-Smirnov, H 0 diterima apabila nilai D hitung lebih kecil dari nilai kritis D (D tabel). Nilai kritis D dapat diketahui melalui tabel Kolmogorov-Smirnov. 2. Uji Kebaikan Suai Khi-Kuadrat a. Uji Kebaikan-Suai Khi- Kuadrat terhadap peristiwa yang berdistribusi Poisson. Misalkan variabel random X berdistribusi Poisson. Untuk menghitung frekuensi harapan (f e ) digunakan fungsi kepadatan probabilitas dari distribusi Poisson. p(x) = x λ e x! -λ x = 0,1, 2,...,m ( 2.11 ) sehingga untuk sejumlah n frekuensi observasi (f 0 ), maka

14 f e = n p(x) ( 2.12 ) Nilai khi-kuadrat hitung (χ 2 ) dihitung dengan rumus sebagai berikut. m 2 2 (f0 fe) χ = ( 2.13 ) f x = 0 e dengan m adalah jumlah sel atau baris yang dipergunakan dalam mengembangkan fungsi kepadatan empiris. (Agus Setiawan, 2003:16) b. Uji Kebaikan-Suai Khi-Kuadrat terhadap kejadian yang berdistribusi Eksponensial Misalkan variabel acak X berdistribusi Eksponensial. Frekuensi teoritis (f e ) yang berkaitan dengan interval [I i 1, I i ] dihitung sebagai f i = n f(t) dt, i 1, 2,...,m ( 2.14 ) e = i-1 dengan m adalah banyaknya interval yang digunakan. Sedangkan f(t) adalah fungsi kepadatan peluang dari distribusi Eksponensial dengan parameter μ. f(t) = μ e -μt t > 0, μ > 0 ( 2.15 ) Dengan demikian diperoleh f e -μ (I ) - (I ) n(e i -1 μ i = e ) ( 2.16 ) Nilai khi-kuadrat hitung diperoleh dengan menggunakan rumus berikut. m 2 2 (f0 fe) χ = ( 2.17 ) f x = 0 e

15 (Taha, 1997:11-12) Dalam uji kebaikan-suai khi-kuadrat, keputusan diambil berdasarkan hipotesis penelitian yang telah dirumuskan sebelumnya. H 0 diterima jika harga χ 2 tabel dengan derajat kebebasan dk = m - k 1 dan dengan tingkat signifikansi α, dengan m adalah jumlah baris yang digunakan dan k adalah jumlah parameter yang diestimasi dari data mentah untuk dipergunakan dalam mendefinisikan distribusi teoritis yang bersangkutan. D. Proses Kelahiran-Kematian 1. Proses Kelahiran-Kematian Markov Suatu proses pertumbuhan adalah suatu proses Markov jika probabilitas-probabilitas transisi untuk bergerak dari suatu keadaan ke keadaan lainnya hanya bergantung pada keadaan sekarang dan tidak pada bagaimana keadaan sekarang dicapai. Secara lebih formal, suatu proses kelahiran-kematian Markov memenuhi kriteria-kriteria sebagai berikut. a. Distribusi-distribusi probabilitas yang menentukan jumlah kelahiran dan kematian dalam suatu selang waktu tertentu hanya bergantung pada panjang selangnya dan tidak ada titik awalnya. b. Probabilitas untuk terjadi satu kelahiran saja dalam suatu selang waktu t jika pada titik awal selang terdapat suatu populasi dengan n anggota adalah λ n t + 0( t), dengan λ n adalah suatu konstanta, yang dapat saja berbeda untuk n yang berbeda.

16 c. Probabilitas untuk terjadi satu kematian saja dalam selang waktu Δt jika pada titik awal selang terdapat suatu populasi dengan n anggota adalah μ n Δt + 0 (Δt), dengan μ n adalah suatu konstanta, yang dapat saja berbeda untuk n yang berbeda. d. Probabilitas untuk terjadinya lebih dari satu kelahiran atau kematian dalam suatu selang waktu adalah 0 (Δt). Untuk Δt 0 maka kriteria proses kelahiran-kematian Markov menurunkan persamaan Kolmogorov. Persamaan Kolmogorov untuk peluang keadaan sebagai berikut. d P n (t) = -(λn + μn) Pn (t) + μ n+1 P n+1 (t) - (λ n-1 + μ n-1 ) P n-1 (t) ( 2.18 ) dt (Wospakrik, 1996:297) b. Proses Kelahiran-Kematian Poisson Suatu proses kelahiran-kematian Poisson adalah suatu proses kelahiran-kematian Markov dimana probabilitas dari suatu kematian dan probabilitas dari suatu kelahiran kedua-duanya dalam sebarang selang waktu yang kecil tidak bergantung pada ukuran populasinya, yakni λ n = λ dan μ n = μ untuk semua n. (Wospakrik, 1996:300) E. Teori antrian Teori antrian adalah teori yang menyangkut studi matematis dari antrian atau baris-baris penungguan. Formasi baris-baris penungguan ini tentu saja merupakan suatu fenomena yang biasa terjadi apabila kebutuhan akan

