Modul Bris d Deret Tk Higg Dr. Spti Whyuigsih, M.Si. M PENDAHULUAN odul ii meyjik kji tetg Bris d Deret Tk Higg. Kji tetg bris d deret memegg per sgt petig kre sebgi dsr utuk pembhs Itegrl Tetu. Bris d Deret tk higg yg dibhs dlm modul ii, meliputi berikut ii.. Pegerti bris.. Kemooto bris.. Limit bris. 4. Kekoverge bris. 5. Pegerti deret. 6. Limit sutu deret. 7. Kekoverge sutu deret. 8. Uji kekoverge deret. Kji tetg pegerti bris memberik kemmpu medefiisik bris secr umum mellui fugsi d meetuk suku ke- sutu bris. Kji kemooto bris memberik kemmpu meyelesik sol-sol bhw sutu bris mooto ik, mooto tidk turu, mooto turu d mooto tidk ik. Kji limit bris memberik kemmpu medefiisik limit sutu bris, membuktik sift-sift limit bris, sert meyelesik sol-sol tetg limit bris bik deg megguk defiisi mupu teorem pit utuk limit bris. Kji tetg kekoverge bris memberik kemmpu membuktik bhw sutu bris koverge tu diverge, memberik kemmpu megitk kekoverge bris deg kemooto d bris terbts.
. Klkulus Kji tetg pegerti deret memberik kemmpu medefiisik deret tk higg d meetuk jumlh bgi deret tk higg. Kji limit sutu deret memberik kemmpu meyelesik sol bhw sutu deret mempuyi limit tu tidk d membuktik sift-sift keliier limit sutu deret. Kji tetg kekoverge sutu deret memberik kemmpu membuktik sutu deret koverge tu diverge. Kji tetg uji kekoverge deret memberik kemmpu membuktik kekoverge tu kediverge sutu deret deg uji bdig deg deret li, uji bdig limit, uji hsil bgi d uji kekoverge deret gti td. Dlm mempeljri modul ii lebih bik klu dilkuk deg beljr kelompok terdiri ts tig tu empt org jik d hl-hl yg kurg diphmi dictt utuk seljuty dpt dityk pd wktu tutoril. Kemmpu umum yg dihrpk setelh mempeljri modul ii, Ad dpt:. medefiisik bris secr umum mellui fugsi;. meyelesik sol-sol tetg limit bris;. meyelesik sol tetg bris koverge/diverge; 4. medefiisik deret tk higg d jumlh bgi deret; 5. meyelesik sol-sol tetg limit sutu deret 6. meyelesik sol tetg kekoverge/kediverge sutu deret; 7. meyelesik sol-sol deg melkuk uji kekoverge deret deg uji bdig deg deret li, uji bdig limit, uji hsil bgi d uji kekoverge deret gti td.
PEMA48/MODUL. S KEGIATAN BELAJAR Bris Tk Higg ebelum membhs defiisi bris, perlu Ad igt lgi pegerti bris pd mteri di SMU, yitu bris ritmtik d bris geometri. Sebgi cotoh, bris (), 8, 4, 0,, (b), 5, 7, 9, (c) 5, 0, 5, 0,. Mislk, suku ke- dlh U mk bris U, U,..., U, U,... disebut bris ritmtik jik U U U U... U U kostt. Dlm hl ii kostt disebut bed ( b ). Jik suku pertm d bed b, Ad megel rumus suku ke- bris ritmtik dlh U ( ) b. Perhtik bris, 6, 8, 54, d bris 5, -0, 0, -40, Mislk, suku ke- dlh U mk bris U, U,..., U, U,... disebut bris geometri jik U U U4 U... r rsio. Jik suku pertm d r U U U U rsio mk rumus suku ke- bris geometri dpt ditetuk deg r. U Bris ritmtik d bris geometri dlh bris yg mempuyi sift khusus sehigg dpt ditetuk rumus umum suku ke-. Di bwh ii dibhs defiisi bris secr umum.. Pegerti Bris Utuk pembhs bris secr umum dlh deg fugsi. Ad igt defiisi fugsi sebgi berikut. Mislk, ABdlh, sebrg du himpu bgi dri himpu bilg rel yg tk kosog mk fugsi (tu pemet) dri A ke B dlh sutu tur yg meghubugk setip A deg tept stu b B. Notsi yg diguk utuk meujukk bhw f dlh fugsi dri A ke B dlh f : A B. Defiisi. Sutu bris dlh sutu fugsi yg domiy dlh himpu bilg bult positif (Z + tu N ) tu himpu bgiy.
