Kumpulan soal-soal level Olimpiade Sains Nasional: solusi:

Kumpulan soal-soal level Olimpiade Sains Nasional: 1. Sebuah batang uniform bermassa dan panjang l, digantung pada sebuah titik A. Sebuah peluru bermassa bermassa m menumbuk ujung batang bawah, sehingga batang berayun sebesar sudut θ. Anggap peluru bersarang di dalam batang. a) Tentukan kecepatan peluru. Tinjau limit m. A b) Tentukan besarnya perubahan momentum sistem, dan apa yang menyebabkannya? Tinjau juga limit m. c) Pada jarak berapakah dari titik A, peluru harus menumbuk batang θ agar momentum sistem kekal? solusi: u a) Pertama hitung momen inersia sistem terhadap titik A setelah peluru bersarang: I = 1 3 L2 ml 2 omentum sudut terhadap titik A kekal dalam proses tumbukan: mul = Iω. Karena sistem membentuk sudut θ setelah tumbukan, maka kecepatan sudut persis setelah tumbukan adalah ω diberikan oleh g L 2 mg L 1 cos 1 2 I 2 = Dengan menggunakan ketiga persamaan ini, didapat u= 3m m Untuk limit m, didapat sin 2 g L 2m 2 3 3m u= m sin 2 2 g L 3 b) omentukhir batang dan peluru persis setelah tumbukan adalah p f = 2 m mu 3 m aka perubahan momentum sistem diberikan oleh: 1 Bandung, aret 2009

p= p f p i = 3 m Untuk limit m, didapat p= sin 2 g L 6 mu 2 = sin g L 2m 2 6 3m Tim Olimpiade Fisika Indonesia Penyebab munculnya perubahan momentum sistedalah adanya impuls pada titik A pada batang L. Pemilihan titik tumbuk pada batang dengan tepat dapat menghilangkan impuls ini seperti ditunjukkan pada nomor c. c) Jika peluru menumbuk batang pada jarak x dari titik A, maka berdasarkan hukum kekekalan momentum sudut, didapat mux = Iω. Jika dalam tumbukan ini, x dipilih sedemikian sehingga momentum linear juga kekal, maka diperoleh hubungan kedua: m u=m x L 2 Dengan menyamakan kedua persamaan ini, didapat x= 2 3 L 2. Sebuah bola dengan massa bergerak dengan kecepatan awal V 0 pada permukaan datar tanpa gesekan. Bola ini menumbuk salah satu bola pada sistem yang terdiri dari 2 massa m = 2 kg yang terhubung dengan pegas tak bermassa yang memiliki konstanta pegas k = 1 kg/s 2. Anggap tumbukan terjadi dalam satu dimensi, elastik dan dalam selang waktu yang sangat singkat. V 0 m k m a) Berapakah kecepatan ketiga bola sesaat setelah tumbukan? b) Berapakah periode osilasi sistem 2 massa m dan pegas k? c) Berapakah amplitudo (pemendekan maksimum pegas) osilasi sistem 2 massa m dan pegas k? d) Tentukan posisi relatif terhadap titik tumbukan sebagai fungsi waktu (sebelum tumbukan kedua). Ambil t =0 saat tumbukan pertama. e) Tentukan posisi m yang ditumbuk oleh relatif terhadap titik tumbukan sebagai fungsi waktu 2 Bandung, aret 2009

(sebelum tumbukan kedua). Ambil t =0 saat tumbukan pertama. Tim Olimpiade Fisika Indonesia f) Berapakah harga minimum dari massa agar bisa terjadi tumbukan kedua kalinya? Petunjuk: gunakan grafik untuk penyelesaian akhir. Anda tidak memerlukan jawaban yang sangat teliti. g) Berapakah waktu antara kedua tumbukan pada kasus d? Solusi: a) Namakan bola sebagai benda 1, bola m yang mengalami tumbukan sebagai benda 2, dan bola yang terhubung lewat pegas ke benda 2 sebagai benda 3. Karena tumbukan bersifat sesaat, maka benda ketiga tidak mempengaruhi tumbukan pertama, sehingga kecepatan benda 3 sesaat setelah tumbukan adalah 0. Dengan demikian, tumbukan dapat dipandang sebagai tumbukan 2 benda yang melibatkan massa yang bergerak ke kanan dengan kecepatan V 0 menumbuk massa m yang diam. Pengerjaan tumbukan ini dapat dilakukan dengan berbagai cara standar, dalam pembahasan ini akan digunakan kerangka pusat massa (untuk benda 1 dan benda 2). Pertama hitung kecepatan pusat massa sistem massa dan massa m: v cm I = V 0 m. Dalam kerangka pusat massa, massa bergerak ke kanan dengan kecepatan: dan massa m bergerak dengan dengan kecepatan: v 1,cm I =V 0 v cm I = mv 0 m, v 2,cm I =0 v cm I = V 0 m. Tanda negatif menunjukkan bahwa massa m bergerak ke kiri dalam kerangka pusat massa. Tumbukan elastik dalam kerangka pusat massa merupakan tumbukan yang sangat sederhana. Kedua benda hanya berubah arah saja. Karena tumbukan terjadi dalam 1 dimensi, maka benda hanya berbalik arah saja: dan ' v 1,cm I = v 1, cm I = mv 0 m, ' v 2,cm I = v 2,cm I = V 0 m. Besar kecepatan-kecepatan dalam kerangka lab diberikan oleh: 3 Bandung, aret 2009

