ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI LOG-LOGISTIK PADA DATA SURVIVAL TERSENSOR TIPE II Ryndha, Anna 2, Nasrah 3 ABSTRAK Data survival adalah data yang menunjukkan waktu suatu individu atau objek dapat bertahan hingga terjadinya suatu kegagalan atau kejadian tertentu. Pada makalah ini, dibahas mengenai estimasi parameter distribusi log-logistik pada data survival tersensor tipe II dengan metode penaksir maksimum likelihood estimator. Selanjutnya diterapkan pada data simulasi pasien penyakit ginjal kronik PGK) tahun 24 yang berdistribusi Log-logistik. Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui peluang pasien untuk dapat bertahan hidup. Berdasarkan hasil olah data simulasi diperoleh peluang hidup pasien yang menderita PGK selama 5 bulan adalah,254, sedangkan untuk pasien yang menderita PGK selama 5 bulan peluang hidupnya jauh lebih tinggi yaitu sebesar,659. Kata Kunci: Distribusi Log-logistik, Data tersensor tipe II, Maksimum Likelihood Estimator. Pendahuluan Perkembangan ilmu pengetahuan saat ini, khususnya di bidang statistika, menghasilkan penemuan-penemuan alat analisis yang dapat digunakan untuk menganalisis suatu permasalahan. Salah satunya adalah analisis uji hidup yang digunakan untuk meneliti daya tahan hidup suatu unit atau individu pada suatu keadaan tertentu. Analisis yang digunakan untuk menganalisis data waktu hidup tersebut disebut analisis survival. Analisis survival mencakup survival time waktu tahan hidup) atau failure time Collet, 997). Terdapat dua cara yang dapat dilakukan dalam pengambilan sampel pada analisis data tahan hidup yaitu pengamatan tersensor dan pengamatan tidak tersensor pengamatan lengkap). Pengamatan tidak tersensor merupakan pengamatan yang diambil jika semua individu atau unit data yang diteliti mati atau gagal sampai jangka waktu yang ditentukan. Pengamatan tersensor dilakukan jika waktu tahan hidup dari individu yang diamati tidak diketahui secara pasti. Pengamatan tersensor diindikasi adanya individu yang tetap hidup sampai jangka waktu yang ditentukan Lee, 23). Ada tiga jenis penyensoran dalam pengamatan terhadap waktu tahan hidup yaitu sensor tipe I, sensor tipe II dan sensor tipe III. Sebagian besar penelitian menggunakan penyensoran tipe II karena waktu pengamatan dapat dihentikan setelah diperoleh sebanyak r kegagalan, sehingga peneliti dapat menghemat waktu dan biaya. Analisis data survival yang menggunakan data tersensor diperlukan asumsi tertentu tentang distribusi populasinya. Adapun dalam tulisan ini digunakan fungsi survival berdistribusi Log-Logistik pada data survival tersensor tipe II. Dalam bidang kesehatan, distribusi Log-logistik dapat digunakan untuk meneliti data tahan hidup pasien. Misalnya pada pasien penderita penyakit ginjal kronik PGK). 2. Tinjauan Pustaka 2. Data Survival Data survival adalah data yang menunjukkan lamanya individu-individu atau unitunit dari suatu populasi menjalankan fungsinya dengan baik sampai kegagalan individuindividu tersebut. Kleinbaum 25) mengemukakan bahwa ada tiga elemen yang perlu diperhatikan dalam menentukan waktu survival, antara lain:
a. Time origin atau starting point titik awal) adalah waktu dimulainya suatu penelitian b. Ending event of interest kejadian akhir) adalah kejadian yang menjadi inti dari penelitian. c. Measurement scale for the passage of time, yaitu skala ukuran untuk berlalunya waktu. Waktu ketahan hidup T) merupakan variabel random non-negatif yang mewakili ketahanan hidup dari individu-individu dalam populasi yang merupakan variabel random kontinu dalam interval atau ketahanan hidup pada waktu t dengan t> Lawless, 982). Untuk mengetahui ketahanan hidup dapat diperoleh dengan