PROSIDING ISBN : 978 979 65 6 Represetsi Mtriks Grf Cut-Set D Sirkuit A 5 Pdri Ferdis, Wmili Mhsisw S Mtemtik Jurus Mtemtik FMIPA UGM Dose Uiersits PGRI Yogykrt emil : pferdis@gmil.com Dose Jurus Mtemtik Uiersits Lmpug emil : wmil@uil.c.id ABSTRAK Represetsi mtriks pd beberp kels grf, khususy grf cut-set d sirkuit pd dsry dilkuk dlm rgk utuk megkji slh stu bgi dri ilmu tetg grf, dim grf sgt byk keguy dlm kehidup sehri-hri. Represetsi ii dilkuk deg cr megobsersi sutu grf cut-set d sirkuit yg dipilih sesui deg kebutuhy, dlm hl ii dlh jeis grf legkp. Sehigg deg beberp cotoh grf yg diobsersi, sudh dpt diteliti iformsi yg diberik oleh mtriks yg dihsilk. Obsersi ii memperlihtk bhw, represetsi grf cut-set d sirkuit dlm betuk mtriks memiliki pol khusus. Kt Kuci : Grf, Cut-Set, Sirkuit. PENDAHULUAN.. Ltr Belkg d Mslh Teori grf merupk slh stu bidg mtemtik yg memiliki pokok bhs yg byk peerpy pd ms kii. Pemki teori grf telh byk dirsk dlm berbgi ilmu, tr li : optimlissi jrig, ekoomi, psikologi, geetik, riset opersi (OR) d li-li. Teori grf ii pertm kli diperkelk oleh hli mtemtik sl Swiss, Leord Euler pd thu 76. Ide besry mucul sebgi upy meyelesik mslh jembt Koisberg. Dri permslh itu, khiry Euler megembgk beberp kosep megei Teori grf. Slh stu topik merik dlm teori grf dlh meliht hubug tr grf deg sutu mtriks. Pd dsry hubug tr grf deg sutu mtriks dlh terletk pd iformsi yg dpt diberik, deg kt li kit k merepresetsik grf dlm sutu mtriks sehigg kit dpt meliht hl-hl yg mugki dpt deg mudh kit kethui... Tuju Peeliti Peulis pper ii bertuju utuk merepresetsik beberp kels grf dlm betuk mtriks khususy pd kels-kels grf cut-set d sirkuit... Mft Peeliti Mft dri peeliti ii dlh Mklh dipresetsik dlm deg tem Mtemtik d Pedidik Krkter dlm Pembeljr pd tggl Desember 0 di Jurus Pedidik Mtemtik FMIPA UNY
PROSIDING ISBN : 978 979 65 6. Memperdlm pegethu tetg grf, khususy megei represetsiy dlm sutu mtriks.. Utuk dpt megmbil beberp iformsi yg diberik oleh sutu grf.. Utuk membut progrm komputer yg berhubug deg grf. 4. Memberik motisi bgi pembc gr dpt megkji lebih juh permslh yg berhubug deg grf.. GRAF CUT-SET DAN SIRKUIT.. Termiologi Grf Berikut ii diberik beberp defiisi dri jeis-jeis grf Defiisi.. Gris Prlel d Loop ( Deo, 989) Gris prlel dlh du buh gris tu lebih yg memiliki du titik ujug yg sm. Loop dlh gris yg titik wl d ujugy sm. e e e e 5 e 4 Gmbr. Cotoh grf yg memut gris prlel d loop Defiisi... Grf Sederh (Sig, 00) Grf sederh dlh grf yg tidk megdug gris prlel d loop (cotoh pd Gmbr ). Defiisi... Grf Legkp (Sig, 00) Grf legkp (Complete Grph) deg titik (simbol K ) dlh grf sederh deg titik, dim setip du titik berbed dihubugk deg stu gris. e e e 5 e 6 e 4 Gmbr. Cotoh grf legkp deg 4 titik d 6 gris Teorem.. (Deo, 989) e 4 Yogykrt, Desember 0 MA 9