' dan v 2 v ' ' 1 =v 1,cm I v cm I = m m V 0, ' =v 2, cm I v cm I = 2 m V 0. Tim Olimpiade Fisika Indonesia Perhatikan bahwa kecepatan massa setelah tumbukan dapat berharga positif atau negatif, tergantung dari nilai dan m. b) Setelah tumbukan, benda 2 dan benda 3 akan bergerak bersama-sama. Gerakan sistekan terlihat sedikit kompleks. Tetapi berdasarkan argumen simetri, dapat diintuisikan bahwa gerak benda sebenarnya terdiri dari gerak osilasi (dengan kedua benda bergerak berlawanan arah) dan gerak lurus (dimana kedua benda bergerak dengan bersama-sama dengan kecepatan konstan). Dengan memisahkan kedua gerak ini, maka evolusi sistem menjadi sederhana. Dengan memilih bekerja dalam sistem pusat massa benda 2 dan benda 3 (bedakan dengan pusat massa pada nomor a), maka secara otomatis gerak lurus sistem hilang, dan gerak kedua benda menjadi hanya osilasi harmonik sederhana. Dalam kerangka pusat massa, kedua benda bergerak berlawanan arah. Pusat pegas tidak bergerak sama sekali. Dengan memanfaatkan simetri ini, peninjauan sistem dapat dilakukan dengan hanya meninjau setengah bagian dari sistem yaitu satu massa m dan setengah pegas. Pegas dengan panjang setengah panjang mula-mula mempunyai konstanta pegas dua kali lebih besar. Jadi sistem yang sekarang ditinjau setara dengan sistem massa m yang dihubungkan dengan pegas dengan konstanta pegas 2k. Periode osilasi sistem seperti adalah T =2 m 2k c) Tinjau sistem benda 2 dan benda 3. Dalam kerangka lab, mula-mula benda 2 bergerak dengan kecepatan v ' 2 = 2 m V 0, sedangkan benda 3 diam. Kecepatan pusat massa sistem benda 2 dan benda 3 adalah v cm II = mv ' 2 m m = m V 0 Dalam kerangka pusat massa benda 2 dan benda 3, kecepatan benda 2 dan 3 adalah: ' v 2,cm II =v ' 2 v cm II = m V 0 4 Bandung, aret 2009

' v 3, cm II =0 v cm II = m V 0 Tim Olimpiade Fisika Indonesia Dalam kerangka pusat massa, benda 2 bergerak menekan pegas dengan konstanta pegas 2k. Simpangan maksimum benda 2 adalah ½ amplitudo, dan simpangan maksimum benda 3 adalah ½ amplitudo. Jadi dengan menggunakan hukum kekekalan energi, didapat 1 2 2 k A 2 atau A= 2 V 0 m m 2k 2 ' 2 = 1 2 m v 2,cm II d) Posisi benda 1 relatif terhadap titik tumbukan diberikan oleh: x 1 =v 1 ' t= m m V 0 t. e) Posisi benda 2 relatif terhadap pusat massa benda 2 dan 3 diberikan oleh x 2, cm II = L 0 2 A 2 sin t= L 0 2 m dengan L 0 adalah panjang mula-mula pegas., V 0 sin t, Posisi pusat massa benda 2 dan 3 relatif terhadap titik tumbukan diberikan oleh x cm II = L 0 2 v cm II t= L 0 2 m V 0 t. Posisi benda 2 relatif terhadap titik tumbukan adalah x 2 = x 2,cm II x cm II = m f) Agar tumbukan kedua terjadi, maka x 1 = x 2, atau Sederhanakan: dengan γ = m/. m m V t= 0 m V 0 V 0 sin t m V t 0 sin t m V t. 0 1 1 V t 1 = 1 0 1 V t sin t 0 1 t, Tampak bahwa bentuk ini memerlukan solusi seperti: 5 Bandung, aret 2009

