KATA PENGANTAR Bismillahirrahmaanirrahiim... Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan hidayah-nya sehingga penulisan tugas akhir ini dapat terselesaikan dengan lancar dan tepat waktu. Shalawat dan salam semoga tetap tercurah limpah kepada junjunan alam Nabi Muhammad SAW. Skripsi yang berjudul Perbandingan Model SIS (Susceptible Infected Susceptible) Deterministik dan Stokastik untuk Keadaan Endemik dan Non Endemik disusun untuk memenuhi syarat memperoleh gelar sarjana sains di jurusan Matematika. Dalam penyusunan hingga terselesainya tugas akhir ini tak lepas dari dukungan dan bimbingan berbagai pihak baik moril maupun materi, maka pada kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada: 1. Dr. H. M. Subandi, Drs., Ir., MP, selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi. 2. Dr. Elis Ratna Wulan, S.Si, MT. selaku ketua jurusan Matematika Sains. 3. Siti Julaeha, M.Si selaku dosen pembimbing akademik yang penuh kasih sayang membimbing selama masa kuliah di jurusan Matematika. 4. Diny Zulkarnaen, M.Si selaku dosen pembimbing I yang penuh kesabaran dan ketelitiannya telah membimbing demi terselesainya tugas akhir ini. 5. Rini Cahyandari, M.Si. selaku dosen pembimbing II yang penuh kesabaran dan ketelitiannya telah membimbing demi terselesainya tugas akhir ini. 6. Staf jurusan Matematika yang telah membantu dalam tugas akhir ini. Semoga amal kebaikan yang telah diberikan mendapat pahala dari Allah SWT. Tak ada gading yang tak retak, begitupun dengan penulisan tugas akhir ini masih ada kekurangan dan jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran. Semoga tugas akhir ini dapat bermanfaat bagi kita semua, amiin. Bandung, Agustus 2012 Penulis i
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL HALAMAN PENGESAHAN HALAMAN PERNYATAAN HALAMAN PERSEMBAHAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... ii DAFTAR GAMBAR... iv DAFTAR SIMBOL... v DAFTAR LAMPIRAN... vi BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah... 1 1.2. Rumusan Masalah... 2 1.3. Batasan Masalah... 3 1.4. Tujuan Penelitian... 3 1.5. Metode Penelitian... 4 1.6. Sistematika Penulisan... 4 BAB II LANDASAN TEORI 2.1. Persamaan Diferensial... 6 2.1.1. Sistem Autonomous... 7 2.1.2. Titik Kesetimbangan... 8 2.1.3. Stabilitas... 8 2.2. Proses Stokastik... 10 2.2.1. Standard Brownian Motion... 11 2.2.2. Persamaan Diferensial Stokastik... 12 2.2.3. Formula Ito... 12 2.3. Metode Numerik... 13 2.3.1 Metode Euler... 13 2.3.2 Metode Euler Maruyama... 14 ii
2.4. Penyakit Menular... 15 2.5. Model Epidemik... 15 2.6. Bilangan Reproduksi Dasar... 16 BAB III KAJIAN UTAMA PENELITIAN 3.1. Pengertian... 17 3.2. Model SIS Deterministik... 17 3.2.1. Keadaan Bebas Penyakit... 22 3.2.2. Keadaan Endemik... 23 3.3. Model SIS Stokastik... 24 3.3.1. Keadaan Bebas Penyakit... 27 3.3.2. Keadaan Endemik... 28 BAB IV STUDI KASUS DAN ANALISA 4.1. Analisa Model SIS Deterministik... 29 4.1.1. Keadaan Bebas Penyakit... 29 4.1.2. Keadaan Endemik... 32 4.2. Analisa Model SIS Stokastik... 35 4.2.1. Keadaan Bebas Penyakit... 35 4.2.2. Keadaan Endemik... 38 4.3. Perbandingan Model SIS Stokastik dan Deterministik... 40 BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 5.1. Kesimpulan... 43 5.2. Saran... 44 DAFTAR PUSTAKA... 45 RIWAYAT HIDUP LAMPIRAN iii
DAFTAR GAMBAR 2.1. Tiga contoh Brownian Motion... 11 3.1. Diagram Model SIS... 17 3.2. Diagram Model SIS dengan Proses Kelahiran dan Kematian... 19 4.1. Grafik Individu Rentan (a) dan Individu Terinfeksi (b) untuk Model SIS Deterministik dalam Keadaan bebas Penyakit dengan 10 kali Percobaan.. 29 4.2. Grafik Individu Rentan untuk Model SIS Deterministik dalam Keadaan Bebas Penyakit... 30 4.3. Grafik Individu Terinfeksi untuk Model SIS Deterministik dalam Keadaan Bebas Penyakit... 31 4.4. Grafik Individu Rentan (a) dan Individu Terinfeksi (b) untuk model SIS Deterministik dalam Keadaan Endemik dengan 10 kali Percobaan... 32 4.5. Grafik Individu Rentan untuk Model SIS Deterministik dalam Keadaan Endemik... 33 4.6. Grafik Individu Terinfeksi untuk Model SIS Deterministik dalam Keadaan Endemik... 34 4.7. Grafik Individu Terinfeksi untuk Model SIS Stokastik dalam Keadaan Bebas Penyakit dengan σ = 0.001 dalam 10 kali Percobaan... 35 4.8. Grafik Rata-Rata Individu Terinfeksi untuk Model SIS Stokastik dalam Keadaan Bebas Penyakit dengan σ = 0.001... 36 4.9. Grafik Individu Terinfeksi untuk Model SIS Stokastik dalam Keadaan Bebas Penyakit dengan σ = 0.003 dalam 10 kali Percobaan... 37 4.10. Grafik Rata-Rata Individu Terinfeksi untuk Model SIS Stokastik dalam Keadaan Bebas Penyakit dengan σ = 0.003... 37 4.11. Grafik Individu Terinfeksi untuk Model SIS Stokastik dalam Keadaan Endemik dalam 10 kali Percobaan 38 4.12. Grafik Rata-Rata Individu Terinfeksi untuk Model SIS Stokastik dalam Keadaan Endemik... 39 4.13. Grafik Perbandingan Individu Terinfeksi untuk Model SIS Deterministik dan Stokastik dalam Keadaan Endemik... 40 4.14. Grafik Perbandingan Individu Terinfeksi untuk Model SIS Deterministik dan SIS Stokastik... 41 iv
DAFTAR SIMBOL β = laju kontak antara individu rentan dan individu terinfeksi (contact rate) γ = laju pemulihan (recovery rate) μ b = laju kelahiran (birth rate) μ d = laju kematian (death rate) N t = ukuran populasi S t = jumlah individu sehat pada waktu t I t = jumlah individu terinfeksi pada waktu t σ = standar deviasi v
DAFTAR LAMPIRAN A. Pencarian Solusi dari Model SIS Deterministik untuk Individu Terinfeksi B. Pembuktian Teorema 3.4. C. Pembuktian Teorema 3.5. D. Pembuktian Teorema 3.6. E. Pembuktian Proposisi 3.1. F. Data Hasil Perhitungan Model SIS Deterministik dalam Keadaan Bebas Penyakit G. Data Hasil Perhitungan Model SIS Deterministik dalam Keadaan Endemik H. Data Hasil Perhitungan Model SIS Stokastik I. Data Hasil Perhitungan Perbandingan antara Model SIS Deterministik dengan SIS Stokastik J. Daftar Program untuk Model SIS vi