Matematika Terapan dan Pemodelan (RK 1441): Konsep Dasar Pemodelan

Matematika Terapan dan Pemodelan (RK 1441): Konsep Dasar Pemodelan Dr. Heru Setyawan Jurusan Teknik Kimia FTI ITS http://www.its.ac.id/personal/material.php?id=heru che

Materi Pokok Formulasi matematika persoalan persoalan Teknik Kimia Penyelesaian PD biasa dengan deret Fungsi fungsi khusus Penyelesaian analitik PD parsial

Daftar Pustaka Rice, R.G. and Duong, D.Do., Applied Mathematics and Modeling for Chemical Engineers, John Willey, New York, 1995. Mickley, H.S., Sherwood, T.S. and Reed, C.E., Applied mathematics in Chemical Engineering, Mc.Graw Hill, New York, 1984. Jenson, V.G. and Jeffrey, G.V., Mathematical Methods in Chemical Engineering, Academic Press, London, 1977.

Penilaian Kehadiran 10% Tugas 30% Quiz I & II 30% UAS 30% 100%

Produksi Toluene dari n-heptane Berapa suhu reaktor? Bagaimana menentukan ukuran reaktor? Bagaimana mengetahui kebutuhan panas/energi? Bagaimana memisahkan produk? Dan lain lain PLANT Reaksi dehidrogenasi pada katalis Cr 2 O 3 : CH 3 CH 2 CH 2 CH 2 CH 2 CH 2 CH 3 C 6 H 5 CH 3 + 4H 2

Proses Problem-Solving Rekayasa TEORI Mendefinisikan masalah Model matematika DATA Interface masyarakat: penjadwalan, optimisasi, komunikasi, interaksi publik, dll. Alat problem-solving: Komputer, statistika, metoda numerik, grafik, dll. Implementasi Hasil angka atau grafik

Model Matematika Sederhana Model matematika: didefinisikan secara luas sebagai rumus atau persamaan yang menyatakan ciri pokok sistem fisik atau proses dalam bahasa matematika. Model dapat diwakili sebagai hubungan fungsional berbentuk: Variabel tak bebas = f variabel, parameter, bebas fungsi penggerak Variabel tak bebas: karakteristik yang biasanya mencerminkan perilaku atau keadaan sistem Variabel bebas: biasanya dimensi, seperti waktu dan ruang, sepanjang mana perilaku sistem ditentukan Parameter: merupakan cerminan sifat-sifat atau komposisi sistem Fungsi penggerak: pengaruh luar yang bekerja pada sistem.

Model Matematika Sederhana Hukum Newton II (tentang gerak): laju perubahan momentum sebuah benda sama dengan gaya resultante yang bekerja padanya. F = ma dalam format persamaan diatas: a = F m a = variabel tak bebas yang mencerminkan perilaku sistem F = fungsi penggerak m = parameter yang mewakili sifat sistem Untuk kasus sederhana seperti ini tidak ada variabel bebas karena kita tidak memprediksi bagaimana percepatan berubah dalam waktu atau ruang.

Karakteristik Tipikal Model Matematika Fisik Model matematika menggambarkan proses alam atau sistem dalam bahasa matematika. Model matematika mewakili idealisasi dan simplifikasi realitas. Yakni, model tersebut mengabaikan detail dari proses alam dan menfokuskan pada manifestasi intinya. Jadi, hukum Newton II tidak memasukkan pengaruh relativitas yang pengaruhnya kecil ketika dikenakan pada benda dan gaya yang berinteraksi pada atau disekitar permukaan bumi pada kecepatan dan pada skala yang tampak mata manusia. Model matematika menghasilkan hasil yang dapat diulangi, dan sebagai akibatnya, dapat digunakan untuk tujuan prediksi. Sebagai contoh, jika gaya pada benda dan massanya diketahui, persamaan diatas dapat digunakan untuk menghitung percepatan.

