1 PERMODELAN MATEMATIS LINTASAN BOLA YANG BERGERAK DENGAN TOP SPIN PADA OLAH RAGA SEPAK BOLA Ridho Muhammad Akbar Jurusan Fisika, Institut Teknologi Bandung, Bandung, Indonesia (15 Juli 2013) Tujuan dari ditulisnya karya ilmiah ini adalah untuk menyelidiki proses fisis terbentuknya lintasan bola dari sebuah tendangan bebas pada olah raga sepak bola. Permodelan dilakukan dengan menganggap bola bergerak di dalam fluida udara dan memperhitungkan pengaruh arah gerak bola, kecepatan bola, rotasi bola, sudut elevasi arah gerak bola dengan tanah, dan percepatan gravitasi terhadap gaya-gaya aerodinamika seperti drag force dan Magnus Force. Permodelan dilakukan dengan menggunakan Spreadsheet pada Microsoft Excell 2007. Pada akhirnya, hasil dari permodelan ini dapat menjelaskan secara fisis bagaimana seorang Cristiano Ronaldo, pemain sepak bola yang sangat hebat dan terkenal, dapat melakukan tendangan bebas yang sangat spektakuler, bola melambung tinggi melewati pagar betis dan tiba-tiba menukik ke arah gawang. I. PENDAHULUAN Cristiano Ronaldo, salah satu pemain sepak bola yang sangat terkenal dengan kemampuan bermainnya yang sangat hebat, khususnya kemampuannya dalam mengeksekusi tendangan bebas. Bola ditendang dengan keras, bahkan kecepatannya dapat melebihi 90 km/jam, melambung tinggi melewati pagar penjaga, dan kemudian menukik tajam masuk ke dalam gawang. Kehebatannya dalam mengeksekusi tendangan bebas tersebut sampai menimbulkan pertanyaan-pertanyaan dan spekulasi-spekulasi dari berbagai kalangan. Bagaimana dia dapat membuat bolanya menukik tajam dalam kecepatan yang tinggi? Dalam melakukan tendangan bebas, ada tiga tantangan yang harus dilalui agar dapat mencetak gol. Pertama adalah bagaimana melewati pagar betis yang jaraknya sekitar 9 meter di depan bola. Kedua adalah bagaimana membuat bola menukik sehingga ketinggian bola pada mulut gawang tidak lebih dari ketinggian gawang. Terakhir, yang ketiga, adalah bagaimana menempatkan bola jauh dari jangkauan penjaga gawang atau menendang bola cukup keras sehingga penjaga gawang tidak dapat menghalau bola dan bola dapat masuk ke dalam gawang. Pada dasarnya, lintasan bola pada tendangan bebas adalah lintasan parabola. Setidaknya dibutuhkan sudut elevasi (launching angle) lebih dari 15 derjat agar dapat melewati pagar betis. Pada peninjauan yang ideal tanpa memperhatikan gaya gesek dengan udara seperti yang sering dipelajari di sekolah menengah, memberikan kecepatan awal sebesar 100 km/jam atau sekitar 29m/s dengan sudut elevasi lebih dari 15 derajat dan jarak tendangan bebas dari gawang adalah sekitar 20m maka bola akan melambung tinggi di atas gawang. Akan tetapi, apabila kita memberikan top spin atau forward spin pada bola, akan timbul gaya ke bawah sehingga bola dapat menukik bahkan jika kecepatan awalnya cukup tinggi sampai 100 km/jam atau bahkan lebih. (gambar 1.1). 1 2 3 4 5 6 Gambar1.Lintasan bola yang ditendang dengan menambahkan top spin. Terlihat bola mulai menukik dari gambar 3 ke gambar 4. Pada gambar 5 terlihat bola mendarat rendah dan gol pun tercipta.
