BAB VI HUKUM KEKEKALAN ENERGI DAN PERSAMAAN BERNOULLI Tujuan Intruksional Umum (TIU) Mahasiswa diharakan daat merencanakan suatu bangunan air berdasarkan konse mekanika luida, teori hidrostatika dan hidrodinamika. Tujuan Intruksional Khusus (TIK) 1. Mahasiswa daat menjelaskan rinsi ersamaan Euler. Mahasiswa daat merumuskan ersamaan Bernoulli untuk aliran dalam ia 3. Mahasiswa daat menghitung besarnya energi dan kehilangan energi aliran dalam ia 4. Mahasiswa daat membuat diagram garis energi dan garis tekanan aliran dalam ia 6.1. Pendahuluan Pada zat cair diam (hydrostatic), gaya-gaya yang bekerja daat dihitung dengan mudah, karena dalam hidrostatika hanya bekerja gaya tekanan yang sederhana. Pada zat cair mengalir (hydrodynamic), ermasalahan menjadi lebih sulit. Faktor-aktor yang dierhitungkan tidak hanya keceatan dan arah artikel, tetai juga engaruh kekentalan (iscosity) yang menyebabkan gaya geser antara artikel-artikel zat cair dan juga antara zat cair dan dinding batas. Gerak zat cair tidak mudah diormulasikan secara matematik, sehingga dierlukan anggaananggaan dan ercobaan-ercobaan untuk mendukung enyelesaian secara teoritis. Persamaan energi yang menggambarkan gerak artikel diturunkan dari ersamaan gerak. Persamaan energi ini meruakan salah satu ersamaan dasar
untuk menyelesaikan masalah yang ada dalam hidraulika. Persamaan energi daat ditunjukkan oleh ersamaan Euler dan ersamaan Bernoulli. 6.. Persamaan Euler Gambar 6.1 menunjukkan elemen berbentuk silinder dari suatu tabung arus yang bergerak seanjang garis arus dengan keceatan dan erceatan di suatu titik dan waktu tertentu adalah V dan a. Panjang, tamang lintang, dan raat massa elemen tersebut adalah ds, da, dan ρ sehingga berat elemen satuan adalah ds.da ρg. Oleh karena tidak ada gesekan maka gaya-gaya yang bekerja hanya gaya tekanan ada ujung elemen dan gaya berat. Hasil kali dari massa elemen dan erceatan harus sama dengan gaya-gaya yang bekerja ada elemen tersebut. ds da + ds da dz da. da dsda Gambar 6.1 Elemen zat cair bergerak seanjang garis arus F = M a (Hukum Newton II) (6.1) Dengan memerhitungkan gaya-gaya yang bekerja ada elemen, maka hukum Newton II untuk gerak artikel diseanjang garis arus menjadi : 59
ρg ds da cos α + da ( + ds) da = ρ ds da a (6.) Persamaan di atas dibagi dengan ds da menjadi: ρg cos α ds = ρ a (6.3) Oleh karena : cos α = z (6.4) Dan kemudian substitusi ersamaan (6.4) dan (6.) untuk erceatan ke dalam ersamaan (6.3) di atas, maka akan di daat: ρg z V = ρ ( t + V V ) atau g z 1 + ρ + V V + V t = 0 (6.5) Untuk aliran steady, dierensial terhada waktu adalah nol, sehingga: g z 1 + ρ + V V = 0 (6.6) Oleh karena ariabel-ariabel dari ersamaan di atas adalah hanya tergantung ada jarak s, maka dierensial arsiil daat di ganti oleh dierensial total: dz 1 g + ds ρ d dv + V = 0 ds ds Aabila masing-masing suku dikalikan dengan ds maka akan di daat: g dz + ρ d + V dv = 0 (6.7) 60
