MODUL I PENDAHULUAN 1. Sejarah Graph Teori Graph dilaterbelakangi oleh sebuah permasalahan yang disebut dengan masalah Jembatan Koningsberg. Jembatan Koningsberg berjumlah tujuh buah yang dibangun di atas aliran sungai Pregal yang mengitari pulau Kneiphof sebelum kemudian alirannya bercabang dua. Permasalahan yang timbul adalah apakah mungkin penduduk kota dapat melalui ketujuh buah jembatan tersebut masing-masing tepat satu kali lalu kembali lagi ke tempat semula? Sebagian penduduk kota mengatakan bahwa hal itu tidak mungkin dilakukan, namun mereka tidak mampu menjelaskan mengapa hal tersebut terjadi. Gambar 1. Sketsa tujuh jembatan di Kota Koningsberg. Bermula pada 26 Agustus 1735, Leonhard Euler mempresentasekan sebuah tulisannya dengan judul on The Solution of Problem Relating to The Geometry Position dalam sebuah kesempatan di Academy of Sciences of St. Petersburg, Rusia. Tulisannya secara umum berisi pembahasan tentang ketidakmungkinan untuk melalui ketujuh jembatan Koningsberg dengan tepat satu kali lalu kembali lagi ke tempat semula. Euler tidak menggambarkan secara geometri permasalahan Jembatan Koningsberg, melainkan memberikan tinjauan secara ilmiah tentang 1 Teori Graph Pendahuluan Aswad 2013
permasalahan yang dimaksud. Adapun kesimpulan Euler dari masalah Jembatan Koningsberg adalah sebagai berikut: Jika terdapat dua atau lebih daerah dengan jembatan yang menghubungkan masing-masing daerah berjumlah ganjil, maka tidak mungkin melakukan perjalanan dengan melintasi jembatan tersebut masing-masing tepat satu kali lalu kembali lagi ke tempat semula. Jika jumlah jembatan yang menghubungkan tepat ke dua daerah adalah ganjil, maka perjalanan yang dimaksud bisa saja dilakukan jika dimulai dari daerah di luar kedua daerah yang dimkasud. Jika jumlah jembatan yang menghubungkan masing-masing daerah adalah semuanya genap, maka ketujuh jembatan tersebut pasti akan terlalui masingmasing satu kali, dari daerah manapun kita akan memulia perjalanan. Euler mengirimkan hasil pembahasannya tersebut ke sebuah Akademi Scientiarum Imperialis Petropolitanie dengan judul yang berbeda. Namun, tulisan Euler tersebut baru dipublikasikan sekitar tahun 1752. Permasalahan Jembatan Koningsberg menarik minat beberapa ilmuwan untuk menjelaskannya dalam sebuah bentuk geometri yang selanjutnya menjadi cikal bakan lahirnya graph. Bermula dari L Poinsot di tahun 1809, T. Clausen di tahun 1844, M. Reiss di tahun 1871 yang kemudian dilanjutkan oleh G. Tarry. Nanti di tahun 1892, W. W. Rose Ball menulis sebuah jurnal dalam Mathematical Recreations and Problems yang berisi tentang bagaimana memodelkan permasalahan Jembatan Koningsberg kedalam sebuah graph seperti yang terlihat pada Gambar 2 berikut Gambar 2. Bentuk graph dari jembatan di Kota Koningsberg. 2 Teori Graph Pendahuluan Aswad 2013
