STUDI TENTANG PERSAMAAN FUZZY Elva Ravita Sari Evawati Alisah Jurusan Matematika Fakultas Sains Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang e-mail: mbemvie@gmail.com ABSTRAK Bilangan fuzzy merupakan konsep perluasan dari bilangan tegas. Misalkan A adalah himpunan fuzzy dalam semesta himpunan semua bilangan riil R, maka A disebut bilangan fuzzy jika memenuhi empat sifat diantaranya yaitu: himpunan fuzzy normal, mempunyai support SA yang terbatas, semua A merupakan interval tertutup untuk semua α 0, 1 dalam R, konveks. Operasi aritmetika pada bilangan fuzzy dilakukan dengan memanfaatkan α-cut yang berbentuk interval tertutup dengan menggunakan fungsi bentuk segitiga, karena bentuk ini sederhana sudah memenuhi syarat bilangan fuzzy, sudah mewakili dari representasi fungsi bentuk yang lainnya. Persamaan fuzzy adalah kombinasi dari bilangan fuzzy operasi aritmetika fuzzy. Misalkan A B adalah bilangan fuzzy pada semesta R dengan fungsi masing-masing µ µ. adalah empat operasi aritmetika dasar pada R, maka operasi A B yaitu A B A B. Selama A B adalah interval tertutup untuk setiap α 0,1, A B adalah bilangan fuzzy, maka A B juga bilangan fuzzy. Prosedur penyelesaian persamaan fuzzy yaitu dengan merepresentasikan bilangan fuzzy dalam bentuk α-cut menggunakan fungsi segitiga. Kemudian mengoperasikannya menggunakan operasi aritmetika pada bilangan fuzzy. Penentuan hasil operasi aritmetika pada persamaan fuzzy dilakukan dengan merepresentasikan ulang bilangan fuzzy tersebut dengan α-cut, sehingga didapatkan bilangan fuzzy baru sebagai hasil penyelesaian dari persamaan fuzzy. Pada skripsi ini hanya memfokuskan pokok bahasan pada persamaan fuzzy. Maka dari itu, disarankan kepada pembaca untuk mengkaji lebih lanjut tentang bentuk aljabar klasik yang lainnya yaitu pertidaksamaan linier yang dikembangkan menjadi pertaksamaan fuzzy. Dapat juga mengkaji lebih lanjut tentang sistem persamaan fuzzy. Kata Kunci: Bilangan Fuzzy, Operasi Aritmetika, Persamaan Fuzzy. PENDAHULUAN Aljabar merupakan cabang dari matematika yang tergolong klasik, tetapi dalam perkembangannya memiliki beberapa keunggulan terutama dalam aplikasinya dengan ilmu-ilmu eksak lainnya. Aljabar dasar mencatat sifat-sifat operasi bilangan riil, menggunakan simbol sebagai pengganti untuk menandakan konstanta variabel, mempelajari aturan tentang ungkapan persamaan matematis yang melibatkan simbol-simbol. Persamaan matematis tersebut seperti: () 2 6 4 3, ( ) 3 4, ( ) 2 3 4 1. Suatu persamaan disebut persamaan linier dalam suatu variabel jika pangkat tertinggi dari variabel dalam persamaan tersebut adalah 1. Suatu persamaan disebut persamaan kuadrat dalam variabel jika pangkat tertinggi dari variabel tersebut adalah 2. Persamaan () adalah persamaan linier dalam satu variabel, persamaan () adalah persamaan kuadrat dalam satu variabel, persamaan () adalah persamaan linier dalam dua variabel. Pada persamaan linear ini berlaku hukum: (1) Ruas kiri ruas kanan dapat ditambahkan atau dikurangi bilangan yang sama, (2) Ruas kiri ruas kanan dapat dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama (Ayres Schmidt, 2004:17). Aljabar ini selanjutnya dinamakan aljabar klasik. Dari sini muncul keinginan untuk mengembangkan persamaan aljabar fuzzy. KAJIAN TEORI Persamaan Linier Persamaan linier adalah sebuah persamaan aljabar yang setiap sukunya merupakan konstanta atau perkalian konstanta dengan variabel tunggal. Secara umum persamaan linier dengan variabel,,, didefinisikan dengan (2.1) Dengan,,, adalah konstanta-konstanta riil. Sebuah persamaan linier tidak melibatkan sesuatu hasil kali atau akar variabel. Semua veriabel hanya terdapat sampai dengan derajat pertama tidak muncul sebagai argumen untuk fungsi trigonometri, fungsi logaritma, atau fungsi eksponensial (Anton, 2000:17-20).
