SOLUSI OPTIMAL MODEL STOKASTIK SISTEM PERSEDIAAN DENGAN PERMINTAAN YANG BERGANTUNG PADA STOK MENGGUNAKAN PENDEKATAN SIMULASI MONTE CARLO

SOLUSI OPTIMAL MODEL STOKASTIK SISTEM PERSEDIAAN DENGAN PERMINTAAN YANG BERGANTUNG PADA STOK MENGGUNAKAN PENDEKATAN SIMULASI MONTE CARLO Liem Chin; Agus Sukmana Jurusan Matematika Universitas Katolik Parahyangan Jl Ciumbuleuit 94 Bandung 40141 chin@unparacid; asukmana@unparacid ABSTRACT Inventory management is one important component of a supply chain system Economic Order Quantity (EOQ) model is often used to describe an inventory management system where customer demand is deterministic with a fixed amount every time However, many cases that can not be handled by the EOQ model, for instance is a case where customer demand is stochastic This study focused on the inventory model in which the demand for goods (items) are not constant but has a non-linear form that is dependent on available stock Benkherouf et al (2001) have provided a closed-form of the optimal solution for inventory replenishment model with stochastic demand However, the model is quite difficult to calculate Therefore, in this study we provide another alternative by Monte Carlo simulation to find the optimal solution Keywords: inventory control, Monte Carlo simulation, stochastic model ABSTRAK Pengelolaan persediaan adalah salah satu komponen penting dari suatu sistem rantai pasok Model EOQ digunakan untuk mendeskripsikan suatu sistem pengelolaan persediaan di mana permintaan pelanggan bersifat deterministik dengan jumlahnya tetap setiap saat Namun, banyak kasus yang tidak dapat ditangani oleh model EOQ, antara lain kasus di mana permintaan pelanggan bersifat stokastik Penelitian ini difokuskan pada model persediaan di mana pemintaan barang (items) tidak konstan tetapi memiliki bentuk non-linear yaitu bergantung pada stok yang tersedia Benkherouf et al (2001) telah memberikan closed-form mengenai solusi optimal dalam penambahan persediaan kembali untuk model persediaan dengan permintaan yang bersifat stokastik Ternyata untuk mencari solusi model tersebut cukup sulit Oleh karena itu, dalam penelitian ini kami memberikan cara alternatif untuk mencari solusi optimal model yaitu menggunakan simulasi Monte Carlo Kata kunci: pengelolaan persediaan, simulasi Monte Carlo, model stokastik 38 Jurnal Mat Stat, Vol 12 No 1 Januari 2012: 38-45

PENDAHULUAN Pengelolaan persediaan merupakan salah satu komponen penting dari suatu sistem rantai pasok (supply-chain) Pengelolaan persediaan bertujuan memberikan jaminan kecukupan pasokan sesuai dengan permintaan pelanggan dengan biaya pengelolaan minimum Model persediaan dapat digunakan untuk memperoleh gambaran mengenai sistem persediaan yang dikelola Beberapa model dasar sistem persediaan yang banyak dibahas dalam literatur antara lain: Economic Order Quantity (EOQ), Newsboy, periodic review Model EOQ digunakan untuk mendeskripsikan suatu sistem pengelolaan persediaan di mana permintaan pelanggan bersifat deterministik dengan jumlahnya tetap setiap saat Model ini populer digunakan oleh para praktisi karena mudah dipahami untuk tujuan ingin memperoleh gambaran global dari suatu sistem pengelolaan persediaan Namun demikian banyak kasus yang tidak dapat ditangani oleh model EOQ seperti misalnya permintaan pelanggan bersifat stokastik Sehingga kemudian dikembangkan model dasar persediaan untuk berbagai jenis permintaanyang lebih mendekati situasi nyata Penelitian ini difokuskan pada model persediaan stokastik di