RUNG EMENSI TIG b. IRISN NGUN RUNG Yng dimksud dengn irisn sutu bidng dengn bngun rung dlh derh yng dibtsi oleh gris potong-gris potong ntr bidng tersebut dengn semu sisi bngun rung yng terpotong oleh bidng tersebut. Konsep irisn dilndsi dengn pengertin :. u gris diktkn sejjr tu berpotongn jik dn hny jik terletk pd stu bidng b. Mellui tig titik yng tidk segris dpt dibut sutu bidng c. Mellui sebuh gris dn sebuh titik yng tidk terletk pd gris tersebut dpt dibut sutu bidng d. Sutu gris dpt ditrik dtri du titik jik dn hny jik terletk pd stu bidng Menggmbr irisn bidng dpt dilkukn dengn :. ntun sumbu finits Sumbu finits dlh gris yng dibentuk oleh perpotongn ntr bidng irisn dn bidng ls. T P S R Y Q C Sumbu finits Z. Perpotongn bidng digonl T P S R Q C P l. Gris Tegk lurus idng : Gris l tegk lurus bidng V jik db hny jik gris l tegk lurus pd du gris yng mellui titik potong gris l dengn bidbngv, mk l tegk lurus pd semu gris yng terletk pd bidng V V P Mtemtik SM
Proyeksi titik pd bidng. Proyeksi titik P pd bidng V diperoleh dengn menrik gris tegk lurus P ke V b. Proyeksi gris l pd bidng V dpt diperoleh dengn membut titik yng terletk pd l ke V c. l l.jrk. Jrk ntr du titik dlh pnjng rus gris yng menghubungkn kedu titik tsb b. Jrk titik ke gris dlh pnjng rus gris yng ditrik dri titik tersebut yng tegk lurus terhdp gris c. Jrk sutu titik dg. sutu bidng dlh jrk tegk lurus dri titik itu ke bidng itu. d. Jrk ntr du gris yng bersilngn dlh pnjng rus gris yng terhdp kedu gris tsb e. Jrk ntr du gris yng sejjr dlh pnjng rus gris yng terhdp gris dn bidng dimn slh stu gris pd bidng tersebut f. Jrk ntr du bidng dlh pnjng rus gris yng tegk lurud terhdp du bidng tersebut Contoh : Pnjng rusuk C.EFGH dlh. Jrk titik H ke bidng EG dlh.. C.. E. Cr bis : H G Jrk yg. dimksud dlh HP E P F H P F C = digonl sisi =. Cr cerdik : H = digonl rung =. H P H P cos. H P Mtemtik SM
H E G F I C P HP = H P P Jrk ntr setip rusuk yng bersilngn pd bidng empt berturn dengn rusuk dlh :. Sudut ntr Gris dengn bidng Sudut ntr gris dengn bidng dlh sudut ntr gris tersebut dengn proyeksi gris itu pd bidng Sudut ntr gris dengn bidng U dlh sudut = sudut ntr gris dn bidng U U Contoh : Kubus C EFGH dengn rusuk cm. esr sudut ntr gris H dengn bidng HF dlh Jwb : E H F G Proyeksi H pd bidng HF dlh HH Pd segitig HH sin H ' H C. Sudut ntr u gris yng bersilngn Mtemtik SM 7
g g Sudut ntr gris g dn gris l dlh sudut yng dibentuk oleh gris l dn g g sejjr g ) Contoh : Kubus C EFGH dengn rusuk cm. Tentukn besr sudut ntr gris HF dn gris G. Jwb : E H F G dlh sudut ntr gris HF dengn gris G Pd HF : C cos HF H H. HF F.. = 0 0. Sudut ntr u idng Sudut ntr du bidng dlh sudut yng dibentuk oleh du gris, stu pd setip bidng; dimn kedu gris tersebut tegk lurus pd gris perpotongn kedu bidng itu,dn berpotongn pd stu titik di gris perpotongn kedu bidng itu. C berpotongn dengn FE dengn gris perpotongn mk sudut yng dibentuk oleh du bidng itu dlh sudut GHI Contoh : ikethui T.C bidng enpt berturn dengn rusuk cm. Tentukn Cosinus sudut ntr budng TC dn bidng C. Mtemtik SM