17 suatu pelayanan melebihi kapasitas yang tersedia untuk menyelenggarakan pelayanan itu. Keputusan-keputusan yang berkenaan dengan jumlah kapasitas ini harus dapat ditentukan, walaupun sebenarnya tidak mungkin dapat dibuat suatu prediksi yang tepat mengenai kapan unit-unit yang membutuhkan pelayanan itu akan datang dan atau berapa lama waktu yang diperlukan untuk menyelenggarakan pelayanan itu (Dimyati, 1999:349). Suatu proses antrian (queueing process) adalah suatu proses yang berhubungan dengan kedatangan seorang pelanggan pada suatu fasilitas pelayanan, kemudian menunggu dalam suatu baris (antrian) jika seua pelayannya sibuk, dan akhirnya meninggalkan fasilitas tersebut. Sebuah sistem antrian adalah suatu himpunan pelanggan, pelayan, dan suatu aturan yang mengatur kedatangan para pelanggan. (Wospakrik, 1996:302) Sebuah sistem antrian adalah suatu proses kelahiran-kematian dengan suatu populasi yang terdiri atas pelanggan yang sedang menunggu mendapatkan pelayanan atau yang sedang dilayani. Suatu kelahiran terjadi apabila seorang pelanggan tiba di suatu fasilitas pelayanan, sedangkan apabila pelanggannya meninggalkan fasilitas tersebut maka terjadi suatu kematian. Keadaan sistem adalah jumlah pelanggan dalam suatu fasilitas pelayanan. (Wospakrik, 1996:302) 1. Struktur Dasar Model Antrian Proses yang terjadi pada proses antrian dapat digambarkan sebagai berikut

18 unit-unit yang membutuhkan pelayanan Sumber input (pelanggan) antrian mekanisme pelayanan unit-unit yang telah dilayani sistem antrian Gambar 2.1 Struktur dasar antrian Unit-unit (langganan) yang memerlukan pelayanan diturunkan dari suatu sumber input memasuki sistem antrian dan ikut dalam antrian. Dalam waktu-waktu tertentu, anggota antrian ini dipilih untuk dilayani. Pemilihan ini didasarkan pada suatu aturan tertentu yang disebut disiplin pelayanan. Pelayanan yang diperlukan dilaksanakan dengan suatu mekanisme pelayanan tertentu. Setelah itu unit (langganan) tersebut meninggalkan sistem antrian. Suatu karakteristik yang perlu diketahui dari sumber input ini ialah ukurannya (jumlahnya), yaitu jumlah total unit yang memerlukan pelayanan dari waktu ke waktu atau disebut jumlah total langganan potensial. Ini bisa dianggap terbatas atau tidak terbatas. Karena perhitungannya akan lebih mudah untuk jumlah unit yang tidak terbatas, asumsi ini sering digunakan. Pola statistik dari penurunan unit-unit yang memerlukan pelayanan ini harus juga ditentukan. Dalam hal ini, asumsi yang biasa digunakan adalah unit-unit ini diturunkan dengan mengikuti proses Poisson, artinya sampai suatu waktu tertentu jumlah unit yang diturunkan ini mempunyai distribusi Poisson. Ini adalah suatu kasus dimana kedatangan pada sistem