sin t t sin =. sin α ψ α 0 α tan ψ = -γ Persamaan terakhir dapat lebih mudah diselesaikan dengan menggunakan metode grafik. Nilai minimum setara dengan nilai maksimum γ, ditunjukkan pada grafik sebagai nilai maksimum dari sudut ψ. Pada gambar terlihat bahwa nilai maksimum ψ dicapai saat garis lurus menyinggung kurva sin α. Kalau dicari dengan teliti, akan didapat nilai α 0 = 4,49. Tetapi dengan metode pendekatan, tampak bahwa α 0 = 3π/2 = 4,71. Atau dengan demikian, harga γ = 0,2225 (atau dengan pendekatan γ =2/(3π) = 0,2122). Dengan memasukkan harga ini, didapat minimudalah 8,9868 kg (dengan pendekatan minimudalah 9,42 kg) g) Waktu agar terjadi tumbukan kedua adalah t 0 = 0 = m 0 2 k t 0 = 4,49 s. Dengan menggunakan pendekatan didapat t 0 = 4,71 s.. Untuk nilai yang teliti didapat 3. Sebuah kereta dengan massa dapat bergerak bebas tanpa gesekan. Kereta ini dihubungkan ke dinding lewat sebuah pegas dengan konstanta pegas k. Di atas kereta terdapat bola dengan massa m, dan jari-jari r. Koefisien gesekan antara bola dan kereta adalah µ. a) Jika kereta diberi simpangan kecil, maka kereta akan berosilasi bolak-balik dengan bola di atasnya ikut berosilasi. Apabila simpangannya cukup kecil, bola hanya akan menggelinding bolak-balik tanpa slip. Hitung periode osilasi bola atau kereta. b) Hitung amplitudo maksimum osilasi kereta agar bola tidak terpeleset (bola berosilasi tanpa 6 Bandung, aret 2009

slip)! k m ( Soal OSN 2006 ) Solusi: a) Pertama tinjau gerak kereta: Anggap kereta sedang menyimpang ke kanan sejauh x, maka gaya pulih dari pegas adalah -kx, dengan tanda negatif mengindikasikan bahwa gaya melawan arah penyimpangan. isalkan kalau bola atas memberi gaya gesek ke kanan pada kereta (pemisalan ini tidak akan mempengaruhi hasil), maka didapat persamaan: - kx + f = a. Pada bola hanya bekerja gaya gesek, sehingga persamaan gerak bola diberikan oleh: - f = ma m. Gerak rotasi bola diberikan oleh: fr = I α. Syarat agar tidak slip: αr = a m - a. Dengan menggunakan keempat persamaan dan momen inersia bola, I = 2 5 mr 2 didapat a m = 2 7 a, dan a 7k 7 2 m x=0. Persamaan ini adalah persamaan osilasi harmonik sederhana dengan periode osilasi: b) Dari persamaan-persamaan di atas, diperoleh T =2 7 2m 7 k Nilai maksimum dicapai saat simpangan maksimum: f = 2 7 ma = 2 m 7 2 m k x 7 Bandung, aret 2009

f maks = 2m 7 2m k A Tim Olimpiade Fisika Indonesia Dari syarat bahwa nilai maksimum gesekan selalu lebih kecil atau sama dengan µn, didapat atau mg 2m 7 2 m k A A 7 2 m 2 k g 4. Sebuah massa (anggap massa titik) bergerak mendekati sebuah pasak m b dengan kecepatan awal v 0. Pasak berbentuk segitiga sama kaki dengan sudut α, dan panjang sisi l. Anggap semua sistem licin. Anggap juga transisi massa saat menaiki pasak m b di titik A mulus (tidak terjadi kehilangan energi). Demikian juga di titik B dan titik C. Anggap juga kecepatan selalu cukup kecil sedemikian sehingga jika massa berhasil melewati titik B, maka massa tidak terlepas dari lintasan. a) Hitung kecepatan massa relatif terhadap pasak m b, saat massa mulai menaiki sisi AB (saat di titik A). Gunakan konvensi berikut: kecepatan (sepanjang sisi AB) massa relatif terhadap pasak m b adalah v 1, sedangkan kecepatan pasak m b relatif terhadap bumi adalah v 2. Nyatakan jawaban anda dalam v 0,,m b dan α. l B v 0 A α m b α C b) Setelah massa berada di sisi AB, maka massa akan dipercepat, demikian juga pasak. Gunakan konvensi berikut: percepatan massa relatif terhadap pasak m b diberikan oleh a 1, akan bernilai positif jika percepatannya ke atas (ke arah B), dan percepatan pasak m b relatif terhadap bumi diberikan oleh a 2, akan bernilai positif jika percepatannya ke kanan. Hitung percepatan a 1 dan a 2. (nyatakan dalam g,,m b dan α) c) Hitung kecepatan minimum dari v 0 agar massa bisa mencapai titik B. d) Jika kecepatan awal massa persis sama dengan kecepatan minimum pada soal (c), hitung 8 Bandung, aret 2009