Studi Tentang Persamaan Fuzzy Logika Fuzzy (Fuzzy Logic) Logika fuzzy merupakan peningkatan dari logika Boolean yang diperkenalkan oleh Dr. Lotfi Zadeh dari Universitas California, Berkeley pada tahun 1965. Dalam logika Boolean menyatakan bahwa segala sesuatu hanya dapat diekspresikan dalam dua nilai, yaitu 0 1, hitam putih, atau ya tidak. Dalam logika fuzzy memungkinkan nilai antara 0 1, sehingga dalam logika fuzzy mengenal istilah hitam, keabuan putih, atau sedikit, lumayan sangat. Himpunan Fuzzy (Fuzzy Set) Pada himpunan klasik, keberadaan suatu elemen dalam suatu himpunan, hanya memiliki dua kemungkinan, yaitu menjadi anggota atau tidak menjadi anggota. Suatu nilai yang menunjukkan seberapa besar tingkat suatu elemen dalam suatu himpunan biasa disebut dengan nilai, yang biasa ditulis dengan. Pada himpunan klasik, nilai hanya memasangkan nilai 0 atau 1 untuk unsur-unsur pada semesta pembicaraan, yang menyatakan anggota atau bukan anggota. Nilai untuk himpunan adalah fungsi : 0,1 dengan 1, 0, (Klir Yuan, 1995:6). Fungsi ini, pada himpunan fuzzy diperluas sehingga nilai yang dipasangkan pada unsurunsur dalam semesta pembicaraan tidak hanya 0 1 saja, tetapi keseluruhan nilai dalam interval 0, 1 yang menyatakan derajat suatu unsur pada himpunan yang dibicarakan. Fungsi ini disebut fungsi, himpunan yang didefinisikan dengan fungsi ini disebut himpunan fuzzy. Fungsi himpunan fuzzy pada himpunan semesta, dinotasikan dengan, yaitu: : 0,1 Operasi Dasar Himpunan Fuzzy Operasi Dan (Intersection) A B merupakan himpunan fuzzy dari, ditunjukkan sebagai derajat dari adalah hasil yang diperoleh dengan mengambil nilai terkecil antarelemen pada himpunan-himpunan yang bersangkutan min,, Operasi Atau (Union) A atau B merupakan himpunan fuzzy dari, ditunjukkan sebagai derajat dari adalah hasil yang diperoleh dengan mengambil nilai terbesar antarelemen pada himpunan-himpunan yang bersangkutan max,, Operasi Tidak (Complement) Operasi tidak A merupakan himpunan fuzzy dari, ditunjukkan sebagai derajat dari ( komplemen) adalah hasil yang diperoleh dengan mengurangkan nilai elemen pada himpunan yang bersangkutan dari 1 1 (Kusumadewi Purnomo, 2004:24-25). Fungsi Keanggotaan Fungsi (membership function) adalah suatu kurva yang menunjukkan pemetaan titik-titik input data ke dalam nilai nya yang memiliki interval antara 0 sampai 1. Salah satu cara yang dapat digunakan untuk mendapatkan nilai adalah melalui pendekatan fungsi. Nilai didapatkan dari beberapa fungsi, dalam buku yang ditulis oleh Sri Kusumadewi Hari Purnomo (2004:8) dijelaskan bahwa ada beberapa fungsi yang dapat digunakan untuk memperoleh nilai, yaitu: a. Representasi Linier (Linier Naik Turun) b. Representasi Kurva Segitiga c. Representasi Kurva Trapesium d. Representasi Kurva-S (Pertumbuhan Penyusutan) e. Representasi Kurva Bentuk Lonceng (Bell Curve) i. Kelas Kurva Phi () ii. Kelas Kurva Beta () iii. Kurva Gauss () - Definisi 1: - adalah himpunan tegas dari himpunan fuzzy yang mempunyai derajat lebih dari atau sama dengan derajat yang ditentukan yang dapat didefinisikan dengan,. Selain itu juga terdapat strong -, yakni himpunan dari himpunan fuzzy yang mempunyai derajat lebih dari derajat yang ditentukan atau dengan kata lain, (Dubbois Prade, 1980:19). Definisi 2: Misalkan adalah himpunan fuzzy pada. Core dari adalah himpunan tegas yang memuat semua anggota yang mempunyai derajat 1 (Sivanandam, Sumathi Deepa, 2007:73). Jadi, core dari adalah µ 1. Definisi 3: Jurnal CAUCHY ISSN: 2086-0382 55