2 II. TEORI DASAR A. Magnus Effect dan Top Spin Efek Magnus adalah suatu fenomena fisika dimana muncul suatu gaya aerodinamika pada bola/silinder yang berotasi. Gaya Magnus dirumuskan sebagai berikut; dan masing-masing adalah vektor kecepatan sudut (rotasi) dan kecepatan linier bola. (Spinning parameter) adalah suatu koefisien yang bergantung dengan dimensi benda dan keadaan fluida tempat benda bergrak. Cross product menunjukkan bahwa arah gaya magnus adalah tegak lurus arah gerak benda dan sumbu rotasi benda. Frase Top Spin adalah suatu istilah bagi jenis putaran dimana bola berotasi searah dengan arah gerak bola. Dengan berotasi sedemikian rupa, maka kecepatan alir udara di bagian atas bola menjadi lebih rendah dibandingkan dengan kecepatan alir udara di bagian bawah bola. Akibatnya bola akan mendapatkan beban yang lebih banyak di bagian atasnya daripada di bagian bawahnya sehingga timbulah gaya ke arah bawah (gambar 2). Selanjutnya, persamaan (1) dapat juga ditulis menjadi; Gambar 2. Jalur udara di sekitar bola yang berotasi dan bergerak ke arah kanan dengan kecepatan. Gambar 3. Diagram benda bebas bola ketika (a) bola bergerak naik, (b) bola pada ketinggian maksimum, dan (c) bola bergerak turun. dan masing-masing adalah gaya gesek udara, gaya magnus, gaya berat, kecepatan linier, dan kecepatan sudut rotasi bola. Dari diagram benda bebas tersebut, persamaan gerak bola menurut hokum Newton II dapat kita tulis sebagai; Dimana; dan (a) (c) masing-masing adalah koefisien drag force dan koefisien magnus force. Akan lebih mudah melakukan perhitungan apabila setiap komponen vektor gaya kita uraikan dalam arah sumbu dan. (b) Gaya gesek udara (drag force) didefinisikan sebagai; kita tahu bahwa; Dengan dan masing-masing adalah kerapatan udara, luas penampang bola, koefisien gaya magnus, dan jari-jari bola. sehingga persamaan (5) dapat juga ditulis sebagai; B. Hukum II Newton dimana; Ada beberapa gaya yang bekerja pada bola ketika melayang di udara yaitu gaya magnus yang tegak lurus dengan kecepatan bola dan arah sumbu rotasi bola, gaya gesek udara (drag force) yang berlawanan dengan arah gerak bola, serta gaya berat ke arah pusat bumi. Jika kita lukiskan diagram benda bebasnya dalam dua dimensi dengan menganggap bola hanya berotasi ke arah depan, hasilnya adalah sebagai berikut: Jika kita uraikan terhadap sumbu x, y, dan z, maka persamaannya menjadi;
3 Excel 2007. Sebenarnya akan jauh lebih baik jika Gaya magnus didefinisikan sebagai; Jika kita uraikan terhadap sumbu x, y, dan z, maka hasilnya menjadi; digunakan software-software seperti Mathematica atau MatLab. Informasi yang bisa didapatkan akan semakin banyak. Akan tetapi karena keterbatasan kemampuan dan sumber daya, program spreadsheetlah yang saya gunakan. Lagi pula, dengan spreadsheet pun masih dapat dihasilkan gambaran yang cukup baik mengenai bagaimana lintasan bola dengan efek top spin tersebut. A. Asumsi-asumsi yang Digunakan Sebenarnya banyak asumsi-asumsi yang saya gunakan untuk membuat permodelan ini. Akan tetapi berikut adalah beberapa asumsi-asumsi yang Dengan mensubstitusaikan persamaan (10) sampai (15) ke dalam persamaan (3) kita dapat menguraikan persamaan (3) ke dalam sumbu x, y, dan z. Jika proyeksi lintasan bola pada bidang lapangan adalah sumbu x, sumbu yang tegak lurus sumbu x pada bidang lapangan adalah sumbu y, dan arah vertikal adalah arah sumbu z maka persamaan (3) dapat kita uraikan menjadi; (16) (17) dimana; Ketiga persamaan itu lah yang merupakan persamaan diferensial dari gerak dari bola hasil tendangan bebas pada pertandingan sepak bola. Solusi persamaan diferensial tersebut sulit untuk ditentukan secara analitik karena merupakan persamaan diferensial non linier. Akan tetapi, solusinya tidak terlalu sulit ditemukan jika dikerjakan secara numerik dengan menggunakan software seperti Mathematica, MatLab, atau spreadsheet. III. PERMODELAN Permodelan