waktu yang dibutuhkan (t naik ) agar massa bisa mencapai titik B dihitung dari saat massa melewati titik A. e) Jika kecepatan awal massa lebih kecil daripada kecepatan minimum pada soal c, hitung kecepatan akhir dan m b (saat sudah meninggalkan pasak m b ). f) Jika kecepatan awal massa hanya sedikit lebih besar daripada kecepatan minimum pada soal (c), sehingga kecepatan massa di titik B (relatif terhadap pasak) hampir nol, tetapi cukup membuat massa mulai menuruni sisi BC, hitung waktu yang dibutuhkan (t turun ) agar massa bisa mencapai titik C. Waktu dihitung dari saat massa meninggalkan titik B. g) Jika kecepatan massa lebih besar daripada kecepatan minimum pada soal (c), hitung kecepatan akhir dan m b (saat sudah meninggalkan pasak m b ). ( Soal OSN 2008 ) Solusi: a) Energi sistem kekal saat transisi massa menaiki sisi AB. Energi kinetik mula mula massa = 1 2 v 2 0 (1) Energi kinetik akhir massa = 1 2 v 1 cosα+v 2 2 v 1 sin α 2 (2) Energi kinetik akhir massa m b = 1 2 m b v 2 2 (3) Kekekalan energi: 1 2 v 2 0= 1 2 v 1 cos α+v 2 2 v 1 sin α 2 1 2 m b v 2 2 Kekekalan momenturah horizontal: v 0 = v 1 cos v 2 m b v 2 (5) dari persamaan (5) didapat (4) v 2 = v 0 v 1 cos m b (6) Substitusikan persamaan (6) ke persamaan (4), sederhanakan, didapat b) Persamaan gerak massa : v 1 = arah sejajar AB: g sin = a 1 a 2 cos (8) m b sin 2 m b v 0 (7) 9 Bandung, aret 2009

arah tegak lurus AB: N g cos = a 2 sin (9) Persamaan gerak massa m b : arah horizontal: N sin =m b a 2 (10) Gunakan persamaan (10) dan persamaan (9), didapat a 2 = sin cos sin 2 m b g (11) Gunakan persamaan (11) pada persamaan (8), didapat a 1 = m b g sin sin 2 (12) m b N a 1 g a 2 c) Syarat agar bisa mencapai titik B: kecepatan massa dan pasak m b sama saat ada di titik B. omentum linear arah horizontal kekal: v 0, min = v B m b v B (13) Kekekalan energi: 1 2 v 2 0, min= 1 2 v 2 B 1 2 m b v 2 B g l sin (14) Gunakan persamaan (13) pada persamaan (14), didapat = v 2 m m a b 0, min g l sin (15) m b d) waktu yang dibutuhkan diberikan oleh persamaan (7), (12) dan (15). t n aik = v 1 = m b a 1 sin 2 m b 2 m b m b g l sin sin 2 m b 2 m b 2 1 g 2 sin 2 (16) sederhanakan t naik= m sin 2 a m b 2 l (17) m b g sin e) Jika massa tidak berhasil melewati m b maka proses yang terjadi adalah seperti tumbukan lenting sempurna antara kedua massa tersebut. Ada berbagai cara untuk mendapatkan hasil akhir kecepatan untuk proses tumbukan lenting sempurna. Di sini, solusi akan diperoleh dengan menggunakan kerangka pusat massa sistem. Kecepatan pusat massa : v cm = v 0 m b (18) 10 Bandung, aret 2009

