BAB II KAJIAN PUSTAKA 2.1 Kajian Teori 2.1.1 Kemampuan Penalaran Matematika Kemampuan berasal berasal dari kata mampu, yang artinya adalah sanggup dalam melakukan sesuatu. Menurut Robbins (dalam Suratno, 2009), bahwa kemampuan adalah kapasitas seseorang individu untuk mengerjakan berbagai tugas dalam suatu pekerjaan. Menurut Livingstone seperti dikutip oleh Stoner (dalam Suratno, 2009), menyatakan bahwa kemampuan itu dapat dan harus diajarkan. Gibson (dalam Suratno, 2009) mengemukakan bahwa kemampuan adalah sifat lahir dan dipelajari yang memungkinkan seseorang dapat menyelesaikan pekerjaannya. Sedangkan menurut Wikipedia kemampuan adalah kapasitas seseorang untuk melakukan beragam tugas dalam suatu pekerjaan. Kemampuan juga dapat didefinisikan sebagai penilaian terkini atas apa yang dilakukan seseorang. Dari beberapa definisi diatas peneliti dapat mengambil kesimpulan bahwa kemampuan adalah suatu kesanggupan seseorang dalam melakukan sesuatu pekerjaan dari beragam tugas yang diberikan. Kemampuan merupakan suatu aspek yang harus dimiliki oleh setiap orang. Karena dengan adanya kemampuan individu tertentu bisa menyelesaikan sesuatu sesuai dengan yang diharapkan. 5
Penalaran merupakan terjemahan dari reasoning. Penalaran merupakan salah satu kompetensi dasar matematik disamping pemahaman, komunikasi dan pemecahan masalah. Menurut Wikipedia penalaran adalah proses berpikir yang bertolak dari pengamatan (pengamatan empirik) yang menghasilkan sejumlah konsep dan pengertian. Menurut Endang Daruni Asdi (dalam Wulandari, 2010: 10) Penalaran adalah proses dari budi manusia yang berusaha tiba pada suatu keterangan baru dari sesuatu atau beberapa keterangan lain yang telah diketahui dan keterangan yang baru itu mestilah merupakan urutan kelanjutan dari sesuatu atau beberapa keterangan yang semula itu. Sedangkan menurut Jujun S. Suriasumantri (dalam Sa adah, 2010: 13) menyatakan bahwa penalaran merupakan suatu proses berpikir dalam menarik suatu kesimpulan yang berupa pengetahuan dan mempunyai karakteristik tertentu dalam menemukan kebenaran. Sri Wardani (dalam Sa adah, 2010: 16) menyatakan bahwa terdapat dua macam penalaran yaitu penalaran induktif dan penalaran deduktif. Penalaran induktif adalah suatu proses berpikir yang yang didasarkan atas fakta-fakta kemudian diambil kesimpulan yang bersifaf umum. Sedangkan penalaran deduktif adalah suatu proses berpikir untuk menentukan satu kesimpulan berdasarkan hal umum yang telah terbukti kebenarannya sebelumnya. Menurut NCTM (dalam Habibi: 2012) standar penalaran yang harus dikuasai siswa sekolah antara lain: 1. Mengingat dan menggunakan penalaran deduktif dan induktif. 6
2. Memahami dan menggunakan proses penalaran dengan perhatian tertentu untuk penalaran spasial (tilikan ruang) dan penalaran dengan proporsi dan grafik. 3. Membuat dan mengevaluasi konjektur dan argumen matematika 4. Memvalidasi berpikir mereka sendiri. 5. Menyadari kegunaan dan kekuatan penalaran sebagai bagian dari matematika. Dalam pembelajaran penalaran, Glade dan Citron (dalam Habibi: 2012) juga memberikan 4 tahapan program pembelajaran penalaran: 1. Tahap1. Tahap ini bertujuan untuk membangun kemampuan metakognisi dengan pengembangan pengetahuan anak dari enam dasar keterampilan berpikir dan bagaimana mereka menggunakan keterampilan tersebut untuk berkomunikasi, belajar, menalar dan menyelesaikan masalah. 