I TU URI HANDAY AN TW DIKLAT GURU PENGEMBANG MATEMATIKA SMK JENJANG DASAR TAHUN 009 Bilg Rel GY A Y O M AT E M A T AK A R Mrkb, M.Si. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENINGKATAN MUTU PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN MATEMATIKA 009 TM Qulity System TK KA TI PP PP Oleh: Drs. Qulity Edorsed Compy ISO 900: 000 Lic o:qec 396 SAI Globl
KATA PENGANTAR Puji syukur kmi pjtk ke hdirt Tuh Yg Mh Es, kre ts krui-ny, bh jr ii dpt diselesik deg bik. Bh jr ii diguk pd Diklt Guru Pegembg Mtemtik SMK Jejg Dsr Thu 009, pol 0 jm yg diseleggrk oleh PPPPTK Mtemtik Yogykrt. Bh jr ii dihrpk dpt mejdi slh stu rujuk dlm ush peigkt mutu pegelol pembeljr mtemtik di sekolh sert dpt dipeljri secr mdiri oleh pesert diklt di dlm mupu di lur kegit diklt. Dihrpk deg mempeljri bh jr ii, pesert diklt dpt membh wws d pegethu sehigg dpt megdk refleksi sejuh m pemhm terhdp mt diklt yg sedg/telh diikuti. Kmi megucpk terim ksih kepd berbgi pihk yg telh berprtisipsi dlm proses peyusu bh jr ii. Kepd pr pemerhti d pelku pedidik, kmi berhrp bh jr ii dpt dimftk deg bik gu peigkt mutu pembeljr mtemtik di egeri ii. Demi perbik bh jr ii, kmi meghrpk dy sr utuk peyempur bh jr ii di ms yg k dtg. Sr dpt dismpik kepd kmi di PPPPTK Mtemtik deg lmt: Jl. Kliurg KM. 6, Smbisri, Codogctur, Depok, Slem, DIY, Kotk Pos 3 YK-BS Yogykrt 558. Telepo (074) 8877, 88575, Fx. (074) 88575. emil: p4tkmtemtik@yhoo.com Slem, Mei 009 Kepl, Ksm Sulyoo NIP. 3035806
DAFTAR ISI Hlm Kt Pegtr... i Dftr Isi... ii Pet Kompetesi d Bh Ajr... iii Skerio Pembeljr... iv Bb I Pedhulu A Ltr Belkg... B. Tuju... C.. Rug Ligkup... Bb II Bilg Rel A. Sistem Bilg Rel... B. Opersi Hitug pd Bilg Rel... 4. Opersi Hitug pd Bilg Bult... 4. Opersi Hitug pd Bilg Pech... 4 C. Perbdig... 5. Perbdig Seili... 5. Perbdig Berblik Nili... 6 Ltih :... 8 Bb III Bilg Berpgkt A. Pgkt ( Ekspoe ) Bult Positif... B. Pgkt Nol d Bult Negtif... C. Pgkt Bult d Rsiol... D. Bilg Irsiol... 3 E. Opersi Betuk Akr... 4 Ltih :... 6 Bb V. Logritm A.. Pegerti d Sift-sift Logritm... 7 B. Megguk Dftr Logritm... 8 C. Persm Logritm... Ltih 3 :... Bb IV Peutup..... 3 Dftr Pustk....... 4 ii
PETA KOMPETENSI DAN BAHAN AJAR N Kompetesi / o Sub kompetesi. Kompetesi : Mmpu memfsilitsi sisw dlm memechk mslh berkit deg kosep opersi bilg riil Subkompetesi:- Megembgk ketermpil sisw dlm: meerpk opersi pd bilg riil meerpk opersi pd bilg berpgkt meerpk opersi pd bilg irsiol meerpk kosep logritm Idiktor Mmpu megembgk dri kehidup yt sehri-hri, mejelsk d memberik cotoh megei kosep opersi hitug pd bilg rel Mmpu megembgk dri kehidup yt sehri-hri, mejelsk d memberik cotoh megei kosep perbdig seili d berblik ili. Mmpu megembgk dri kehidup yt sehri-hri, mejelsk d memberik cotoh megei kosep dsr bilg berpgkt d betuk kr. Mmpu megembgk dri kehidup yt sehri-hri, mejelsk d memberik cotoh megei kosep dsr opersi bilg irsiol Mmpu megembgk dri kehidup yt sehri-hri, mejelsk d memberik cotoh megei kosep dsr logritm Mteri Pembeljr Sistem Bilg Rel Opersi Hitug pd Bilg