Elva Ravita Sari Evawati Alisah Misalkan adalah himpunan fuzzy pada. Support dari adalah himpunan tegas yang memuat semua anggota yang mempunyai derajat tidak nol (Klir Yuan, 1995:21). Berdasarkan definisi support, secara matematis dapat ditulis sebagai berikut: µ 0 Dalam konteks, maka support dari, atau, dikatakan terbatas di atas ( ) jika terdapat sehingga, untuk setiap. Support dari, atau, dikatakan terbatas di bawah ( ) jika terdapat sehingga, untuk setiap. Selanjutnya, dikatakan terbatas () jika terbatas di atas terbatas di bawah (Zhang Liu, 2006:6). Selanjutnya, misalkan himpunan fuzzy dengan fungsi µ. Dibentuk himpunan fuzzy baru yang didefinisikan dengan χ maka akan diperoleh bahwa, Hal ini mengakibatkan bahwa himpunan fuzzy telah didekomposisi ke dalam gabungan dari, untuk semua 0, 1. Pada himpunan fuzzy yang didefinisikan di atas diperoleh χ, 0, Terdapat korespondensi 1 1 antara µ dengan, untuk 0, 1. Dengan demikian, himpunan fuzzy dapat dinyatakan hanya dalam bentuk - tanpa menyatakan fungsi (Susilo, 2006:74). Klasifikasi Berdasarkan Fungsi Keanggotaan Berdasarkan grafik fungsi, himpunan fuzzy dapat diklasifikasikan ke dalam beberapa klasifikasi yaitu normal, subnormal, konvek takkonvek. Sebelumnya akan diberikan definisi titik crossover tinggi suatu himpunan fuzzy. Definisi 4: Misalkan adalah himpunan fuzzy pada. Titik crossover pada adalah titik yang mempunyai derajat 0.5 (Sivanandam, Sumathi Deepa, 2007:74). Dengan demikian, disebut titik crossover jika 0.5. Definisi 5: Misalkan adalah himpunan fuzzy pada. Tinggi dari, dinotasikan dengan, adalah nilai maksimum dari fungsi himpunan (Sivanandam, Sumathi Deepa, 2007:74). Dengan redaksi yang berbeda George J. Klir Bo Yuan (1995:21) mendefinisikan sebagai derajat terbesar yang dicapai oleh sebarang unsur di. Secara simbolik, dapat dinyatakan bahwa µ atau µ Definisi 6: Misalkan adalah himpunan fuzzy pada. sebagai himpunan fuzzy normal jika 1 subnormal jika 1 (Klir Yuan, 1995:21). Definisi 7: Misalkan adalah himpunan fuzzy pada. Himpunan fuzzy disebut konvek jika fungsi nya monoton naik, atau menoton turun, atau monoton naik monoton turun pada saat nilai unsur pada himpunan semesta semakin naik. Himpunan fuzzy disebut tak konvek jika fungsi nya tidak monoton naik, atau tidak menoton turun, atau monoton naik monoton turun pada saat nilai unsur pada himpunan semesta semakin naik (Sivanandam, Sumathi Deepa, 2007:75). Sebagai ilustrasi, perhatikan gambar berikut: 1 0 1 0 µ 1 0 µ Gambar 1. Himpunan Fuzzy Normal Subnormal µ 1 µ 0 Gambar 2. Himpunan Fuzzy Konvek Himpunan Fuzzy Tak Konvek Operasi Aritmetika Fuzzy Operasi aritmetika dasar pada bilangan fuzzy merupakan konsep perluasan dari operasi aritmetika dasar pada umumnya, yaitu dengan mengikut sertakan derajat nya. Operasi bilangan fuzzy dilakukan dengan memanfaatkan α- yang berbentuk interval tertutup. 56 Volume 2 No. 2 Mei 2012
