BAB: PENERAPAN INTEGRAL Topik: Volume Bend Putr (Khusus Klkulus ) Kompetensi yng diukur dlh kemmpun mhsisw menghitung volume bend putr dengn metode cincin, metode ckrm, tu metode kulit tbung.. UAS Klkulus, Semester Pendek 004 no. 0 (kriteri: sulit) Tentukn volume bend putr yng terjdi jik derh R, seperti terliht pd gmbr di bwh ini, diputr mengelilingi () sumbu x, (b) sumbu y. Jwb: Titik potong kedu kurv dpt ditentukn dri Kren jx + j jx + j 4 x 4x 6: x + ; jik x (x + ) ; jik x < mk terdpt du ksus dlm mencri titik potong:
Ksus : untuk x < (x + ) 4 x 4x 6 ) x 4 x 4x 6 x + x 0 ) x (x + ) 0 ) x 0 tu x Kren x < ; mk titik potong kedu kurv dlh di x : Ksus : untuk x x + 4 x 4x 6 ) x + 5x + 4 0 (x + 4) (x + ) 0 ) x 4 tu x : Kren x ; mk titik potongny dlh x : Dri persmn fungsi nili mutlkny, dikethui bhw titik "punck" nili mutlk dlh titik ( ; 4) : Fungsi kudrt y x 4x 6 x + 4x + 6 (x + ) + (x + ) : Jdi "punck" fungsi kudrtny dlh titik ( ; ) : () Volume bend putr yng diperoleh jik derh R diputr mengelilingi sumbu-x dlh Z h (jx + j 4) x 4x 6 i dx (metode cincin) Z + Z n ( (x + ) 4) x 4x 6 o dx n ((x + ) 4) x 4x 6 o dx
tu jik diselesikn dengn metode kulit tbung, mk terlebih dhulu hrus ditentukn persmn kurv kudrt dlm y sebgi berikut y (x + ) (x + ) y Bil x ; mk x + 0; sehingg x + p y ) x + p y ; sedngkn jik x < ; mk x + < 0; sehingg x + p y ) x p y : Persmn nili mutlkny jug hrus dituliskn sebgi x y + ; untuk x (kren y x + 4) x y 6; untuk x < (kren y x 4) Jdi volume bend putrny dlh + Z 4 Z ( y) [(y + ) ( y 6)]dy h ( y) + p y p y i dy Cttn: Pd metode cincin, diklikn dengn "jri-jri lur" "jri-jri dlm" Penggunn metode kulit tbung pd ksus ini, i. y hrus diklikn ( ) kren y berd di kudrn ke- sehingg y < 0; pdhl jri-jri hrus bernili positif ii. pnjng/tinggi tbung tetp dimbil yng positif, yitu "knn kiri". (b) Volume bend putr yng terjdi jik derh R diputr mengelilingi sumbu-y (dengn menggunkn metode kulit tbung) dlh + Z Z Z ( x) x 4x 6 (jx + j 4) dx ( x) x 4x 6 ( x 4) dx ( x) x 4x 6 (x + 4) dx
Jik diselesikn dengn menggunkn metode cincin, mk rumus integrlny dlh + Z 4 Z ( y 6) (y + ) dy p y + p y dy. UAS Klkulus, thun 004 no. 0 (kriteri: sush) Dikethui derh R dibtsi oleh kurv y x +, y x + dn gris y, 0 : Tentukn konstnt, sedemikin sehingg volume bend putr yng terjdi jik derh R diputr terhdp sumbu x sm dengn Jwb: stun volume. Dengn menggunkn metode kulit tbung diperoleh volume bend
putrny dlh Z y [( y) (y )] dy Z y ( Z y) dy y y dy y y + + : Kren dikethui volumeny dlh ; mk + + 0 + ( + ) Dri persmn terkhir diperoleh bhw 0 tu : Kren < ; mk 0: Jdi sumbu putrny dlh gris y 0 (sumbu-x).. UAS Klkulus thun 00 no. 0 (kriteri: sulit) Dikethui derh R dibtsi oleh kurv f dn g dengn f (x) x 4x + dn g (x) x + 4x 5; gris x ; dn gris x ; seperti pd gmbr berikut: Rumuskn volume bend putr yng terjdi (dlm bentuk integrl tentu) jik derh R tersebut diputr dengn sumbu putr () sumbu-x; (b) sumbu-y: Jwb: () Dengn menggunkn metode cincin diperoleh Z n x + 4x 5 x 4x + o dx