T E idng TC dn bidng C berpotongn pd gris C. T C dn C. Sudut T dlh sudut ntr bidng TC dn bidng C. Pd segitig T : cos = T.. T T. SOL LTIHN.. Kubus C EFGH berusuk cm. P,Q,R dlh titik-titik tengh dri, dn F. Penmpng PQR dengn kubus berup :. bujur sngkr b. segitig sm kki c. segilim berturn d. trpezium sm kki e. segi enm berturn. lm rung dikethui bhw gris g sejjr dengn bidng V dn gris h terletk pd V, mk.. gris g sejjr h b. g tidk mungkin sejjr h c. g tidk mungkin h d. g tidk mungkin memotong h e. g mungkin berimpit h. Kubus C EFGH. =. Jrk H ke bidng EG dlh. b. c. d.. Jik C dlh empt persegi pnjng, T sm kki dengn ls. T tegk lurus pd C. Jik =, = 7 dn T = mk jrk T ke bidng C dlh.. p b. p c. p d. p e. p 7. idng V // bidng H jik.. semu gris dibidng V // bidng H b. d stu gris dibidng V // bidng H c. d stu gris dibidng V yng bidng H d. d stu gris dibidng V yng menyilng stu gris dibidng H e. d stu gris dibidng V yng // dibidng H. Pnjng rusuk tetrhedron T.C sm dengn cm. Jik P pertenghn T dn Q pertenghn C, mk PQ sm dengn. b. c. d. e. 9. ikethui kubus C.EFGH dengn titik P ditengh-tengh E. Jik pnjng rusuk kubus dlh, mk jrk titik kebidng P dlh Mtemtik SM 9 e. b. c. d. 7 e.. ikethui blok C.EFGH. dlh sudut ntr bidng CH dengn bidng C. n t dlh jrk ke C. Jrk ke bidng CH dlh.. sin t b. cos t c. tg t d. t sin e. t tg. ls bidng empt.c berbentuk segitig siku-siku sm kki; sudut C = 90 0. E proyeksi pd bidng C tept jtuh ditengh-tengh C. Jik = C = p ; E = p. Mk sm dengn
. b. c. d. e. 0. ikethui Kubus C.EFGH dengn pnjng rusuk. Jik titik P terletk pd perpnjngn sehingg P = dn titik Q pd perpnjngn FG sehingg QG =. mk PQ =. b. c. d. e. 7. pbil kubus C.EFGH mempunyi pnjng rusuk, mk jrk titik ke geris H dlh.. b. c. d. e.. ikethui kubus C.EFGH dengn rusuk cm. Jik sudut ntr CE dn bidng E. Mk cos =.. b. c. 7 d. e.. idng empt T.C, T =T= ; TC = C = C = dn =. Jik sudut ntr TC dn bidng T. Mk nili cos dlh. b. c. d. e. 7..C dlh lims sisi tig dengn ls berup segitig siku-siku di dn C bidng C. esr sudut dlh.. 0 o b. o c. 0 o d. 90 o e. slh semu. Pd bngun.c, dikethui bhw segitig C sm sisi, C bidng C, pnjng C = dn sudut C = 0 o. il sudut ntr bidng dengn C mk tg =.. b. c. d. e.. Titik P,Q,R msing-msing terletk pd rusuk-rusuk C,FG dn EH sebuh kubus C.EFGH. Jik P = c, FQ = FG dn ER=EH mk perbndingn lus irisn bidng mellui P,Q dn R dn lus permukn kubus dlh. : b. : c. 0 : d. : e. 0 : 7. Titik P terletk pd perpnjngn dri sebuh kubus C.EFGH. Jik P= dn = cm, mk lus irisn bidng mellui P,G,dn H dengn kubus dlh. 0 cm b. 0 cm c. 0 0 cm d. 0 cm e. 0 cm 9 9 9. Pd gmbr terliht lims T.C. ri lims ini dikethui bhw P=PT. Q= QT dn RT = RC, mk Volume T.PQR : Vol. TC = T Q. : 7 b. : P R c. : d. : e. : C Mtemtik SM 0