Bult d Pech ( bis, desiml d perse ) Perbdig seili d berblik ili Bilg berpgkt Bilg Irsiol Betuk kr Logritm SKENARIO PEMBELAJARAN. Pd wl pertemu di lkuk kegit idetifiksi permslh pembeljr pd mteri bilg rel yg dihdpi oleh guru selm di kels.. Dri idetifiksi permslh pembeljr tersebut dijelsk deg cermh, ty jwb d curh pedpt sehigg permslh bilg rel dpt dipechk 3. Pesert bekerj dlm kelompok progrm kehli yg terdiri dri 5-6 org d mediskusik d meglisis mteri d ltih pd modul sert memberik cotoh peerp sesui progrm kehliy. iii
Bb I Pedhulu A. Ltr Belkg Bilg rel tu disebut jug bilg yt merupk bilg yg serig diguk dlm kehidup sehri-hri. Misly ketik seseorg melkuk trsksi jul beli, ketik seorg pedgg membgi stu krug gul mejdi beberp bgi, ketik seorg tukg kyu megukur tiggi pitu yg tept utuk bgu yg didiriky, ketik seorg sbh bk meghitug persetse bug dri ug simpy d sebgiy. Opersi hitug pd bilg rel yg meliputi pejumlh, pegurg, perkli, pembgi, pemgkt d perik kr jug serig diguk dlm kehidup sehri-hri meskipu mugki org tidk begitu sdr telh megguky. Megigt petig d lusy peggu bilg rel dlm kehidup sehrihri mk bilg rel perlu dimsukk sebgi slh stu mteri pembeljr yg hrus dikusi sisw SMK. Oleh kre itu guru mtemtik SMK perlu memhmi d megusi mteri bilg rel ii B. Tuju Setelh pembeljr mteri bilg rel dihrpk pesert diklt mmpu utuk:. melkuk opersi hitug pd bilg rel. membedk pegerti perbdig seili d berblik ili 3. mejelsk sift-sift bilg berpgkt 4. mejelsk bilg irsiol d opersi betuk kr 5. mejelsk sift-sift logritm 6. meyelesik sol logritm C. Rug Ligkup Mteri yg dipeljri dlm bh jr ii meliputi sistem bilg rel, opersi hitug pd bilg bult d pech, perbdig seili d berblik ili, sift-sift bilg berpgkt,bilg irsiol d betuk kr sert logritm. - -
Bb II Bilg Rel A. Sistem Bilg Rel Bilg rel merupk gbug dri bilg rsiol deg bilg irsiol. Bilg rsiol sebgi bilg yg dpt diytk dlm betuk, deg b, b bilg bult d b 0. Deg demiki bilg rsiol dpt berup bilg bult, bilg yg dpt diytk deg pech tu betuk desiml, d cmpury. Pech didefiisik sebgi bilg yg dpt diytk dlm betuk, deg, b bilg bult d b 0, kb utuk setip bilg b bult k. Utuk seljuty jik b pech mk dimk pembilg d b dimk peyebut. Berdsrk defiisi tersebut mk d du mcm pech yitu : pech muri bil < b d pech cmpur bil > b. Dlm betuk desiml, bilg rsiol berup pech desiml berulg. Sedgk bilg irsiol dlh bilg yg tidk dpt diytk dlm betuk b, deg, b bilg bult d b 0, misly : - -, log 3, π, bilg e d sebgiy. Betuk-betuk kr merupk bilg irsiol, bilg-bilg ii dlh kr-kr bilg rsiol yg buk bilg rsiol. Himpu bilg rel (yt) serig diytk deg R. Deg sistem bilg rel, mk tr bilg-bilg rel deg titik-titik pd gris bilg d hubug stu-stu sehigg pd gris bilg tidk terdpt tempt yg kosog. Pd sistem bilg rel, klu kit lkuk opersi pejumlh d perkli, mk hsily sellu bilg rel jug. Hl seperti ii diktk bhw opersi pejumlh d perkli pd bilg rel bersift tertutup. Ad beberp ksiom yg memberik sift-sift tetg opersi pejumlh d perkli di R, yitu :. Sift ketertutup d ketuggl Jik, b R, mk terdpt stu d hy stu bilg rel yg diytk deg + b d b.