.4 Klkulus Sutu bris yg derh hsily (rge) dlh himpu bgi dri himpu bilg rel disebut bris bilg rel tu deg kt li: Sutu bris bilg rel dlh sutu fugsi f : N R. Cotoh. f : N R. f ( ) deg. f dlh sutu bris bilg rel kre domiy dlh N (yitu himpu bilg sli/bult positif) d rgey dlh himpu bilg rel. Dlm pembhs seljuty utuk mempersigkt peulis, sutu bris bilg rel hy k ditulis sebgi bris sj, megigt himpu semest yg membtsi hy terbts pd himpu bilg rel sj. Petig utuk membedk peulis sutu himpu deg sutu bris. Oleh kre itu, sutu bris k ditulis di tr td < d >, sedgk utuk meytk sutu himpu k ditulis di tr td kurug kurwl { d }. Seljuty, sutu bris k ditulis deg. Utuk meytk bris yg berbed k ditulis deg huruf yg berbed pul, seperti <b >, <x >, d <y >. Utuk Cotoh. di ts bris bilg deg sebgi suku ke- tu rumus umum sutu bris. Sutu bris dpt diytk deg meyebutk beberp (sejumlh berhigg) suku wly, deg rumus eksplisit utuk suku ke-, d deg betuk rekursif. Pd Cotoh., beberp suku wly dlh,,,..., sedgk, dlh rumus eksplisit, d rumus rekursify dlh d.
PEMA48/MODUL.5 Ad perlu hti-hti dlm meulisk rumus suku ke- dri sutu bris, kre dlm beberp ksus dlh tidk tuggl. Cotoh. Bris, -,, -, mempuyi rumus suku ke- ( ) tu cos( ), N tu si ( ) Sutu bris terkdg belum dpt dikeli hy deg meliht sejumlh berhigg sukuy, kre dpt mempuyi lebih dri stu rumus ke- d meghsilk bris yg berbed. Cotoh. Perhtik bris 4,,, rumus ke- utuk bris tersebut dpt berbetuk tu meghsilk bris 6 yg msig-msig k 4,,, 4, 5, d bris 4,,,, 4, yg merupk bris yg berbed.. Kemooto Bris Defiisi. Bris diktk. mooto ik jik utuk setip N berlku b. mooto tidk turu jik utuk setip N berlku c. mooto turu jik utuk setip N berlku d. mooto tidk ik jik utuk setip N berlku Cotoh.4 Bris deg merupk bris yg mooto turu ( ) sebb 0. ( ) ( )
.6 Klkulus Jdi,, yitu bris mooto turu. Atu cr li:.. Jdi,, yitu bris mooto turu. Bris deg dlh buk sutu bris mooto. Suku-suku bris tersebut dlh,,,,... kre 4 & mk buk sutu bris mooto.. Limit Bris Defiisi. Mislk limit L ditulis bris d L R lim terdpt bilg positif K sehigg. Bris mempuyi L pbil utuk setip bilg positif, L,, K. Cotoh.5 Bris deg, N mempuyi limit 0 sebb mbil sebrg. 0 d pilih K mk berlku 0 0,, K K Cotoh.6 Bris deg, N mempuyi limit sebb mbil sebrg. 0d pilih K mk berlku,, K K.
PEMA48/MODUL.7 Sift-sift dri limit bris diytk dlm teorem berikut. Teorem. Mislk, bris d bris b msig-msig mempuyi limit L& L d k sutu kostt mk. lim k k b. lim k = k lim = kl c. lim( b ) lim lim b L L d. lim (. b ) lim. lim b L. L lim L e. lim slk L 0. b lim b L Cotoh.7 Tetuk 4 lim 5 Peyelesi: 4 lim 5 4 = lim (pembilg d peyebut dibgi deg 5 ( ) pgkt yg terbesr yg d pd peyebut) lim 4 = (berdsr teorem bgi e) lim (5 ( )) lim 4 = (berdsr teorem bgi c) lim 5 lim = 4 5 lim (berdsr teorem bgi ))
.8 Klkulus = 4 5 0 (dri hsil cotoh 5) = 4 5 Teorem pit utuk bris Mislk,, b d c bris. Jik b c, N d lim lim c L mk lim b L. Cotoh.8 Deg teorem pit tujukk bhw lim ( ) 0 Peyelesi: Oleh kre 0 ( ) d dri Cotoh.5 lim 0 mk lim ( ) 0 Teorem. Jik lim 0, mk lim 0 Bukti: Oleh kre d lim 0, mk deg teorem pit diperoleh lim 0.
