PEMBENTUKAN ELEMEN DAN SIMPUL SECARA TOPOLOGI Utaja ABSTRAK PEMBENTUKAN ELEMEN DAN SIMPUL SECARA TOPOLOGI. Penyelesaian masalah fisika dan teknik dengan metoda elemen hingga dilakukan dengan membagi bentuk yang dianalisis menjadi sejumlah elemen. Untuk suatu ketelitian diperlukan ukuran elemen yang tidak sama pada suatu arah. Makalah ini menguraikan pembentukan elemen serta topologi (topological element generation), dimana banyaknya elemen pada suatu arah akan bertambah banyak atau berkurang. Pembentukan elemen dan simpul secara topologi dilakukan dengan menyediakan bidang perantara di mana jumlah elemen yang berbeda dapat diakomodasikan. Pada bidang perantara ini dibentuk elemen yang menjangkau simpul pada daerah dengan pembagian yang berbeda. Dengan cara topologi ini dapat dilakukan pembagian bentuk menjadi elemen dengan jumlah elemen yang berbeda pada suatu arah sehingga ketelitian suatu analisis dapat dikendalikan. Kata-kata kunci: topologi, elemen hingga, elemen, simpul ABSTRACT TOPOLOGICAL ELEMENT AND NODE GENERATION. The physical and engineering problem solution by finite element method is done through shape discretisation into a number of elements. For an accuracy, the element size on one direction is various. This paper describes the topological elements generating, where the number of element in one direction will increase or decrease. The topological element and node generation was done by interface area preparation where the two different number of element can be acommodated. The elements created in the interface area can reach the node in the area with the different descretisation. With the topological element generating the shape descretisation into different number of elements on one direction can be done, so that the analysis accuracy can be controled. Keywords: topological, finite element, element, node PENDAHULUAN Metoda elemen hingga memiliki keunggulan dibanding metoda lain dalam penyelesaian persoalan fisika dan teknik karena dapat menjangkau persoalan dengan bentuk dan syarat batas yang rumit. Tetapi metoda elemen hingga memiliki Pusat Rekayasa dan Perangkat Nuklir - BATAN 387
kelemahan yaitu perlu tersedianya data dalam jumlah banyak terutama data elemen bila diinginkan hasil analisis dengan ketelitian tinggi. Bila suatu analisis di daerah tertentu perlu ketelitian tinggi, sedangkan di daerah lain tidak, maka ini akan menimbulkan masalah. Analisis dengan ketelitian tinggi memerlukan jumlah elemen yang banyak, sehingga diperlukan waktu untuk analisis. Sedangkan bila dipakai jumlah elemen yang sedikit ketelitian akan berkurang. Untuk mengatasi ini maka pembagian elemen harus dapat dikendalikan, dimana pada daerah dengan ketelitian tinggi pembagian elemen diperbesar (ukuran elemen kecil), se-dangkan pada daerah yang tidak memerlukan ketelitian tinggi pembagian elemen dapat diperkecil (ukuran elemen besar). Pembagian ini dikenal sebagai pembagian secara topologi (topological element generation) [ 1, 2 ]. Berbagai program komputer aplikasi (NISA, ANSYS, FLOWTRANS) melakukan proses topologi tersebut, tetapi metoda pelaksanaannya tidak dapat diikuti karena berupa program exe. Sedangkan sampai saat ini penulis belum pernah menjumpai uraian tentang proses topologi pada berbagai kepustakaan. Untuk itu telah dikembangkan metoda atau algoritma pembentukan elemen dan simpul secara topologi yang kemudian dipakai pada program ASE 2.1 dan ATE 2.1. Metoda atau algoritma tersebut diuraikan pada makalah ini. Pembentukan elemen dan simpul secara topologi didasarkan pada prinsip pembentukan elemen dan simpul di daerah perantara, dimana elemen pada daerah ini berfungsi menjangkau simpul di dua daerah yang diskretisasinya berbeda. Di luar daerah perantara ini pembentukan elemen dan simpul dilakukan seperti pembentukan elemen dan simpul pada bidang segi empat.