Kecepatan mula-mula dalam frame pusat massa: v 0 v 0 m b = m b v 0 m b (19) Kecepatan mula-mula m b dalam frame pusat massa: 0 v 0 m b = v 0 m b (20) Kecepatan akhir dalam frame pusat massa: m b v 0 m b (21) Kecepatan akhir m b dalam frame pusat massa: v 0 m b (22) Kecepatan akhir dalam frame lab: m b m b v 0 (23) Kecepatan akhir m b dalam frame lab: 2 m b v 0 (24) f) Jika kecepatan relatif terhadap m b di titik B hampir nol, maka proses naik dari A ke B simetri dengan proses turun dari B ke C. Jadi waktu turun sama dengan waktu naik. = t sin 2 m b 2 l turun m b g sin g) Jika massa berhasil melewati m b maka proses yang terjadi bersifat simetri. Dari argumen ini, maka akan diperoleh kecepatan akhir dan awal akan semua sama. Jadi kecepatan akhir adalah v 0 dan kecepatan akhir m b adalah nol. (25) 5. Dua buah positron (e + ) masing-masing berada pada dua pojok yang berlawanan pada sebuah bujur sangkar dengan panjang sisi a. Pada dua pojok lain, terdapat dua proton (p). ula mula semua partikel ditahan sehingga tidak dapat bergerak. Kemudian pada suatu saat, semua partikel dilepas bersamaan. uatan positron sama dengan p a e + p proton yaitu e, dengan massa proton kira kira 1800 kali massa positron. a) Tuliskan gaya yang bekerja pada masing-masing partikel. b) Jelaskan secara kualitatif pergerakan partikel partikel ini? e + a c) Tentukan kecepatan masing masing partikel setelah waktu yang cukup lama (kecepatan partikel 11 Bandung, aret 2009

sudah dapat dianggap konstan). Nyatakan jawaban anda dalam k, e, m e dan m p. d) Berapa perbandingan energi kinetik positron terhadap energi kinetik proton? Berikan harga numerik. Solusi: a) Tinjau positron pada posisi kanan atas: gaya Coulomb dari proton di sebelah kirinya adalah F 1 = k e2 a 2 x gaya Coulomb dari proton di sebelah bawah adalah F 2 = k e2 a 2 gaya Coulomb dari positron di arah diagonal adalah F 3 = k e2 1 x y 2 a 2 2 Gaya total yang bekerja pada positron ini adalah F=F 1 F 2 F 3 = k e2 Dengan cara yang sama, akan didapat: Gaya total pada positron di kiri bawah adalah F= k e2 a x y 1 2 2 4 Gaya total pada proton kiri atas adalah F= k e2 a x y 1 2 2 4 Gaya total pada proton kanan bawah adalah F= k e2 x y 2 1 4 a 2 y a 2 x y 2 1 4 b) Karena massa positron jauh lebih kecil, maka mereka merespon gaya jauh lebih cepat. Akibatnya begitu dilepas, kedua positron akan terpental terlebih dahulu menuju tak hingga, sementara proton masih tetap di tempat. Setelah kedua positron jauh sekali, barulah proton bergerak saling menjauh. c) Untuk meninjau kecepatan positron, lebih baik menggunakan tinjauan energi. Energi potensial sistem mula-mula datang dari interaksi keempat partikel: U = k e2 a 4 2 2 = k e2 a 4 2 Energi potensial sistem setelah kedua positron menjauh adalah 12 Bandung, aret 2009

U ' = k e2 a 1 2 = k e2 a 1 2 2 Tim Olimpiade Fisika Indonesia Energi mekanik sistem kekal, sehingga energi kinetik kedua positron diperoleh dari selisih kedua energi potensial ini. Kecepatan positron diberikan oleh: atau 2 1 2 m v e e 2 = k e2 a 4 1 2 2 v e = k e2 a m e 4 1 2 2 Setelah itu, kedua proton bergerak saling menjauh sampai energi potensialnya mendekati nol. Kecepatan proton diberikan oleh: atau 2 1 2 m v p p 2 = k e2 a 1 2 2 = v k e2 p am p 1 2 2 d) Rasio energi kinetik diberikan oleh: EK 4 2 e 2 = =4 2 1 EK p 2 2 6. Perhatikan sistem di samping. Sistem mulanya dijaga diam dalam konfigurasi seperti gambar. Kemudian massa m dilepas. Anggap tidak ada gesekan sama sekali, dan θ abaikan efek katrol. Panjang tali selalu tetap. Sudut θ y dipilih sedemikian sehingga dalam gerakannya, sudut ini m selalu tetap. Gunakan sistem koordinat seperti pada x gambar. a) Tuliskan persamaan gerak benda dan benda m. b) Nyatakan percepatan massa m (baik dalarah x maupun arah y), dalam percepatan massa. c) Tentukan berapakah nilai sudut θ agar kemiringan tali selalu tetap. d) Hitung percepatan massa untuk /m = ½. Solusi 13 Bandung, aret 2009