PEMA48/MODUL.9 Cotoh.9 Tujukk bhw jik r mk lim r 0 Peyelesi: Oleh kre r mk r d dpt ditulis k, r utuk sutu k 0. Sehigg r ( k) k (bilg positif) k. Diperoleh 0 r. k Oleh kre lim lim.0 0 mk berdsr k k k teorem pit lim r 0. Oleh kre lim r 0 mk berdsr Teorem lim r 0. 4. Kekoverge Bris Defiisi.4 Bris diktk koverge ke L R jik lim L. Bris yg tidk mempuyi limit diktk diverge. Bris yg diverge kemugki yg terjdi dlh limit brisy,, tu beroskilsi. Cotoh.0. Bris lim. 4 4 deg koverge ke 4 4 kre b. Bris deg ( ) dlh diverge kre limit brisy beroskilsi kre utuk gjil limit brisy, sedgk utuk gep limit brisy.
.0 Klkulus c. Bris deg dlh diverge kre lim ( ). Ad hubug tr bris koverge, kemooto bris d bris terbts. Sebelumy diberik pegerti bris terbts sebgi berikut. Defiisi.5 Mislk, sutu bris, bris diktk terbts ts jik d sutu bilg rel M, sedemiki higg M utuk semu N. Bris diktk terbts bwh jik d sutu bilg rel M, sedemiki higg M utuk semu N. Ditulis deg otsi mtemtik: Mislk, sutu bris, terbts ts M R M, N terbts bwh M R M, N Seljuty, bris diktk terbts jik d terbts bwh. Atu deg kt li, bris hy jik d M > 0 sedemiki higg m M, M 0, berrti jug M M. terbts ts terbts jik d M utuk semu N, di Cotoh. Bris <- > dlh bris yg terbts ts kre terdpt M = sehigg <, N Cotoh. Bris < > dlh bris yg terbts bwh kre terdpt M = 0 sehigg > 0, N Cotoh. Bris <(-) > dlh bris yg terbts kre terdpt M =, sehigg, N.
PEMA48/MODUL. Teorem. Setip bris yg koverge sellu terbts Bukti: Mislk, bris koverge ke L. Ak ditujukk bris terbts, yitu terdpt M 0 sehigg M, N. Oleh kre bris yg koverge ke L mk terdpt bilg positif K sehigg L,, K. Sehigg berlku: L L L L L, utuk setip K. Pilih M mks{,,..., K, L} Mk, diperoleh M, N, yitu bris terbts. Teorem.4 Setip bris yg mooto d terbts sellu koverge Dri teorem ii dimksudk:. Jik bris mooto ik tu mooto tidk turu d terbts di ts mk bris koverge. b. Jik bris mooto turu tu mooto tidk ik d terbts di bwh mk bris koverge. Cotoh.4 Tujukk bhw bris meghitug limit. deg 4 koverge tp Peyelesi: Ditujukk bhw bris terbts di ts d mooto ik. Suku-suku bris tersebut dlh,,, jels bhw bris 5 terbts ts oleh 0. Ditujukk bris mooto ik, yitu.
. Klkulus bris 4 8 4 8 4( ) 4 ( 4 )( 4 ), yitu 8 0, N (4)(4), jdi Oleh kre bris koverge. bris mooto ik. mooto ik d terbts di ts mk LATIHAN Utuk memperdlm pemhm Ad megei mteri di ts, kerjklh ltih berikut! ) Tujukk bhw bris yg mooto ik! ) Tujukk bhw limit bris ) Tujukk bhw bris limit! 4) Tujukk bhw lim 0! 5) Tujukk bris Petujuk Jwb Ltih ) Dikethui bris deg dlh bris ( ) deg dlh 0! deg ( ) tidk mempuyi deg deg 4 5 koverge ke 8 9! Utuk meujukk bris mooto ik, hrus ditujukk bhw utuk setip N, berlku.