. Sift komuttif (pertukr) Jik, b R, mk + b = b + d b = b 3. Sift ssositif (pegelompok) Jik, b d c R, mk + ( b + c ) = ( + b ) + c d ( bc ) = ( b ) c 4. Sift distributif (peyebr) Jik, b d c R, mk ( b + c ) = b + c, yitu sift peyebr dri perkli terhdp pejumlh. 5. Ady usur idetits (stu) Ad du bilg rel 0 d sedemiki sehigg + 0 = d. = 6. Ady egtif tu ivers terhdp pejumlh Utuk setip bilg rel, d sutu bilg rel yg dimk egtif dri, diytk deg (dibc egtif dri ) sehigg + (-) = 0 7. Ady keblik tu ivers terhdp perkli Utuk setip bilg rel, keculi 0 d sutu bilg rel yg dimk keblik dri diytk deg - tu sehigg. = Cotoh : Tujukk bhw 0, 356356356 dlh bilg rsiol! Pembhs : Mislk x = 0,356356356.. Mk 000 x =356,356356356.. 000 x =356,356356356.. x = 0,356356356 999 x = 356 356 x = 999 356 Kre sesui deg defiisi bilg rsiol mk 0,356356356..dlh 999 bilg rsiol Diskusik! Dri pegerti bilg yg telh dipeljri perlihtk mcm-mcm bilg d hubugy stu sm li deg digrm. - 3 -
B. Opersi Hitug Pd Bilg Rel. Opersi Hitug pd Bilg Bult Dlm Mtemtik opersi dirtik sebgi pegerj. Opersi yg dimksud dlh opersi hitug. Pd dsry opersi hitug meckup empt pegerj dsr yitu: pejumlh, pegurg, perkli d pembgi. Dri ke empt opersi ii yg merupk opersi pokok ilh pejumlh. Pegurg merupk lw pejumlh (pembh). Perkli merupk pembh berulg. Sedgk pembgi merupk pegurg berulg d dpt jug di ggp sebgi lw perkli. Opersi hitug tersebut merupk opersi bier yitu opersi utuk sepsg bilg (usur), sehigg pbil d tig usur tu lebih tidk dpt melkuk pegerj itu sekligus tetpi hy dpt dimbil du usur sekligus. Sedgk urut pegerjy pbil tidk memki td kurug mk urut yg berlku secr itersiol yitu pertm perpgkt, kedu perkli d pembgi (sm kut, yg ditulis disebelh kiri didhuluk) d ketig pejumlh d pegurg (sm kut). Agr dlm perhitug tidk meimbulk slh tfsir mk sebiky diguk td kurug.. Opersi Hitug pd Bilg Pech. Pejumlh d Pegurg Pech Utuk meetuk hsil pejumlh tu pegurg pech, ytk pech-pech itu deg pech pech yg peyebuty sm, deg cr mecri dhulu KPK-y kemudi jumlhk tu kurgk pembilgy. Utuk mejumlhk tu megurgk pech desiml, dilkuk deg cr yg hmpir sm deg mejumlhk tu megurgk bilg bult deg memperhtik letk kom ( ili tempty ) b. Perkli d Pembgi Pech Utuk meglik du pech tu lebih, klik pembilg deg pembilg d peyebut deg peyebut dri pech-pech itu. - 4 -
b Utuk membgi deg sm rtiy deg meglik deg. Deg b kt li, utuk membgi du pech dpt dilkuk deg meglik pech yg stu deg keblik pech yg li c. Perse Sutu pech dpt ditulis dlm tig cr, yitu : pech bis, pech desiml d perse. Perse berrti persertus ditulis % yitu pech yg berpeyebut 00. Utuk megubh betuk pech bis kebetuk perse dpt dilkuk deg cr yitu: megubh pech bis itu mejdi pech yg seili degy d berpeyebut 00 tu cr kedu deg meglik pech itu deg 00 % Deg demiki setip bilg pech bis dpt di ubh ke betuk yg li tu sebliky, misly : = 0,4 = 40 % 5 C. Perbdig Dlm membdigk ukur du obyek terdpt du cr, yitu membdigk deg cr mecri selisihy sehigg dpt diktk m yg lebih dri yg li d yg kedu megmti/mecri ili perbdig tr ukur dri kedu obyek itu. Sebgi cotoh, tiggi bd Ai dlh 50 cm sedgk Wtik 60 cm. Jik cr membdigk yg dimksud dlh sip yg lebih tiggi mk jwby dlh Wtik deg selisih tiggi bd = 60 cm 50 cm = 0 cm. Nmu jik yg dityk dlh ili perbdig tiggi bd Ai deg Wtik mk 5 dpt diytk deg perbdig : 50 cm : 60 cm = 5 : 6 =. 6 Perbdig : b, dibc berbdig b. Ad du mcm perbdig yg serig kit bicrk tr li :. Perbdig seili: Apbil terdpt korespodesi stu-stu tr du obyek deg sift bhw ili perbdig du eleme di obyek pertm sm deg ili perbdig du eleme yg bersesui di obyek kedu mk kedu obyek itu disebut berbdig seili. - 5 -