dilakukan dengan menggunakan program aplikasi spreadsheet pada Microsoft Office pengaruhnya cukup signifikan pada keadaan sebenarnya; Asumsi yang pertama adalah bola tidak berotasi ke samping. Torsi yang diberikan hanya torsi yang mengakibatkan bola memiliki top spin dan tidak ada side spin. Hal ini menjadikan saya tidak salah dalam menentukan sumbu x sebagai proyeksi lintasan bola pada lapangan karena tidak adanya side spin berarti tidak ada perubahan posisi bola pada arah sumbu y. Karena bola diasumsikan tidak memiliki side spin, maka sehingga gaya magnus pada arah sumbu y adalah nol ( ). Berarti juga, gaya gesek udara pada arah sumbu y akan sama dengan nol ( ). Sekarang kita dapat membuat model lintasan bola dua dimensi. Hal ini cukup tepat dengan keadaan nyata dimana khas tendangan bebas Cristiano Ronaldo adalah keras dan lurus ke arah gawang. Pada kenyataannya, sulit bagi seorang pemain sepak bola untuk memberikan top spin saja tanpa side spin pada bola. Hal ini dikarenakan bola ditendang dari atas tanah sehingga sulit untuk mendapatkan titik kontak yang tepat antara kaki dengan bola agar bola hanya mendapatkan top spin. Kedua, saya anggap bahwa besar kecepatan rotasi bola tetap. Pada kenyataannya, seharusnya kecepatan rotasi bola berkurang dikarenakan adanya gaya gesek dengan udara. Ketiga, saya mengasumsikan tidak ada angin atau kecepatan angin sangat kecil sehingga pengaruhnya pada lintasan bola dapat diabaikan. Pada keadaan sebenarnya, pengaruh angin cukup signifikan dalam merubah arah gerak bola. Ditambah lagi bola hanya berotasi ke arah depan sehingga perubahan arah gerak
4 karena adanya angin samping dapat sewaktu-waktu terjadi. Keempat, koefisien gaya gesek udara ( ) saya anggap konstan. Kenyataannya, koefisien ini dapat berubah-ubah seiring dengan perubahan kecepatan bola. Koefisien magnus ( ) juga saya anggap konstan Pada kenyataannya, koefisien magnus juga berubahubah seiring perubahan kecepatan linier dan kecepatan rotasi bola. Dalam permodelan ini, saya mengambil nilai rata-rata koefisian gaya gesek udara serta koefisien magnus untuk bola yang digunakan dalam olah raga sepak bola yaitu dan. Itulah beberapa asumsi yang saya gunakan dalam permodelan ini. Asumsi-asumsi tersebut akan perlu diperiksa kembali pada kesempatan lain untuk mendapatkan hasil permodelan yang lebih akurat. Jangan dilupakan bahwa; Dimana,,, dan masing-masing adalah besar kecepatan awal, besar kecepatan awal dalam arah sumbu x, besar kecepatan awal dalam arah sumbu z, dan sudut elevasi saat bola meninggalkan tanah. Ketika kecepatan berubah, posisi bola juga akan berubah. Kita tahu bahwa perubahan posisi bola dalam selang waktu tertentu sama dengan kecepatan rata-rata bola dalam selang waktu tersebut. Dalam hal ini, kecepatan rata-rata bola dalam selang waktu sama dengan; dari persamaan (24), posisi bola pada waktu adalah; B. Solusi Numerik Seperti yang telah dikatakan sebelumnya bahwa persamaan diferensial dari lintasan bola ini akan sulit untuk diselesaikan secara analitik. Akan tetapi kita dapat menggunakan spreadsheet untuk menyelesaikan persamaan-persamaan tersebut secara numerik. Karena gaya-gaya pada sumbu y sama dengan nol, maka percepatan pada arah sumbu y juga nol. Kita hanya perlu menyelesaikan persamaan gerak pada sumbu x dan sumbu vertikal atau sumbu z. Percepatan pada arah sumbu x dinyatakan dengan; sedangkan pada sumbu z dinyatakan dengan; Pada dasarnya, percepatan akan selalu berubah seiring dengan perubahan kecepatan setiap waktunya. Akan tetapi pada selang waktu yang sangat sempit, perubahan itu akan sangat kecil sehingga bisa kita anggap konstan. Dengan demikian, jika kita mengetahui kecepatan dan posisi bola pada suatu waktu maka dengan asumsi bahwa, kita dapat menentukan kecepatan dan posisi bola pada waktu. Pada waktu, kecepatan pada arah sumbu x dan y akan berubah menjadi; Persamaan (19) sampai (26) lah yang