Berdasarkan Gambar 2, setiap daerah A, B, C dan D, dimisalkan dengan sebuah titik yang selanjutnya dalam graph disebut dengan simpul atau noktah atau vertex. Sedangkan jembatan yang menghubungkan masing-masing daerah dimislkan dengan ruas garis a, b, c, d, e, f, dan g, yang selanjutnya dalam graph disebut dengan sisi atau edge. Pada simpul A, terdapat 5 sisi yang bersisian, sehingga simpul A berderajat 5. Demikian pula untuk simpul B, C, dan D masingmasing berderajat 3. Karena tidak semua simpul berderajat genap maka tidak mungkin melakukan perjalanan melintasi setiap sisi (jembatan) sebanyak satu kali lalu kemudian kembali lagi ke daerah semula. Konsep ini yang selanjutnya dikenal dengan sirkuit Euler. Graph G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) ditulis dengan notasi G = (V, E). V adalah himpunan tidak kosong dari simpul-simpul (vertices atau node) dan E adalah himpunan sisi (edges atau arcs) yang menghubungkan sepasang simpul. Berdasarkan definisi graph tersebut, jelas bahwa V tidak boleh kosong. Dengan demikian, kemungkinan bentuk graph adalah sebagai berikut Sebuah graph dimungkinkan hanya terdiri dari satu simpul atau vertex saja. Graph ini dinamakan graph trivial. Gambar 3. Sebuah graph dimungkinkan mempunyai simpul yang tak terhubung dengan simpul yang lain. Gambar 4. 3 Teori Graph Pendahuluan Aswad 2013
Sebuah graph belum tentu semua simpulnya terhubung oleh sisi. Gambar 5. Sebuah graph dimungkinkan semua simpulnya saling berhubungan. Gambar 6. Simpul pada graph dapat diberi label dengan huruf kecil seperti a, b, c,..., dengan bilangan asli 1, 2, 3,..., atau dengan gabungan keduanya. Sedangkan sisi yang menghubungkan dua simpul misalkan u dan v dinyatakan dengan pasangan (u, v), atau dinyatakan dengan lambang e 1, e 2,... Atau dapat ditulis sebagai e n = (u, v), dengan n adalah bilangan asli. 2. Jenis-Jenis Graph Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graph, maka secara umum graph dapat digolongkan menjadi dua jenis yaitu Graph Sederhana (simple graph) Graph sederhana tidak mengandung gelang maupun sisi ganda. Sisinya adalah pasangan tak-terurut. Sehingga sisi (u, v) = (v, u). Graph tak-sederhana (unsimple graph) Graph tak-sederhana mengandung sisi ganda dan atau gelang. Ada dua macam graph tak-sederhana yaitu graph ganda (multigraph) dan graph semu (pseudograph). Graph ganda adalah graph yang mengandung sisi ganda. Sisi ganda yang menghubungkan kedua simpul bisa lebih dari dua buah. 4 Teori Graph Pendahuluan Aswad 2013
Graph semu (pseudograph) adalah graph yang mengandung gelang (loop). Graph semu lebih umum daripada graph ganda. Jadi graph semu bisa saja bersifat graph ganda. Tetapi tidak sebaliknya. Contoh 1. Perhatikan Gambar 7 berikut (a) (b) (c) Gambar 7. (a). Graph sederhana; (b). Multigraph; (c). Pseudograph Gambar 7 memperlihatkan tiga buah graph. Gambar 7.(a), disebut graph sederhana. V = {1, 2, 3} E = {e 1, e 2, e 3 } Gambar 7.(b), disebut sebagai multigraph. V = {1, 2, 3} E = {e 1, e 2, e 3, e 4, e 5 } Gambar 7.(c), disebut sebagai pseudograph (meskipun juga bersifat mulitgraph). V = {1, 2, 3} E = {e 1, e 2, e 3, e 4, e 5, e 6 } Berdasarkan jumlah simpul pada suatu graph, maka graph digolongkan menjadi dua jenis yaitu: Graph Berhingga (limited Graph) Graph berhingga adalah graph dengan jumlah simpul berhingga. 5 Teori Graph Pendahuluan Aswad 2013
