PENYELESAIAN EKSPLISIT PERSAMAAN TRANSENDEN TESIS Karya tulis sebagai salah satu syarat memperoleh gelar Magister dari Institut Teknologi Bandung: 0leh: Betty Subartini NIM : 20105004 Program Studi Matematika INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2008
PENYELESAIAN EKSPLISIT PERSAMAAN TRANSENDEN 0leh: Betty Subartini NIM : 20105004 Program Studi Matematika INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG Menyetujui Tanggal, Juni 2008 Pembimbing Dr. Kuntjoro Adji Sidarto NIP: 130672114
Abstrak Dalam tesis ini disajikan suatu metode untuk mencari akar fungsi transenden secara eksplisit. Metode tersebut didasari oleh teorema integral Cauchy dan hanya menggunakan konsep dasar integrasi kompleks. Dibahas pula salah satu penyelesaian secara numerik, dan pemanfaatan kedua cara tersebut untuk menyelesaikan beberapa masalah menentukan akar. i
Abstract A method to formulate an explicit expression for the roots of any analytic transcendental function is presented. The method is based on Cauchy s integral theorem and uses only basic consepts of complex integration. One convenient method for numerically evaluating the exact expression and the application of both the formulation and evaluation of the exact expression is presented. ii
PEDOMAN PENGGUNAAN TESIS Tesis S2 yang tidak dipublikasikan terdaftar dan tersedia di Perpustakaan Institut Teknologi Bandung, dan terbuka untuk umum dengan ketentuan bahwa hak cipta ada pada pengarang dengan mengikuti aturan HaKI yang berlaku di Institut Teknologi Bandung. Referensi kepustakaan diperkenankan dicatat, tetapi pengutipan atau peringkasan hanya dapat dilakukan seizin pengarang dan harus disertai dengan kebiasaan ilmiah untuk menyebutkan sumbernya. Memperbanyak atau menerbitkan sebagian atau seluruh tesis haruslah seizin direktur Program Pascasarjana, Institut Teknologi Bandung. iii
KATA PENGANTAR Dengan memanjatkan puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas segala rahmat dan hidayah-nya, akhirnya penulis dapat menyelesaikan tesis ini. Selama penyusunan, tidak sedikit kesulitan yang penulis hadapi yang disebabkan keterbatasan pengetahuan, maupun pengalaman. Oleh karena itu penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, namun penulis berharap kiranya dapat bermanfaat. Pada kesempatan ini penulis ingin menyampaikan terima kasih yang sebesarbesarnya kepada : 1. Dr. Kuntjoro Adji Sidarto, selaku dosen pembimbing yang dengan penuh kesabaran telah bersedia meluangkan waktu untuk membimbing dan dan memberikan pengarahan dan saran-saran yang berguna kepada penulis dalam menyelesaikan tesis ini. 2. Drs. Koko Martono MS., dan Dr. Jalina Widjaya, Selaku dosen penguji yang telah meluangkan waktu dalam memberikan saran-saran. 3. Dr. Irawati, Selaku dosen wali selama penulis menempuh program magister di Matematika ITB. 4. Semua staff dosen, Tata Usaha, Perpustakaan dan Laboratorium Program Studi Matematika Program Magister Matematika. Selain itu penulis ingin menyampaikan rasa terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 5. Suami Drs. Supriatna atas kasih, doa, dukungan, kesabaran dan kesetiaan menemani penulis saat menyusun tesis ini, terutama saat putus asa dan patah semangat. 6. Prof. Dr. Budi Nurani R., selaku ketua jurusan Matematika FMIPA UNPAD yang telah memberikan izin dan bantuan moril maupun materil. 7. Seluruh staff dosen dan karyawan jurusan Matematika FMIPA UNPAD, terutama Erick Paulus, S.Si.,M.Kom. dan Alit Kartiwa, S.Si., M.Si. atas segala bantuannya iv
8. Teman-teman S2 ITB, terutama Edi Kurniadi, S.Si., M.Si. yang telah banyak membantu, serta teman-teman yang lain yang tidak mungkin penulis sebutkan satu persatu. 9. Pihak-pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, yang telah memberikan dorongan dan bantuan sehingga tesis ini selesai disusun. Akhir kata, semoga Tuhan membalas semua kebaikan mereka dan semoga tesis ini dapat memberikam manfaat bagi pihak yang membutuhkannya. Bandung, Juni 2008 penulis v
DAFTAR ISI Halaman Abstrak... i Abstract... ii Pedoman Penggunaan Tesis. iii Kata Pengantar... iv Daftar Isi... vi Daftar Gambar... viii Daftar Tabel... ix BAB 1 Pendahuluan 1.1 Latar Belakang... 1 1.2 Batasan Masalah...... 1 1.3 Tujuan Penelitian... 2 1.4 Sistematika Penulisan. 2 BAB 2 Teori Pendukung 2.1 Lingkungan... 3 2.2 Konsep Turunan.. 3 2.3 Fungsi Analitik.... 4 2.4 Teori Integral Cauchy... 4 2.4.1 Teorema Integral Cauchy... 4 2.4.2 Rumus Integral Cauchy... 4 2.5 Titik Singular... 5 2.6 Deret Laurent.. 7 2.7 Deret Fourier 8 2.8 Transformasi Fourier Diskrit (DFT). 9 2.9 Transformasi Fourier Cepat(FFT).... 11 2.10 Erf (Error Function).. 13 2.11 Metode Secant dan Newton-Raphson.. 14 vi
Halaman BAB 3 Prosedur Penyelesaian Eksplisit Persamaan Transenden. 16 BAB 4 Implementasi 4.1 Kasus 1... 21 4.2 Kasus 2... 24 4.3 Kasus 3 26 4.4 Kasus 4 29 BAB 5 Kesimpulan..... 35 Daftar Pustaka... 36 vii
Daftar Gambar Halaman 1. Gambar 2.1. Annulus Konvergensi... 7 2. Gambar 2.2 Metode Secant... 14 3. Gambar 4.1. Grafik Persamaan tan z = B/z, dengan B= 1 dan B=2... 22 4. Gambar 4.2 Grafik Persamaan 5. Gambar 4.3 Grafik Persamaan : 5 z 5 z = e 2 e z erf ( z) =... 25 S. 28 z π 6. Gambar 4.4 Grafik, C(v)=C* dengan C* = 0.2, S=2, K=2, r=0.03, T=1.. 32 viii
Daftar Tabel Halaman 1. Tabel 4.1 Hasil Perhitungan dengan Metode Secant untuk persamaan z tan z = B. 23 2. Tabel 4.2 Hasil Perhitungan Metode Secant z Untuk Persamaan ( 5 z ) e = 5. 26 3. Tabel 4.3 Hasil Perhitungan Metode Secant S Untuk Persamaan z e z 2 erf ( z) =... 29 π 4. Tabel 4.4 Nilai Volatilitas dengan Metode Eksplisit dengan nilai awal C*=0,2 dan v 0 = 0, 2449... 33 5. Tabel 4.5 Hasil Perhitungan dengan Metode Newton ( T t) Untuk Persamaan C( S, t) = S. N( d1) K. e r N( d2) 33 ix