Perbdig seili diguk jug dlm membut skl pd pet tu membut model. Grfik dri perbdig seili berup gris lurus Misly: Sutu kedr deg kecept 60 km/jm, berrti: Lm berjl 3. jrk 60 0 80.. 60 Tmpk bhw ili perbdig lm perjl = ili perbdig jrk 60 yg bersesui, sehigg =. Jik wktu bertmbh, mk jrk yg 3 80 dicpi jug bertmbh. Dpt diktk bhw perbdig tr jrk d wktu tetp yitu : 60. Perbdig seili terjdi pbil jik slh stu kompoe yg dibdigk semki besr mk kompoe yg li jug k semki besr Du vribel deg perbdig demiki ii disebut perbdig seili. Yg dimksud skl ilh perbdig tr jrk/pjg pd gmbr deg jrk/pjg yg sebery. Dlm perbdig tersebut jrk pd gmbr bisy diytk deg. Cotoh : Skl pd pet dlh : 50000. Jik jrk du kot pd pet dlh 7,5 cm. Berpkh jrk yg sebery? Jwb : Jrk yg sebery = 50000 x 7,5 cm =,5 km. Perbdig berblik ili Apbil terdpt korespodesi stu-stu tr du obyek deg sift bhw ili perbdig du eleme di obyek pertm berblik iliy deg ili perbdig du eleme yg bersesui di obyek kedu mk perbdig tr obyek pertm deg obyek kedu disebut perbdig berblik ili. Misly : Sutu pekerj, jik dikerjk oleh org k selesi 60 hri, jik org k seles 30 hri, berrti : Byk org 3. 60 wktu 60 30 0. Jik byk org bertmbh, mk byk hri berkurg. Perbdig byk org d byk hri tidk tetp (tetpi hsil kli du vribel tersebut tetp yitu 60. Du vribel deg perbdig demiki ii disebut perbdig berblik ili. - 6 -
Cotoh : Secr mtemtik, jik vribel yg slig bergtug tersebut dlh x d y, sehigg x berubh dri x mejdi x d y berubh dri y mejdi y mk perbdigy:. disebut perbdig seili, jik : - 7 - x = x b. disebut perbdig berblik ili jik : y y x = x. Deg kecept tetp, sebuh mobil memerluk besi 5 liter utuk jrk 60 km. Berp liter besi yg diperluk utuk meempuh jrk 50 km? Jwb : Kre perbdigy seili mk : 60 5 = tu 60 x = 5 ( 50 ) 50 x 750 x = =,5 60 Jdi utuk meempuh jrk 50 km diperluk besi,5 liter. Jrk tr du kot dpt ditempuh kedr deg kecept rt-rt 7 km/jm selm 5 jm. Berp kecept rt-rt kedr meempuh jrk tersebut jik lm perjl 8 jm? Jwb : Perbdigy berblik ili, sehigg : 7 8 = tu 8 x = 7 ( 5 ) x 5 7(5) x = = 45 8 Jdi kecept rt-rty dlh 45 km/jm 3. Sutu pekerj jik diselesik 4 org selesi 0 hri. Setelh dikerjk 4 hri teryt pekerj tersebut hrus terheti selm 8 hri. Berp pekerj tmbh yg diperluk gr pekerj selesi tept pd wktuy? Jwb: 4 org 0 hri Setelh dikerjk 4 hri, pekerj tersebut terheti selm 8 hri, jdi msih d sis pekerj utuk 0 4=6 hri yg sehrusy dpt diselesik oleh 4 org. Tetpi wktu yg tersis hy 0 4 8 hri. y y
Jdi didptk: 4 org 6 hri x org 8 hri 4 8 64 = 8x = 4.6 8x = 64 x = x = 8 x 6 8 Jdi gr selesi tept pd wktuy, pekerj tersebut hrus ditgi oleh 8 org. Kre sudh d 4 org, pekerj yg hrus ditmbh sebyk 4 org. Ltih : ). Tbel berikut meujukkk hubug tr sift pegerj hitug deg mcm sistem bilg. Berilh td rtiy berlku d x rtiy tidk. Sift-sift sistem Bilg Bilg Bilg Bilg Asli Bult rsiol rel + d x tertutup - tertutup : tertutup ( pembgi 0 ) + d x komuttif + d x ssositif Distributif X terhdp + X terhdp - Usur stu + Usur stu x Ivers + Ivers x x ). Seorg pegush berjji k memberik ug sejumlh 0 jut rupih kepd semu pemi tim bol volley jik tim itu memegk pertdig pd turme.. Nytk dlm jut rupih dlm betuk pech bis, jik hsily pech. - 8 -