Graph tak-berhingga (unlimited graph) Graph tak-berhingga adalah graph dengan jumlah simpul tak berhingga banyaknya. Berdasarkan orientasi arah pada sisi graph, dibedakan menjadi 3 jenis yaitu: Graph tak-berarah (undirected graph) Sisinya tidak mempunyai orientasi arah. Urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh sisi tidak diperhatikan sehingga (u, v) = (v, u) merupakan sisi yang sama. Graph berarah (directed graph) Sisinya mempunyai orientasi arah dan biasa disebut dengan busur (arc). Urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh sisi diperhatikan. Artinya (u, v) dan (v, u) menyatakan dua busur yang berbeda. Untuk busur (u, v), simpul u dinamakan simpul asal (initial vertex) dan simpul v dinamakan simpul terminal (terminal vertex). Pada graph berarah gelang diperbolehkan sedangkan sisi ganda tidak. Graph ganda berarah (directed multigraph) Pada dasarnya sifat dan karakteristiknya sama dengan graph berarah hanya saja pada graph-ganda berarah, gelang dan sisi ganda diperbolehkan ada. Contoh 2. Perhatikan Gambar 8 berikut (a) Vertex 1 2 3 4 Derajat masuk 2 2 2 1 Derajat keluar 1 3 1 2 6 Teori Graph Pendahuluan Aswad 2013
Vertex 1 2 3 Derajat masuk 3 4 1 Derajat keluar 3 2 3 (b) Gambar 8. (a). Graph berarah; (b). Graph-ganda berarah 3. Terminologi Dasar Ada beberapa terminologi (istilah) dasar yang berkaitan dengan graph. Beberapa diantaranya dijabarkan sebagai berikut: Subgraph dan Komplemen Subgraph Misalkan G = (V, E) adalah sebuah graph. G 1 = (V 1, E 1 ) adalah subgraph dari G jika V 1 V dan E 1 E. Sedangkan Komplemen dari subgraph G 1 terhadap graph G adalah graph G 2 = (V 2, E 2 ) sedemikian sehingga E 2 = E E 1 dan V 2 adalah himpunan simpul yang anggota-anggota E 2 bersisian dengannya. Perhatikan Gambar 9 berikut (a) (b) (c) Gambar 9. (a). Graph G; (b). Subgraph dari G (G 1 ); (c). Komplemen dari G 1 7 Teori Graph Pendahuluan Aswad 2013
Subgraph yang Direntang (Spanning Subgraph) Subgraph G 1 = (V 1, E 1 ) dari G = (V, E) dikatakan spanning subgraph jika V 1 = V. Dalam hal ini G 1 mengandung semua simpul dari G. (a) (b) (c) Gambar 10. (a). Graph G; (b). Subgraph dari G; (c). Spanning subgraph Derajat (Degree) Derajat suatu simpul pada graph, disimbolkan d(v) adalah jumlah sisi yang bersisian dengan simpul tersebut. (a) (b) (c) Gambar 11. (a). Graph G 1 ; (b). Graph G 2 ; (c). Graph G 3. Pada Graph G 1 : d(1) = d(4) = 2 d(2) = d(3) = 3 Pada Graph G 2 : d(1) = 3, bersisian dengan ruas ganda. d(3) = 4, bersisian dengan loop. Catatan: loop dihitung berderajat dua; d(v) = 2. Hal ini dikarenakan loop direpresentasikan sebagai (v, v) dan simpul v bersisian dua kali pada sisi (v, v). Pada Graph G 3 : d(5) = 0, disebut simpul terpencil / simpul terisolasi. d(4) = 1, disebut simpul akhir atau simpul bergantung. 8 Teori Graph Pendahuluan Aswad 2013
Lemma Jabat Tangan Jumlah derajat semua simpul pada suatu graph adalah genap, yaitu dua kali jumlah sisi pada graph tersebut. Dengan kata lain, jika G = (V, E), maka vv 2 E d v Lemma jabat tangan juga benar untuk graph berarah, dalam hal ini d(v) = d in (v) + d out (v) Perhatikan kembali Gambar 11. Jumlah derajat seluruh simpul pada Gambar 11.(a) adalah d(1) + d(2) + d(3) + d(4) = 2 + 3 + 3 + 2 = 10 = 2 x jumlah sisi = 2 x 5 Jumlah derajat seluruh simpul pada Gambar 11.(b) adalah d(1) + d(2) + d(3) = 3 + 3 + 4 = 10 = 2 x jumlah sisi = 2 x 5 Jumlah derajat seluruh simpul pada Gambar 11.