PEMA48/MODUL. ( )( ) 0, N ( )( ) Jdi, setip N, berlku. ( ) ) Dikethui bris deg Utuk meujukk limit bris dlh 0, ditujukk bhw utuk setip 0, terdpt K N sehigg ( ) 0, K. Utuk setip 0 pilih ( ) 0 K Terbukti bhw limit bris K sehigg dlh 0. ) Utuk meujukk bris deg ( ) tidk mempuyi limit dlh didik limity d. Jik terjdi kotrdiksi mk pegdi hrus diigkr. Adik lim L d misly, pilih K N sehigg ( ) L,, K sehigg berlku ( ) K L, yitu L d L L Terdpt kotrdiksi ( ) K L d ( L) ( L) L L
.4 Klkulus 4) Oleh kre berlku 0 d lim 0 mk deg megguk teorem pit diperoleh lim 0. 5) Dikethui bris bris deg koverge ke. 4 5, k ditujukk 8 9 4 5 Pembilg d peyebut dri 8 9 5 4 4 5 diperoleh 8 9 9 8 5 4 4 5 4 Jdi, lim lim lim 8 9 9 8 8 dibgi deg RANGKUMAN. Pegerti Bris Defiisi Sutu bris dlh sutu fugsi yg domiy dlh himpu bilg bult positif (Z + tu N ) tu himpu bgiy. Sutu bris yg derh hsily (rge) dlh himpu bgi dri himpu bilg rel disebut bris bilg rel, tu deg kt li: Sutu bris bilg rel dlh sutu fugsi f : N R.. Kemooto Bris Defiisi Bris diktk. mooto ik jik utuk setip N berlku b. mooto tidk turu jik utuk setip N berlku
PEMA48/MODUL.5 c. mooto turu jik utuk setip N berlku d. mooto tidk ik jik utuk setip N berlku. Limit Bris Defiisi Mislk, bris d L R. Bris mempuyi limit L ditulis lim L pbil utuk setip bilg positif, terdpt bilg positif K sehigg L,, K. Teorem Mislk, bris d bris b msig-msig mempuyi limit L& L d k sutu kostt mk. lim k k b. lim k = k lim = kl c. lim( b ) lim lim b L L d. lim (. b ) lim. lim b L. L lim L e. lim slk L 0. b lim b L Teorem pit utuk bris Mislk,, b d c bris. Jik b c, N d lim lim c L mk lim b L. Teorem Jik lim 0 mk lim 0
.6 Klkulus 4. Kekoverge Bris Defiisi Bris Bris diktk koverge ke L R jik lim L yg tidk mempuyi limit diktk diverge. Bris yg diverge kemugki yg terjdi dlh limit brisy, tu beroskilsi. Ad hubug tr bris koverge, kemooto bris d bris terbts. Sebelumy diberik pegerti bris terbts sebgi berikut. Defiisi Mislk, sutu bris, bris diktk terbts ts jik d sutu bilg rel M, sedemiki higg M utuk semu N. Bris diktk terbts bwh jik d sutu bilg rel M, sedemiki higg M utuk semu N. Seljuty, bris diktk terbts jik ts d terbts bwh. Atu deg kt li, bris terbts jik d hy jik d M > 0 sedemiki higg terbts utuk semu N, di m M, M 0, berrti jug M M. Teorem Setip bris yg koverge sellu terbts Teorem Setip bris yg mooto d terbts sellu koverge Dri teorem ii dimksudk:. Jik bris mooto ik tu mooto tidk turu d terbts di ts mk bris koverge. b. Jik bris mooto turu tu mooto tidk ik d terbts di bwh mk bris koverge. M
PEMA48/MODUL.7 TES FORMATIF Pilihlh stu jwb yg plig tept! ) Limit bris A. 5 B. 7 C. 7 D. 0 deg 7 5 dlh. ) Limit bris A. 5 B. 0 C. - D. - deg ( ) 5 dlh. ) cos lim A. B. 0 C. D. 4 dlh.
.8 Klkulus 4) Bris deg A. mooto turu B. mooto ik C. mooto tidk turu D. mooto tidk ik 5) Bris deg A. mooto turu B. mooto ik C. mooto tidk turu D. mooto tidk ik 6) Bris deg A. terbts di ts oleh 0 B. terbts di ts oleh C. terbts di bwh oleh D. terbts di bwh oleh 0 dlh. dlh. dlh.! 7) Bris A. 5 B. C. 0 D. 5 deg 5 dlh koverge ke. 7
PEMA48/MODUL.9 8) Bris deg ( ) A. koverge ke 0 B. koverge ke C. koverge ke D. diverge dlh. 9) Bris deg ( ) ( ) dlh. A. koverge ke B. koverge ke 0 C. koverge ke D. diverge 0) Bris deg A. koverge ke 0 B. koverge ke ( ) dlh. C. koverge ke D. diverge Cocokklh jwb Ad deg Kuci Jwb Tes Formtif yg terdpt di bgi khir modul ii. Hituglh jwb yg ber. Kemudi, guk rumus berikut utuk megethui tigkt pegus Ad terhdp mteri Kegit Beljr. Tigkt pegus = Jumlh Jwb yg Ber 00% Jumlh Sol
.0 Klkulus Arti tigkt pegus: 90-00% = bik sekli 80-89% = bik 70-79% = cukup < 70% = kurg Apbil mecpi tigkt pegus 80% tu lebih, Ad dpt meerusk deg Kegit Beljr. Bgus! Jik msih di bwh 80%, Ad hrus megulgi mteri Kegit Beljr, terutm bgi yg belum dikusi.