19 antrian terjadi secara random, tetapi dengan tingkat rata-rata tertentu. Asumsi berikutnya adalah bahwa distribusi kemungkinan dari waktu antar kedatangan adalah distribusi Eksponensial Karakteristik suatu antrian ditentukan oleh jumlah unit maksimum yang boleh ada di dalam sistemnya. Antrian ini dikatakan terbatas atau tidak terbatas, bergantung pada jumlah unitnya terbatas atau tidak terbatas.disiplin pelayanan berkaitan dengan cara memilih anggota antran yang akan dilayani. Sebagai contoh, disiplin pelayanan ini dapat berupa first come-first served (yang datang lebih dahulu dilayani lebih dahulu), atau random, atau dapat pula berdasarkan prosedur prioritas tertentu. Jika tidak ada keterangan apa-apa maka asumsi yang biasa digunakan adalah first come first served. Mekanise pelayanan terdiri atas satu atau lebih fasilitas pelayanan yang masing-masing terdiri atas satu atau lebih aturan pelayanan paralel. Jika ada lebih dari satu fasilitas pelayanan maka unit-unit yang memerlukan pelayanan akan dilayani oleh serangkaian fasilitas pelayanan ini (saluran pelyanan seri). Pada fasilitas pelayanan seperti ini,unit yang memerlukan pelayanan memasuki salah satu saluran pelayanan paralel dan dilayani sepenuhnya oleh pelayan yang bersangkutan. Suatu model antrian harus menetapkan urutan-urutan fasilitas semacam itu sekaligus dengan jumlah pelayanan pada masing-masing saluran paralelnya. Kebanyakan model-model dasar mengasumsikan satu fasilitas pelayanan dengan satu atau beberapa pelayan.

20 Waktu yang digunakan sejak pelayanan dimulai sampai satu unit selesai dilayani disebut sebagai waktu pelayanan. Biasanya diasumsikan bahwa distribusi kemungkinan dari waktu pelayanan ini adalah distribusi Eksponensial. (Dimyati, 1999:349-352) 2. Proses Antrian Dasar Suatu garis penungguan tunggal (yang pada suatu saat bisa juga kosong) terbentuk di depan suatu fasilitas pelayanan tunggal dimana ada satu atau beberapa pelayan. Setiap unit (langganan) yang diturunkan oleh suatu sumber input dilayani oleh salah satu dari pelayan-pelayan yang ada, mungkin setelah unit itu menunggu dalam antrian (garis penungguan). Sistem antrian semacam itu dapat digambarkan sebagai berikut.(dimyati, 1999:352) Langganan yang telah dilayani C C C C C C C C C P P P P fasilitas pelayanan Langganan yang telah dilayani Gambar 2.2 Sistem antrian dasar

21 3. Model-model Sistem Antrian Menurut Mulyono (2002:287), proses antrian pada umumnya dikelompokkan ke dalam empat struktur dasar menurut sifat-sifat fasilitas pelayanan, yaitu: a. Satu saluran satu tahap kedatangan pelanggan antrian pelayan sistem antrian b. Banyak saluran satu tahap Gambar 2.3 Skema antrian satu saluran satu tahap kedatangan pelanggan antrian pelayan c. Satu saluran banyak tahap sistem antrian Gambar 2.4 Skema antrian banyak saluran satu tahap kedatangan pelanggan antrian pelayan sistem antrian Gambar 2.5 Skema Antrian satu saluran banyak tahap

22 d. Banyak saluran banyak tahap kedatangan pelanggan antrian pelayan sistem antrian Gambar 2.6 Skema antrian banyak saluran banyak tahap 4. Terminologi dan notasi Terminologi dan notasi yang digunakan dalam sistem antrian adalah sebagai berikut. Keadaan sistem Panjang antrian En P n (t) : jumlah pelanggan pada sistem antrian. : jumlah pelanggan yang menunggu pelayanan : keadaan dimana ada n pelanggan pada sistem antrian. : kemungkinan bahwa tepat ada n pelanggan dalam sistem antrian pada saat t s : jumlah pelayan pada sistem antrian. λ n : laju kedatangan rata-rata (ekspektasi jumlah kedatangan per satuan waktu) dari pelanggan baru jika ada n pelanggan dalam sistem. μ n : laju pelayanan rata-rata (ekspektasi jumlah pelanggan yang dapat selesai dilayani per satuan waktu) jika ada n pelanggan dalam sistem.

23 Jika λ n adalah konstan untuk semua n, maka dapat ditulis sebagai λ. Jika μ n konstan untuk semua n 1, maka dapat ditulis sebagai μ. Disini μ n = s μ jika n s sehingga seluruh pelayan (sejumlah s) sibuk. Dalam hal ini λ 1 menyatakan ekspektasi waktu diantara kedatangan, sedangkan 1 menyatakan ekspektasi waktu pelayanan. μ λ ρ = adalah faktor penggunaan (utilisasi) untuk fasilitas pelayanan, sμ yaitu ekspektasi perbandingan dari waktu sibuk para pelayan. Jika suatu sistem antrian telah mulai berjalan, keadaan sistem (jumlah unit dalam sistem) akan sangat dipengaruhi oleh state (keadaan) awal dan waktu yang telah dilalui. Dalam keadaan seperti ini, sistem dikatakan dalam kondisi transien. Tetapi, lama kelamaan keadaan sistem akan independen terhadap state awal tersebut, dan juga terdapat waktu yang dilaluinya. Keadaan sistem seperti ni dikatakan berada dalam kondisi steady state. Teori antrian cenderung memusatkan pada kondisi steady state, sebab kondisi transien lebih sukar dianalisis. Notasi-notasi berikut ini digunakan untuk sistem dalam kondisi steady state: P n L L q : kemungkinan bahwa tepat ada n pelanggan dalam sistem antrian. : rata-rata banyaknya pelanggan dalam sistem : rata-rata panjang antrian