a) anggap besar tegangan tali adalah T. Persamaan gerak : T T sin θ = a. Persamaan gerak m dalarah x: T sin θ = ma m,x. Persamaan gerak m dalarah x: mg - T cos θ = ma m,y. b) Perhatikan diagram di samping. assa berpindah dari posisi A ke posisi C sejauh Δx. assa m berpindah dari posisi B ke posisi D. Panjang tali dalarah miring bertambah sebanyak Δx, yaitu ED. Perpindahan dalarah x dari massa dalah EB ED sin θ, atau Δx m = Δx (1 sin θ) Perpindahan dalarah y dari massa dalah ED cos θ, atau Δy m = Δx cos θ. Dari kedua hubungan ini, didapat a m,x =a (1 -sin θ ) a m,y =a cos θ c) Persamaan pertama: T (1 sin θ) = a. Persamaan kedua: T sin θ = ma (1 -sin θ ). Bagi persamaan pertama dengan persamaan kedua, didapat Sederhanakan, didapat dengan solusi: 1 sin sin = m 1 sin m sin 2 2m sin m=0 sin =1 2 m ± m 2 2m Supaya sin θ < 1, maka ambil solusi negatif: sin =1 2 m m 2 2 m. C Δx θ E A θ D B d) dengan memasukkan nilai /m ke hubungan di atas, didapat sin θ = 0,5, sehingga didapat a = g 3 7. Tinjau sebuah silinder pejal dengan massa m dan jari-jari r yang meluncur turun tanpa menggelinding pada sebuah permukaan pasak bermassa. Anggap tidak ada gesekan sama sekali, 14 Bandung, aret 2009

baik antara silinder dengan pasak maupun antara pasak dengan lantai. a) Berapa jauhkan pasak akan bergeser jika silinder telah turun sejauh h dalarah vertikal? b) Sekarang anggap silinder menggelinding turun tanpa slip. Berapakah pergeseran pasak jika silinder turun sejauh h dalarah vertikal? c) Hitung percepatan silinder relatif terhadap pasak untuk kasus menggelinding tanpa slip Tim Olimpiade Fisika Indonesia d) Hitung percepatan silinder relatif terhadap pasak untuk kasus meluncur tanpa menggelinding. e) anakah yang mencapai dasar pasak duluan, apakah kasus menggelinding tanpa slip atau kasus meluncur turun tanpa menggelinding? Solusi: a) Karena tidak ada gaya dalarah mendatar, maka posisi pusat massa dalarah ini tidak berubah. Jika silinder telah menuruni jarak vertikal sejauh h, maka silinder telah menuruni punggung pasak sejauh h/sin θ. isalkan perpindahan pasak dalarah horizontal = x, maka perpindahan silinder dalarah horizontal = x h sin cos. Karena posisi pusat massa dalarah x tidak berubah, maka didapat hubungan: x m x h cot =0. Sederhanakan, didapat x = mh m cot b) Hasil di atas tidak terpengaruh apakah silinder menggelinding turun tanpa slip ataukah silinder meluncur turun tanpa mengelinding. Jadi, pergeseran adalah sama dengan nomor a: x = mh m cot c) Untuk kasus ini, ada gaya gesek yang bekerja pada sistem. Pada silinder, ada 3 gaya yang bekerja: gaya berat mg, gaya normal N dan gaya gesek f. Anggap percepatan silinder relatif terhadap pasak adalah a m dan percepatan pasak relatif terhadap lantai adalah a. Persamaan gerak silinder dalarah sepanjang permukaan pasak diberikan oleh: f mg sin θ = m( a cos θ - a m ), θ 15 Bandung, aret 2009 m h

persamaan gerak silinder dalarah tegak lurus permukaan pasak diberikan oleh dan persamaan gerak rotasi diberikan oleh mg cos θ N = ma sin θ, fr = Iα, dengan I = ½ mr 2. Kondisi agar tidak slip adalah αr = a m. Persamaan gerak pasak diberikan oleh N sin θ f cos θ = a. Dengan menyelesaikan persamaan-persamaan di atas, didapat a = m cos m a m, a m =g sin 2 m m 1 2sin 2 3 Tim Olimpiade Fisika Indonesia d) Untuk kasus meluncur tanpa menggelinding tidak terdapat gaya gesek. Anggap percepatan silinder relatif terhadap pasak adalah a m dan percepatan pasak relatif terhadap lantai adalah a. Persamaan gerak silinder dalarah sepanjang permukaan pasak diberikan oleh: mg sin θ = m( a cos θ - a m ), persamaan gerak silinder dalarah tegak lurus permukaan pasak diberikan oleh Persamaan gerak pasak diberikan oleh mg cos θ N = ma sin θ. N sin θ = a. Hubungan percepatan silinder dan pasak masih sama dengan nomor c: a = m cos m a m, dengan nilai a dalah a m =g sin m msin 2. e) Dengan membandingkan kedua percepatan, tampak bahwa percepatan kasus meluncur tanpa menggelinding memiliki percepatan yang lebih besar, sehingga waktunya akan lebih singkat. 8. Pada sebuah bidang miring dengan sudut kemiringan θ = 30 0 terdapat sebuah balok dengan massa m 2 = 4 kg yang dihubungkan dengan tali yang ringan ke sebuah silinder pejal dengan massa m 1 = 8 kg dan jari-jari r = 5 cm. Tali melalui pusat silinder. Koefisien gesek (statis sama dengan koefisien 16 Bandung, aret 2009