harus dimasukkan ke dalam formula di spreadsheet. Massa jenis udara adalah sekitar 1,225, jari-jari bola adalah 0,111408 meter, massa bola untuk pertandingan professional adalah sekitar 0,43 kg. Koefisien gaya gesek udara untuk bola sepak sekitar 0,2 dan koefisien magnus sekitar 1. Dengan memasukkan besar kecepatan awal, sudut elevasi saat bola meninggalkan tanah, dan nilai selang waktu, maka komputer dapat memplot titik-titik pada setiap selang waktu dan memberikan gambaran lintasan bola sampai pada waktu tertentu. IV. HASIL DAN PEMBAHASAN Grafik 1 menunjukkan lintasan bola yang ditendang dengan kecepatan awal 130 km/jam, yang merupakan kecepatan awal rata-rata yang diberikan Cristiano Ronaldo ketika mengeksekusi tendangan bebas, sudut elevasi 18 derajat, dan kecepatan rotasi 9 rps. Pada grafik terlihat bahwa bola yang diberikan top spin akan mampu mempertahankan ketinggiannya agar tidak terlalu jauh di atas mistar gawang. Dengan demikian, akurasi tendangan pun akan jauh lebih terjaga jika dibandingkan dengan tendangan tanpa top spin yang terlihat melambung tinggi.
5 Grafik 1. Terlihat bahwa bola yang diberikan top spin (biru) akan dapat mempertahankan ketinggiannya di bawah 3 meter sementara bola yang ditendang tanpa spin apapun (merah) akan melambung tinggi. Pada jarak sekitar 9 meter, ketinggian bola berada pada sekitar 1,8 sampai 2,2 meter. Hal ini menjadikan bola memiliki ketinggian yang cukup untuk melewati pagar betis tim lawan jika rata-rata tinggi pemain sepak bola adalah 170 cm. Pada jarak 20 meter sampai 30 meter, bola bergerak turun dan berada pada ketinggian kurang dari 2,5 meter. Ketinggian gawang sekitar 2,44 meter menjadikan teknik top spin free kick ini menjadi sangat efektif untuk mencetak gol melalui tendangan bebas baik untuk jarak dekat, jarak menengah, maupun jarak jauh. Grafik 2 dan grafik 3 menunjukkan ketinggian dan jarak tempub bola dari waktu ke waktu. Terlihat bahwa bola yang diberikan top spin hanya butuh waktu 1 detik untuk mendarat di tanah. Pada saat itu bola telah menempuh jarak sejauh 30 meter di lapangan. Sementara pada saat yang sama, bola yang tidak diberikan top spin masih berada pada ketinggian 5 meter. Pada grafik 2 juga terlihat bahwa pada detik ke 0,4 bola mencapai ketinggian maksimumnya. Artinya, dalam selang waktu 0,4 detik, bola berubah dari keadaan bergerak ke atas menjadi bergerak ke bawah. Ini yang menggambarkan efek menukik tiba-tiba pada tendangan bebas Cristiano Ronaldo. Kemudian bola membutuhkan waktu 0,6 detik untuk mencapai tanah kembali (mencapai gawang). Artinya, seorang penjaga gawang hanya memiliki waktu kurang dari 0,6 detik untuk bereaksi kemudian melompat sampai menjangkau bola. Grafik 2. Pengaruh gaya magnus pada perubahan ketinggian bola dari waktu ke waktu terlihat sangat signifikan. Grafik 3. Pengaruh gaya magnus pada perubahan posisi horizontal bola dari waktu ke waktu tidak terlalu besar dikarenakan sudut elevasi yang diberikan kecil ( ). Pada grafik 3, kedua kurva (merah dan biru) berimpit. Berarti, waktu yang dibutuhkan kedua jenis bola (dengan atau tanpa top spin) untuk mencapai jarak horizontal tertentu hampir sama. Dengan kata lain, keberadaan gaya magnus tidak terlalu mempengaruhi kecepatan bola pada arah horizontal akan tetapi sangat mempengaruhi kecepatan bola dalam arah vertikal seperti yang ditunjukkan oleh grafik 2. Hal ini dikarenakan besar gaya magnus pada kasus bola dengan top spin berbanding lurus dengan nilai sinus sudut elevasi (gambar 3) dan pada sebuah tendangan bebas di pertandingan sepak bola, sudut elevasi yang diberikan hanya berkisar 15 25 derajat. Akan tetapi, tentu saja pada sudut elevasi yang lebih besar (>30 derajat) maka pengaruh gaya magnus pada kecepatan pada arah horizontal akan terlihat lebih besar dan pada sudut elevasi lebih dari 45 derajat pengaruhnya pada kecepatan horizontal akan lebih besar pada kecepatan vertikal.