PROSIDING ISBN : 978 979 65 6 ( ) Byky gris dlm sutu grf legkp deg titik dlh gris. Bukti : Mislk G dlh sutu grf legkp deg titik,,, L. Ambil sembrg titik (sebutlh ). Kre G merupk grf legkp, mk dihubugk deg (- ) titik liy (,, L, ). Jdi d (-) buh gris. Seljuty, mbil sembrg titik kedu (sebutlh ). Kre G dlh grf legkp, mk jug dihubugk semu titik sisy (,, L, ), sehigg d (-) buh gris yg berhubug deg. Slh stu gris tersebut meghubugk deg. Gris ii sudh diperhitugk pd wktu meghitug byky gris yg berhubug deg. Jdi, d (-) gris yg belum diperhitugk. Proses diljutk deg meghitug byky gris yg berhubug deg L d yg belum diperhitugk sebelumy. Byk gris yg didpt, 4,, berturut-turut dlh ( ),( 4), L,,,. ( ) + ( ) + ( ) Jdi secr keseluruh terdpt ( ) + L + + = buh gris. Defiisi..4. Perjl (Wlk) (Deo, 989) Perjl (wlk) pd grf G dlh bris berhigg dri ertex d edge, dimuli d dikhiri oleh ertex, sedemiki sehigg setip edge meempel (icidet) deg ertex sebelum d sesudhy. Tk d edge yg mucul lebih dri sekli dlm sebuh wlk. Cotoh : e e e 5 e 6 e 7 e e 4 4 Gmbr.Cotoh wlk dri grf G di ts dlh,e,,e 7, 4,e 6,,e 5, 5,e 4, 4 Defiisi..5. Lits (Pth) (Sig, 00) Lits (pth) dlh sutu wlk yg semu ertexy berbed. Defiisi..6. Sirkuit (Sig,00) Sirkuit dlh lits (pth) yg dimuli d dikhiri deg titik yg sm. Yogykrt, Desember 0 MA 40
PROSIDING ISBN : 978 979 65 6 Dri Gmbr slh stu pth y dlh, e,, e,, e, 4, e 4, 5 d slh stu sirkuity dlh, e,, e,, e, 4, e 4, 5, e 5,. Defiisi..7. Derjt (Degree) (Wilso d Wtkis, 990) Derjt (degree) d() dri sutu ertex / titik dlh jumlh edge yg meempel (icidet) deg ertex. Pd Gmbr d( )=d( )=, d( )=d( 5 )=, d( 4 )=4 Defiisi..8. Bertetgg (Adjcet) d Meempel (Icidet) (Sig, 00) Du titik diktk bertetgg (djcet) jik d gris yg meghubugk keduy. Sutu gris diktk meempel (icidet) deg sutu titik u, jik titik u merupk slh stu ujug dri gris tersebut. Defiisi..9. Cut-Set ( Deo, 989 ) Cut-set dri sutu grf terhubug G dlh himpu sisi yg jik dibug dri G meyebbk G tidk terhubug. 4 6 4 6 () (b) Gmbr 4. Grf terhubug () d slh stu cut-set y (b) Pd grf tersebut, {(, 4 ), (, 5 ), (, ), (, 4 )} dlh cut-set. Terdpt byk cut-set pd sebuh grf terhubug. Himpu {(, 5 ), ( 4, 5 )} jug dlh cut-set, {(, 4 ), (, 5 ), (, )} dlh cut-set, {( 5, 6 )} jug cut-set, Defiisi..0. Mtriks Ketetgg ( Adjcecy Mtrix)( Sig, 00 ) Mislk grf G dlh grf tk berrh deg titik-titik ( berhigg). Mtriks ketetgg yg sesui deg grf G dlh mtriks A=( ij ) deg ij = jumlh gris yg meghubugk titik i deg titik j ; i,j =,,,. Kre jumlh gris yg meghubugk titik i deg j sellu sm deg jumlh gris yg meghubugk titik j deg titik i, mk jels bhw mtriks ketetgg sellu merupk mtriks yg simetris ( ij = ji utuk setip i d j). Yogykrt, Desember 0 MA 4