PEMA48/MODUL. S Kegit Beljr Deret Tk Higg ebelum membhs pegerti deret tk higg, Ad igt kembli pegerti deret ritmtik d deret geometri pd mteri di SMU. Ad perhtik bris 4, 7, 0,, 6,, seljuty dibetuk bris S, S, S,... berdsrk bris tersebut deg S 4 Secr umum, dri S 4 7 S 4 7 0... U suku ke- bris ritmtik dpt dibetuk deret ritmtik U U U... U.... S U U U U merupk jumlh bgi ke- dri deret... ritmtik. Oleh kre U ( ) b mk rumus umum jumlh bgi deret ritmtik S ( ( ) b ). Sedgk U suku ke- bris geometri, dpt dibetuk deret geometri U U U... U.... S U U U U merupk jumlh bgi ke- dri deret geometri. Oleh kre geometri S... U ( r ). r r mk rumus umum jumlh bgi deret Pd pegerti deret di ts didsrk pd bris ritmtik d bris geometri yg dikethui. Berikut didefiisik pegerti deret secr umum.
. Klkulus. Pegerti Deret Defiisi.6 Mislk, sutu bris. Pejumlh...... dri semu suku-suku bris Defiisi.7 Mislk, S ditulis disebut deret tk higg. sutu bris d S.... Mk, disebut bris jumlh bgi dri deret tk higg Bilg disebut suku ke- dri deret bgi ke- dri deret.. Limit sutu Deret Mislk, S jumlh bgi ke- dri deret koverge tu lim S d ditulis S =. Cotoh.5 Tetuk limit dri deret. ( ) Peyelesi: d. S disebut jumlh. Jik bris S S mk S disebut sebgi limit sutu deret Jumlh bgi ke- dri deret dlh ( ) S =......4 ( )
PEMA48/MODUL. i ( ) ( ) ( ) ( )... ( ) ( i ) i i 4 i i = Jdi, lim S lim ( ) lim lim 0 Sehigg limit dri deret dlh. ( ) Teorem.5 Jik. b. c. Bukti: b. S, b T d C kostt mk C CS ( b ) S T ( b ) S T S, T b Mislk, i i i i d U i bi lim U lim ( b ) lim ( b ) lim lim b i i i i i i i i i i i lim S lim T S T Jdi, ( b) S T. i
.4 Klkulus. Kekoverge sutu Deret Defiisi.8 Deret tk higg jumlh bgiy koverge. Deret diktk koverge jik S diktk diverge jik S bgiy diverge. Cotoh.6 Deret bris dri, yitu bris dri jumlh koverge kre S bris dri jumlh ( ) bgiy koverge. Oleh kre lim S mk koverge ke tu ditulis. ( ) Cotoh.7 Tujukk bhw Peyelesi:... 4 S dlh diverge. ( ) S S4 ( ) ( ) 4 4 4 S8 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 5 6 7 8 4 4 8 8 8 8
PEMA48/MODUL.5 S6 ( ) ( ) (... ) 4 5 6 7 8 9 6 ( ) ( ) (... ) 4 4 8 8 8 8 6 6 4 5 6 Deg cr yg sm S & S64 Secr umum, S. Hl ii meujukk bhw lim S Jdi, S Sehigg deret hrmoik. dlh bris diverge. dlh diverge. Deret disebut deret Cotoh.8 Tujukk deret geometri. Koverge jik r. b. Diverge jik r. r, 0 Peyelesi: Mislk, S r r... r S rs ( r r... r ) ( r r... r ) r S r r Jik r mk lim r 0 sehigg lim S S r
.6 Klkulus Oleh kre < S > jumlh bgi deret geometri dlh koverge mk deret geometri r, 0 jug koverge. Jik r mk bris < r > diverge, sehigg bris < S > jug diverge. Hl ii megkibtk deret geometri r. r, 0diverge jik Ad kit tr kekoverge sutu deret deg limit tk higg suku deret ke- yg diytk dlm teorem berikut. Teorem.6 Jik deret Bukti: koverge mk lim 0 Mislk, S jumlh bgi ke- deret Oleh kre dikethui deret sehigg lim S S S... S.... koverge mk terdpt S R S S, lim lim S lim S S S 0 Keblik peryt dlm teorem di ts tidk berlku, yitu lim 0 tidk ber bhw deret peygkly dlh lim 0, tetpi deret diverge. koverge, cotoh
PEMA48/MODUL.7 Sedgk ekivle deg peryt dlm teorem di ts dlh Jik lim 0 tu lim tidk d mk deret diverge. Cotoh.9 Periks pkh deret diverge? 5 merupk deret koverge tu Peyelesi: Pdg deret deg 5 lim lim lim 5 5 Oleh kre lim 0 mk deret diverge Teorem.7 Jik diverge d C 0 mk C diverge. Cotoh.0 Periks deret 4 pkh merupk deret koverge tu diverge? Peyelesi:., C 4 4 4 d kre mk deret merupk deret diverge. 4 merupk deret diverge
.8 Klkulus Dri uri di ts, utuk meliht kekoverge sutu deret Ad hrus meetuk jumlh bgi derety. Terkdg betuk umum jumlh bgiy sulit ditetuk sehigg sulit utuk meetuk kekoverge derety. Ad cr li utuk meetuk sutu deret koverge tu diverge deg membdigk deg deret li yg sudh dikethui kekovergey. Jik Ad megethui suku-suku derety positif, utuk meguji kekovergey jug dpt deg meetuk limit dri suku derety. Uji kekoverge deret demiki seperti yg diurik di bwh. 4. Uji Kekoverge Deret. Uji bdig deg deret li Teorem.8 Mislk, d b ( 0 d b 0, N) ) Jik b, N d koverge. dlh deret deg suku-suku positif b koverge mk jug ) Jik b, N d b diverge mk jug diverge. Dlm hl ii jik deret koverge mk deret didomisi oleh deret b yg koverge. Sebliky jik deret medomisi deret b yg diverge mk deret diverge.