(b) Dengn menggunkn metode kulit tbung (silindris) diperoleh Z x x 4x + x + 4x 5 dx: 4. UAS Klkulus () thun 00 no. b (kriteri mudh) Dikethui R dlh bidng dtr yng dibtsi kurv y x dn y x : Tentukn volume bend pejl yng diperoleh dri pemutrn derh R terhdp sumbu-x: Jwb: Dengn menggunkn metode cincin, diperoleh volume bend pejl jik derh R diputr terhdp sumbu-x; yitu Z 0 Z 0 x x 5 x dx x 4 dx x 5 x5 0 5 : 0
5. UAS Klkulus () thun 00 no. 6 (kriteri: sedng) Dikethui derh A seperti pd gmbr berikut: Rumuskn volume bend putr yng terjdi (dlm bentuk integrl tentu) jik derh A tersebut diputr dengn sumbu putr () sumbu-y (b) gris y 5: Jwb: Volume bend putr yng diperoleh jik derh A diputr mengelilingi: () sumbu-y dlh Z 5 f (y) g (y) dy (dengn metode cincin) (b) gris y 5 dlh: Z 5 (5 y) (f (y) g (y)) dy (dengn metode kulit tbung) 6. UAS Klkulus thun 00 no. 9 Diberikn derh R yng dibtsi oleh kurv fungsi f (x) 4 g (x) jxj (liht gmbr). x ; dn y 6 y 4 x - x c cc cc y jxj Tnp menghitung nili integrlny, tentukn rumus volume bend putr yng diperoleh jik derh R diputr terhdp gris berikut : () y 5; dengn metode cincin, (b) x ; dengn metode kulit tbung, (c) y ; dengn metode kulit tbung:
Jwb: Rumus volume bend putr () jik R diputr terhdp gris y 5 dn dengn menggunkn metode cincin: Z (5 (jxj )) 5 4 x dx; (b) jik R diputr terhdp gris x dn dengn menggunkn metode kulit tbung: Z ( x) 4 x (jxj ) dx: (c) jik R diputr terhdp gris y metode kulit tbung: dn dengn menggunkn Z 0 + Z 4 0 (y + ) [(y + ) (y )] dy p p (y + ) 4 y 4 y dy 7. UAS Klkulus thun 00 no. 9 Dikethui gels minumn setinggi h, jri-jri ts cm, jri-jri ls cm (liht Gmbr ). Volume gels tersebut dpt ditentukn dengn konsep volume bend putr dengn lngkh sebgi berikut: () Rumuskn y f (x) pd gmbr. (b) Gunkn metode ckrm untuk menentukn volume gels di ts dengn memutr derh A: Jwb: () Gr k fungsi y f (x) mellui titik (0; ) dn (h; ) ; sehingg persmn grisny dlh y x 0 h 0 y x h y f (x) h x +
(b) Dengn menggunkn metode ckrm diperoleh volumeny dlh sebgi berikut Z h 0 h x + dx Z h 0 h x + 4 h x + 4 dx h x + 4 h h x + 4x 0 h h + 4 h + 4h 0 h h + h + 4h 9 h 8. UAS Klkulus thun 000 no. 0. Bidng R dibtsi oleh kurv x + y. Jik R diputr terhdp gris x b (dengn b > > 0), mk rumuskn volume bend putr tersebut dlm bentuk integrl tentu. Jwb: Untuk menggunkn metode kulit tbung (silinder) ubh persmn
fungsi menjdi y x ) y p x ; sehingg volume bend putrny dlh Z 4 Z Z hp p i (b x) x x dx (b x) p x dx (b x) p x dx: Untuk menggunkn metode cincin ubh persmn fungsi menjdi x y ) x p y ; sehingg volume bend putrny dlh Z b + p y b p y dy: 9. UAS Klkulus thun 999 no. 7.