Studi Tentang Persamaan Fuzzy Misalkan adalah operasi aritmetika pada interval tertutup (meliputi operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian), maka,,, merupakan aturan umum untuk operasi aritmetika pada interval tertutup, kecuali bahwa, /, tidak didefinisikan jika 0,. Hasil operasi aritmetika pada interval tertutup juga merupakan interval tertutup. Operasi aritmetika pada interval tertutup,,, dengan didefinisikan sebagai berikut. a. Penjumlahan,, min,,,, max,,,, b. Pengurangan,, min,,,, max,,,, c. Perkalian,, min,,,, max,,, d. Pembagian, /,, 1, 1 min,,,, max,,, dengan syarat 0, (Klir Yuan, 1995:103). Definisi 8: Misalkan adalah bilangan fuzzy pada semesta dengan fungsi masingmasing µ µ. Misalkan adalah empat operasi aritmetika dasar pada. Didefinisikan operasi dengan menggunakan definisi -, sebagai persamaan berikut: Untuk setiap 0,1 (Klir Yuan, 1995:105). Sehingga dapat ditulis sebagai dengan, χ, 0, χ 1, 0, Selama adalah interval tertutup untuk setiap 0,1, adalah bilangan fuzzy, maka juga bilangan fuzzy. Sehingga secara khusus, diperoleh Penjumlahan : Pengurangan : Perkalian : Pembagian : /, dengan syarat 0. Bilangan Fuzzy Definisi 9: Misalkan adalah himpunan fuzzy pada. disebut bilangan fuzzy jika memenuhi syaratsyarat berikut: 1. merupakan himpunan fuzzy normal, 2. merupakan interval tertutup untuk semua 0, 1, 3., atau, merupakan himpunan terbatas (Klir Yuan, 1995:97). Syarat bahwa merupakan interval tertutup untuk semua 0, 1 sama dengan syarat bahwa merupakan himpunan konvek. Bilangan fuzzy sebagai himpunan fuzzy normal konvek, setiap α- merupakan interval tertutup. Jadi, bilangan fuzzy adalah himpunan konvek, normal, merupakan interval tertutup (Chen Pham, 2001:42). PEMBAHASAN Secara umum bilangan fuzzy didefinisikan sebagai himpunan fuzzy dalam semesta himpunan semua bilangan riil yang memenuhi empat sifat diantaranya yaitu: normal, mempunyai support yang terbatas, semua - adalah selang tertutup dalam, konveks. Suatu bilangan fuzzy bersifat normal jika mempunyai nilai fungsi nya sama dengan 1 sifat lainnya digunakan untuk dapat mendefinisikan operasi-operasi aritmetika (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian) pada bilangan fuzzy. Operasi bilangan fuzzy dilakukan dengan memanfaatkan α- yang berbentuk interval tertutup. Misalkan adalah bilangan fuzzy pada semesta dengan fungsi masing-masing µ µ, adalah empat operasi aritmetika dasar pada. Maka untuk setiap 0,1. 1 0 µ Gambar 3. Fungsi Keanggotaan Segitiga ;,, Fungsi segitiga diperoleh dari persamaan garis dari titik ke titik, yaitu dengan Jurnal CAUCHY ISSN: 2086-0382 57