PEMA48/MODUL.9 Cotoh. Selidiki pkh deret diverge? 4 5 merupk deret koverge tu Peyelesi: 4 5 4 4 Oleh kre deret diverge. 4 diverge mk deret 4 5 jug b. Uji bdig limit deg deret li Teorem.9 Mislk, d b 0 d b 0, N. ) Jik lim LL, 0 mk kedu deret b bersmsm koverge tu diverge. ) Jik lim 0 d deret b koverge. ) Jik lim d deret diverge. b dlh deret deg suku-suku positif d b b koverge mk deret jug b diverge mk deret jug
.0 Klkulus Cotoh. Periks kekoverge deret Peyelesi:. 4 5 Deg uji bdig limit mk perlu dicri pembdig suku ke- dri deret ii. Mislk, d b. 4 5 lim b 4 5 lim lim 5 lim 5 Oleh kre deret deret b jug koverge. koverge d berdsrk bgi (i) mk c. Uji hsil bgi (peguji deg suku-suku derety) Teorem.0 Mislk, deret lim. merupk deret suku positif d mislk
PEMA48/MODUL. ) Jik mk deret koverge. ) Jik mk deret diverge. ) Jik, peguji ii tidk bis diguk meetuk deret koverge tu diverge. Cotoh. ) Selidiki pkh deret Peyelesi:! merupk deret koverge tu diverge?! lim lim. lim 0. ( )! Berdsr uji hsil bgi deret mk deret koverge.! merupk deret ) Selidiki pkh deret Peyelesi: 5 merupk deret koverge tu diverge? 5 5 5 lim lim. lim lim ( ) 5 ( ) 5 ( ) Berdsr uji hsil bgi deret mk deret diverge. 5 0 merupk deret ) Pdg deret d Deret yg pertm, mislk,
. Klkulus lim lim. lim Ad thu bhw deret merupk deret diverge. Ad perhtik deret yg kedu mislk lim, lim. lim lim ( ) Sedgk Ad jug thu bhw deret koverge. merupk deret d. Uji deret gti td Mislk, 0, N dlh bris yg semu suku brisy positif, mooto turu N. Jik lim 0, mk deret gti td/deret beryu/ltertig series koverge. ( )... 4 Mislk, jumlh bgi deret gti td dlh... ( ) S ( ) Utuk bilg gep tulis m sehigg jumlh bgi deret dpt ditulis Sm ( ) ( 4 )... ( m m) kre bris mooto turu mk,,..., 4 m m semuy merupk suku-suku positif yitu bris Sm mooto ik.
PEMA48/MODUL. Dpt jug Ad meulis jumlh bgi deret S m sebgi berikut. S ( ) ( )... ( ) m 4 5 m m m Bris S ii terbts di ts kre m,,...,, semuy merupk suku-suku 4 5 m m m positif kre bris mooto turu. Ad perhtik dri kedu peulis di ts bris Sm mooto ik d terbts di ts. Hl ii Ad igt kembli pd pembhs pd bris bhw bris yg mooto ik d terbts di ts dlh koverge. Jdi bris S koverge, yitu terdpt S R sehigg lim S m S. m Sedgk utuk bilg gjil (Ad dpt meulisk m ) ) k ditujukk bris Sm koverge. Ad dpt meulisk Sm Sm m lim S lim S lim m m m Kre lim Sm S d lim m 0, mk lim Sm S 0 S Hl ii berrti utuk bilg gjil bris Sm koverge. Sehigg dpt Ad simpulk utuk bilg gjil d bilg gep bris S ( ) koverge. koverge. Hl ii meujukk bhw deret Cotoh.4 Tujukk kekoverge deret gti td Peyelesi: ( ). Deret ( ). dpt ditulis sebgi ( ). deg.