mengestimasi distribusi fungsi-fungsi ketahanan hidupnya. Distribusi waktu ketahanan hidup dapat dinyatakan oleh tiga fungsi yang ekuivalen yaitu fungsi survival,fungsi Hazard, dan fungsi kepadatan peluang. Fungsi kepadatan peluang ft) adalah yang didefinisikan sebagai limit probabilitas individu gagal dalam interval periodik t sampai, atau lebih mudahnya ialah probabilitas kegagalan dalam sebuah interval pendek perunit waktu yang didefinisikan sebagai berikut: * + * + Fungsi survival adalah peluang bahwa suatu individu akan tetap hidup sampai waktu t t >). Jika T merupakan variabel random dari waktu tahan hidup suatu individu, maka St) adalah peluang bahwa T lebih besar dari t. Fungsi Hazard menyatakan peluang kegagalan suatu individu pada waktu t, jika diketahui bahwa individu tersebut tetap hidup hingga waktu t. * + 2.2 Data Tersensor Data tersensor adalah data yang diperoleh sebelum semua data teramati waktu hidupnya, sementara waktu pengamatan telah berakhir. Menurut Lee dan Wang 23), ada tiga tipe penyensoran yang sering digunakan dalam pengamatan uji hidup yaitu sebagai berikut:. Sensor Tipe I, merupakan tipe penyensoran dimana percobaan akan dihentikan setelah mencapai waktu T yang telah ditentukan untuk mengakhiri semua n individu yang masuk pada waktu yang sama. Berakhirnya waktu uji T menjelaskan waktu sensor uji. Dengan kata lain, jika terdapat individu yang hilang secara tiba-tiba maka waktu survival observasi tersensor sama dengan lama waktu pengamatan. 2. Sensor Tipe II, merupakan tipe penyensoran dimana sampel ke-r merupakan observasi terkecil dalam sampel random berukuran n Dari total sampel berukuran n, pengamatan akan dihentikan ketika diperoleh sebanyak r individu yang mengalami kegagalan, dimana r<n. 3. Sensor Tipe III, individu atau unit uji masuk ke dalam penelitian pada waktu yang berbeda-beda selama periode waktu penelitian. 2
2.3 Distribusi Log-Logistik Distribusi Log-logistik dengan variabel random Y mempunyai fungsi kepadatan peluang, ) [ )] dengan. Variabel random T dikatakan mengikuti distribusi Log-logistik dengan parameter dan, jika mempunyai fungsi kepadatan ) ) [ ) ] Fungsi distribusi kumulatifnya adalah. Fungsi survival-nya didefinisikan sebagai peluang suatu individu dapat bertahan hidup sampai waktu t, yaitu Fungsi Hazard ht) menyatakan peluang suatu komponen mengalami kegagalan pada waktu t, dituliskan sebagai berikut 3. Hasil dan Pembahasan 3. Estimasi Parameter Distribusi Log-Logistik pada Data Survival tersensor Tipe II Data tersensor tipe II, mempunyai r pengamatan dari n sampel yang diamati, dan pengamatan akan dihentikan setelah kegagalan ke-r yang terjadi sebelum waktu. Data terdiri dari r tahan hidup terkecil dari sampel random yang terdiri dari n tahan hidup. 3
Fungsi kepadatan peluang bersama dari dapat ditulis sebagai berikut: dari data tersensor tipe II [ ] ] Fungsi likelihood dari distribusi Log-logistik untuk data tersensor tipe II memiliki bentuk sebagai berikut [ ) ) [ ) ] ] [ ] Dalam mengestimasi parameter distribusi Log-logistik dapat dilakukan dengan menurunkan fungsi likelihoodnya terhadap dan kemudian disamadengankan nol menjadi. ) [ ] ) ) ) ) ) Dan [ ) ] ) ) ) ) ) 2) karena persamaan ) dan 2) tidak dapat diselesaikan secara langsung, maka untuk mendapatkan nilai estimasi parameternya dapat menggunakan metode iterasi numerik atau dengan bantuan software. 3.2 Aplikasi Pada Data Jenis data yang digunakan adalah data bangkitan dari hasil simulasi pembangkitan data yang berdistribusi Log-logistik sebanyak data dengan variabel yang digunakan adalah lama pasien menderita penyakit ginjal kronik PGK) yang diukur dalam hitungan bulan. Dari hasil output Minitab didapatkan nilai parameter dari data adalah 4,32895 dan nilai dari parameter adalah,6372. Sehingga diperoleh nilai dari parameter dan adalah sebagai berikut: Dari nilai dan yang diperoleh, selanjutnya dibentuk fungsi kepadatan peluang, fungsi Hazard, dan fungsi survival dari data. Berikut ini adalah bentuk fungsi kepadatan peluang dari data pasien PGK: 4
