Bagaimana Mengajar Pembuktian? Fadjar Shadiq, M.App.Sc (fadjar_p3g@yahoo.com atau www.fadjarp3g.wordpress.com) WI Madya PPPPTK Matematika Hal yang perlu dibuktikan sangat banyak. Contohnya rumus luas persegipanjang dengan lambang L = p l. Contoh lain adalah rumus suku ke-n barisan aritmetika dengan lambang Un = a + (n 1) b. Keduanya harus dibuktikan. Baik L, p, maupun l memiliki arti sendiri-sendiri. L melambangkan luas persegi panjang tersebut, p melambangkan ukuran panjangnya, serta l melambangkan ukuran lebarnya. Begitu juga lambang Un, a, n, dan b berturut-turut melambangkan suku ke-n barisan aritmetika, suku pertama, banyaknya suku, dan beda. Bagaimana membuktikannya? Yang jelas pembuktian untuk siswa SD/MI akan berbeda dengan siswa SMP/Mts, SMA/SMK/MA, dan mahasiswa. Sebaiknya Dimulai dari Benda Nyata Untuk menunjukkan pada siswa SD bahwa luas daerah jajargenjang adalah a t dimana a melambangkan ukuran alasnya dan t melambangkan ukuran tinggi jajargenjang tersebut, maka dapat digunakan benda nyata yang dapat diraba, dilihat, dan dimanipulasi. Gambar alat peraga tersebut ditunjukkan di bawah ini yang merupakan hasil pengembangan unit alat peraga PPPPTK Matematika. Alat itu hanya ingin menunjukkan bahwa luas jajargenjang adalah sama dengan luas persegipanjang yang bersesuaian. Sehingga para siswa dapat dengan mudah memahaminya. 1
Untuk membantu pemahaman siswanya, alternatif pertanyaan yang dapat diajukan guru di antaranya adalah sebagai berikut. 1. Apa yang dapat Anda katakan tentang luas persegipanjang? 2. Mengapa? 3. Mengapa Anda katakan bahwa luas jajargenjang sama dengan luas persegipanjang di sebelahnya? 4. Kalau begitu, bagaimana rumus luas jajargenjang itu? Pada intinya, pembuktian itu harus dimulai dari sesuatu yang sudah diketahui siswa, dari pengetahuan tentang luas persegipanjang ke luas jajargenjang. Sebaiknya Dimulai dari Gambar Selama proses pembelajaran di kelas, ada kalanya lebih mudah menggunakan gambar yang dibuat siswa sendiri untuk meyakinkan mereka. Hal ini dapat digunakan ketika siswa mempelajari konsep atau teorema baru. Contohnya untuk menunjukkan bahwa besar sudut pusat adalah dua kali sudut keliling jika menghadap busur lingkaran yang sama, maka setiap siswa atau setiap kelompok siswa diminta untuk melakukan kegiatan berikut. C O B 1. Menggambar lingkaran dengan jari-jari yang tidak ditentukan panjangnya. 2. Menggambar sudut pusat yang besarnya merupakan kelipatan 10 o yang pada gambar di bawah ini ditunjukkan oleh AOB 3. Menggambar sudut keliling yang menghadap busur AB juga, yang pada gambar di atas ditunjukkan oleh ACB. 4. Mengukur besar sudut pusat ( AOB) dan sudut keliling ( ACB) 5. Menuliskan hasil pengukuran tersebut pada tabel seperti berikut di papan tulis atau di charta. Besar Sudut Pusat Besar Sudut Keliling A 2
6. Menyimpulkan hubungan besar sudut pusat dan besar sudut keliling jika menghadap busur yang sama. Dari setiap siswa ataupun kelompok siswa yang melakukan dengan benar kegiatan seperti dipaparkan di atas akan didapatkan suatu hasil yang sama yaitu sudut pusat besarnya adalah dua kali besar sudut keliling jika menghadap busur yang sama. Bagaimana membuktikannya? Untuk membuktikan kebenaran pernyataan: Pada setiap segitiga, besar suatu sudut pusat adalah dua kali besar sudut keliling jika menghadap