24 W : rata-rata waktu yang dihabiskan oleh seorang pelanggan dalam sistem W q : rata-rata waktu yang dihabiskan oleh seorang pelanggan dalam antrian W(t) : peluang bahwa seorang pelanggan menghabiskan waktu lebih dari t dalam sistem W q (t) : peluang bahwa seorang pelanggan menghabiskan waktu lebih dari t dalam antrian Berikut ini akan di uraikan hubungan antara L dan W. Asumsikan bahwa λ n adalah konstan untuk semua n sehingga cukup ditulis λ. Maka dalam proses antrian yang steady state didapat L = λ W ( 2.19 ) L q = λ W q ( 2.20) Kemudian diasumsikan bahwa waktu pelayanan rata-rata adalah konstan 1 untuk semua n 1 sehingga cukup ditulis sebagai, maka μ W = W q + μ 1 ( 2.21 ) kalikan dengan λ, didapat: L = L q + ρ ( 2.22 ) (Dimyati, 1999:353-355) 5. Notasi Kendall Terdapat banyak variasi yang mungkin dari model antrian. Ciri-ciri dari masing-masing model akan diringkas dalam notasi Kendall yang diperluas. Notasi tersebut dituliskan dengan (a / b / c) : (d / e / f)

25 dimana simbol-simbol a, b, c, d, e, dan f adalah unsur-unsur dasar dari model antrian sebagai berikut. a : distribusi kedatangan b : distribusi waktu pelayanan c : jumlah pelayan d : peraturan pelayanan (misalnya PMPK, TMPK, Prioritas) e : jumlah pelanggan maksimum (dalam antrian dan sistem) f : ukuran sumber pemanggilan. (Mulyono, 2002:293) Notasi baku yang mengganti simbol a dan b untuk distribusi kedatangan dan keberangkatan sebagai berikut. M : kedatangan atau keberangkatan berdistribusi Poisson (waktu antar kedatangan atau waktu pelayanan berdistribusieksponensial). D : waktu antar kedatangan atau waktu pelayanan yang konstan atau deterministik Ek : waktu antar kedatangan atau waktu pelayanan berdistribusi Erlang atau Gamma dengan parameter k. GI : distribusi independen umum dari kedatangan. G : distribusi umum dari keberangkatan. (Taha, 1997:186) Notasi baku yang mengganti simbol d untuk peraturan pelayanan adalah umum (GD) dalam arti bahwa peraturan tersebut dapat PMPK, TMPK, Prioritas, atau prosedur apapun yang dapat digunakan oleh para pelayan untuk memutuskan urutan pelanggan yang dilayani dalam antrian. 6. Peluang keadaan tunak Jika sistem antrian telah mencapai kondisi steady state (kedaan tunak), maka probabilitas {P n (t)} menjadi konstan dan independen

26 terhadap waktu. Solusi steady state untuk P n ini bisa didapat dengan d P (t) menetapkan n = 0. dt Asumsikan lim P (t) = P t n n sehingga d Pn (t) lim = 0 t dt Untuk t maka persamaan di atas menjadi Untuk n =0 maka diperoleh 0 = (λ 0 + μ 0 ) P 0 (t) + μ 1 P 1 + λ -1 P -1 ( 2.23 ) Karena λ -1 = 0 dan μ 0 = 0 maka persamaan di atas menjadi 0 = - λ 0 P 0 + μ 1 P 1, λ P 1 = P ( 2.24 ) 0 0 μ1 Untuk n > 0 diperoleh 0 = -(λ n + μ n ) P n (t) + μ n+1 P n+1 (t) - (λ n-1 + μ n-1 ) P n-1 (t) P n + 1 = λn μ n+ 1 μnpn λ Pn + μ n+ 1 n 1 P n-1 ( 2.25 ) Pada persamaan 2.25, perhatikan ruas kanan yang kedua. Jika n > 1 maka: μ P λ n n n 1 P n-1 λ = μn μn n-1 n 1 n-1 P n-1 μ + n-2 n-2 n-1 P n-1 λ μ n n-2 P n-2 λ n 1 = μ P λ P ( 2.26 ) Ulangi perhitungan dengan nilai n yang lebih kecil, sehingga diperoleh μ P λ P = μ P λ P ( 2.27 ) n n n-1 n-1 dari persamaan untuk 2.24 diperoleh 1 1 0 0 P n-1