Elva Ravita Sari Evawati Alisah titik, 0,, 1,, 0. Yang selanjutnya fungsi dari bilangan fuzzy segitiga dapat dinyatakan dengan,, 0, atau Kemudian akan ditentukan nilai - dari bilangan fuzzy dengan fungsi segitiga. Dari bilangan, dengan menyatakan diperoleh untuk diperoleh Jadi bilangan fuzzy pada semesta dapat ditulis ulang menjadi: α, α Selanjutnya untuk mendapatkan generalisasi dari masing-masing operasi aritmetika, diberikan contoh fungsi bilangan fuzzy dengan interval 1 satuan, interval 2 satuan, interval 3 satuan, interval satuan. Contoh pertama operasi aritmetika penjumlahan, dimana adalah bilangan fuzzy dalam. 1. Operasi aritmetika penjumlahan dengan interval 1 satuan Bilangan fuzzy mempunyai fungsi ; 1,, 1 ; 1,, 1 Dari bilangan fuzzy dapat dinyatakan dalam - untuk 0,1, yaitu 1, 1 1, 1 2 2, 2 2 untuk setiap 0,1. adalah:, ; 2,, 2 2. Operasi aritmetika penjumlahan dengan interval 2 satuan Bilangan fuzzy mempunyai fungsi ; 2,, 2 ; 2,, 2 Dari bilangan fuzzy dapat dinyatakan dalam - untuk 0,1, yaitu 2 2, 2 2 2 2, 2 2 4 4, 4 4 untuk setiap 0,1. adalah:, ; 4,, 4 3. Operasi aritmetika penjumlahan dengan interval 3 satuan Bilangan fuzzy mempunyai fungsi ; 3,, 3 ; 3,, 3 Dari bilangan fuzzy dapat dinyatakan dalam - untuk 0,1, yaitu 3 3, 3 3 3 3, 3 3 6 6, 6 6 untuk setiap 0,1. adalah:, ; 6,, 6 4. Operasi aritmetika penjumlahan dengan interval satuan Bilangan fuzzy mempunyai fungsi ;,, ;,, Dari bilangan fuzzy dapat dinyatakan dalam - untuk 0,1, yaitu,, 2 2, 2 2 58 Volume 2 No. 2 Mei 2012
Studi Tentang Persamaan Fuzzy untuk setiap 0,1. adalah:, ; 2,, 2 Dari contoh operasi aritmetika penjumlahan di atas, dapat digeneralisasikan sebagai berikut: Misalkan bilangan fuzzy di berturutturut yaitu ;,, ;,, maka ;,, Contoh kedua untuk operasi aritmetika pengurangan, dimana adalah bilangan fuzzy dalam 1. Operasi aritmetika pengurangan dengan interval 1 satuan Bilangan fuzzy mempunyai fungsi ; 1,, 1 ; 1,, 1 Dari bilangan fuzzy dapat dinyatakan dalam - untuk 0,1, yaitu 1, 1 1, 1 2 2, 2 2 untuk setiap 0,1. adalah:, ; 2,, 2 2. Operasi aritmetika pengurangan dengan interval 2 satuan Bilangan fuzzy mempunyai fungsi ; 2,, 2 ; 2,, 2 Dari bilangan fuzzy dapat dinyatakan dalam - untuk 0,1, yaitu 2 2, 2 2 2 2, 2 2 4 4, 4 4 untuk setiap 0,1. adalah:, ; 4,, 4 3. Operasi aritmetika pengurangan dengan interval 3 satuan Bilangan fuzzy mempunyai fungsi ; 3,, 3 ; 3,, 3 Dari bilangan fuzzy dapat dinyatakan dalam - untuk 0,1, yaitu 3 3, 3 3 3 3, 3 3 6 6, 6 6 untuk setiap 0,1. adalah:, ; 6,, 6 4. Operasi aritmetika pengurangan dengan interval satuan Bilangan fuzzy mempunyai fungsi ;,, ;,, Dari bilangan fuzzy dapat dinyatakan dalam - untuk 0,1, yaitu,, 2 2, 2 2 untuk setiap 0,1. adalah:, ; 2,, 2 Jurnal CAUCHY ISSN: 2086-0382 59
Elva Ravita Sari Evawati Alisah Dari contoh operasi aritmetika pengurangan di atas, dapat digeneralisasikan sebagai berikut: Misalkan bilangan fuzzy di berturutturut yaitu ;,, ;,, maka ;,, Contoh ketiga untuk operasi aritmetika perkalian, dimana adalah bilangan fuzzy dalam 1. Operasi aritmetika perkalian dengan interval 1 satuan Bilangan fuzzy mempunyai fungsi ; 1,, 1 ; 1,, 1 Dari bilangan fuzzy dapat dinyatakan dalam - untuk 0,1, yaitu 1, 1 1, 1 min 2 1, 2 1, 2 1, 2 1, max 2 1, 2 1, 2 1, 2 1 untuk setiap 0,1. 