busur yang sama, adalah dengan mnggunakan teorema lain yang sudah dipelajari siswa, yaitu: Pada suatu segitiga samakaki BOC karena BO = OC, maka kedua sudut alasnya sama besar ( B = C). C O y x B A D Jika dimisalkan DOB = x dan DOA = y, maka COB = (180 x) dan AOC = (180 y). Segitiga OBC merupakan segitiga samakaki, karena OB = OC (jarijari), begitu juga dengan segitiga AOC merupakan segitiga samakaki juga, sehingga dapat dibuktikan dengan menggunakan sifat-sifat pada segitiga bahwa DCB = ½ x dan DCA = ½ y. Secara deduktif terbukti bahwa sudut pusat besarnya adalah dua kali besar sudut keliling jika menghadap busur yang sama. Jika siswa Anda mengalami kesulitan dapat mengganti x dan y dengan 40 dan 30 yang lebih mudah ditangkap siswa. Contoh di atas menunjukkan pentingnya gambar untuk membuktikan bahwa sudut pusat besarnya adalah dua kali besar sudut keliling jika menghadap busur yang sama. Di samping itu, dengan menggunakan atau melibatkan teori maupun rumus matematika sebelumnya yang sudah dibuktikan kebenarannya juga, yaitu menggunakan teorema atau sifat-sifat yang berkait dengan segitiga samakaki. Teori maupun rumus matematika yang digunakan sebagai dasar pembuktian tadi telah dibuktikan berdasar teori maupun rumus matematika sebelumnya lagi. Di samping itu, pembuktian tentang sudut pusat besarnya adalah dua kali besar sudut keliling jika menghadap busur yang sama telah melibatkan atau menggunakan definisi, pengertian, atau konsep yang sudah ditetapkan sebelumnya, seperti pengertian segitiga samakaki, jari-jari, sudut berpelurus, dan lainnya. 3
Sebaiknya Dimulai dari Bilangan Perhatikan perintah berikut dan kerjakan. Perintah Contoh Catatan 1. Tulis bilangan pertama (I) yang terdiri atas tiga angka; dengan syarat angka ratusan harus paling tidak dua lebihnya dari angka satuan. 724 Mengapa 726 tidak bisa dipilih sebagai bilangan I? 2. Tukar angka ratusan dengan angka satuan. Nyatakan sebagai bilangan kedua (II). 427 Ingat yang ditukar hanya angka ratusan dengan angka satuan saja. 3. Bilangan I dikurangi bilangan II. 724 427 = 297 4. Tukar lagi angka ratusan dengan angka satuan. 5. Jumlahkan kedua bilangan tersebut. 792 Ingat yang ditukar hanya angka ratusan dengan angka satuan saja. 297+792 6. Berapa hasilnya? 1089 Apakah hasilnya mesti 1089? Bagaimana membuktikannya? Pertanyaan yang dapat diajukan di antaranya adalah: 1. Mengapa hasilnya selalu 1089? 2. Kebetulan atau memang hasilnya harus begitu? 3. Berapa tingkat kebenarannya? 4. Bagaimana membuktikannya. Untuk membuktikan langkah-langkahnya adalah sebagai berikut. 1. Dapat dimisalkan bilangan tiga angka I tersebut adalah abc di mana nilai a paling tidak dua lebihnya dari angka c. Dengan kata lain a c > 1 dengan a dan c dua bilangan bulat positif. Artinya, abc = 100 a + 10 b + c. Contohnya, 724 = 100 7 + 10 2 + 4. 2. Ketika angka ratusan dengan angka satuan ditukar tempatnya, akan didapat bilangan II yaitu cba = 100 c + 10 b + a. 4