27 λ n P n = 1 P n-1 μ n λ n 1 λn-2 = Pn-2 μn μn-1 = sehingga diperoleh P n λn-1λn-2... λ0 = P0 μ μ... μ n n 1 1 ( 2.28 ) Persamaan ini dapat ditulis secara ringkas sebagai: n-1 λi P n = P i= 0 n i= 1 0 untuk n = 1, 2, ( 2.29 ) n = 0 Karena P 1 n = maka P 0 = 1+ 1 i= 0 n n= 1 n 1 i= 1 λ i μ i ( 2.30 ) (Dimyati, 1999:361-363) Ukuran-ukuran kinerja yang terpenting dari situasi antrian setelah mencapai kondisi steady state yang dipergunakan untuk menganalisis situasi antrian adalah rata-rata banyaknya pelanggan yang menunggu dalam antrian ( L q ), rata-rata waktu menunggu yang diperkirakan dalam antrian (W q ), dan persentase pemanfaatan sarana pelayanan yang diperkirakan.

28 Dengan mempertimbangkan sarana pelayanan sebanyak s pelayan paralel, maka dari definisi P n diperoleh L = n= 0 n P n ( 2.31 ) L q = (n - s) P n n= 0 ( 2.32 ) Hubungan yang lain adalah sebagai berikut. L W = ( 2.33 ) λ L q W q = ( 2.34 ) λ λ adalah laju kedatangan rata-rata dalam jangka waktu yang panjang dimana λ n P n n= 0 λ = ( 2.35 ) (Taha, 1997: 190) Persentase pemanfaatan sebuah sarana pelayanan dengan s pelayan yang paralel dapat diperoleh sebagai berikut. λ Persentase pemanfaatan = x 100 0 0 sμ ( 2.36 ) (Taha, 1997: 191) Solusi steady state ini diturunkan dengan asumsi bahwa parameterparameter λ n dan μ n adalah sedemikian sehingga kondisi steady state λ dapat tercapai. Asumsi ini terjadi jika ρ = < 1 s μ

29 7. Model antrian (M / M / 1) Sistem antrian ( M / M / 1 ) merupakan model pelayanan tunggal tanpa batas kapasitas baik dari kapasitas system tersebut maupun kapasitas sumber pemanggilan. Aturan pelayanan bersifat PMPK atau pelanggan pertama yang datang akan dilayani terlebih dahulu, begitu seterusnya hingga peminjam terakhir yang datang mendapatkan pelayanan terakhir. Sistem model ini dapat digambarkan seperti pada gambar 2.4 sebagai berikut. kedatangan pelanggan antrian pelayan sistem antrian Pada sistem ini, diasumsikan bahwa laju kedatangan tidak bergantung pada jumlah pada sistem tersebut, yaitu λ n = λ untuk semua n. Demikian pula diasumsikan bahwa pelayan tunggal dalam sistem tersebut menyelesaikan pelayanan dengan kecepatan konstan, yaitu μ n = μ untuk semua n. akibatnya model ini memiliki kedatangan dan keberangkatan dengan mean λ dan μ Jika λ = laju kedatangan rata-rata (jumlah pelanggan per satuan waktu) μ = laju pelayanan pelanggan rata-rata

30 maka waktu antar kedatangan yang diharapkan adalah λ 1 dan waktu pelayanan adalah μ 1 λ Keadaan tunak tercapai jika ρ = < 1 μ Peluang keadaan tunak dalam sistem ini dapat didefinisikan ρ n ρ ( 1 ρ) = n Apabila ρ > 1 tidak terdapat keadaan tunak pada sistem tersebut, karena banyaknya pelanggan yang datang lebh cepat dari kemampuan pelayanan sehingga terjadi penumpukan pelanggan dalam sistem. Sedangkan apabila nilai ρ = 0 tidak terjadi keadaan tunak, karena tidak terdapat antrian sama sekali. Ukuran-ukutan efektif pada keadaan tunak pada sistem antrian (M / M / 1) : ( GD / / ) sebagai berikut. a. Rata-rata jumlah pelanggan dalam sistem (L) ( ρ ) = L n 1- n=0 = n ρ d n ( 1 ρ ) ρ ( ρ ) n= 0 dρ = d dρ n =0 = n ( 1 ρ ) ρ ρ d 1 dρ 1 ρ ( 1 ρ) ρ

