SISTEM HUKUM KEKEKALAN LINEAR DAN KUASI-LINEAR HIPERBOLIK TUGAS AKHIR Diajukan untuk Memenuhi Persyaratan Sidang Sarjana Program Studi Matematika ITB Oleh: Arnida Lailatul Latifah 101 04 088 Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung 2008
SISTEM HUKUM KEKEKALAN LINEAR DAN KUASI-LINEAR HIPERBOLIK TUGAS AKHIR Diajukan untuk Memenuhi Persyaratan Sidang Sarjana Program Studi Matematika ITB Oleh : Arnida Lailatul Latifah 101 04 088 Telah diperiksa dan disetujui, Bandung, Februari 2008 Dosen pembimbing Dr.Yudi Soeharyadi NIP. 131 875 444 PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2008
Mereka menjawab: Maha Suci Engkau, tidak ada yang kami ketahui selain dari apa yang telah Engkau ajarkan kepada kami; sesungguhnya Engkaulah Yang Maha Mengetahui lagi Maha Bijaksana. (Al Baqarah: 32) Penulis mempersembahkan Tugas Akhir ini untuk Ibu, Bapak, keluarga tercinta, dan teman-teman semua
Abstract Modeling of physical phenomena almost always relies on some kind of conservation, such as conservation of energy, mass, momentum. In this final project, we discuss a class of systems of partial differential equation to describe conservation phenomena, which is called Conservation Laws. Conservation laws may not admit solutions in regular sense; the notion of solutions need to be relaxed to admit discontinuous ones. As the notion of solution becomes weaker, uniqueness is lost; therefore additional condition must be assumed to have uniqueness back. This condition is called entropy. Propagation of discontinuities is studied through Rankine-Hugoniot condition, both for scalar equations, and for systems, in particular in the cases of linear and quasi linear hyperbolic. In all the cases, finite speed of propagation, which is a hallmark of wave equation, exhibited; and thus establishes the fact that conservation laws is really a class of wave equations. Key Words: Conservation Laws, Weak Solutions, Hyperbolic, Entropy iv
Abstrak Pemodelan fenomena fisis seringkali mengasumsikan kekekalan, misalnya kekekalan energi, kekekalan massa, momentum, dan sebagainya. Dalam tugas Akhir ini, kita membahas suatu kelas dari sistem persamaan diferensial parsial untuk mendeskripsikan fenomena kekekalan, yang disebut Hukum Kekekalan. Hukum kekekalan memungkinkan tidak memiliki solusi dalam pengertian biasa. Pengertian solusi perlu diperlemah guna memungkinkan fungsi tak kontinu untuk menjadi solusi hukum kekekalan. Namun dengan memperlemah syarat solusi, sifat ketunggalan hilang, sehingga diperlukan kondisi tambahan agar ketunggalan diperoleh kembali. Kondisi ini disebut entropi. Perambatan diskontinuitas dipelajari melalui kondisi Rankine- Hugoniot untuk persamaan skalar dan untuk sistem, dalam bentuk linear dan kuasi linear hiperbolik. Pada semua bentuk, kecepatan perambatannya berhingga, yang mana merupakan suatu karakteristik dari persamaan gelombang. Hal ini menunjukkan bahwa hukum kekekalan adalah suatu kelas dari persamaan gelombang. Kata kunci: Hukum kekekalan, Solusi Lemah, Hiperbolik, Entropi v
Prakata Alhamdulillaahirabbil aalamiin, puji syukur kehadirat Allah SWT, yang telah memberikan rahmat dan hidayahnya sehingga penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir ini tepat pada waktunya. Tugas Akhir ini disusun untuk memenuhi salah satu persyaratan Sidang Sarjana Program Studi Matematika, Institut Teknologi Bandung. Hukum kekekalan seringkali muncul dalam sistem dinamika, seperti kekekalan massa, momentum, dan sebagainya. Oleh karena itu, penulis memilih topik Sistem Hukum Kekekalan sebagai Tugas Akhir. Dukungan dan bantuan banyak sekali penulis terima selama menjalani perkuliahan di Institut Teknologi Bandung, terutama ketika menyusun Tugas Akhir ini. Oleh karena itu, penulis tak lupa memberikan ucapan terima kasih kepada: 1. Bapak dan Ibu, atas segala doa, dukungan, kesabaran, dan kasih sayang kepada penulis. Mbak Ika dan Mas Dedi yang selalu memberi semangat untuk maju kepada penulis. 2. Adek Gina, yang selalu menghibur penulis saat suka maupun duka. 3. Dr. Yudi Soeharyadi selaku dosen pembimbing yang telah memberikan bimbingan, bantuan, saran, dan kritik sehingga Tugas Akhir ini dapat diselesaikan dengan baik. 4. Dr.Sri Redjeki Pudjaprasetya F dan Dr. Janni L, sebagai dosen penguji yang telah memberikan banyak saran dan kritik sehingga Tugas Akhir ini menjadi semakin baik. vi