gesek kinetis) antara balok dengan bidang miring adalah µ = 0,2. Antara silinder dan bidang miring juga mempunyai koefisien gesek yang sama. a) Tentukan percepatan kedua massa jika mereka dilepas. b) Tentukan syarat θ minimugar kedua benda bisa mulai bergerak c) Tentukan syarat θ maksimugar kedua benda bisa bergerak bersama. Solusi: a) Bidang miring akan mengerjakan gaya gesek pada kedua benda, tetapi besarnya beda. Pada benda m 2, besar gesekan adalah µm 2 gcos θ, sedangkan pada benda m 1, gesekan belum mencapai harga maksimum µm 1 gcos θ. Terdapat tegangan tali antara kedua benda. Persamaan gerak benda 1: m 1 gsin T f =m 1 a Persamaan gerak benda 2: T m 2 gsin m 2 g cos =m 2 a Persamaan gerak rotasi benda 1: f r= I, dengan I = ½ mr 2. Syarat tidak slip: r=a Didapat a= m 1 m 2 sin m 2 cos g 3 2 m 1 m 2 Dengan memasukkan besaran yang diketahui, didapat a = 0,33 g. b) Syarat agar mulai bergerak: a = 0, sehingga didapat tan = m 2 m 1 m 2 Dengan memasukkan besaran yang diketahui, didapat θ = 3,81 0. c) Syarat agar kedua benda bisa bergerak bersama adalah tegangan tali harus lebih besar daripada nol. asukkan fungsi a ke dalam persamaan gerak, didapat atau T =m 1 g sin 3 2 m 1 a T m 1 g =sin 3 m 1 m 2 sin m 2 cos m 2 = 3 cos sin 2 3 2 m 3m 1 2m 2 1 m 2 Syarat agar T = 0 adalah tan =3 Dengan memasukkan besaran yang diketahui, didapat θ = 30,96 0. m 1 θ m 2 17 Bandung, aret 2009

9. Perhatikan gambar di bawah. Dua buah dumb-bell bergerak mendekati satu terhadap yang lain dengan kecepatan masing-masing v. Setiap dumb-bell terdiri dari 2 massa m yang terpisah pada jarak 2l oleh suatu batang tak bermassa. ula-mula keduanya tidak berotasi sama sekali. saat t=0 keduanya bertumbukan lenting sempurna. a) Diskripsikan evolusi sistem setelah tumbukan ini. m 2 l l m v v m 2l l m b) Anggap tumbukan terjadi di titik koordinat (0,0). Gambar grafik posisi y(x) untuk setiap massa (keempat massa). ( Soal OSN 2007 ) Solusi: a) Dumb-bell yang bergerak ke kanan, namakan dumb-bell A, terdiri dari massa 1 dan massa 2. Dumb-bell yang bergerak ke kiri, namakan dumb-bell B, terdiri dari massa 3 dan 4. assa 2 dan 3 adalah massa yang bertumbukan. Karena semua massa adalah massa titik, dan batang tidak memiliki massa, serta tumbukan berlangsung sangat singkat, maka dalam proses tumbukan ini, kita hanya perlu meninjau massa 2 dan 3 saja. Abaikan kehadiran massa 1 dan 4. Dalam tumbukan lenting sempurna 1 dimensi antara 2 massa yang identik, kedua massa yang bertumbukan hanya bertukaran kecepatan. Jadi kecepatan 2 mula-mula ke kanan, setelah tumbukan akan mengarah ke kiri dengan besar v. Kecepatan mula-mula massa 3 ke kiri, setelah tumbukan akan mengarah ke kanan dengan besar v. Sekarang tinjau dumb-bell A. assa 1 bergerak ke kanan, dan massa 2 bergerak ke kiri, 18 Bandung, aret 2009