[ 3 ] Dengan descretisasi secara topologi, kesulitan untuk mendapatkan ketelitian tinggi disuatu tempat dapat diatasi tanpa menimbulkan masalah perlunya waktu eksekusi yang lama. Pembentukan elemen dan simpul secara topologi akan mendukung metoda elemen hingga dalam penyelesaian persoalan fisika dan teknik. DASAR PEMBENTUKAN ELEMEN DAN SIMPUL SECARA TOPOLOGI Pembagian suatu bidang menjadi sejumlah elemen dan simpul dengan descretisasi yang berbeda dapat dilihat pada Gambar 1. Pada Gambar 1 dapat dilihat sisi nomer 1 dibagi menjadi delapan elemen sedangkan sisi nomer 2 dibagi menjadi empat elemen. Pada daerah perantara terdapat enam buah elemen. 388
sisi nomer 2 (terdapat 4 elemen) 14 15 16 daerah 2 11 12 13 daerahperantara 6 7 8 9 10 daerah 1 1 2 3 4 5 Sisi nomer 1 (terdapat 8 elemen) Keterangan: 1 sampai dengan 16 adalah nomer node (simpul) = simpul Gambar 1. Pembagian bidang menjadi elemen dan simpul secara topologi Posisi elemen di sisi 1 dan di sisi 2 sama, sedangkan posisi elemen di daerah perantara berbeda. Disini tampak elemen di daerah perantara akan menjangkau simpul di dua daerah yang berbeda descretisasinya. Penomeran simpul secara umum di daerah 1 dilakukan dengan persamaan berikut: N i = N awal + I (untuk deret pertama) (1) N i = N awal + N x + 1 + I (untuk deretan ke dua) (2) Untuk I mulai dari 1 sampai dengan N x dengan: N i = nomer simpul; N awal = nomer simpul mula-mula (bila ada) N x = pembagian ke arah X-X untuk descretisasi tertinggi (elemen kecil) Penomeran simpul di daerah 3 dilakukan dengan persamaan berikut: N i = N awal + 2N x + 2 + I (3) Untuk I mulai dari 1 sampai dengan 0,5 N x Nomer simpul di daerah perantara sebagian mengikuti persamaan 2) dan sebagian lain mengikuti persamaan 3) karena elemen di daerah perantara ini harus mencakup simpul di daerah 1 dan daerah 2. 389
Penomeran elemen ke arah X-X dapat dilihat pada Gambar 2. Setiap elemen memiliki tiga buah simpul (untuk elemen berbentuk segitiga) Daerah 2 (terdapat 4 elemen) 14 16 18 16 15 17 daerah 2 11 10 13 9 11 12 14 daerah perantara 2 4 6 8 1 3 5 7 daerah 1 Daerah 1 (terdapat 8 elemen) Keterangan: 1 sampai dengan 18 adalah nomer elemen = simpul Gambar 2. Penomeran elemen secara topologi Di daerah 1 nomer simpul pada setiap elemen secara umum mengikuti persamaan berikut: 1. Untuk elemen dengan nomer ganjil Node1 = N awal + I + 1 (4) Node2 = Node1 + N x + 1) Node3 = Node1 1 2. Untuk elemen dengan nomer genap Node1 = N awal + N x + 1 + I (5) Node2 = Node1-1 Node3 = N awal + I Untuk I mulai dari 1 sampai dengan N x Di daerah perantara nomer simpul pada setiap elemen secara umum mengikuti persamaan berikut: 1. Elemen posisi 1 (elemen nomer 9 dan 12) Node1 = N awal + N x + 2 + I (6) Node2 = N awal + 2N x + 2 + I Node3 = Node1-1 390