2. Tahap 2. Tahap ini bertujuan untuk meningkatkan level dari kecakapan kognisis siswa melalui pelatihan dalam setiap enam dasar kemampuan berpikir sebagai alat untuk berkomunikasi, belajar, bernalar, dan memecahkan masalah. 3. Tahap 3. Tahap ini bertujuan mengembangkan siswa untuk mentransfer dan menggunakan ketrampilan berpikir anak untuk belajar, memahami, menganalisis, berkomunikasi dan memecahkan masalah secara sadar. 4. Tahap 4. Tahap ini sebagai refleksi sejauh mana kemampuan berpikir anak dapat diaplikasikan dalam menganalisis, memahami, mengkomunikasikan pemecahan masalah baik yang berkaitan dengan konsep matematika masalah d alam kehidupan sehari-hari 7
Dari beberapa teori di atas peneliti menyimpulkan bahwa yang dimaksud dengan penalaran adalah suatu proses berpikir yang didasarkan atas fakta-fakta yang kemudian ditarik kesimpulannya untuk menemukan suatu kebenaran. Penalaran merupakan proses berpikir tingkat tinggi. Penalaran matematik adalah suatu proses pencapaian kesimpulan logis berdasarkan fakta dan sumber yang relevan (dalam Junandi: 2008). Adapun menurut literatur yang lain istilah penalaran matematik disebut sebagai mathematichal reasoning. Hal ini diperkuat oleh Karin Brodie (dalam Wulandari, 2011 : 12) menyatakan bahwa, Mathematical reasoning is reasoning about and with the object of mathematics. Pernyataan tersebut dapat diartikan bahwa penalaran matematis adalah penalaran mengenai dan dengan objek matematika. Objek matematika yang dimaksud disini adalah pengetahuan matematika yang kita pelajari seperti geometri, aljabar, statistika, trigonometri dan lain sebagainya. Referensi lain yaitu Math Glossary (http://www.surfnetparents.com) menyatakan definisi penalaran matematis sebagai berikut, Mathematical reasoning: thinking through math problems logically in order to arrive at solutions. It invossslves being able to identify what is important and unimportant in solving a problem and to explain or justify a solution. Pernyataan ini dapat diartikan sebagai penalaran matematika adalah proses berpikir mengenai bagaimana cara menjelaskan dan memenyelesaikan masalah untuk mendapatkan solusi dalam penyelesaiannya. Dari definisi di atas peneliti mengambil kesimpulan bahwa penalaran matematika adalah suatu proses berpikir dalam mencari kebenaran terhadap objek matematika, atau suatu proses 8
berpikir dalam mencari solusi matematika yang kemudian ditarik kesimpulannya dari pernyataan bersifat umum menjadi khusus, atau dari khusus menjadi umum. Menurut Al Krismanto (dalam Hariyanti, 2010 : 16), di dalam mempelajari matematika kemampuan penalaran dapat dikembangkan pada saat sis wa memahami suatu konsep (pengertian), atau menemukan dan membuktikan suatu prinsip. Kemampuan Penalaran dalam matematika dapat mengembangakan pandangan seseorang tentang sesuatu permasalahan. Seorang yang nalarnya tinggi memungkinkan akan mempunyai persepsi yang berbeda terhadap suatu permasalahan dibandingkan yang nalarnya rendah. Ciri-ciri penalaran adalah (a) adanya suatu pola pikir yang disebut logika. Dalam hal ini dapat dikatakan bahwa kegiatan penalaran merupakan suatu proses berpikir logis. Berpikir logis ini diartikan sebagai berpikir menurut suatu pola tertentu atau menurut logika tertentu; (b) proses berpikirnya bersifat analitik. Penalaran merupakan suatu kegiatan yang mengandalkan diri pada suatu analitik, dalam kerangka berpikir yang dipergunakan untuk analitik tersebut adalah logika penalaran yang bersangkutan. Kemampuan penalaran meliputi: (a) penalaran umum yang berhubungan dengan kemampuan untuk menemukan penyelesaian atau pemecahan masalah; (b) kemampuan yang berhubungan dengan penarikan kesimpulan, seperti pada silogisme, dan yang berhubungan dengan kemampuan menilai implikasi dari suatu argumentasi; dan (c) kemampuan untuk melihat hubungan-hubungan, tidak hanya hubungan antara benda-benda tetapi juga hubungan antara ide-ide, dan 9