Rate Percent Rate Percent PDF Percent Universitas Hasanuddin ) ) [ ) ] ) [ ) ] Distribution Overview Plot for ML Estimates-Failure Censored at 7 5 5 P robability Density F unction Probability Density F unction 99.75 9 Distribution Overview.5 Plot for 5.25 Table of Statistics Loglogistic Loc 4.32895 99. Scale.6372. 5 5 M ean 64.437 9 Sumber: Hasil olah data, 24 StDev * Gambar 5 Kurva fungsi kepadatan peluang dari data pasien M edian PGK 75.8646 Surv iv al F unction IQ R 3.96 F ailure.2 7 C ensor 3 A D* 64.67 ).8. 5 [ ) ].4 Bentuk fungsi Hazard dari data pasien PGK: 5 5 ML Estimates-Failure Censored at 7 Loglogistic Hazard F unction Surv iv al F unction.2 Hazard F unction 5 5. 5.8.4 5 5. 5 5 Sumber: Hasil olah data, 24 Gambar 2 Kurva fungsi Hazard dari data pasien PGK Bentuk fungsi survival dari data pasien PGK: ) 5
Percent Rate PD Perc.25. 5 Universitas. Hasanuddin 5 Surv iv al F unction.2 Hazard F unction.8 5.4 5 5 Sumber: Hasil olah data, 24 Gambar 3 Kurva fungsi survival dari data pasien PGK. 5 Berdasarkan hasil pengolahan data yang dilakukan, diketahui peluang seorang pasien untuk bertahan hidup jika mengidap penyakit ginjal kronik PGK) selama 5 bulan adalah,659, selama 9 bulan adalah,433, selama bulan adalah,392, dan selama 5 bulan adalah,254. Dari hasil perhitungan tersebut dapat dilihat bahwa semakin lama seorang pasien mengidap penyakit ginjal kronik maka peluang hidup pasien tersebut akan semakin kecil mendekati nol), hingga akhirnya mengalami kematian. Berkurangnya ketahanan hidup seorang pasien PGK dipengaruhi oleh banyak faktor, misalnya terdapat komplikasi penyakit atau perawatan pasien yang kurang memadai sehingga menyebabkan penyakit yang diderita semakin akut dan akhirnya menyebabkan kematian. 4. Kesimpulan dan Saran 4. Kesimpulan Dari penerapan distribusi Log-logistik pada data survival tersensor pasien penyakit ginjal kronik PGK) dengan simulasi pembangkitan data, diperoleh nilai estimasi adalah 75,865 dan nilai estimasi untuk adalah,583. Dari nilai estimasi yang diperoleh diketahui peluang hidup seorang pasien yang mengidap PGK selama 5 bulan adalah,659, selama 9 bulan adalah,433, selama bulan adalah,392, dan selama 5 bulan adalah,254. 4.2 Saran Penelitian ini hanya membahas mengenai estimasi parameter distribusi Loglogistik untuk data survival, sehingga disarankan untuk penelitian selanjutnya agar mengkaji lebih lanjut hingga ketahap estimasi parameter model regresi Log-logistik. Dan dapat diaplikasikan pada data survival lainnya, terkhusus pada data riil pasien penyakit ginjal kronik PGK) untuk mengetahui faktor-faktor yang dapat mempengaruhi ketahanan hidup dari pasien PGK. DAFTAR PUSTAKA Collett, David. 24. Modelling Survival Data in Medical Research. 2 nd ed. London: Chapman and Hall. Lawless, J.F. 982. Statistical Model and Methods for Lifetime data. New Jersey: John Wiley and Sons, Inc. Lawless, J.F. 23. Statistical Model and Methods for Lifetime Data 2 nd ed. New Jersey: John Wiley and Sons Inc. 6
Lee, E.T. 23. Statistical Methods for Survival Data Analysis 3 rd ed. Canada: John Wiley and Sons Inc. Marchin, David, Yin Bun C and Mahesh Parmar. 26. Survival Analysis A Practical Approach. 2 nd. Chiester: John Wiley and Sons Ltd. Rao, G.S. Kantam and K. Rosaih. 29. Realiability Estimation in Log-logistic Distribution from Cencored Samples. Prob. Stat.,2,52-67. 7