PRAKATA vii 5. Ibu Nuning Nuraeni selaku dosen wali penulis yang telah berperan sebagai ibu bagi penulis selama berada di kampus ini serta seluruh staff dosen Matematika ITB yang telah memberikan bantuan, pengetahuan, dan pengalaman kepada penulis. 6. Bibah, Ija, Risma, Resi, Rudi, dan seluruh MA-04, terima kasih atas persahabatan dan semua bantuan hingga penulis bisa menyelesaikan perkuliahan di kampus ini. Semoga persahabatan kita tetap terjaga selamanya. 7. Untuk anak-anak didikku terima kasih telah memberikan kepercayaan, pengalaman, dan pengertian kepada penulis. 8. Serta seluruh pihak yang telah berkontribusi dalam penyusunan Tugas Akhir ini yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu Segala perhatian, semangat, dukungan, bantuan dan pengorbanan dari Bapak, Ibu, serta seluruh rekan-rekan sangat berarti dan tidak akan penulis lupakan. Mudahmudahan Allah SWT membalas segala amal baik Bapak, Ibu, dan rekan-rekan. Ada pepatah mengatakan Tak ada gading yang tak retak. Penulis menyadari bahwa Tugas Akhir ini masih banyak kekurangan, oleh karena itu penulis minta maaf. Segala saran dan kritik dari berbagai pihak penulis harapkan. Akhir kata, penulis mempersembahkan Tugas Akhir ini. Semoga memberikan manfaat bagi para pembaca pada umumnya dan bagi penulis pada khususnya. Bandung, Februari 2008 Penulis Arnida Lailatul Latifah
Daftar Isi Halaman Pengesahan Abstract Abstrak Prakata Daftar Isi Daftar Gambar ii iv v vi viii ix 1 PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang.............................. 1 1.2 Rumusan Masalah............................ 2 1.3 Tujuan................................... 2 1.4 Sistematika Penulisan........................... 3 2 HUKUM KEKEKALAN 4 2.1 Hukum Kekekalan Skalar......................... 4 2.2 Persamaan Skalar Linear dan Nonlinear................. 6 2.3 Solusi Lemah dan Kondisi Rankine Hugoniot.............. 11 2.4 Kondisi Entropi.............................. 14 3 SISTEM HUKUM KEKEKALAN LINEAR 21 viii
DAFTAR ISI ix 3.1 Sistem Linear Hiperbolik......................... 21 3.2 Solusi Sistem Linear Hiperbolik..................... 24 3.3 Masalah Riemann............................. 27 3.4 Solusi Lemah dan Kondisi Rankine Hugoniot.............. 30 4 SISTEM KUASI-LINEAR 32 4.1 Sistem kuasi-linear hiperbolik...................... 32 4.2 Solusi Lemah dan Kondisi Rankine Hugoniot.............. 35 5 KESIMPULAN 38 Daftar Pustaka 39
Daftar Gambar 2.1 Aliran gas dalam pipa impermeabel................... 4 2.2 Ilustrasi sederhana sistem tertutup D dimensi satu.......... 5 2.3 Kurva karakteristik dan solusi persamaan skalar linear........ 7 2.4 Kurva karakteristik dari persamaan nonlinear (2.2.8)......... 8 2.5 Ilustrasi solusi (2.2.8) pada saat t = 0, t = 5, dan t = 10....... 9 2.6 Kurva karakteristik persamaan skalar nonlinear (2.2.9)........ 10 2.7 Ilustrasi solusi (2.2.9) pada saat t = 0, t = 5, dan t = 10....... 10 2.8 Kurva karakteristik masalah Riemann (2.2.9).............. 12 2.9 Domain dengan diskontinuitas...................... 13 2.10 Ilustrasi rarefaction wave pada saat t.................. 16 2.11 Domain dengan sebuah shock...................... 19 3.1 Domain pada persamaan (3.2.6)..................... 29 3.2 Ilustrasi perambatan diskontinuitas pada sistem linear hiperbolik.. 30 4.1 Permukaan dari diskontinuitas sistem kuasi-linear........... 36 x