kemudian mempergunakan hubungan itu untuk memperoleh benda-benda atau ide-ide lain. Kemampuan penalaran matematis sangat diperlukan oleh siswa untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan matematika. Dengan adanya kemampuan bernalar siswa dapat mecahkan masalah dalam kehidupan seharihari. Dian Romadhina (dalam Sa adah, 2010: 16) menyatakan indikator penalaran matematika antara lain: (a) Menyajikan pernyataan matematika secara tertulis. (b) Melakukan manipulasi matematika (c) Menarik kesimpulan, menyusun bukti, memberikan alasan atau bukti terhadap beberapa solusi (d) Menarik kesimpulan dari pernyataan (e) Menentukan pola atau sifat dari gejala matematis untuk membuat generalisasi. Adapun indikator penalaran menurut Susilawati (2009) memberikan sembilan indikator untuk penalaran matematika yaitu; (a) Menarik kesimpulan secara logik, (b) Memberikan penjelasan dengan menggunakan model, fakta, sifat dan hubungan, (c) Memperkirakan jawaban dan proses solusi, (d) Menggunakan pola dan hubungan untuk menganalisis situasi matematika, menarik analogi dan generalisasi (e) Menyusun dan menguji konjektur (f) Memberikan lawan contoh (Counter example) atau non contoh (g) Mengikuti aturan inferensi (Menarik kesimpulan), memeriksa validitas, (h) Menyusun argument yang valid, (i) Menyusun pembuktian langsung, pembuktian tak langsung dan induksi matematik. Berdasarkan beberapa definisi mengenai kemampuan penalaran matematis di atas maka peneliti menetapkan definisi kemampuan penalaran matematis pada penelitian ini sebagai kemampuan siswa untuk merumuskan 10
kesimpulan atau membuktikan sesuatu yang berhubungan dengan matematika dalam menemukan kebenaran terhadap satu argumen yang sudah ada sebelumnya. Adapun indikator penalaran matematika yang akan diukur dalam penelitian ini yang ditandai dengan 3 indikator disesuaikan dengan tingkat pendidikan peserta didik, yaitu (a) Menarik kesimpulan dari pernyataan, siswa dapat memberikan kesimpulan dari pernyataan yang diberikan (b) Memperkirakan jawaban dan proses solusi, dari soal yang diberikan siswa dapat memperkirakan jawaban dan proses solusi karena soal yang diberikan memiliki proses dan solusi lebih dari satu (c) Menggunakan pola dan hubungan untuk menganalisis situasi matematika, siswa menggunakan rumus yang telah ditentukan untuk menyelesaikan masalah yang diberikan. Kemampuan penalaran matematika perlu untuk dikembangkan, karena kemampuan penalaran matematika lebih banyak digunakan dalam mencari satu kesimpulan. 2.2 Tinjauan materi 2.2.1 Memahami relasi dan fungsi 1. Relasi Pak Budi mempunyai lima orang anak, yaitu Riska, Dimas, Candra, Dira, dan Reni. Masing-masing anak mempunyai kegemaran berolah raga yang berbeda-beda. Jika anak-anak Pak Budi dikelompokkan menjadi satu dalam himpunan A, maka anggota dari himpunan A adalah Riska, Dimas, Candra, Dira, dan Reni. Himpunan A tersebut kita tuliskan sebagai A = {Riska, Dimas, Candra, Dira, Reni}. Sedangkan jenis olah raga yang digemari anak-anak Pak Budi dapat 11