Persamaan (6.7) dikenal dengan ersamaan Euler untuk aliran steady satu dimensi untuk zat cair ideal. 6.3. Persamaan Bernoulli Aabila kedua ruas dari ersamaan (6.7) di bagi dengan g dan kemudian diintegralkan maka akan di daat hasil berikut ini: z + + V g = C (6.8) dengan: z = eleasi (tinggi temat) = tinggi tekanan V g = tinggi keceatan Konstanta integral C adalah tinggi energi total, yang meruakan jumlah dari tinggi temat, tinggi tekanan, dan tinggi keceatan, yang berbeda dari garis arus yang satu ke garis arus yang lain. Oleh karena itu ersamaan tersebut hanya berlaku untuk titik-titik ada suatu garis arus. Persamaan (6.8) dikenal dengan ersamaan Bernoulli ada aliran steady satu dimensi untuk zat cair ideal dan tak mamu mamat. Persamaan tersebut meruakan bentuk matematis dari kekekalan energi di dalam zat cair. Persamaan Bernoulli daat digunakan untuk menentukan garis tekanan dan tenaga (Gambar 6.). 61
A Garis tenaga B V A /g Garis tekanan V B /g B / A / z A z B Gambar 6. Garis tenaga dan tekanan ada zat cair Garis tenaga daat ditunjukkan oleh eleasi muka air ada tabung itot yang besarnya sama dengan tinggi total dari konstanta Bernoulli. Sedang garis tekanan daat ditunjukkan oleh eleasi muka air di dalam tabung ertikal yang disambung ada tei ia. H = z + + V g (6.9) Pada aliran zat cair ideal, garis tenaga memunyai tinggi teta yang menunjukkan jumlah dari tinggi eleasi, tinggi tekanan, dan tinggi keceatan. Garis tekanan menunjukkan jumlah dari tinggi eleasi dan tinggi tekanan (z + /) yang bisa naik atau turun ada arah aliran dan tergantung ada luas tamang aliran. Pada titik A dimana tamang aliran lebih kecil dari titik B akan menyebabkan tinggi keceatan di A lebih besar dariada di B, mengingat V A lebih besar dari V B. Akibatnya tinggi tekanan di titik A lebih kecil dari B, karena 6
diameter seanjang ia tidak seragam maka ada Gambar 6. garis tekanan berua garis lengkung. Tinggi tekanan di titik A dan B yaitu h A = A / dan h B = B / adalah tinggi kolom zat cair yang beratnya tia satuan luas memberikan tekanan sebesar A = h A dan B = h B. Oleh karena itu tekanan yang ada ada ersamaan Bernoulli biasa disebut dengan tekanan statis. Alikasi ersamaan Bernoulli untuk kedua titik di dalam medan aliran akan memberikan: P A V z A + + A g P B V = z B + + B g (6.10) ersamaan (6.10) menunjukkan bahwa jumlah tinggi eleasi, tinggi tekanan dan tinggi keceatan di kedua titik adalah sama. Dengan demikian garis tenaga ada aliran zat cair ideal adalah konstan. 6.4. Kehilangan Energi Pada luida nyata (riil) aliran yang terjadi akan mengalami gesekan dengan dinding ia, sehingga akan mengalami kehilangan energi. Kehilangan energi daat dibedakan menjadi: 1. Kehilangan energi rimer (h ) adalah kehilangan energi karena gesekan dengan dinding batas/ia.. Kehilangan energi sekunder (h e ) adalah kehilangan energi karena erubahan tamang lintang aliran. 63
Pada ia yang sangat anjang kehilangan energi rimer jauh lebih besar dari ada kehilangan energi sekunder, sehingga kehilangan energi sekunder diabaikan. Jadi ersamaan Bernoulli untuk luida nyata daat dituliskan sebagai berikut: 1 z 1 + + 1 = z + + + g h + he (6.11) g Besarnya kehilangan energi rimer akibat gesekan ada ia daat ditentukan sebagai berikut: h = k dimana g L k = (6.1) D 0,0005 = 0,0 + (6.13) D Dimana: D L = diameter ia (m) = anjang ia (m) = keceatan aliran (m/det) g = graitasi (m/det ) = koeesien kehilangan energi gesekan ia Kehilangan energi sekunder daat diakibatkan karena adanya erubahan enamang ia, belokan ia, katu, dan lain-lain. Besarnya kehilangan energi sekunder dirumuskan sebagai berikut: h e = k (6.14) g dimana : = keceatan aliran (m/det) 64