Model Yang Lebih Kompleks F A Berapa kecepatan akhir batu jatuh bebas? Dalam hukum Newton II: Percepatan, a Laju perubahan percepatan, dv/dt Gaya-gaya yang bekerja pada benda jatuh F B t = variabel bebas C D, m = parameter g = fungsi penggerak F A = C D F B = mg v F = F B + F A v = 0 pada t = 0 dv m dt = mg C m t [ ] ( CD ) () = 1 e v t gm C D dv m = dt D v dv dt F dibagi m CD = g v m

Tipe-Tipe Model Model Fisik Realisasi fisik seperti apa adanya. Biasanya berukuran lebih kecil dan konstruksinya lebih sederhana dibandingkan dengan prototipe yang dimodelkan dan diwakili. Contoh: Berukuran lebih kecil: Model skala pesawat terbang, kapal, saluran air Berukuran sama tetapi konstruksinya sederhana: Perancangan atau desain mobil Peralatan proses ukuran laboratorium atau pilot plant Model Konseptual realisasi fisik seperti apa adanya, tetapi merupakan saran atau usulan pernyataan realisasi fisik. Realisasi fisik dari saran adalah sebuah kalimat yang dinyatakan dalam bahasa yang sesuai. Jika menggunakan bahasa matematika, kalimat tersebut disebut persamaan.

Model Proses Konseptual Model Variabel input Variabel output Variabel internal Pernyataan Parameter proses Parameter non proses Dalam model proses konseptual terdapat pernyataan yang mengandung parameter-parameter; Setiap pernyataan: merupakan model dari sebuah sub-fenomena. menyatakan hubungan antara input dan output sub-fenomena yang menjadi pertanyaan.

Hubungan Proses dan Model Proses Ruang model Besaran dan pernyataan Parameter proses Model proses Parameter non proses Ruang fisik Fenomena proses Peralatan proses Proses Sifat fisika Besaran lain

Manfaat Model Matematika Riset dan pengembangan: menentukan mekanisme kinetika kimia dan parameter parameter dari data reaksi laboratorium atau pilot plant; mengeksplorasi pengaruh kondisi operasi yang berbeda untuk optimisasi dan studi pengendalian; membantu dalam perhitungan scale up. Desain: Mengeksplorasi ukuran dan susunan peralatan proses untuk unjuk kerja dinamis; mempelajari interaksi bermacam macam bagian proses, khususnya ketika digunakan recycle bahan atau integrasi panas; mengevaluasi proses alternatif dan struktur pengendali dan strategi; mensimulasikan start up, shutdown, dan situasi dan prosedur darurat. Operasi pabrik: troubleshooting masalah pengendali dan proses; membantu dalam start up dan training operator; mempelajari pengaruh dari dan kebutuhan untuk proyek ekspansi (menghilangkan bottleneck); mengoptimalkan operasi pabrik.

Klasifikasi Model matematika Model teoritis: dikembangkan menggunakan prinsip kimia dan fisika. Model empiris: diperoleh dari analisa matematika (statistika) data operasi proses. Model semiempiris: mongkompromikan antara (a) dan (b), dengan satu atau lebih parameter dievaluasi dari data eksperimen atau plant. Pembedaan model teoritis-empiris didasarkan pada tujuan penggambaran pernyataan dan bukan pada kedalaman pengetahuan.

Perbandingan Model Teoritis dan Empiris Teoritis mencoba menggambarkan meknisme dari sebuah fenomena (menggambarkan hubungan sebabakibat dari suatu mekanisme). Karena keterbatasan pengetahuan tentang fisika ruang waktu, gambaran hubungan sebab akibat ini dibatasi pada tingkat penggambaran yang sangat kasar. Contoh: dalam rekayasa proses digunakan aksioma kontinum dan bukan teori kuantum. membutuhkan pemahaman tentang mekanisme sehingga membutuhkan sangat banyak pengetahuan (pemahaman) dan sangat banyak kerja untuk mengembangkan. dapat digunakan untuk mengekstrapolasi dengan resiko yang lebih kecil dibandingkan dengan pernyataan empiris. Empiris tidak mencoba menggambarkan mekanisme. tidak didasarkan pada teori yang menyatakan mekanisme tersebut. didasarkan pada data yang diperoleh melalui pengalaman (percobaan dan pengamatan) tanpa interpretasi eksplisit tentang data melalui sebuah teori. mengkorelasikan data empiris menggunakan metoda statistika. lebih mudah untuk mengembangkan daripada pernyataan teoritis. hanya dapat digunakan untuk ekstrapolasi dengan resiko yang sangat besar karena model empiris tidak memberikan implikasi apapun tentang keabsahannya diluar kisaran data dimana data tersebut didasarkan.