mana pemintaan barang memiliki bentuk non-linear, yaitu bergantung pada stok yang tersedia Sebagai ilustrasi keadaan nyata, misalkan pada toko buku ada situasi di mana permintaan pelanggan untuk buku tertentu bergantung pada berapa banyak jumlah jilid buku yang dipajang (display) di toko buku tersebut Artikel yang membahas fenomena ini antara lain Benkherouf, Boumenir, & Aggoun (2001) Beberapa penelitian tentang model persediaan untuk permintaan yang memiliki karakteristik tersebut antara lain: (1) Sana & Chaudhuri (2003, 2004) yang membahas model dengan permintaan bergantung pada stok memuat sebagian barang dengan kondisi rusak; (2) Pal, Bhunia, & Mukherjee (2005) juga membahas model dengan permintaan bergantung pada stok yang mereka uraikan pengaruhnya pada tiga komponen biaya; (3) Soni & Shah (2008) mengaitkan permintaan bergantung stok dengan cara pembayaran berbunga progresif Ketiga artikel tersebut mengasumsikan permintaan bersifat deterministik sehingga kita dapat mengetahui dengan tepat berapa besar permintaan setiap saatnya Chung (2003) membahas algoritma aspek-aspek komputasi dari model persediaan jenis tersebut Segkan untuk jenis permintaan yang bersifat stokastik antara lain dibahas oleh Benkherouf et al (2001) Benkherouf et al (2001) telah memberikan closed-form mengenai solusi optimal dalam penambahan persediaan kembali untuk model persediaan dengan permintaan yang bersifat stokastik Namun untuk mencari solusi model tersebut tidaklah mudah Oleh karena itu, pada penelitian ini kami memberikan suatu alternatif untuk mencari solusi optimal tersebut, yaitu dengan simulasi Monte Carlo yang diharapkan lebih mudah untuk diperoleh Pertanyaan penelitian yang ingin dijawab adalah: (1) apakah pendekatan simulasi Monte Carlo dapat digunakan untuk mencari solusi model Benkherouf et al (2001)?; (2) bagaimana kinerja prosedur pencarian solusi model melalui pendekatan simulasi Monte Carlo? METODE Persediaan Stokastik Model persediaan stokastik yang bergantung pada stok, secara matematis dituliskan sebagai berikut (Benkherouf et al, 2001: 318): Solusi Optimal Model (Liem Chin; Agus Sukmana) 39

di mana: (a) x t menyatakan tingkat persediaan barang (jumlah barang yang tersisa pada saat t), (b) (c) (d) I() adalah variabel indikator bernilai 0 atau 1, δ adalah fungsi delta dirac, g > 0 adalah konstanta yang menyatakan laju penurunan persediaan, (e) σ > 0 adalah volatilitas, (f) adalah parameter bernilai, (g) {w t } adalah gerak Brown baku, (h) adalah banyaknya pemesanan/pengadaan yang dilakukan pada saat Interpretasi umum dari model (1) adalah perubahan persediaan bergantung pada komponen: laju permintaan g konstan, laju permintaan bergantung stok, fluktuasi permintaan dengan variabilitas takkonstan Nilai x(t) bernilai positif bila ada barang yang tersisa di gug, x(t) bernilai nol bila barang habis, x(t) bernilai negatif bila permintaan melebihi stok barang nilai x(t) menyatakan kekurangan permintaan barang yang tidak dapat dipenuhi Model bergantung pula pada kebijakan untuk menangani kekurangan, apakah kebijakan back-order atau lost-sales Kebijakan back-order bila pelanggan bersedia menunggu bila barang baru telah tiba, permintaann tersebut akan didahulukan untuk dipenuhi Segkan bila menggunakan kebijakan lost-sales, pelanggan diasumsikan tidak bersedia menunggu sehingga kekurangan permintaan merupakan hilangnya kesempatan memperoleh keuntungan Pada persamaan (1), laju perubahan tingkatt persediaan pada saat t (ditulis dx t ) akibat dari aya permintaan