31 ρ = 1 ρ λ = ( 2.37 ) μ λ b. Rata-rata jumlah pelanggan dalam antrian (L q ) L q = = n= 1 ( n -1) n P P n n n= 1 n= 0 P n ( 2.38 ) L - L L q q = n Pn n Pn n P n= 0 n= 0 n= 1 = = n= 1 n= 1 ρ = 1 ρ = ρ n P = L - ρ 2 ρ = 1 ρ n n ρ (1 ρ) ( 1 ρ) ρ = ρ 1 ρ n Jadi 2 ρ L q = ( 2.39 ) 1 ρ c. Rata-rata waktu yang dihabiskan satu pelanggan dalam sistem (W) Menurut rumus Little L = λ W pada sistem M / M / 1, λ = λ maka

32 L W = λ ρ = λ ( 1 ρ) λ μ = λ λ 1 μ 1 = μ λ Jadi 1 W = ( 2.40 ) μ λ d. Rata-rata waktu yang dihabiskan satu pelanggan dalam antrian (W q ) L q W q λ = W q L q = λ 2 ρ = λ ( 1- ρ ) ρ = μ λ Jadi ρ W q = ( 2.41 ) μ λ 8. Model Antrian (M / M / s) : (GD / / ) Model ini mengasumsikan bahwa kedatangan terjadi menurut input Poisson dengan parameter λ, dan bahwa waktu pelayanan untuk masingmasing unit mempunyai distribusi Eksponensial dengan rata-rata μ 1. (Dimyati, 1999:373)

33 Tingkat pelayanan rata-rata untuk seluruh sistem antrian adalah tingkat rata rata dimana unityang sudah dilayani meninggalkan sistem. Tingkat pelayanan rata-rata per pelayanan yang sibuk adalah μ, karena itu tingkat pelayanan keseluruhan adalah μ n = nμ jika n s. Jika n s, berarti semua pelayan sibuk sehingga μ n = sμ. Jadi model ini adalah kasus khusus dari proses kelahiran-kematian dengan λ n = λ (untuk n = 0, 1, 2, ) dan μ n nμ = sμ, jika 0 n s, jika n s Jika λ < sμ (tingkat kedatangan rata-rata lebih kecil dari tingkat pelayanan rata-rata maksimum), maka hasil steady state-nya adalah sebagai berikut. P 0 = s 1 n = 0 n ( λ μ) ( λ μ) n! + 1 s! s n= s λ sμ n-s = s-1 n ( λ n) ( λ μ) n! + 1 s! n = 0 s 1 1 λ sμ dan P n ( λ μ) n! = s! s n ( λ μ) n n-s P0, P, 0 jika 0 n s jika n s (2.44) Dengan λ ρ =, maka sμ

34 a. Rata-rata jumlah pelanggan dalam antrian (L q ) L q P s ( λ μ) ( 1- ρ) 2 0 = (2.45) s! ρ b. Rata-rata jumlah pelanggan dalam sistem (L) λ L = L q + (2.46) μ c. Rata-rata waktu yang dihabiskan satu pelanggan dalam antrian (W q ) Lq W q = (2.47) λ d. Rata-rata waktu yang dihabiskan satu pelanggan dalam sistem (W) 1 W = W + q μ (2.48) (Dimyati, 1999:374)

BAB III METODE PENELITIAN Metode penelitian yang dilakukan dalam penelitian ini meliputi beberapa tahap sebagai berikut. A. Perumusan Masalah Tahap ini dimaksudkan untuk memperjelas permasalahan sehingga mempermudah pembahasan selanjutnya. B. Studi Pustaka Studi pustaka adalah menelaah sumber pustaka yang relevan yang digunakan untuk mengumpulkan informasi yang diperlukan dalam penelitian. Studi pustaka diambil dengan mengumpulkan sumber pustaka yang dapat berupa buku, teks, makalah, dan sebagainya. Setelah sumber pustaka terkumpul dilanjutkan dengan penelaahan dari sumber pustaka tersebut. Pada akhirnya sumber pustaka ini dijadikan landasan untuk menganalisis permasalahan. C. Pemecahan Masalah 1. Pengumpulan data Dalam penelitian ini pengambilan data dilaksanakan pada sistem antrian yang terjadi pada UPT Perpustakaan UNNES yang dilaksanakan selama 3 hari. 35