2. Elemen posisi 2 ( elemen nomer 10 dan 13) Node1 = N awal + 2N x + 3 + I (7) Node2 = N awal + 2N x + 2 + I Node3 = N awal + N x + 2 + I 3. Elemen posisi 3 (elemen nomer 11 dan 14) Node1 = N awal + N x + 3 + I (8) Node2 = N awal + 2N x + 3 + I Node3 = N awal + N x + 2 + I Untuk I mulai dari 1 sampai dengan 0,5N x Di daerah 3 nomer node pada setiap elemen secara umum mengikuti persamaan berikut: 1. Untuk elemen dengan posisi 4 ( elemen nomer 15 dan 17) Node1 = N awal + 2N x + 3 + I (10) Node2 = Node1 + 0.5Nx Node3 = Node1-1 2. Untuk elemen dengan posisi 5 ( elemen nomer 16 dan 18) Node1 = N awal + 2,5N x + 3 + I (11) Node2 = Node1 + 0.5Nx Node3 = N awal + 2N x + 2 + I Untuk I mulai dari 1 sampai dengan 0,5N x Pembentukan simpul secara topologi dapat dilakukan dengan menyertakan metoda zoom, dimana jarak antara simpul yang berturutan ke arah X-X berubah menurut deret hitung. Dalam makalah ini metoda zoom tidak diuraikan. PROGRAM KOMPUTER Pembentukan elemen dan simpul secara topologi yang diuraikan di atas, dipakai oleh program PRE PROCESSOR baik di ASE 2.1 maupun di ATE 2.1. Mula-mula program membaca masukan yang meliputi nomer bidang yang di proses, banyaknya pembagian (Nx), harga zoom, jenis topologi (ukuran elemen makin kecil atau makin besar), dan jenis material dari bidang yang diproses. Selanjutnya program diarahkan untuk membentuk node beserta nomer dan kordinatnya, sesuai dengan persamaan (1) sampai dengan persamaan (3). Nomer simpul beserta kordinatnya disimpan dalam sebuah Listbox, dengan maksud untuk disimpan dalam suatu file. Kemudian dilakukan pembentukan elemen beserta nomer simpul yang menyertai (setiap elemen memiliki tiga buah simpul) sesuai dengan persamaan (4) sampai dengan persamaan 391
(11). Nomer elemen beserta ketiga buah simpul dan nomer material disimpan dalam sebuah Listbox lain yang akan disimpan dalam suatu file yang merupakan gabungan dengan file simpul. Seluruh proses pembentukan simpul dan elemen dapat dilihat di layar monitor. Program ASE 2.1 dan ATE 2.1 disusun dengan bahasa pemrograman BASIC dan dikompilasi dengan Visual Basic 5.0 [ 4 ]. Pemakaian Visual Basic mempermudah penampilan gambar dilayar monitor. HASIL DAN PEMBAHASAN Untuk melihat hasil pembentukan elemen dan simpul dengan cara topologi, dipakai program PRE PROCESSOR pada program ASE 2.1. Proses diawali dengan pembentukan bidang yang akan dibagi ke dalam sejumlah elemen dan simpul, seperti Gambar 3. 2 1 Gambar 3. Bidang 1 dan bidang 2 Gambar 4. Pembentukan elemen secara topologi 392
Bidang 1 dan 2 akan dibagi ke dalam sejumlah elemen dan simpul, dimana pada bidang 1 dibangkitkan elemen dan simpul secara topologi, sedangkan pada bidang 2 akan dibangkitkan elemen dan simpul secara normal. Pada sisi luar bidang 1 dibangkitkan 16 elemen sedang di sisi dalam 8 elemen seperti tampak pada Gambar 5. Gambar 5. Pemberian nomer elemen dan simpul Keterangan: a. Nomer yang berada di dekat simpul adalah nomer simpul b. Nomer yang berada di tengah elemen adalah nomer elemen Pada Gambar 4 dapat dilihat penomeran simpul sesuai dengan persamaan (1) sampai dengan persamaan (3), sedangkan penomeran elemen sesuai dengan persamaan (4) sampai dengan persamaan (11). Pada Gambar 3 dan Gambar 4, daerah perantara terletak pada bidang 1, sedang bidang 2 adalah bidang dengan ukuran elemen yang lebih besar. Pembagian bidang menjadi sejumlah elemen dan simpul seperti Gambar 4 dan Gambar 5 dimaksudkan agar didapat hasil analisis dengan ketelitian yang cukup di bidang 1. Proses pembentukan elemen dan simpul secara topologi dapat dilakukan berulang sehingga didapat descretisasi yang bervariasi, seperti Gambar 6. Pada Gambar 6 dilakukan perulangan dua kali, dari pembentukan 32 elemen menjadi 8 elemen pada arah tegak. Hal yang sama dapat dilakukan pada arah mendatar seperti terlihat di Gambar 7. 393