Ilustrasi Model Teoritis dan Empiris Penentuan faktor friksi f untuk aliran fluida incompressible dalam pipa. Aliran laminar: Dari persamaan konservasi memontum dan persamaan fluida Newtonian: 16 f = Re < 2100 Re Aliran turbulent: f = 0,25 0,079 Re 3000 < Re < 3 10 5 0.1 Faktor friksi, f 0.01 0.001 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 Bilangan Reynolds, Re

Rangkuman Model yang sering digunakan dalam teknik kimia: Model fisik: realisasi fisik seperti apa adanya tetapi berukuran lebih kecil dan konstruksinya lebih sederhana dibandingkan dengan prototipe yang dimodelkan dan yang diwakili. Model konseptual: saran atau usulan pernyataan realisasi fisik yang dinyatakan dalam bahasa yang sesuai dimana dalam teknik bahasa yang paling sering digunakan adalah bahasa matematika yang umumnya disebut persamaan atau model matematika. Model matematika hanyalah merupakan suatu pendekatan dari suatu proses nyata yang tidak dapat menggambarkan secara rinci fenomena fisika, baik makroskopis maupun mikroskopis, yang menyertai proses tersebut. Uji plant tetap dibutuhkan untuk mengkonfirmasi validitas model dan membuktikan ide dan rekomendasi penting yang timbul dari studi model.

Soal 1. Jawab benar atau salah dan diskusikan jawaban anda: a. Saat ini perhatian dapat lebih diberikan kepada masalah formulasi matematika proses teknik kimia dan interpretasinya karena komputer dan metoda numerik menfasilitasi penyelesaian problema teknik kimia. b. Hukum kedua Newton merupakan contoh yang bagus dari fakta bahwa sebagian besar hukum hukum fisika didasarkan pada laju perubahan besaran daripada pada besarnya besaran. c. Model matematika seharusnya tidak pernah digunakan untuk tujuan prediksi. 2. Dean (Ph.D. Thesis, University of London, 1974) mengukur variasi kecepatan garis pusat u c dalam daerah masuk aliran udara diantara dua pelat sejajar yang skemanya ditunjukkan pada gambar dibawah. u 0 y x u c 2L Daerah masuk Daerah terkembang penuh

Soal Hasil pengukuran, yang dinyatakan sebagai jarak tak berdimensi x/l dan kecepatan pusat tak berdimensi u c /u 0, ditunjukkan pada tabel dibawah. x/l 18 29 40 55 65 78 90 100 115 150 uc/u0 1,062 1,082 1,11 1,125 1,15 1,16 1,165 1,138 1,13 1,12 a. Buat grafik x/l lawan u c /u 0 berdasarkan data yang disajikan pada tabel diatas. b. Cari persamaan yang pas yang menghubungkan u c /u 0 sebagai fungsi x/l untuk data tersebut. Dapatkah data tersebut diwakili oleh satu persamaan? Jika tidak, berikan saran agar semua data terwakili! c. Termasuk klasifikasi yang manakah persamaan yang diperoleh pada (b) diatas?

Soal 3. Data berikut dilaporkan untuk kesetimbangan uap cair untuk campuran biner benzene dan toluene: x 0,167 0,333 0,500 0,667 0,833 y 0,320 0,550 0,710 0,830 0,930 dimana x dan y berturut turut mewakili fraksi mol benzene dalam cairan dan uap. a. Tunjukkan bagaimana data ini dapat diplotkan untuk menghasilkan garis lurus jika volalitas relatif adalah konstan. Jika benzene dan toluene dianggap mengikuti hukum Raoult, volatilitas relatif α dapat dianggap konstan dan hubungan antara x dan y bisa dinyatakan sebagai: αx y = 1 + ( α 1)x b. Paskan garis lurus terbaik dengan titik titk pada suatu grafik dengan (i) pengamatan visual garis lurus melalui titik titik dan (ii) metoda rata rata. c. Tentukan volatilitas relatif rata rata campuran dengan menggunakan garis lurus yang diperoleh. d. Termasuk tipe persamaan yang manakah persamaan diatas? Diskusikan!