36 Pengumpulan data berkenaan dengan kedatangan dan kepergian pengunjung dengan menggunakan metode observasi, yaitu: a. Mengukur waktu yang dibutuhkan untuk melayani seorang pelanggan. Pelanggan dalam hal ini adalah pengunjung perpustakaan. b. Menghitung jumlah kedatangan (kepergian) selama satu unit waktu yang dipilih. Dalam penelitian ini satuan waktu yang dipilih adalah 5 menit. Sedangkan untuk mengetahui waktu tunggu yang dikehendaki pengunjung digunakan metode angket. 2. Analisis Data a. Langkah-langkah yang digunakan dalam analisis data sebagai berikut. Dalam penelitian ini kedatangan nasabah diasumsikan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan diasumsikan berdistribusi Eksponensial. Untuk menguji kebenarannya dilakukan Uji Kebaikan- Suai Khi Kuadrat Hipotesis tentang kedatangan pengunjung UPT Perpustakaan Universitas Negeri Semarang dalam penelitian ini sebagai berikut. H 0 : Kedatangan pengunjung UPT Perpustakaan Universitas Negeri Semarang pada masing-masing loket berdistribusi Poisson H a : Kedatangan pengunjung UPT Perpustakaan Universitas Negeri Semarang pada masing-masing loket tidak berdistribusi Poisson Hipotesis tentang waktu pelayanan pengunjung UPT Perpustakaan Universitas Negeri Semarang dalam penelitian ini sebagai berikut.

37 H 0 : Waktu pelayanan pengunjung UPT Perpustakaan Universitas Negeri Semarang pada masing-masing loket berdistribusi Eksponensial H a : Waktu pelayanan pengunjung UPT Perpustakaan Universitas Negeri Semarang pada masing-masing loket tidak berdistribusi Eksponensial b. Menentukan model antrian yang terjadi pada UPT Perpustakaan Universitas Negeri Semarang c. Menghitung rata-rata jumlah pengunjung yang berada dalam sistem dan antrian pada masing-masing loket yang diteliti d. Menghitung rata-rata waktu pengunjung berada dalam sistem dan antrian pada masing-masing loket yang diteliti e. Menentukan rata-rata waktu menganggur bagi pelayan pada masingmasing loket 3. Pengambilan Keputusan Pengambilan keputusan tentang jumlah pelayan ideal pada masingmasing loket yang diteliti didasarkan pada waktu menunggu dan persentase waktu menganggur pelayan

BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Hasil Penelitian Gambaran Umum UPT Perpustakaan Universitas Negeri Semarang UPT Perpustakaan UNNES merupakan unit sarana pelayanan yang dimiliki oleh UNNES. UPT Perpustakaan UNNES menyediakan bahan pustaka yang diperlukan bagi mahasiswa sesuai dengan kebutuhannya. UPT Perpustakaan UNNES terdiri dari dua ruang pelayanan yakni ruang sirkulasi dan ruang referensi. Pelayanan pada ruang sirkulasi meliputi pelayanan peminjaman buku, pengembalian buku serta penelusuran bahan pustaka. Pelayanan pada ruang referensi meliputi skripsi, thesis, serta karya ilmiah yang dapat di fotocopy dengan ijin petugas perpustakaan. Sistem antrian yang terjadi pada UPT Perpustakaan UNNES mengikuti sistem antrian dengan saluran tunggal. Pada sistem antrian dengan saluran tunggal, pengunjung yang datang untuk meminjam atau mengembalikan buku membentuk antrian di depan pelayan sampai pada gilirannya dan setelah itu meninggalkan sistem. Situasi antrian yang terjadi pada UPT Perpustakaan UNNES dapat digambarkan dengan sistem antrian sebagai berikut. 38