dikelompokkan dalam himpunan B. Himpunan B dituliskan B = {Badminton, Renang, Basket, Sepak bola} Terhadap kegemaran anak-anak pak Budi, terdapat hubungan antara himpunan A dan himpunan B. Hubungan tersebut berkait dengan gemar berolah raga dari anak anak pak Budi. Riska gemar berolah raga badminton dan renang Dimas gemar berolah raga sepak bola, Candra gemar berolah raga sepak bola, Dira gemar berolah raga badminton dan basket Reni gemar berolah raga badminton dan basket. Apabila gemar berolah raga kita notasikan dengan tanda panah, pernyataan-pernyataan di atas dapat digambarkan sebagai gemar berolah raga A Gambar 2.1 B Kita melihat antara anggota himpunan A dan anggota himpunan B memiliki hubungan (relasi) gemar berolahraga. Selanjutnya kita katakan terdapat relasi antara anggota himpunan A dan anggota himpunan B, atau sering juga disebut relasi dari himpunan A ke himpun B. Dari uraian diatas, dapat disimpulkan bahwa Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang menghubungkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B. a. Menyatakan Relasi Dua Himpunan dengan Diagram Panah 12
Diagram panah adalah diagram y ang menggambarkan hubungan antara dua himpunan dengan disertai tanda panah. Seperti relasi pada Gambar 2.1 Marilah kita lihat contoh lain penggambara relasi dengan diagram panah. Perhatikan soal cerita di bawah ini. Di kelas VIII SMPN I Banjarmasin, terdapat sebuah kelompok belajar yang beranggotakan 4 orang, yaitu Ani, Adi, Ina, dan Iman. Ani mempunyai seorang adik yang bernama Budi. Adi mempunyai dua orang adik bernama Surya dan Hani. Ina tidak mempunyai adik. Sedangkan Santi adik dari Iman. Relasi tentang adik dan kakak. Sekarang, mari kita buat himpunan yang berisi kakak dan himpunan yang berisi adik. Misal himpunan P menyatakan himpunan kakak, dan Q menyatakan himpunan adik. Hubungan antara anggotaanggota himpunan P dan Q dapat digambarkan sebagai berikut : Oleh karena itu lambang pada Gambar 2.2 menyatakan relasi kakak dari. Bila dituliskan Ani Budi, artinya Ani kakak dari Budi, dan seterusnya. b. Menyatakan Relasi Dua Himpunan dalam Koordinat Cartesius 13
Jika kita menyebut kata Cartesius, yang kita ingat adalah bidang Cartesius yang mempunyai dua sumbu, yaitu sumbu mendatar dan sumbu tegak. Pada Gambar 2.1 di atas, kita dapat menyatakan relasi antara anggota himpunan A dan anggota himpunan B tersebut dalam koordinat Cartesius. Nama anggotaanggota himpunan A diletakkan pada sumbu mendatar dan nama anggota-anggota B diletakkan pada sumbu tegak. Setiap anggota himpunan A yang berelasi dengan anggota himpunan B dapat dinyatakan dengan noktah ( ) atau dengan bintang ( ). Jadi koordinat Cartesius dari relasi tersebut adalah : Relasi antara anggota himpunan A dan B adalah gemar berolah raga. Noktah 1 menghubungkan Riska dan badminton, artinya Riska gemar berolah raga badminton. Noktah 4 menghubungkan Candra dan sepak bola, artinya Candra gemar berolah raga sepak bola dan seterusnya. 14