2. Operasi aritmetika perkalian dengan interval 2 satuan Bilangan fuzzy mempunyai fungsi ; 2,, 2 ; 2,, 2 Dari bilangan fuzzy dapat dinyatakan dalam - untuk 0,1, yaitu 2 2, 2 2 2 2, 2 2 min4 2 2 8 2 2 4, 4 2 2 8 2 2 4, 4 2 2 8 2 2 4, 4 2 2 8 2 2 4, max4 2 2 8 2 2 4, 4 2 2 8 2 2 4, 4 2 2 8 2 2 4, 4 2 2 8 2 2 4 untuk setiap 0,1. 3. Operasi aritmetika perkalian dengan interval 3 satuan Bilangan fuzzy mempunyai fungsi ; 3,, 3 ; 3,, 3 Dari bilangan fuzzy dapat dinyatakan dalam - untuk 0,1, yaitu 3 3, 3 3 3 3, 3 3 min9 3 3 18 3 3 9, 9 3 3 18 3 3 9, 9 3 3 18 3 3 9, 9 3 3 18 3 3 9, max9 3 3 18 3 3 9, 9 3 3 18 3 3 9, 9 3 3 18 3 3 9, 9 3 3 18 3 3 9 untuk setiap 0,1. 4. Operasi aritmetika perkalian dengan interval satuan Bilangan fuzzy mempunyai fungsi ;,, ;,, 60 Volume 2 No. 2 Mei 2012
Studi Tentang Persamaan Fuzzy Dari bilangan fuzzy dapat dinyatakan dalam - untuk 0,1, yaitu,, min 2, 2, 2, 2, max 2, 2, 2, 2 untuk setiap 0,1. Contoh keempat untuk operasi aritmetika pembagian, dimana adalah bilangan fuzzy dalam 1. Operasi aritmetika pembagian dengan interval 1 satuan Bilangan fuzzy mempunyai fungsi ; 1,, 1 ; 1,, 1 Dari bilangan fuzzy dapat dinyatakan dalam - untuk 0,1, yaitu 1, 1 1, 1 1 1 1 min,, 1 1 1, 1 1 1, max, 1 1 1, 1 1, 1 1 untuk setiap 0,1. 2. Operasi aritmetika pembagian dengan interval 2 satuan Bilangan fuzzy mempunyai fungsi ; 2,, 2 ; 2,, 2 Dari bilangan fuzzy dapat dinyatakan dalam - untuk 0,1, yaitu 2 2, 2 2 2 2, 2 2 Dengan menggunakan definisi 9 operasi 2 2 2 2 2 2 min,, 2 2 2 2 2 2, 2 2 2 2 2, max 2, 2 2 2 2 2 2, 2 2 2 2, 2 2 2 2 untuk setiap 0,1. 3. Operasi aritmetika pembagian dengan interval 3 satuan Bilangan fuzzy mempunyai fungsi ; 3,, 3 ; 3,, 3 Dari bilangan fuzzy dapat dinyatakan dalam - untuk 0,1, yaitu 3 3, 3 3 3 3, 3 3 3 3 3 3 3 3 min,, 3 3 3 3 3 3, 3 3 3 3 3, max 3, 3 3 3 3 3 3, 3 3 3 3, 3 3 3 3 untuk setiap 0,1. 4. Operasi aritmetika pembagian dengan interval satuan Bilangan fuzzy mempunyai fungsi ;,, ;,, Dari bilangan fuzzy dapat dinyatakan dalam - untuk 0,1, yaitu,, min,,, Jurnal CAUCHY ISSN: 2086-0382 61
Elva Ravita Sari Evawati Alisah, max,,, untuk setiap 0,1. Contoh 1: Cari penyelesaian persamaan fuzzy 7 5. Bilangan fuzzy 7 5 mempunyai fungsi 7 ; 4, 7, 10 5 ; 3, 5, 7 Dari bilangan 7 dapat dinyatakan dalam - untuk 0,1, yaitu 7 3 4, 10 3 Dan dari bilangan 5dapat dinyatakan dalam - untuk 0,1, yaitu 5 2 3, 7 2 Dengan menggunakan definisi 2.9 operasi 5 7,17 5, 0,1 7 5 adalah 0, 7 17 7, 7 12 5 17, 12 17 5 Atau dapat ditulis sebagai berikut ; 7,12,17 12, Contoh 2: Cari penyelesaian persamaan fuzzy 15 5. Bilangan fuzzy 5 15 mempunyai fungsi 15 ; 10, 15, 20 5 ; 3, 5, 7 Dari bilangan 15 dapat dinyatakan dalam - untuk 0,1, yaitu 15 5 10, 20 5 Dan dari bilangan 5 dapat dinyatakan dalam - untuk 0,1, yaitu 5 2 3, 7 2 Dengan menggunakan definisi 2.9 operasi 7 3,17 7, 0,1 15 5 adalah 0, 3 17 3, 3 10 7 17, 10 17 7 Atau dapat ditulis sebagai berikut ; 3,10,17 10, Contoh 3: Cari penyelesaian persamaan fuzzy 3 2. Bilangan fuzzy 3 2 mempunyai fungsi 3 ; 2,3,4 2 ; 1,2,5 Dari bilangan 3 dapat dinyatakan dalam - untuk 0,1, yaitu 3 2,4 Dan dari bilangan 2 dapat dinyatakan dalam - untuk 0,1, yaitu 2 3 1, 5 3 aritmetika pada interval, diperoleh 3 13 4,3 17 20, 0, 0.5 3 5 2,3 17 20, 0.5, 1 3 2 adalah, 0, 4 20 13 121 12, 4 0 6 5 49 12, 0 6 6 17 49 12, 6 20 6 Contoh 4: Cari penyelesaian persamaan fuzzy. Bilangan fuzzy 1 3 mempunyai fungsi 1 ; 1, 1, 3 3 ; 2, 3, 4 Dan dari bilangan 1 dapat dinyatakan dalam - untuk 0,1, yaitu 1 2 1,3 2 Dari bilangan 3 dapat dinyatakan dalam - untuk 0,1, yaitu 3 2, 4 Dengan menggunakan definisi 2.9 operasi 2 1 3 2, 2 2, 0, 0.5 2 1 3 2, 4 2, 0.5, 1 adalah 62 Volume 2 No. 2 Mei 2012