.4 Klkulus bris Ditujukk bris mooto turu d limity dlh 0. Oleh kre mk, N ii meujukk mooto turu. Perhtik pul bhw semu suku-suku brisy positif d lim 0. Jdi deret ( ). koverge. Defiisi.9 Deret disebut koverge mutlk jik deret koverge d disebut koverge bersyrt jik diverge. Cotoh.5 Tujukk bhw deret ( ). koverge bersyrt. Peyelesi: Ad thu bhw dri cotoh di ts deret sedgk deret deret diverge. ( ). koverge, LATIHAN Utuk memperdlm pemhm Ad megei mteri di ts, kerjklh ltih berikut! ) Tetuk limit deret geometri ( )! 9 ) Periks pkh deret ( ) merupk deret koverge/diverge?
PEMA48/MODUL.5 ) Selidiki pkh merupk deret koverge/diverge? 4) Periks kekoverge deret deret yg diguk! d sebutk uji kekoverge 5) Periks pkh deret merupk deret koverge/diverge? 6) Periks pkh deret i 7) Tujukk bhw deret!!! merupk deret koverge/diverge? ( ). koverge mutlk! Petujuk Jwb Ltih ) ( )... 9 9 7 8 derety merupk deret geometri deg, r 7 kre 9 9 r mk deret koverge d ( ) = 9 9 6 ) Mislk, ( ) mk lim tidk d.
.6 Klkulus ) Mislk,, d b, mk lim lim lim, b ( ) seljuty diguk uji bdig limit deg deret li. Oleh kre lim 0 d deret b jug Koverge. b 4) Mislk,, d b lim lim lim lim 0 b Mk, deret koverge deg uji bdig limit. 5) Oleh kre koverge mk deret, d merupk deret koverge, seljuty diguk uji bdig deg deret li. Jdi, deret merupk deret koverge. 6) Utuk memeriksy diguk uji bdig. Mislk,!, d lim 4!! kre mk deret ( )! ( )!( )! i!!! diverge.
PEMA48/MODUL.7 7) Deret Oleh disebut koverge mutlk jik deret koverge. kre ( ).... 4 9 ( ). dlh deret koverge. Jdi, deret ( ). koverge mutlk. mk deret RANGKUMAN Dri uri tetg deret tk higg, Ad dpt mergkum sebgi berikut.. Pegerti Deret Defiisi Mislk, sutu bris. Pejumlh...... dri semu Suku-suku bris Defiisi Mislk, ditulis sutu bris d S.... Mk, S disebut bris jumlh bgi dri deret tk higg Bilg disebut suku ke- dri deret jumlh bgi ke- dri deret. disebut deret tk higg.. d S disebut
.8 Klkulus. Limit sutu deret S jumlh bgi ke- dri deret. Jik bris S koverge tu lim S mk S disebut sebgi Mislk, limit sutu deret. Kekoverge sutu Deret Defiisi S d ditulis S =. Deret tk higg diktk koverge jik bris dri jumlh bgiy koverge. Deret diktk diverge jik jumlh bgiy diverge. S S yitu bris dri Utuk megethui sutu deret koverge tu diverge, Ad dpt meguji kekoverge deret sebgi berikut.. Uji bdig deg deret li Teorem Mislk, b dlh deret deg sukusuku positif d i) Jik b N, d jug koverge. b koverge mk
PEMA48/MODUL.9 ii) Jik b, N d b diverge mk jug diverge. Dlm hl ii jik deret b yg koverge mk deret Sebliky jik deret yg diverge mk deret didomisi oleh deret koverge. medomisi deret b. Uji bdig limit deg deret li Teorem Mislk, b dlh deret deg sukusuku positif d diverge. 0 d b 0, N. b i) Jik lim L, L 0 mk kedu deret d b bersm-sm koverge tu diverge. ii) Jik lim 0 b d deret deret jug koverge. b b koverge mk
.40 Klkulus iii) Jik deret lim d deret b jug diverge. b diverge mk c. Uji hsil bgi (peguji deg suku-suku derety) Teorem Mislk, deret merupk deret suku positif d mislk lim. i) Jik mk deret koverge. ii) Jik mk deret diverge. iii) Jik, peguji ii tidk bis diguk meetuk deret koverge tu diverge. 4. Uji deret gti td Mislk, dlh bris yg semu suku brisy positif 0, N N. Jik lim 0,, mooto turu td/deret beryu/ltertig series koverge. ( ) 4 mk deret gti... ( ) Sutu deret dpt Ad liht jug ili mutlk dri sukusukuy.