PROSIDING ISBN : 978 979 65 6 e e 4 e e e e e 8 e 6 e5 e 7 e 5 e 6 e 4 4 () Gmbr 5. Cotoh grf direpresetsi ke dlm mtriks Utuk mempermudh pemhm, tip-tip bris d kolom mtriks diberi ideks i yg sesui deg titik grfy. Sel perpotog bris i d kolom j meytk gris yg meghubugk i d j. Sehigg didpt mtriks sebgi berikut :. b. 4 4 0 0 0 0 0 Ad beberp hl yg bis dictt dlm merepresetsik grf deg mtriks ketetgg :. Grf tidk mempuyi loop jik d hy jik semu eleme digol utmy = 0.. Mtriks tetgg (Adjcecy) dpt dipki utuk medeteksi grf yg tidk terhubug secr mudh. Sutu grf tidk terhubug terdiri dri k kompoe jik d hy jik mtriksy berbetuk A 0... O O... A......... O... Deg O dlh mtriks yg semu elemey = 0 d A i dlh mtriks bujur sgkr yg merupk mtriks dri grf terhubug yg merupk kompoe ke-i dri grf.. Derjt (degree) titik i dlh jumlh semu kompoe mtriks bris / kolom ke-i 4 O O... A k 0 e (b) 0 0 4 4 0 Yogykrt, Desember 0 MA 4
PROSIDING ISBN : 978 979 65 6 d( ) = i = ij j= i= ij = d( ) Derjt grf G dlh jumlh semu kompoe mtriks = i j 4. Grf G dlh grf biprtite (K m, ) jik d hy jik mtriks dri grf O I terhubug berbetuk m deg I O O = mtriks yg semu elemey = 0 I m = mtriks berukur m x yg semu elemey = I = mtriks berukur x m yg semu elemey = 5. Grf G dlh grf legkp jik d hy jik semu eleme dlm digol utm = 0 d semu eleme dilur digol utm =. Defiisi... Mtriks Bersisi ( Icidecy Mtrix) )(Sig, 00) Mislk G dlh grf tp loop deg titik,,..., d k gris e, e,,e k. Mtriks bersisi (Icidecy Mtrix) yg sesui deg grf G dlh mtriks A berukur x k yg elemey dlh : j ij ij, jik d edge yg meghubugk titik i deg titik j d = 0, liy. Dri Gmbr 5 kit dpt merepresetsik kedlm mtriks bersisi sebgi berikut :. e e e e e e e b. 4 4 5 6 7 e8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 e e e4 e5 e6 Ad beberp hl yg bis dictt sehubug deg peggu mtriks bersisi utuk meytk sutu grf :. Setip gris berhubug deg titik (kre G tidk mempuyi loop), mk dlm mtriks biery, setip kolom mempuyi tept buh eleme d sisy dlh eleme 0.. Jumlh eleme pd bris ke-i dlh derjt titik i sedgk derjt totl grf G dlh jumlh semu eleme dlm mtriks biery. 4 e 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Yogykrt, Desember 0 MA 4
PROSIDING ISBN : 978 979 65 6. Jik semu eleme pd bris ke-i dlh 0, mk titik i merupk titik tersig. 4. Du kolom yg semu elemey sm meytk gris yg prllel... Represetsi Grf cut-set d Sirkuit... Kels cut-set grf legkp K Seperti dikethui bhw cut-set dlh himpu sisi yg jik dibug tu dipotog dri grf G meyebbk grf G tersebut tidk terhubug. Sedgk mtriks cut-set dlh mtriks yg merepresetsik hubug tr himpu cut-set deg edge pd sutu grf. Cut-set hy dpt dilkuk jik titik yg dimiliki sutu grf berjumlh miiml ( ). Dlm peeliti ii dimuli deg titik () = smpi deg = 8. Utuk = Gmbr 6. Cut-set grf legkp deg = Mtriks cut-set y dlh [ ] utuk = b c Gmbr 7. Cut-set grf legkp deg = Mtriks cut-set y dlh b c 0 0 0 Jumlh gk tip bris dlh,,. Hl ii meujukk bhw cut-set hy megisolsi titik. Berdsrk mtriks yg terbetuk pd obsersi di ts, mk dpt diliht bhw setip bris pd mtriks terdpt gk yg merepresetsik hubug himpu cut-set deg edge dri grf legkp tersebut. Sehigg, didpt dt sebgi berikut : Yogykrt, Desember 0 MA 44