c. Menyatakan Relasi Dua Himpunan dengan Pasangan Berurutan Pasangan berurutan dilambangkan dengan (x,y) dengan x menyatakan anggota suatu himpunan tertentu, sebut A, dan y menyatakan anggota dari himpunan lain, sebut B. Pada bagian ini kita akan menyatakan relasi sebagai himpunan pasangan berurutan (x,y). Pada bagian sebelumnya, relasi antara anggota dua himpunan dapat dinyatakan dengan diagram panah dan dalam koordinat Cartesius. Kita akan mengambil contoh pada Gambar 2.1, dan menyatakannya sebagai pasangan berurutan. Pada relasi gemar berolahraga di atas, kita memiliki himpunan penggemar olah raga A= {Riska, Dimas, Candra, Dira, Reni}, dan himpunan cabang olah raga B = {Badminton, Renang, Basket, Sepakbola}. Berdasarkan Gambar 2.1, relasi gemar berolahraga dituliskan sebagai R={(Riska, Renang), (Riska, Badminton), (Dimas, Sepakbola), (Candra,Sepak bola) (Dira, Badminton), (Dira, Basket), (Reni, Badminton), (Reni, Basket)}. Relasi antara himpunan X dan Y dapat dinyatakan sebagai himpunan pasangan berurutan (x,y) dengan x anggota himpunan pertama (X) dan y anggota himpunan kedua (Y). 2. Fungsi Jika bahan-bahan dapur dikumpulkan dalam satu himpunan yaitu A dan rasa dari bahan-bahan dapur dikumpulkan dalam himpunan B, maka relasi apa yang dapat digunakan untuk menghubungkan himpunan A dan B? Jika relasi yang digunakan untuk menghubungkan anggota-anggota himpunan A dengan 15
anggota-anggota himpunan B adalah rasanya, maka relasi tersebut dapat dinyatakan dengan diagram panah seperti berikut : Karena setiap anggota himpunan A mempunyai hubungan dengan anggota himpunan B dan setiap anggota himpunan A hanya mempunyai satu kawan anggota himpunan B, maka relasi dari himpunan A dan B disebut fungsi atau pemetaan. Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang mengh ubungkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B. Contoh himpunan-himpunan prapeta dan himpunan peta yang anggota himpunannya sebagai berikut: A = {garam, gula, cuka, lada} disebut daerah asal atau domain dari fungsi. B = {asam, asin, pahit, manis, pedas} disebut daerah kawan atau kodomain dari fungsi. Himpunan {asam, asin, manis, pedas} disebut daerah hasil atau range dari fungsi 3. Menentukan Nilai Fungsi Suatu fungsi h didefinisikan dengan h: x x 2 + 1 dapat dituliskan sebagai fungsi h(x)=x 2 + 1. kita dapat memperoleh nilai h(3) jika dalam rumus h(x)= x 2 + 1 kita ganti x dengan 3. Jadi h(3)= 3 2 + 1=10. Jadi nilai dari x 2 + 1 untuk x=3 adalah 10. 16
4. Menghitung Nilai Fungsi Serta Membuat Sketsa Grafik Fungsi Aljabar Sederhana Pada Sistem Koordinat Cartesius Perhatikan diagram panah berikut ini Secara umum Bila kita mengambil sebarang anggota K, sebut x, maka kawannya di L adalah (x 1). (Kenapa?) Dengan demikian, bila dinotasikan dengan diagram panah menjadi x (x 1) dibaca x dikurangi 1 menjadi (x 1). Jika relasi satu lebihnya dari dinotasikan sebagai relasi f, maka f memetakan x ke (x 1) Selanjutnya relasi f dituliskan sebagai f: x (x 1). Apabila relasi f ini merupakan fungsi, maka (x 1) menyatakan peta dari x dan peta x oleh f dinotasikan sebagai f(x). Notasi x = (x 1) dikenal juga sebagai aturan fungsi rumus fungsi, atau persamaan fungsi. Akan tetapi, notasi tersebut sering hanya dibaca fungsi f. Bila kita notasikan f(x) = y maka rumus fungsi f x = (x 1) Menjadi y = (x 1). Persamaan y = x 1 lebih dikenal sebagai persamaan fungsi. Pada persamaan tersebut x disebut variabel bebas, sedangkan y adalah variabel tak bebas dari fungsi. Perhatikan kembali fungsi f dengan aturan x (x 1) Untuk x = 2, maka f(2) = 2 1 = 1. Nilai f (2) = 1 17
disebut nilai fungsi untuk x = 2. Nilai fungsi dari setiap anggota himpunan K dinyatakan dalam tabel fungsi berikut. Grafik berikut merupakan koordinat Cartesius untuk fungsi f 18