9. C dlh empt persegi pnjng pd bidng horizontl dn EF empt persegi pnjng pd bidng verticl. Pnjng F = cm, C = cm dn Ce = 7 cm. Jik dn berturut-turut sudut ntr E dn bidng C sert EF, mk tg. tg =. b. c. d. e. 0. Jik C dlh empt persegi pnjng, T sm kki dengn ls. T tegk lurus pd C. Jik =, = 7 dn T = mk jrk T ke bidng C dlh.. C.. 7 E..) Pd kubus PQRS.TUVW dengn pnjng rusuk stun, terdpt bol lur dinytkn dn bol dlm dinytkn. Perbndingn volum bol dn dlh.. Pembhsn: P= jri-jri bol lur r r= = jri-jri bol dlm = r = V : V πr = πr r = πr ) : ). : : Jwbn :.) ri kubus C.EFGH dikethui: I. CE tegk lurus H II. idng FH tegk lurus bidng CFH III. FC dn G bersilngn IV. idng FH dn EG berpotongn Pernytn yng benr dlh. Pembhsn: I. CE tidk tegk lurus H II. idng FH tegk lurus bidng CFH III. FC dn G bersilngn IV. idng FH dn EG tidk berpotongn Jwbn : C.) ikethui kubus C-EFGH titik P. Q, dn R msing-msing terletk pd pertenghn rusuk C dn CG. Irisn bidng yng mellui P, Q dn R dengn kubus terbentuk.. Mtemtik SM
Melukis gris mellui titik-titik pd kubus C.EFGH. Hubungkn titik Pdn Q dengn sebuh gris sehingg memotong perpnjngn FE di T dn perpnjngn F di U. Hubungkn titik U dn R dengn gris sehingg memotong C di W dn memotong perpnjngn FG di V. Hubungkn titik U dn T dengn gris sehingg memotong GH di X dn memotong EH di Y. Hubungkn : - titik Q dengn W - titik R dengn X - titik P dengn Y idng PQWRXY merupkn segienm berturn Jwbn : tidk d.) ikethui kubus C.EFGH dengn pnjng rusuk cm dn T pd dengn pnjng T = cm. Jrk pd T dlh.cm. T = PF sin α = sin α = PF ) = = = = = Jwbn :E.) ikethui kubus C.EFGH dengn pnjng rusuk cm. Jrk titik ke digonl rung G dlh.cm. O= x berrti OG= G-GO= -x Δ OG siku-siku di O sehingg berlku O = - O Δ OG O = G + O O = ) - -x) O = 7 7 + x - x O = x - x O = - x O = - x - x = x - x = x x = O = 7- x O = 7- ) O = 7 O = Jwbn :.) ikethui kubus C. EFGH dengn pnjng rusuk cm. Jrk bidng CH db EG dlh cm. Mtemtik SM
P//HQ dn HP//Q, oleh kren itu QHP dlh jjrgnjng dengn ls HQ dn tinggi RP. RP merupkn jrk bidng CH dn EG. LusQHP RP = pnjnghq dlh digonl sisi kubus, sehingg = ) = Q= = = Lus ΔHQ= x Q x H= Lus ΔFP= Lus ΔHQ Lus QHP = lus HF.. Lus ΔHQ = x ) 7 ) =0 - = cm HQ = ) + ) = HQ = 9 RP = 9 = x x =7 cm Jwbn :.) ikethui bidng empt berturn C dengn pnjng rusuk cm. Kosinus sudut ntr bidng C db bidng dlh C = CE +E. CE. E cos < CE = ) + ). ) )cos <CE = + -9 cos <CE =9 9 cos <CE cos <CE = 9 Jwbn :.) ikethui kubus C. EFGH dengn pnjng rusuk cm. Titik P dn Q msing-msing terletk pd pertenghn CG dn HG. Sudut ntr dn bidng PQE dlh α, nili tn α= RS= ) = = R= ) = = ) ) S =. ) = = ) ) = ') ) ' tn α = ' Mtemtik SM