Gambar 6. Pembentukan elemen secara topologi secara berulang pada arah tegak Gambar 7. Pembentukan elemen topologi berulang pada arah datar Proses pembentukan elemen dan simpul secara topologi dapat dilakukan dengan berbagai variasi, diantaranya dengan menyertakan teknik lain yaitu teknik zoom baik kearah tegak maupun mendatar, seperti tampak pada Gambar 8. 394
Gambar 8. Pembentukan elemen dan simpul secara topologi dan zoom Pada Gambar 8 tampak ukuran elemen ke arah mendatar dan tegak berubah, karena pengaruh topologi dan zoom. Ukuran elemen pada sudut kiri bawah jauh lebih kecil dari ukuran elemen pada sudut kanan atas. Perbandingan hasil analisis Untuk mengetahui pengaruh hasil analisis dari elemen dan simpul yang dibentuk secara topologi terhadap hasil analisis dari elemen dan simpul yang dibentuk tanpa topologi, kedua hasil akan diperbandingkan. Untuk itu diperbandingkan antara hasil analisis pada tegangan plat berdasar kedua macam cara pembentukan elemen seperti Gambar 9 dan 10. Sendi Roll Gambar 9. Secara topologi 395
Sendi Roll Gambar 10. Secara Normal Kedua model mempunyai ukuran dan sifat sama dan dibebani gaya terpusat di tempat yang sama, seperti tampak pada Gambar 9 dan Gambar 10. Pada Gambar 9, dimana pem-bentukan elemen dan simpul dilakukan secara topologi, di sisi bawah terdapat tiga puluh dua ( 32 ) pembagian dan di bagian atas sebanyak delapan ( 8 ) pembagian. Pada Gambar 10, di sisi bawah dan atas terdapat delapan ( 8 ) pembagian. Ini dimaksudkan agar hasil analisis pada Gambar 9 lebih baik dibandingkan hasil analisis pada Gambar 10. Pada Tabel 1 diperlihathan kedua hasil analisis dari Gambar 9 dan Gambar 10, dan diperlihatkan juga hasil perhitungan secara analitik. Kedua model ditumpu dengan sendi pada sudut di bagian kiri bawah dan dengan roll pada sudut di bagian kanan bawah Dari Tabel 1, dapat ditujukkan bahwa hasil analisis pada pembentukan elemen secara topologi baik pada defleksi maupun pada tegangan tarik X-X lebih mendekati hasil secara analitik dibandingkan dengan hasil dari pembentukan elemen dan simpul secara normal. Ini berarti hasil analisis pada pembentukan elemen dan simpul secara topologi akan lebih teliti dibandingkan dengan pembentukan elemen dan simpul secara normal. Walupun demikian hasil analisis pada Gambar 9 masih terpaut jauh dengan hasil analitik. Untuk mendapatkan hasil yang lebih mendekati perlu diskretisasi lebih halus. 396
Tabel 1. Perbandingan hasil analisis Gambar 9, Gambar 10 dan secara Analititk. Besaran yang ditinjau Secara topologi Secara normal Analitik (Gambar 9) (Gambar 10) Defleksi vertikal - 4,7 E(-4) meter -3,7 E(-4) meter -15,1 E(-4) meter Tegangan tarik X-X 11,17 E6 kg/m2 7,67 E6 kg/m2 37,5 E6 kg/m2 Hasil pada Tabel 1 tidak hanya dipengaruhi oleh model pembentukan elemen dan simpul saja, tetapi juga akibat perbedaan jumlah elemen yang timbul. Pada Gambar 9 terdapat 232 elemen sedangkan pada Gambar 10 hanya 128 elemen. Dari keadaan ini secara logika dapat dinyatakan bahwa semakin halus (semakin banyak jumlah elemen) akan semakin teliti hasilnya. Perbandingan lain untuk melihat pengaruh pembentukan elemen dan simpul secara topologi adalah dengan melihat hasil analisis pembentukan elemen dan simpul seperti pada Gambar 10, tetapi dengan jumlah elemen sebanyak 232 elemen. Perbandingan