pelanggan sejumlah barang baru masuk dalam gug Nilai dx t bergantung pada laju permintaan, di mana I() menyatakan variabel indikator Bila a = 0, keadaan ini menunjukkan bahwa laju permintaan konstan sebesar g yang merupakan kondisi sesuai asumsi model EOQ Bila a > 0, menyatakan laju permintaan bergantung pada stok Varibel indikator I() untuk membatasi ekspresi matematika tersebut hanya berlaku bila tingkat persediaan bernilai positif Permintaan berjenis stokastik artinya jumlah permintaan setiap saat bervariasi bersifat acak Variasi permintaan tersebut dapat tetap atau berubah-ubah Segkan bila, dapat diinterpretasikan sebagai laju permintaan Selain itu model (1) menyatakan secara implisit bahwa kekurangan persediaan (saat ) tidak berpengaruh terhadap permintaan Sebagai gambaran mengenai perilaku model persedian tersebut, lihat Gambar 1 yang merupakan hasil simulasi dari tingkat persediaan dengan parameter-parameter sebagai berikut: g = 20, a = 20, periode waktu yang disimulasikan selama setahun,, (1) 40 Jurnal Mat Stat, Vol 12 No 1 Januari 2012: 38-45

Gambar 1 Contoh tingkat persediaan hasil simulasi Selanjutnya, untuk struktur biayaa (cost) pada model persediaan, diasumsikan sebagai berikut: (a) Faktor diskon adalah, dengan (b) Biaya penyimpanan adalah: (c) (d) Biaya setup (setup cost) adalah k, dengan Biaya per unit item adalah c, dengan Berdasarkan pemodelan persediaan struktur biaya di atas, dapat diperoleh solusi optimal untuk penambahan persediaan yang direduksi menjadi masalah mencari barisan V* yang memenuhi (Benkherouf, et al, 2001:318): dengan (2) Untuk mencari solusi yang memenuhi (2) tentu saja tidak mudah Oleh karena itu, pada penelitian ini, solusi tersebut akan dicari melalui pendekatann simulasi Monte Carlo Solusi Optimal Model (Liem Chin; Agus Sukmana) 41

Misalkan peubah acak X dengann yang tidak diketahui Berdasarkan hukum bilangan besar (law of large number), rata-rata sampel merupakan hampiran yang baik untuk mean (rataan), yaitu jika merupakan peubah acak yang berdistribusi identik saling bebas dengan X, maka (3) adalah hampiran yang baik untuk a bias untuk b adalah adalah penaksir tak bias untuk a Segkan penaksir tak Karena menggunakan simulasi (4) Monte Carlo, maka infimum dapat diganti dengan minimum integral dihitung dengan menggunakan metode trapesium Simulasi Monte Carlo Penelitian ini diawali dengan mengembangkan prosedur simulasi Monte Carlo untuk mencari solusi optimal dari model yang telah diajukan sebelumnya oleh Benkherouf dkk (2001) Prosedur tersebut kemudian di-coding agar dapat dieksekusii dengan menggunakan program Matlab Selanjutnya dilakukan eksperimen sederhanaa untuk melihat kinerja prosedur pencarian solusi tersebut Berdasarkan analisiss terhadap keluaran dari program Matlab yang telah diulang 200 kali, kami mengkaji kualitas prosedur tersebut dalam menemukan solusi optimal model Berikut adalah prosedur yang diusulkan untuk mencari solusi persamaan (2) menggunakan pendekatan simulasi Monte Carlo: (1) masukkan parameter-parameter berikut ini (a) Biaya kekurangan (b) Biaya penyimpanan (c) Faktor diskon (d) Biaya setup (e) Biaya per unit item (f) Parameter (g) Waktu pengamatan T (dalam tahun) (h) M: waktu pemesanan kembali M yang digunakan adalah: 1, 2, 3, 4, 6, 12 bulan (i) N: banyaknya selang waktu selama periode pemesanan kembali (j) sim: banyaknya simulasi (2) set suku1 = 0, suku2 = 0, matriks x berukuran (3) Bangkitkan bilangan acak berdistribusi normal baku sebanyak (4) untuk (a) jika (b) jika (i) (ii), hitung:, lakukan:, hitung buah 42 Jurnal Mat Stat, Vol 12 No 1 Januari 2012: 38-45