Studi Tentang Persamaan Fuzzy 0, 1 2 3 2 2 1 2, 1 0 2 4 1, 2, 0 1 3 3 2 2, 1 3 3 2 Persamaan fuzzy terdiri dari bilangan fuzzy operasi aritmetika pada bilangan fuzzy. Berikut ini adalah karakterisasi sifat dari persamaan fuzzy yang sangat sederhana yaitu, dimana adalah bilangan fuzzy yang diketahui, adalah bilangan fuzzy yang merupakan selesaian dari persamaan fuzzy tersebut (Klir Yuan, 1995:114). Misalkan diketahui bilangan fuzzy, akan dicari bilangan fuzzy. - dari,, berturut-turut adalah,,,,,. Dari persamaan fuzzy, dengan menggunakan - diperoleh,, untuk 0,1. Jadi, sehingga. Agar - dari bilangan fuzzy adalah,,, maka harus dipenuhi syarat berikut. a. untuk setiap 0,1, b. Jika, maka. Jika kedua syarat tersebut dipenuhi, maka selesaian persamaan fuzzy yaitu, Dan untuk persamaan fuzzy dimana adalah bilangan fuzzy pada, maka solusi dari persamaan fuzzy harus memenuhi syarat berikut. a. / / untuk 0,1, b. Jika, maka / / / /. Jika kedua syarat tersebut terpenuhi, maka selesaian dari persamaan fuzzy yaitu, (Klir Yuan, 1995:115-116). Contoh 5: Misalkan diberikan persamaan fuzzy 4 8 1 3 5 dengan bilangan fuzzy 1 0,1,2 3 1,3,7 4 3,4,5 5 4,5,6 8 6,8,10 representasi 1, 3, 4, 5, 8 yaitu 1, 2, 3 4 1,7 4, 4 3,5, 5 4,6, 8 2 6,10 2. Dari persamaan fuzzy 4 8 1 3 5 Misal: 4 8 5 4 8 4 Maka, 1 3 3.1 5 3.2 8 3.3 4 3.4 Untuk persamaan 3.1, dengan menggunakan - diperoleh 2, 4 1,7 4 untuk 0,1. Jadi 2 4 1 7 4. Sehingga 3 1 7 3 Kemudian diuji bahwa jika 0 1 maka 3 1 3 1 7 3 7 3, agar - dari bilangan fuzzy adalah,. Sehingga 3 1,7 3 untuk setiap 0,1. Sehingga selesaian dari persamaan fuzzy 1 3 adalah 0, 1 7 1, 1 4 3, 7, 4 7 3 Karena 4, maka persamaan 3.2 menjadi 4. Dari persamaan 4 dengan menggunakan - diperoleh 3 1,7 3 untuk, 0,1. Jadi 3 1 7 3. Sehingga 3 17 6 3 5 28 Kemudian diuji bahwa jika 0 1 maka 3 17 6 3 17 6 3 5 28 3 5 28, agar - dari bilangan fuzzy adalah,. Sehingga 3 17 6, 3 5 28 untuk setiap 0,1. Sehingga selesaian dari persamaan fuzzy 4 adalah Jurnal CAUCHY ISSN: 2086-0382 63
Elva Ravita Sari Evawati Alisah, 0, 6 28 17 361 12, 6 20 6 5 361 12, 20 28 6 Karena 20, maka persamaan 3.3 menjadi 8 20. Dari persamaan 8 20 dengan menggunakan - diperoleh 2 6, 10 2 3 17 6, 3 5 28 untuk 0,1. Jadi 2 6 3 17 6 10 2 3 5 28. Sehingga 3 15 3 3 18 Kemudian diuji bahwa jika 0 1 maka 3 15 3 15 3 3 18 3 3 18, agar - dari bilangan fuzzy adalah,. Sehingga 3 15, 3 3 18 untuk setiap 0,1. Sehingga selesaian dari persamaan fuzzy 8 20 adalah, 0, 0 18 15 225 12, 0 12 6 3 225 12, 12 18 6 Karena 12, maka persamaan 3.4 menjadi 4 12. Dari persamaan 4 12 dengan menggunakan - diperoleh 3, 5 3 15, 3 3 18 untuk 0,1. Jadi 3 3 15 5 3 3 18. Sehingga 