.) Pd kubus C.EFGH, α dlh sudut ntr bidng HE dn CH. Nili cos α = HT = ET +EH HT = HT = HT = HT = T cos < ETH =cos α = FT Jwbn ; tidk d cos α = cos α = Jwbn :.) Pd kubus C.EFGH, α dlh sudut ntr bidng CGE dn CF. Nili sin α =.. PF = ) PF sin α = sin α = PF Jwbn : E 9.) ikethui kubus C.EFGH dengn rusuk cm, Jik α dlh sudut ntr bidng EG dn F. Nili sin α = O = ) ) O = = F = ) ) F = = sin α = Jwbn : C.) ikethui kubus C.EFGH dengn pnjng rusuk cm. M dlh titik tengh rusuk C. Jrk titik M ke EG dlh. cm. MG= MC CG MG= MG= 0 TM= TG Mtemtik SM MG
TM= ) 0 ) TM= 0 TM= 7 Jwbn :tidk d 7.) Prism segi empt berturn C.EFGH dengn rusuk cm dn tinggi prism cm. Titik potong digonl C dn dlh T, jrk titik ke TH dlh TH = H F TH = ) ) TH = H sin T = TH sin T = sin T = X = = X. X X = x Jwbn :.) ikethui lims berturn T.C. Pnjng rusuk ls cm dn pnjng rusuk tegk cm. Jrk ke TC dlh cm. TS = C S TS = ) ) TS = TS = TS sin C = TC sin C = sin C = S sin C = C = S = S Jwbn : C 9.) ikethui bidng empt T. C dengn T, dn C sling tegk lurus di. Jik pnjng =C=T=cm, mk jrk titik kebidng TC dlh cm. K= K= ) K= K ) Mtemtik SM
K= K= TK= TK= ) K ) TK= 7. ZK=. Z= TK ZK Z= ) ) Z= 00 0 0 Z= Z= Jwbn : tidk d 0.) Pnjng rusuk kubus C.EFGH dengn pnjng rusuk. Jik S dlh titik potong EG dn FH, mk jrk H ke S dlh EG = ) EG = 7 ) EG = jdi jrk H, S : = x = Jwbn : C.) ikethui kubus C.EFGH. esr sudut yng dibentuk oleh gris G dengn bidng HF dlh pnjng GP = Jdi GP = GP sin α = G sin α = sin α = α = 0 0 ` Mtemtik SM GE, dengn GE digonl sisi = Jwbn :.) ikethui lims berturn T.C dengn tinggi cm dn pnjng = cm. esr sudut ntr T dn ls dlh tn Z =. tn Z = Z = 0 0
Jwbn : 7.) ikethui kubus C.EFGH dengn rusuk cm, mk tngen sudut CG, FH ) = C = C G = ) G = 7 T = T = G x = T tn α = tn α = α = Jwbn : 0.) Lims berturn T.C dengn pnjng rusuk ls cm dn pnjng rusuk tegk 9 cm. Nili sinus sudut ntr bidngt dn bidng C dlh TZ = TZ = T 9) Z ) TZ = 7 TZ = CZ = C Z CZ = ) ) CZ = 7 CZ = TX = TZ XZ TX = ) ) TX = TX = TX sin T, C = TZ Jwbn : tidk d.) ikethui lims segi empt berturn T.C pnjng rusuk tegk cm dn pnjng rusuk ls cm. Sudut ntr bidng TC dlh x, mk cos x = TZ = TC ZC TZ = ) ) TZ = 9 TZ = TX = TZ Mtemtik SM XZ 7
TX = ) ) TX = 7 TX cos x = TZ = 7 cos x = 7 Jwbn : tidk d.) ikethui lims berturn PQRST. esr sudut ntr PT dn ls QRST dlh.. QS = QS = Kren QS = mk, ΔPQS = Δ sm sisi mk <Q =0 0 Jwbn :.) Gmbr dibwh ini dlh bidng empt T.C yng mempunyi ls segitig sm sisi. Jik α dlh sudut ntr bidng TC dn C, mk tn α =.. X = X = ) X = X = T tn α = X tn x = X ) tn x = Jwbn : C.) Prism segi empt berturn C.EFGH dengn rusuk cm dn tinggi prism cm. Titik potong digonl C dn dlh T, jrk titik ke TH dlh TH = H F TH = ) ) TH = H sin T = TH sin T = sin T = X = = X. X X = x Jwbn : Mtemtik SM