b) Tim Olimpiade Fisika Indonesia masing masing dengan laju v. Karena massa 1 dan 2 sama, maka dumb-bell A hanya akan berotasi searah jarum jam terhadap pusat massa, dan pusat massa dumb-bell diam. Tinjau dumb-bell B. assa 3 bergerak ke kanan dengan laju v, massa 4 bergerak ke kiri dengan laju v. Karena massa 3 dan 4 sama, maka dumb-bell B hanya akan berotasi searah jarum jam dan pusat massa dumb-bell B diam. Kecepatan sudut rotasi dumb-bell A dan B sama yaitu Setelah setengah periode putaran: π ω Konfigurasi sebelum tumbukan adalah: πl v v ω. l, akan terjadi tumbukan untuk kedua kalinya. Dumb-bell A: massa 2 di atas, bergerak ke kanan dengan laju v. assa 1 di bawah bergerak ke kiri dengan laju v. Dumb-bell B: massa 4 di atas, bergerak ke kanan dengan laju v. assa 3 di bawah bergerak ke kiri dengan laju v. Pada tumbukan kedua, massa 1 dan 4 bertumbukan. Seperti pada tumbukan pertama, hanya terjadi pertukaran kecepatan. assa 1 mendapat kecepatan ke kanan sebesar v, dan massa 4 mendapat kecepatan sebesar v ke kiri. Setelah tumbukan ini, dumb-bell A bergerak lurus ke kanan, tanpa rotasi dengan massa 2 di atas, dan massa 1 di bawah Sedangkan dumb-bell B bergerak lurus ke kiri tanpa rotasi, dengan massa 3 di bawah dan massa 4 di atas. assa 1 assa 2 19 Bandung, aret 2009

assa 3 assa 4 10.Dua buah bola kecil dapat bergerak bebas tanpa gesekan pada dua buah lintasan lurus yang paralel satu dengan lainnya. Jarak antara kedua lintasan adalah d. Bola 1 mempunyai massa m dan muatan q bergerak dengan kecepatan v 0 mendekati bola 2 yang memiliki massa dan muatan Q. Anggap mula-mula bola 2 diam, dan jarak di antara kedua bola sangat besar. a) Ada satu keadaan khusus dimana bola 1 dan bola 2 akhirnya dapat bergerak bersama-sama dengan kecepatan yang sama. Tentukan kecepatan awal agar hal ini bisa terjadi? b) Jika bola 1 tidak berhasil melewati bola 2, berapakah jarak horizontal terdekat (dalarah sepanjang lintasan) keduanya? c) Jika bola 1 tidak berhasil melewati bola 2, berapakah kecepatan akhir masing-masing bola? d) Jika bola 1 berhasil melewati bola 2, berapakah kecepatan akhir masing-masing bola? Solusi: a) Dalam keadaan ini, bola 1 dan bola 2 akhirnya bergerak bersama-sama. Keduanya harus berada pada jarak d, agar tidak ada gaya dalarah lintasan di antara mereka. omentum sistem kekal: Energi sistem kekal: mv 0 = m V Dengan menggunakan 2 persamaan ini, didapat 1 2 mv 2 0= 1 2 m v2 kqq d 2 1 mv 0 2 m = kqq d, m,q v 0,Q d 20 Bandung, aret 2009

atau v 0= 2kqQ d m m Tim Olimpiade Fisika Indonesia b) Jika kecepatan awal lebih kecil daripada nilai pada nomor a, maka kedua bola akan berada pada jarak terdekat yang lebih besar daripada d. Persamaan kekekalan energi dan momentum masih berlaku, tetapi dengan sedikit perubahan pada jarak terdekat antar bola: Dengan menyelesaikan persamaan ini, didapat 1 2 2 mv 0 m = kqq. d 2 x 2 x= 2kqQ m 2 d 2 2 mv 0 c) Jika bola 1 tidak berhasil melewati bola 2, maka proses yang terjadi adalah seperti proses tumbukan lenting sempurna. Dengan menggunakan kekekalan energi dan kekekalan momentum, akan diperoleh kecepatan akhir bola 1: jika m> maka v 1 searah v 0. v 1 = m m v 0. Dan kecepatan bola 2: v 2 = 2m m v 0 d) Jika bola 1 berhasil melewati bola 2, maka proses yang terjadi adalah simetris dalam kerangka pusat massa. Jika proses ditinjau dalam kerangka lab, maka yang terjadi adalah bola 1 tetap mempunyai kecepatan v 0 dan bola 2 akhirnya juga diam. 21 Bandung, aret 2009