ini dapat dilihat pada Tabel 2. dan Gambar 11 Tabel 2. Perbandingan hasil analisis Gambar 9, Gambar 10 dengan jumlah elemen yang hampir sama ( 232 elemen ) Besaran yang ditinjau Secara topologi Secara normal Analitik (Gambar 9) (Gambar 10) Defleksi vertikal - 4,7 E(-4) meter -6,4 E(-4) meter -15,1 E(-4) meter Tegangan tarik X-X 11,17 E6 kg/m2 12,12 E6 kg/m2 37,5 E6 kg/m2 Dari Tabel 2 dapat dilihat pembentukan elemen dan simpul secara normal dengan jumlah elemen sebanyak 232 elemen memberikan hasil yang lebih baik dari pembentukan elemen dan simpul dengan cara topologi. Hal ini disebabkan terbentuknya elemen yang lebih kasar di sisi atas pada Gambar 9 dibanding bila menggunakan Gambar 11 dengan 232 elemen. 397
Gambar 11. Pembentukan elemen secara normal dengan 232 elemen Dari perbandingan tadi ternyata keuntungan pemakaian cara topologi memiliki keterbatasan, yaitu bahwa elemen yang terlalu kasar ditempat lain akan mengurangi ketelitian hasil analisis. IMPLIKASI LITBANG Proses pembentukan elemen dan simpul secara topologi yang telah dikembangkan dan dipakai pada program ASE 2.1 dan ATE 2.1, akan meningkatkan kemampuan analisis berbasis elemen hingga. Hal ini disebabkan ketelitian analisis dapat diatur sesuai kebutuhan tanpa mengakibatkan penambahan waktu eksekusi. KESIMPULAN Proses pembentukan elemen dan simpul dengan cara topologi pada batas tertentu akan meningkatkan kemampuan analisis berbasis elemen hingga. Hal ini disebabkan ukuran elemen dapat lebih mudah diatur sesuai kebutuhan. Pemakaian bersama cara topologi dan teknik zoom merupakan pilihan untuk mengatur ukuran elemen secara lebih mudah. 398
UCAPAN TERIMA KASIH Kami sampaikan terimakasih kepada KPTF PRPN yang telah membantu menyempurnakan makalah ini. DAFTAR PUSTAKA 1. EMRC, Display II, User Manual, EMRC, Michigan, USA, 1990. 2. EMRC, Nisa II, User Manual, EMRC, Michigan, USA, 1990. 3. ANONIM, Pembentukan Elemen pada Bidang Segi empat, PROSIDING TKPFN XVI Jakarta, Indonesia, 2005. 4. EVANGELOS PETROUTSOS, Mastering Visual Basic 5, Sybec, San Fransisco, USA, 1997. DISKUSI WINTER DEWAYATNA Kapan kita percaya hasil finite elemen? Seberapa jauh meshing harus dibuat agar hasilnya sesuai? UTAJA Untuk menentukan hasil akhir diperlukan 2 macam meshing yang berbeda. Dari 2 hasil yang didapat, dibuat ekstrapolasi untuk mendapatkan perkiraan hasil akhir. Seberapa jauh perkiraan hasil akhir dapat dipertanggungjawablan, diserahkan kepada perekayasa yang bersangkutan. 399
SUHARJITO 1. Apakah penentuan suatu elemen itu berjumlah banyak atau sedikit itu dengan asumsi atau analitik? 2. Bisakah penentuan banyak elemen suatu bahan dilakukan secara adaptif? UTAJA 1. Penentuan jumlah elemen dilakukan dengan perkiraan, paling tidak harus ada 2 macam meshing dengan jumlah elemen yang berbeda. 2. Penentuan banyaknya elemen dapat dilakukan secara adaptif. Meshing secara topologi dan secara zoom memang ditujukan untuk maksud tersebut. DAFTAR RIWAYAT HIDUP 1. Nama : Ir Utaja 2. Tempat/Tanggal Lahir : Kebumen, 3 Juli 1946 3. Instansi : PRPN-BATAN 4. Pekerjaan / Jabatan : Ahli Peneliti Muda 5. Riwayat Pendidikan : S1 Teknik Mesin UGM (1983) 6. Pengalaman Kerja : Ka. Sub bidang disain, 1990 2000 Ka. Sub bidang komponen Nuklir, 2000 2002 Ahli Peneliti Muda, 2003 sekarang 7. Makalah yang pernah disajikan : Distribusi suhu sirip pendingin dengan FEM Pemakaian koordinat luasan pada FEM Analisis lintasan elektron dalam medan elektrostatik 400