Contohnya adalah 427 = 100 4 + 10 2 + 7. 3. Bagaimana jika bilangan I dikurangi bilangan II. Contohnya adalah 724 427 = 297. Ketika melakukan pengurangan 724 427, apa yang Anda lakukan? Pada intinya, hal-hal yang menarik pada pengurangan 724 427 dengan hasil 297 dapat dijadikan acuan untuk menentukan hasil dari abc cba. Pernyataan di atas dapat diubah menjadi: abc = 100 a + 10 b + c. cba = 100 c + 10 b + a Perhatikan angka satuan yang akan dikurangkan, karena a > c (nilai a lebih dari nilai c, maka diambil satu nilai dari b. Begitu juga akan diambil satu nilai dari a sehingga didapat pengurangannya sebagai berikut. Sekali lagi jangan lupa untuk mengacu pada pengurangan 724 427. abc = 100 (a 1) + 10 (b + 9) + c + 10. cba = 100 c + 10 b + a A = 100 (a 1 c) + 10 (9) + (c + 10 a) 4. Hasil pengurangan di atas ditukar lagi posisi satuan dengan ratusannya, sehingga didapat sebagai berikut. B = 100 (c + 10 a) + 10 (9) + (a 1 c) 5. Jika A + B akan didapat sebagai berikut. A = 100 (a 1 c) + 10 (9) + (c + 10 a) B = 100 (c + 10 a) + 10 (9) + (a 1 c) = 100 9 + 10 (9 + 9) + 9 = 900 + 180 + 9 = 1089 6. Jadi terbukti bahwa hasilnya mesti 1089 + Penutup Beberapa contoh di atas menunjukkan bahwa pembuktian suatu rumus atau hasil suatu kegiatan akan mudah diterima siswa dan Anda sebagai guru jika pembuktian itu dapat menggunakan benda konkret sehingga dapat dimanipulasi siswa dan siswa dapat mempelajari matematikanya dari benda konkret tersebut. Untuk siswa SD benda konkret ini dapat memudahkan pemahaman mereka. Untuk siswa SMP maupun SMA masih perlu digunakan benda konkret terutama untuk materi yang berkait dengan geometri ruang. Untuk siswa SD, SMP maupun SMA masih perlu digunakan gambar untuk memudahkan pemahaman mereka. Contoh nomor dua di atas menunjukkan bahwa akan sulit bagi siswa SMA sekalipun jika gambarnya tidak diberikan. 5
Contoh terakhir menunjukkan bahwa bilangan yang digunakan akan jauh lebih mudah ditangkap otak kita karena sudah biasa kita lakukan daripada hurufhuruf sebagai wakil dari bilangan-bilangan tersebut. Hal ini menunjukkan pentingnya pengetahuan prasyarat dalam proses pembuktian. Itulah sebabnya, sudah sejak lama Descartes, yang mengenalkan sumbu Kartesius, dalam bukunya CEuvres, vol. VI, hal 20-21 dan hal 67 menyatakan dua pernyataan berikut: Each problem that I solved became a rule which served afterwards to solve other problems. [Setiap masalah yang dapat dipecahkan dapat menjadi suatu aturan yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah lain]. If I found any new truths in the sciences, I can say that they all follow from, or depend on, five or six principal problems which I succeeded in solving and which I regard as so many battles where the fortune of war was on my side. [Jika saya mendapatkan suatu kebenaran baru di bidang sain, maka saya dapat menyatakan bahwa hal tersebut mengikuti dari, atau tergantung pada, lima atau enam prinsip pemecahan masalah yang sukses saya lakoni sehingga dapat saya nyatakan bahwa seperti dalam beberapa pertempuran maka keberuntungan berpihak pada diri saya]. Dua pernyataan tersebut dapat dibaca pada buku Polya (...: 2). Pada akhirnya, mudah-mudahan tulisan ini dapat membantu guru matematika memfasilitasi siswanya sehingga proses pembelajaran di kelas akan bermakna (meaningful) bagi mereka. Dengan kata lain proses asimilasi dan akomodasi dapat terjadi pada pikiran mereka. Kata lainnya, para siswa akan memiliki pemahaman relasional dan para siswa akan terbantu untuk mengkonstruksi pengetahuan berdasar pengetahuan yang ada di benak mereka. Daftar Pustaka Polya, G (...). Mathematical Discovery. Combined Edition. New York: John Wiley and Sons Inc. 6