3 15 3 3 3 18 5 Kemudian diuji bahwa jika 0 1 maka, agar - dari bilangan fuzzy adalah,. Sehingga 3 15, 3 3 18 3 5 untuk setiap 0,1. Sehingga selesaian dari persamaan fuzzy 1 3 adalah, 0, 0 18 5 15 66 225, 0 3 6 3 66 225, 3 18 6 5 PENUTUP Kesimpulan Persamaan fuzzy adalah kombinasi dari bilangan fuzzy operasi aritmetika pada bilangan fuzzy. Bilangan fuzzy merupakan konsep perluasan dari bilangan tegas yang memenuhi empat sifat diantaranya yaitu: himpunan fuzzy normal, mempunyai support yang terbatas, semua - merupakan interval tertutup untuk semua 0, 1, konvek. Dan operasi aritmetika dasar pada bilangan fuzzy merupakan konsep perluasan dari operasi aritmetika dasar pada umumnya, yaitu dengan mengikutsertakan derajat nya. Prosedur penyelesaian persamaan fuzzy yaitu dengan merepresentasikan bilangan fuzzy dalam bentuk - menggunakan fungsi segitiga. Kemudian mengoperasikannya menggunakan operasi aritmetika dasar pada bilangan fuzzy. Penentuan hasil operasi aritmetika pada persamaan fuzzy dilakukan dengan merepresentasikan ulang bilangan fuzzy tersebut dengan -, sehingga didapatkan bilangan fuzzy baru sebagai hasil penyelesaian dari persamaan fuzzy. Saran Pada skripsi ini, penulis hanya membahas pada persamaan fuzzy. Maka dari itu, penulis menyarankan kepada pembaca untuk mengkaji bentuk aljabar klasik yang lainnya, yaitu tentang pertidaksamaan linier yang dikembangkan menjadi pertaksamaan fuzzy. Dapat juga mengkaji lebih lanjut tentang sistem persamaan fuzzy. DAFTAR PUSTAKA [1] Anton, Howard. 2000. Dasar-Dasar Aljabar Linier. Batam: Interaksara. [2] Ayres, Frank Schmidt, Philip A. 2004. Schaum s Outline of Theory and Problem s of College Mathematics. Terjemahan Alit Bon. Jakarta: Erlangga. [3] Chen, Guanrong Pham, Trung Tat. 2000. Introduction to Fuzzy Sets, Fuzzy Logic, and Fuzzy Control Systems. London: CRC Press. 64 Volume 2 No. 2 Mei 2012
Studi Tentang Persamaan Fuzzy [4] Dubbois, Deider Prade, Henri. 1980. Fuzzy Sets and Systems, Theory and Applications. New York: Academic Press. [5] Klir, George J. Yuan, Bo. 1995. Fuzzy Set and Fuzzy Logic: Theory and Applications. New Jersey: Prentice Hall International, INC. [6] Kusumadewi, Sri. 2002. Analisis Desain System Fuzzy Menggunakan Toolbox Matlab. Yogyakarta: Graha Ilmu. [7] Kusumadewi, Sri Purnomo, Hari. 2004. Aplikasi Logika Fuzzy untuk Pendukung Keputusan. Yogyakarta: Graha Ilmu. [8] Sivanandam, Sumathi Deepa. 2006. Introduction to Fuzzy Logic Using Matlab. India: Springer. [9] Susilo, Frans. 2006. Himpunan Logika Kabur serta Aplikasinya. Yogyakarta: Graha Ilmu. [10] Utomo, Tri. 2012. Operasi Aritmetika Dasar pada Bilangan Fuzzy Sifat-Sifatnya. Skripsi. Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang. [11] Yudha D, Made. No. 36 Pebruari 1997. Sistem Fuzzy: Sebuah Kecenderungan. Science. Hal: 8-9. [12] Zadeh, Lotfi A. 2000. Fuzzy Sets and fuzzy Information-Granulation Theory. Beijing: Beijing Normal University Press. [13] Zhang, Huaguang Liu, Derong. 2006. Interval Type-2 Fuzzy Hidden Markov Models. Hungary: Proc. of IEEE FUZZ Conference, Budapest Jurnal CAUCHY ISSN: 2086-0382 65