g = erceatan graitasi (m/det ) k = koeesien kehilangan energi sekunder Besarnya nilai k untuk kehilangan energi sekunder tergantung oleh jenis enyebab kehilangan energinya. Tabel 6.1. Koeesien kehilangan energi akibat erubahan enamang (k 1 ) (D 1 /D ) 0 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 k 1 0,5 0,48 0,45 0,41 0,36 0,9 0,1 0,13 0,07 0,01 0,0 Tabel 6.. Koeesien kehilangan energi akibat belokan (k ) Sudut (.. o ) 5 10 15,5 30 45 60 90 Halus 0,016 0,034 0,04 0,066 0,130 0,36 0,471 1,19 k Kasar 0,04 0,044 0,06 0,154 0,165 0,30 0,684 1,65 6.5. Perlatihan 1). Suatu ia memunyai luas tamang yang mengecil dari diameter 0,3 m ( tamang 1 ) menjadi 0,1 m ( tamang ). Selisih tamang 1 dan adalah z dengan osisi seerti Gambar. 1 E.L 1 /g /g 1 / / z 65
Pia mengalirkan air dengan debit aliran 50 l/detik. Tekanan ditamang 1 adalah kg/cm. Aabila tekanan ada tamang tidak boleh lebih kecil dari 1 kg/cm. Aabila kehilangan energi daat diabaikan dan g = 9,81 m/det. Hitung nilai z - nya! Penyelesaian D 1 = 0,3 m D = 0,1 m Q = 50 l/det = 0,05 m 3 /det 1 = = Q 0,05 = A 1 1. π.0,3 4 Q 0,05 = A 1. π.0,1 4 = 0,707 m/det = 6,366 m/det Tekanan dan tinggi tekan : 1 = kg/cm = 0 ton/m 1 = 1 0 = 0 m = 1 kg/cm =10 ton/m 10 = = 10 m 1 Dengan mengambil garis melalui tamang 1 sebagai reerensi, maka ersamaan Bernauli daat dituliskan sebagai berikut : 1 1 z1 + + = z + + g g 66
0,707 6,366 0 + 0 + = z + 10 + g g z = 7, 96m Jadi nilai z nya adalah 7, 96 meter..) Air mengalir melalui ia seanjang 100 m dan berdiameter 10 cm dari titik A menuju ke titik B. koeesien gesekan = 0,015. Perbedaan tekanan di A dan B adalah 1 kg/cm. Hitung debit aliranya. g A h g D = 10 cm A B B L = 100 m Penyelesaian Koeesien gesekan = 0,015 Perbedaan tekanan antara A dan B = 1 kg/cm = 10.000 kg/m Persamaan bernoulli antara titik A(1) dan B() adalah 67
1 z 1 + + 1 = z + + g g h + Karena ia horisontal maka (z 1 = z ) dan keceatan aliran seanjang ia aliran adalah sama, 1 =. Maka ersamaan di atas daat ditulis menjadi : h 1 = = Sehingga L V D g = 100 0,015x x = 0,1 x9,18 Debit aliran adalah : Q = A. = ¼ x π x 0,1 x 3,617 = 0,084 m 3 /det 10.000 1000 = 3,617 m/det 3.) Air mengalir dari kolam A menuju kolam B melalui ia seanjang 100 meter dan berdiameter 10 cm. Perbedaan eleasi muka air kedua kolam adalah 5 meter. Koeesien gesekan ia = 0,015, sedangkan koeesien kehilangan energi akibat erubahan enamang ada sambungan kolam A dan kolam B adalah k A = 0,5 dan k B = 1. Hitunglah debit aliran yang terjadi. 68
h ea A 0,1 m h h eb B L = 100 m Penyelasaian g g A A B B z A + + = zb + + + hea + h + h eb Karena titik A dan B memiliki eleasi yang sama, maka z A = z B dan A = B = 0 (tamang aliran di A dan B sangat besar) Persamaan di atas daat dituliskan sebagai berikut : A B = h ea + h + h eb 5 = k A + g L D + k g B g 100 5 = 0,5x + 0,015x x + 1,0 x g 0,1 g g 5 = 16,5 g =,438 m/det Debit aliran Q = A x = ¼ x 0,1 x,438 = 0,019 m 3 /det 69
70