39 kedatangan pengunjung antrian sistem antrian pelayan Gambar 4.1 Skema situasi antrian yang terjadi pada UPT Perpustakaan UNNES Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat Kedatangan Pengunjung. Kedatangan pengunjung pada UPT Perpustakaan UNNES diasumsikan berdistribusi Poisson. Untuk meyakinkan bahwa kedatangan pengunjung berdistribusi Poisson, maka dilakukan uji kebaikan suai khi kuadrat Dari data hasil penelitian, dapat dibuat rekapitulasi kedatangan pengunjung per interval waktu lima menit (lampiran 3 dan 4 ). Selanjutnya data lampiran 3 dan 4 digunakan untuk melakukan uji kebaikan suai khi kuadrat kedatangan pengunjung. a. Hasil Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat terhadap Kedatangan Pengunjung pada Loket Peminjaman 1) Senin, 15 Agustus 2005 Pada tabel 5.1 (lampiran 5), terlihat bahwa rata-rata kedatangan (λ) sebesar 3,167 pengunjung setiap lima menit (0,633 per-menit). Sedangkan untuk nilai χ 2 hitung adalah 4,6. Dari tabel khi kuadrat (lampiran 9) diperoleh χ 2 (0,01;5) adalah 15,09. Dengan demikian χ 2 hitung < χ 2 (0,01;5). Jadi kedatangan pengunjung berdistribusi Poisson.

40 2) Selasa, 16 Agustus 2005 Pada tabel 5.2 (lampiran 5), terlihat bahwa rata-rata kedatangan (λ) sebesar 3 pengunjung setiap lima menit (0,600 per-menit). Sedangkan untuk nilai χ 2 hitung adalah 7,782 Dari tabel khi kuadrat (lampiran 9) diperoleh χ 2 (0,01;4) adalah 13,28. Dengan demikian χ 2 hitung < χ 2 (0,01;4). Jadi kedatangan pengunjung berdistribusi Poisson. 3) Kamis, 18 Agustus 2005 Pada tabel 5.3 (lampiran 5), terlihat bahwa rata-rata kedatangan (λ) sebesar 2,917 pengunjung setiap lima menit (0,583 per-menit). Sedangkan untuk nilai χ 2 hitung adalah 4,303 Dari tabel khi kuadrat (lampiran 9) diperoleh χ 2 (0,01;6) adalah 16,81. Dengan demikian χ 2 hitung < χ 2 (0,01;6). Jadi kedatangan pengunjung berdistribusi Poisson. b. Hasil Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat terhadap Kedatangan Pengunjung pada Loket Pengembalian Buku 1) Senin, 15 Agustus 2005 Pada tabel 6.1 (lampiran 6), terlihat bahwa rata-rata kedatangan (λ) sebesar 2,333 pengunjung setiap lima menit (0,466 per-menit). Sedangkan untuk nilai χ 2 hitung adalah 4,049. Dari tabel khi kuadrat (lampiran 9) diperoleh χ 2 (0,01;4) adalah 13,28. Dengan demikian χ 2 hitung < χ 2 (0,01;4). Jadi kedatangan pengunjung berdistribusi Poisson.

41 2) Selasa, 16 Agustus 2005 Pada tabel 6.2 (lampiran 6), terlihat bahwa rata-rata kedatangan (λ) sebesar 1,958 pengunjung setiap lima menit (0,392 per-menit). Sedangkan untuk nilai χ 2 hitung adalah 5,215. Dari tabel khi kuadrat (lampiran 9) diperoleh χ 2 (0,01;3) adalah 11,34. Dengan demikian χ 2 hitung < χ 2 (0,01;3). Jadi kedatangan pengunjung berdistribusi Poisson. 3) Kamis, 18 Agustus 2005 Pada tabel 6.3 (lampiran 6), terlihat bahwa rata-rata kedatangan (λ) sebesar 2,25 pengunjung setiap lima menit (0,45 per-menit). Sedangkan untuk nilai χ 2 hitung adalah 7,558. Dari tabel khi kuadrat (lampiran 9) diperoleh χ 2 (0,01;4) adalah 13,28. Dengan demikian χ 2 hitung < χ 2 (0,01;4). Jadi kedatangan pengunjung berdistribusi Poisson. Uji Kebaikan Suai Khi Kuadrat Waktu Pelayanan Dari hasil pengamatan sistem antrian pada UPT Perpustakaan Universitas Negeri Semarang diperoleh waktu pelayanan t, yaitu waktu yang diperlukan untuk melayani satu orang pengunjung. Untuk menentukan rata-rata waktu pelayanan dapat dihitung dengan t = m i= 1 x i f i, dengan i adalah batas-batas interval [I 1-I, I i ] dan x i adalah nilai tengah dari interval ke-i, serta f i adalah frekuensi relatif yaitu frekuensi observasi (f 0 ) pada interval i dibagi dengan jumlah frekuensi keseluruhan (n). Laju pelayanan pengunjung (μ) adalah rata-rata jumlah