(c) adalah d(1) + d(2) + d(3) + d(4) + d(5) = 2 + 2 + 3 + 1 + 0 = 10 = 2 x jumlah sisi = 2 x 4 Ketetanggaan (Adjacent) Dua buah simpul dikatakan bertetangga jika keduanya terhubung langsung dengan sebuah sisi. Perhatikan kembali Gambar 11. Pada graph G 1, simpul 1 bertetangga dengan simpul 2 dan simpul 3, tetapi tidak bertetangga dengan simpul 4. Bersisian (Incidency) Untuk sembarang sisi e = (u, v), sisi e dikatakan bersisian dengan simpul u dan simpul v. Perhatikan kembali Gambar 11. Sisi e 4 pada graph G 2 bersisian dengan simpul 2 dan simpul 3. Simpul Terpencil (Isolated Vertex) Simpul terpencil adalah simpul yang tidak mempunyai sisi yang bersisian dengannya. Perhatikan graph G 3 pada Gambar 11. Simpul 5 adalah simpul terpencil. Graph Kosong (Null Graph atau Empty Graph) 9 Teori Graph Pendahuluan Aswad 2013
Graph kosonng adalah graph yang himpunan sisinya merupakan himpunan kosong. Graph kosong biasa ditulis dengan N n dengan n adalah jumlah simpul. Gambar 12. Graph Kosong N 5 Gelang (Loop) Loop adalah sisi yang menghubugkan sebuah simpul yang sama. e 5 pada Graph G 2 Gambar 11 disebut loop. Lintasan (Path) Lintasan yang panjangnya n dari simpul awal v 0 ke simpul tujan v n di dalam graph G adalah barisan berselang seling simpul-simpul dan sisi-sisi yang berbentuk v 0, e 1, v 1, e 2,..., v n-1, e n, v n sedmikian sehingga e 1 = (v 0, v 1 ), e 2 = (v 1, v 2 ),..., e n = (v n-1, v n ) adalah sisi-sisi dari graph. Catatan: Simpul dan sisi yang dilalui didalam lintasan boleh berulang. Sebuah lintasan dikatakan lintasan sederhana (simple path) jika semua simpulnya berbeda (setiap sisi yang dilalui hanya satu kali). Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut lintasan tertutup (closed path), sedangkan lintasan yang tidak berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut lintasan terbuka (open path). Mislanya pada Gambar 11 (b); 1, e 1, 2, e 4, 3, e 5, 3, adalah lintasan dari simpul 1 ke simpul 3 yang melalui sisi e 1, e 4, dan e 5. Sirkuit atau Siklus (Cycle) Lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul yang sama disebut sirkuit atau siklus. Sebuah sirkuit dikatakan sirkuit sederhana jika setiap sisi yang dilalui berbeda. Pada Gambar 11(a), 1, 2, 3, 1, adalah sebuah sirkuit sederhana dengan panjang 3, yang dihitung berdasarkan jmlah sisi di dalam 10 Teori Graph Pendahuluan Aswad 2013
sirkuit tersebut. Sedangkan 1, 2, 3, 4, 2, 1, bukan merupakan sirkuit sederhana karena sisi (1, 2) dilalui sebanyak dua kali. Cut-set Cut-set dari graph terhubung G adalah himpunan sisi yang bila dibuang dari G menyebabkan G tidak terhubung. Jadi cut-set menghasilkan dua buah komponen terhubung. Yang harus diingat adalah di dalam cut-set tidak boleh mengandung himpunan bagian yang juga merupakan cut-set. Gambar 13. Sebuah graph terhubung menjadi sebuah graph tak terhubung dikarenakan adanya cut set. Pada Gambar 13, jika kita membuang (1, 2), (1, 4), (6, 4), dan (6, 5) maka graph menjadi tidak terhubung. Jadi himpunan {(1, 2), (1, 4), (6, 4), (6, 5)} adalah cut-set. Himpunan {(1, 2), (2, 4)} juga merupakan cut-set. Tetapi himpunan {(1, 2), (2, 4), (4, 5)} bukan merupakan cut-set karena terdapat {(1, 2), (2, 4)} yang juga merupakan cut-set dan merupakan himpunan bagian dari {(1, 2), (2, 4), (4, 5)}. 11 Teori Graph Pendahuluan Aswad 2013