6 Grafik 4. Ketika bola bergerak ke atas kecepatan kedua bola hampir sama. Akan tetapi, ketika bola bergerak turun, bola dengan top spin memiliki kecepatan yang lebih tinggi. Ini menjelaskan efek menukik pada tendangan bebas Cristiano Ronaldo Grafik 4 menggambarkan jejak resultan kecepatan bola dari waktu ke waktu. Terlihat bahwa pada detik 0 sampai 0,4 bola yang bergerak dengan top spin akan bergerak sama cepat dengan bola yang bergerak tanpa top spin. Sementara pada detik 0,4 dan seterusnya, bola yang bergerak dengan top spin memiliki kecepatan yang lebih besar. Telah dibahas sebelumnya bahwa pengaruh gaya magnus pada kecepatan horizontal pada kasus ini tidaklah terlalu besar (grafik 3). Dengan kata lain, kecepatan pada arah vertikal bola yang memiliki top spin meningkat seiring berjalannya waktu atau dapat kita katakana bahwa bola yang memiliki top spin akan menukik dengan kecepatan cukup tinggi. Program yang saya buat menyatakan bahwa bola yang diberikan kecepatan awal sebesar 130 km/jam dengan sudut elevasi 18 derajat dan kecepatan sudut 9 rotasi per detik akan memiliki kecepatan rata-rata sebesar 100,04 km/jam. V. KESIMPULAN Kesimpulannya, bola yang ditendang dengan memberikan top spin akan mengalami gaya magnus ke arah bawah sepanjang lintasannya sehingga mengakibatkan bola tidak akan melayang terlalu tinggi. Pemberian top spin juga dapat mempertahankan kecepatan bola sejak bola meninggalkan tanah sampai bola berada di mulut gawang sehingga memungkinkan seorang pemain sepak bola untuk mengeksekusi tendangan bebas dengan kekuatan tinggi dan tetap terarah. VI.PENUTUP Seorang pitcher pada olah raga base ball sering menggunakan teknik ini untuk mengecoh batter. Dalam base ball, teknik pemberian top spin pada lemparan dikenal dengan sebutan knuckle ball. Petenis lapangan dan meja pun sering menggunakan teknik seperti ini untuk mengecoh lawannya. Dengan pemberian rotasi pada bola maka lintasan bola akan menjadi rumit dan merepotkan lawan. Ada satu hal yang unik dalam penggunaan teknik top spin ini pada sepak bola. Jika pada olah raga lain, pemberian top spin pada bola tidak terlalu sulit dikarenakan bola berada di udara ketika mengalami kontak dengan pemain. Pemain hanya tinggal memukul bola sedikit di bagian bawah dan memberikan sedikit gaya ke arah atas. Akan tetapi, pada olah raga sepak bola, tendangan bebas khususnya, bola ditendang pada posisi di atas tanah. Hal ini menyulitkan pemain untuk mencari titik kontak yang tepat agar bola bergerak dengan top spin. Gerakan kaki pun menjadi hal yang sangat penting dalam teknik ini. Itulah mengapa orang tidak ragu ketika mengatakan bahwa Cristiano Ronaldo adalah pemain sepak bola yang sangat hebat. VII. DAFTAR PUSTAKA Ahmad, Mohammad. 2011. Bend It Like Magnus: Simulating Soccer Physics. Ohio. The College of Wooster. Sport Technology Institute. Analyzing Top Spin Free Kick. Loughborough University. United Kingdom. https://en.wikipedia.org/wiki/magnus_effect https:// http://en.wikipedia.org/wiki/topspin https://www.soccerballworld.com/sizes.htm Pada akhirnya, tendangan bebas yang sangat hebat dari Cristiano Ronaldo pun telah berhasil dimodelkan secara sederhana. Sebenarnya teknik pemberian top spin pada bola juga dilakukan di olah raga-olah raga lain.