Rumuskn sebuh integrl tentu untuk volume bend yng terbentuk pbil derh yng dirsir pd gmbr berikut ini diputr mengelilingi: () sumbu y (b) sumbu x (c) gris y : y c b 6 " " " "" " - x f(y) " x g(y)! - x Jwb: Jik derh rsir yng diberikn diputr terhdp: () sumbu-y; mk dengn menggunkn metode cincin diperoleh volume bend putrny dlh Z b g (y) f (y) Z c dy + b f (y) g (y) dy: (b) sumbu-x; mk dengn menggunkn metode kulit tbung diperoleh volume bend putrny dlh Z b y [g (y) Z c f (y)] dy + b y [f (y) g (y)] dy: (c) gris y ; mk dengn menggunkn metode kulit tbung diperoleh volume bend putrny dlh Z b Z c (y ) [g (y) f (y)] dy+ (y ) [f (y) g (y)] dy: b
0. UAS Klkulus thun 998 no. 8 Dikethui derh A yng dibtsi oleh fungsi f dengn f (x) x + ; gris y ; dn gris tegk x 4: () Gmbrlh derh A: (b) Dengn metode kulit tbung, tentukn volume bend putr yng terbentuk jik A diputr dengn sumbu putr x : (c) Dengn metode cincin, tentukn volume bend putr yng terbetuk jik A diputr dengn sumbu putr y 5. Jwb: () Gmbr derh A (b) Dengn menggunkn metode kulit tbung, mk Z 4 (x + ) [(x + ) Z 4 64 x 4 ] dx 4 dx x x (8) 6 stun volume.
(c) Dengn menggunkn metode cincin, mk : Z 4 Z 4. UAS thun 997 no. 8. Jwb: (5 ) (5 (x + )) dx 9 (4 x) Z 4 dx x + y 4; dn x 0 ) x p 4 y : 7 + 8x x dx 4 7x + 4x x 8 stun volume () Dengn metode cincin diperoleh volume bend putr yng terjdi, yitu Z + p 4 y dy (b) Z Z Z 4y 8 + p 4 y dy + p 4 y + 4 y dy 4 y + p y dy 6 + + 6 + 4 :. UAS thun 996 no. 0. y + y 4 y + p 4 sin y 8 + (0) + sin () 8 + 8 ( ) (0) + sin ( ) (liht sol 0 ) Dikethui derh D dibtsi oleh kurv y p x untuk x > ; gris x ; sumbu-x; dn gris y x : () Berikn skets derh D: Kemudin susunlh sutu integrl tentu (niliny tidk perlu ditentukn dn ekspresiny tidk perlu disederhnkn) yng menytkn volume bend putr yng terjdi jik:
(b) Derh D diputr mengelilingi gris y ; dengn menggunkn metode ckrm tu cincin., dengn menggu- (c) Derh D diputr mengelilingi gris y nkn metode kulit tbung. (d) Derh D diputr mengelilingi gris x 5; dengn menggunkn metode ckrm tu cincin. (e) Derh D diputr mengelilingi gris x 5; dengn menggunkn metode kulit tbung. Jwb: () Skets derh D; (b) (c) Z h p x i dx+ Z 4 h (5 x) p x i dx: Z (y + ) (y + ) dy + Z 0 (y + ) y + y dy:
(d) Z 0 4 ( y) dy + Z h 5 y ( y) i dy (e) Z. UAS thun 995 no. 8. (5 x) p x 0 dx+ Perhtikn derh R berikut: Z 4 (5 x) p x (x ) dx Susunlh sebuh integrl untuk volume bend yng terbentuk pbil derh R diputr mengelilingi gris-gris berikut: () sumbu-x; (b) gris x c: Jwb: Derh R Volume bend putr yng terbentuk pbil derh R diputr mengelilingi: () sumbu-x dlh: (dengn metode cincin) Z b (f (x)) (g (x)) dx:
(b) gris x c dlh: Z b (dengn metode kulit tbung) 4. UAS thun 995 no. 9 Perhtikn derh R berikut: (c x) [f (x) g (x)] dx: Susunlh sebuh integrl untuk volume bend yng terbentuk pbil derh R diputr mengelilingi gris-gris berikut: () sumbu-x; (b) gris x : Jwb: Volume bend putr yng terbentuk pbil derh R diputr mengelilingi: () sumbu-x dlh Z b y [f (y) g (y)] dy (dengn metode kulit tbung)
(b) gris x dlh: Z b (f (y) + ) (g (y) + ) dy (dengn metode cincin)