(iii) (iv) (c) jika (i) (ii) (iii) (iv), hitung : (d) Hitung suku1, yaitu dengan menggunakan n metode trapesium (5) hitung jumlah dari suku1 suku2 simpan hasilnya dalam variabel ytemp (6) ulangi langkah 2 hingga langkah 5 sebanyak sim kali (yaitu banyaknya simulasi) (7) hitung mean dari ytemp (8) ulangi langkah 2 hingga langkah 7 untuk sebanyak nilai q yang dibutuhkan (9) ulangi langkah 2 hingga langkah 8 untuk waktu pemesanan yang berbeda (pada penelitian ini, waktu pemesanan kembali digunakan: 1, 2, 3, 4, 6, 12 bulan sekali) Simulasi di atas dilakukan dengann bantuan program Matlab 2007 Adapun hasil yang ditampilkan dari simulasi tersebut adalah grafik biaya total per tahun (y) terhadap tingkat pemesanan kembali (Q) dengann waktu pemesanan kembali bervariasi antara satu bulan, dua bulan, tiga bulan, empat bulan, enam bulan, 12 bulan Selain itu, ditampilkan pula biaya minimum per tahun untuk periode pemesenan yang bervariasi tersebut HASIL DAN PEMBAHASAN Solusi Optimal Pada bagian ini diberikan contoh numerik hasil simulasi dengan parameter sebagai berikut: (a) g = $ 100000, a = $ 20, p = $ 5, q = $ 2,, k = $ 100, c = $ 20; (b) waktu pengamatan: T = 10 tahun (dibatasi karena tidak mungkin diambil T tak hingga); (c) waktu pemesanan kembali: 1, 2, 3, 4, 5, 6 12 bulan; (d) banyaknya simulasi: 200 Situasi pertama yang akan diamati adalah bagaimana perbedaan penggunaan model stokastik dibandingkan dengann model deterministik, di mana pengaruh stok terhadap permintaan dimunculkan namun dengan efek yang sangat kecil (β = 0,01) Dari hasil perbandingan biaya total pengelolaan persediaan, dengan model stokastik lebih rendah daripada model deterministik tapi penghematannya sangat kecil, yaitu sekitar USD 1-4 dari orde biaya total sekitar US$ 1,25 juta (lihat Tabel 1) Namun, dari hasil ini juga dapat dilihat bahwa waktu antar pengadaan barang selama 12 bulan (satu tahun) sekali memberikan biaya yang paling murah dibandingann dengan yang lainnya Solusi Optimal Model (Liem Chin; Agus Sukmana) 43

Tabel 1 Rangkuman Solusi Optimal untuk Skenario β = 0,01 ; σ = 0 atau 5 Waktu antar pengadaan (dalam bulan) 1 2 3 4 6 12 β = 0,01 σ = 0 β = 0,01 σ = 5 Q optimal 8058 unit 15609 unit 22783 unit 29451 unit 42230 unit 75015 unit Biaya Total ($) 1261493 1257826 1254658 1251777 1246651 1235015 Q optimal 8053 unit 15611 unit 22758 unit 29526 unit 42242 unit 75028 unit Biaya Total ($) 1261491 1257822 1254657 1251777 1246650 1235013 Berikutnya, situasi yang akan diamati adalah bagaimana perbedaan penggunaan model stokastik dibandingkan dengan model deterministik, di mana pengaruh stok terhadap permintaan dimunculkan tapi dengan efek seg (β = 0,5) Strategi optimal (lihat Tabel 2) untuk situasi ini adalah melakukan pengadaan persediaan secara regular setiap enam bulanan dengan Q optimal = 40817 unit (deterministik) atau Q optimal = 40741 unit (stokastik) Berbeda dengan situasi sebelumnya, disini model stokastik tidak selalu memberikan biaya pengelolaan persediaan yang lebih rendah dibandingkan dengan model deterministik Tabel 2 Rangkuman Solusi Optimal untuk Skenario β = 0,5 ; σ = 0 atau 5 β = 0,5 σ = 0 β = 0,5 σ = 5 Waktu antar pengadaan (dalam bulan) 1 2 3 4 6 12 Q optimal 7948 unit 15314 unit 22191 unit 28813 unit 40817 unit 70079 unit Biaya Total ($) 1263620 1261098 1258849 1256766 1253009 1320289 Q optimal 7936 unit 15306 unit 22190 unit 28779 unit 40741 unit 70084 unit