PEMA48/MODUL.4 Defiisi Deret disebut koverge mutlk jik deret koverge d disebut koverge bersyrt jik diverge. ) Deret TES FORMATIF Pilihlh stu jwb yg plig tept! dlh. A. koverge ke 0 B. koverge ke C. koverge ke D. diverge ) Deret ( ) dlh deret yg. A. koverge ke 0 B. koverge ke C. koverge ke D. diverge ) Limit dri deret geometri A. 4 B. C. 0 D. ( ) 5 dlh. 4
.4 Klkulus 4) Deret 7 dlh. A. koverge ke B. koverge ke 7 C. koverge ke 7 D. diverge 5. Deret geometri A. B. C. D. ( ) dlh koverge ke. 6) Deret dlh. A. koverge ke B. koverge ke C. koverge ke D. diverge
PEMA48/MODUL.4 7) Deret 4 deg dlh deret koverge deg 5 4 uji bdig limit deg b sm deg. A. 4 B. 4 C. 4 D. 5 8) Deret deg uji hsil bgi diperoleh... A. deret koverge deg B. deret koverge deg C. deret diverge deg D. deret diverge deg 9) Deret ( ) deg uji bdig diperoleh... A. koverge ke 0 B. koverge ke C. koverge ke D. diverge ( ) 0) Deret dlh merupk deret... A. koverge bsolut B. koverge bersyrt C. koverge D. diverge
.44 Klkulus Cocokklh jwb Ad deg Kuci Jwb Tes Formtif yg terdpt di bgi khir modul ii. Hituglh jwb yg ber. Kemudi, guk rumus berikut utuk megethui tigkt pegus Ad terhdp mteri Kegit Beljr. Tigkt pegus = Jumlh Jwb yg Ber 00% Jumlh Sol Arti tigkt pegus: 90-00% = bik sekli 80-89% = bik 70-79% = cukup < 70% = kurg Apbil mecpi tigkt pegus 80% tu lebih, Ad dpt meerusk deg Kegit Beljr. Bgus! Jik msih di bwh 80%, Ad hrus megulgi mteri Kegit Beljr, terutm bgi yg belum dikusi.
PEMA48/MODUL.45 Kuci Jwb Tes Formtif Tes Formtif ) B Bgi pembilg d peyebut dlm 7 5 deg. ) A ( ) ( ) lim lim ( 5) d lim 0. ) B cos 0 lim 0 deg teorem pit mk cos lim 0. 4) B 4 0, yitu 5) C 6) C. Jdi, bris mooto ik. ( ) 7 4.. ( ) 7 Jdi, bris mooto ik., brisy dlh,,...!!! Sehigg bris terbts di bwh oleh. 5 7 7) C Pembilg d peyebut dri dibgi deg. 7 5 7 7 0 Sehigg lim lim 0 8) D Oleh kre ( ) mk brisy dlh,,,..., yitu beroskilsi sehigg lim ( ) 4 tidk d. Jdi, bris diverge.
.46 Klkulus 9) B Ditujukk utuk setip 0, terdpt K N sehigg ( ) 0, utuk setip K. Oleh kre 0 mk 0 d pilih K. 0) C Ditujukk utuk setip 0, terdpt K N sehigg ( ) K, utuk setip K. Oleh kre 0 mk 0 d pilih K. Tes Formtif ) D Jumlh bgi deret dlh S k 4 ( )... k k Setip sukuy lebih besr dri sehigg Jdi, lim S yitu deret ) B Jumlh bgi deret dlh S k dlh diverge. ( ) ( ) ( )... ( ) k k Jdi, lim S lim ( ) ) B Deret geometri ( ) 5 5 5 5... dlh deret 4 4 6 64 5 geometri deg, r mk deret koverge ke 4 4 r. 4) D Dpt megguk uji bdig ( ) (7 ) lim. 7 ( )
PEMA48/MODUL.47 5) C Deret ( ) = Deret geometri deg koverge ke r.... 4 8 6) D Deret diverge kre 7) A 4 5 4, mislk 4 b, r mk deret (4 ) lim lim 0 5 b ( 4 ).4 lim 0. kre mk deg uji bdig limit deret 8) C Deret 4 jug koverge. 5 4 diverge deg uji hsil bgi lim. lim ( ) ( ) b koverge deg 9) D Mislk, kre mk. Seljuty, mislk b d kre deret diverge. diverge mk deg uji bdig deret ( ) 0) A Ditujukk deret koverge. Oleh kre
.48 Klkulus ( ), d merupk deret koverge.
PEMA48/MODUL.49 Dftr Pustk Mrtoo. (999). Klkulus. Jkrt: Erlgg. Purcell, Vrberg. (00). Clculus d Alytic Geometry. 7 th York: Pretice-Hll (Terjemh oleh I Nyom Susil). Ed. New Sls, Hill. (990). Clculus Oe d Severl Vribles. New York: Jho Wiley d Sos. Thoms, Fiey. (996). Clculus d Alytic Geometry. 9 th Ed. New York: Addiso-Wesley. Ws d Prksh. (985). Rel Alysis. New Delhi: MC Grw Hill Publishig Compy Limited.