PROSIDING ISBN : 978 979 65 6 Tbel.Cojecture jumlh gk pd tip himpu cut-set Jumlh gk pd \e \ 4\6 5\0 6\5 7\ 8\8 Himpu cut-set 4 5 6 7 4 5 6 7 4 5 6 7 4 4 5 6 7 5 4 4 5 6 7 6 4 6 5 6 7 7 6 8 6 7 8 6 8 0 7 9 6 8 0 0 6 8 0 8 0 8 0 9 0 4 9 0 5 9 6 7 5 8 5 9 5 0 5 5 5 5 4 5 5 6 6 6 7 6 8 6 Berdsrk peeliti yg dilkuk smpi = 8 dpt diliht pol peyebr jumlh gk pd tip-tip bris yg merepresetsik grf ke dlm sutu mtriks, d memberik iformsi bhw byky himpu cut-set yg dibetuk oleh tip grf legkp bersesui deg jumlh edge-y. Sebgi cotoh, kit dpt meliht pd tbel utuk =, e = grf memiliki himpu cut-set, begitu jug utuk jumlh titik liy. Proses pemotog (cut-set) ii dilkuk secr berthp muli dri,,,, titik. Ad beberp hl yg membedk tr cut-set grf legkp deg gjil d cut-set grf legkp deg gep diliht dri byky jumlh gk yg mucul pd tip bris himpu mtriks cut-set :. Utuk gjil Pd bris pertm dri mtriks cut-set k memiliki jumlh gk yg sm yitu sebesr -. Kelipt bris berikuty memiliki jumlh gk yg sm pul yitu sebesr jumlh gk stu pd kelipt sebelumy ditmbh deg bilg Yogykrt, Desember 0 MA 45
PROSIDING ISBN : 978 979 65 6 gep yg tept berd dibwh kelipt tersebut. Utuk berikuty, jumlh gk pd kelipt sebelumy ditmbh bilg gep yg tept berd di bwh selisih sebelumy, d ii berlku smpi bilg gep yg d di bwh selisih yg mejdi selisih tr kelipt hbis.. Utuk gep Pd bris pertm dri mtriks cut-set k memiliki jumlh gk yg sm yitu sebesr -. Kelipt bris berikuty memiliki jumlh gk yg sm pul yitu sebesr jumlh gk stu pd kelipt sebelumy ditmbh deg bilg gjil yg tept berd dibwh kelipt tersebut. Utuk berikuty, jumlh gk pd kelipt sebelumy ditmbh bilg gjil yg tept berd di bwh selisih sebelumy, d ii berlku smpi bilg gjil yg d di bwh selisih yg mejdi selisih tr kelipt hbis. Pd umumy, utuk titik gjil jumlh himpu cut-set melebihi jumlh kelipt titiky, hl ii meujukk bhw jumlh himpu sis tersebut dlh isolsi titik oleh cut-set.... Kels sirkuit grf legkp K Seperti dikethui bhw sirkuit dlh lits (pth) yg dimuli d dikhiri deg titik yg sm. Sutu grf dpt ditetuk sirkuity jik sutu grf tersebut memiliki titik lebih besr dri. Peeliti ii k dilkuk pd grf legkp deg titik,4 d 5 d sirkuit yg k dibetuk jug k dimuli dri titik,4 d 5.. Sirkuit deg titik Utuk =, byky sirkuit yg dpt dibetuk oleh = sebyk sirkuit. Utuk =, b c Gmbr 8. Grf legkp deg = Byky sirkuit yg dpt dibetuk d : c b Betuk mtriksy sebgi berikut : 0 0 0 Yogykrt, Desember 0 MA 46
4 4 PROSIDING ISBN : 978 979 65 6 Tbel. Cojecture utuk meetuk jumlh s-sirkuit dri grf legkp K Betuk sirkuit (s) Grf legkp orde 4 5 6 7 titik 4 titik 5 titik 6 titik 7 titik 4 0 0 5 0 5 45 05 0 0 7 5 0 0 0 60 40 0 0 0 0 60 P. P4 4. P5 5. P6 6. P7 7. S titik 0 0 0 0 0 P s s.. DAFTAR PUSTAKA [.] Deo, N. 989. Grph Theory with Applictios to Egieerig d Computer Sciece. Pretice Hll Ic, New York. [.] Sig, J.J. 00. Mtemtik Diskrit d Apliksiy pd Ilmu Komputer. Adi, Yogykrt. [.] Wilso, J.R. d Joh J. Wtkis. 990. Grph Itroductig Approch. Joh Wiley d Sos, Ic., New York. Yogykrt, Desember 0 MA 47