Biaya Total 1263618 1261096 1258849 1256765 1253009 1320292 Terakhir, situasi yang akan diamati adalah bagaimana perbedaan penggunaan model stokastik dibandingkan dengan model deterministik, di mana pengaruh stok terhadap permintaan dimunculkan dengan efek besar (β = 0,95) Strategi optimal (lihat Tabel 3) untuk situasi ini adalah melakukan pengadaan persediaan secara regular setiap bulan dalam satu tahun periode perencanaan Tabel 3 Rangkuman Solusi Optimal untuk Skenario β = 0,95 ; σ = 0 atau 5 β = 0,95 σ = 0 β = 0,95 σ = 5 Waktu antar pengadaan (dalam bulan) 1 2 3 4 6 12 Q optimal 7649 unit 13760 unit 18126 unit 28779 unit 12610 unit 5869 unit Biaya Total ($) 1275835 1285005 1293490 1301547 1313869 1320289 Q optimal 7635 unit 13762 unit 18132 unit 23252 unit 12616 unit 5875 unit Biaya Total ($) 1275833 1285003 1293488 1301548 1313867 1320292 44 Jurnal Mat Stat, Vol 12 No 1 Januari 2012: 38-45

PENUTUP Dari hasil uji coba terhadap prosedur pencarian solusi melalui simulasi Monte Carlo yang kami lakukan, dapat disimpulkan bahwa bila diterapkan terhadap situasi stokastik dengan parameter volatilitas rendah, solusi untuk model stokastik hampir sama dengan solusi untuk model deterministik yang bergantung pada stok Karena pada situasi ini parameter volatilitas permintaan tidak memberikan efek pada fluktuasi permintaan secara berarti Kemudian bila diterapkan terhadap situasi stokastik dengan parameter volatilitas cukup tinggi, solusi untuk model stokastik berbeda dengan solusi untuk model deterministik yang bergantung pada stok Pada situasi ini parameter volatilitas permintaan memberikan efek pada fluktuasi permintaan secara berarti Terjadi penghematan bila digunakan model stokastik, namum penghematannya masih kurang berarti nilainya dibandingkan dengan biaya total pengelolaan persediaan Selanjutnya solusi optimal sulit untuk diprediksi dicapai pada periode waktu antar pengadaan dengan panjang interval berapa bulan, karena sangat bergantung pada pemilihan parameter model Solusi yang diperoleh pada umumnya make sense Secara umum dapat disimpulkan bahwa prosedur simulasi Monte Carlo yang dirancang dapat membantu mencari solusi optimal model secara lebih mudah interpretasinya cukup make sense dibandingkan dengan solusi umum secara analitik dari (Benkherouf et al, 2001) Kami mengucapkan terimakasih kepada Lembaga Penelitian Pengabdian Kepada Masyarakat (LPPM) Universitas Katolik Parahyangan yang telah menai penelitian ini DAFTAR PUSTAKA Benkherouf, L, Boumenir, A, & Aggoun, L (2001) A Stochastic Inventory Model with Stock Dependent Demand Items Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis, 14(4), 317-328 Chung, K (2003) An Algorithm for an Inventory Model with Inventory-Level-Dependent Demand Rate Computers & Operations Research, 30, 1311-1317 Pal, A K, Bhunia, A K, & Mukherjee, R N (2005) A Marketing-Oriented Inventory Model with Three-Component Demand Rate Dependent on Displayed Stock Level (DSL) Journal of the Operational Research Society, 56(113-118) Sana, S, & Chaudhuri, K S 2003 On a Volume Flexible Stock-Dependent Inventory Model Advanced Modeling and Optimization, 5(3), 197-210 Sana, S, & Chaudhuri, K S 2004 A Stock-Review Model with Stock-Dependent Demand, Quadratic Deterioration Rate Advanced Modeling and Optimization, 6(2), 25-32 Soni, H, & Shah, N H (2008) Optimal Ordering Policy for Stock-Dependent under Progressive Payment Scheme European Journal of Operational Research, 184, 91-100 Solusi Optimal Model (Liem Chin; Agus Sukmana) 45