i) Jik tim yg memegk pertdig tidk perh melkuk pergti pemi d hdih diberik sm kepd setip pemi yg bertdig. ii) Jik hdih dibgik sm kepd pemi utm d empt pemi cdg. b. Nytk dlm betuk pech desiml smpi 5 tempt desiml hsil perhitug 3). Segulug ki pjgy 9 5 m. Ki tersebut dipotog mejdi beberp potog sm pjg utuk keperlu prktik sisw.. Setip potog pjgy 5 4 m. Berp meter pjg sis ki setelh dipotog-potog? 4) Utuk medptk keutug 0 %, sebuh mobil hrus dijul deg hrg Rp. 48.000.000,00. Berp hrg pembeli mobil tersebut? 5) Apbil stu dolr seili deg Rp. 9.750 d stu ye seili deg 3000. Jik dolr ditukr deg ye, diperoleh berp ye? 6) Sutu pekerj jik dikerjk oleh teg profesiol sebyk 3 org k selesi dlm 0 hri, sedgk jik o profesiol sebyk 5 org k selesi dlm 40 hri. Jik pekerj itu dikerjk oleh org profesiol d org o profesiol, dlm berp hri k selesi? 7) Deg 4 org pekerj, sutu psr direck selesi dlm wktu 48 hri. Sesudh bekerj selm hri deg 4 pekerj, pembgu psr dihetik selm 9 hri. Tetuk byky pekerj yg hrus ditmbhk gr pembgu psr dpt selesi tept wktu 8) Hubug tr hmbt d lus pempg sutu kbel listrik dlh berbdig terblik. Artiy jik pempg semki besr mk hmbt justru semki kecil, sebliky jik lus pempg mki kecil mk hmbt semki besr. Dri hsil peeliti terhdp sutu bh dikethui bhw jik lus pempgy diperbesr,5 kli mk hmbty k turu 0,5 hmbt mul-mul, demiki pul sebliky. Jik lus pempg semul 5 mm d hmbty 0 ohm. Tetuk: ). lus pempg jik hmbty 5 ohm b). hmbt jik lus pempg 6 mm - 9 -
9) Cfetri SMK X medpt pes mk kecil deg meerim ug sebesr Rp. 600.000. Utuk membeli bh msk 45 %, membyr teg yg memsk 0 % d pegelur liy 7 %. Berpkh sis ugy? 0) Seorg pedgg bers membeli bers dri tempt peggilig pdi sebyk 8 to deg hrg per kg dlh Rp..400,00. Utuk biy trsportsi d li-li sebesr Rp.450.000,00. Bers tersebut dijul di psr deg hrg Rp..600,00 per kg. Berpkh modl yg dikelurk oleh pedgg tersebut. Apkh pedgg itu utug tu rugi? Berp perse keutug tu kerugiy? ) Seorg pedgg bers membeli jeis bers yg hrg per kg berturut-turut sebesr Rp..00,00 d Rp.600,00. Pedgg tersebut mecmpur jeis bers itu deg perbdig 3 : d dijul deg hrg Rp..500,00 per kg. Tetuk keutug tu kerugiy, jik kedu jeis bers yg dicmpur itu berty msig-msig 3 kwitl d kwitl sert terjul semu! ) Seorg pedgg bers membeli 30 krug bers di sebuh peggilig pdi deg hrg per kwitly Rp.5.000,00. Pd setip krug bers tersebut bertulisk Bruto 00 kg d Tr %. Kre membeli dlm jumlh besr, pedgg tersebut medptk disko 5%. Jik bers itu dijul di psr deg hrg Rp..500,00 per kilo.tetuk :. Berp ug yg hrus dibyr pedgg tersebut? b. Berp perse keutug tu kerugiy? 3) Bgim cr meghitug tgih rekeig listrik - 0 -
Bb III Bilg Berpgkt A. Pgkt (Ekspoe) Bult Positif Betuk perpgkt yg plig sederh dlh pgkt bult positif. Misl: 3 rtiy x x, sehigg 3 = 8 d disebut bilg pokok, 3 disebut pgkt tu ekspoe sert 3 disebut bilg berpgkt. Pgkt ke- dri bilg rel, deg bilg bult positif ; diytk deg, didefiisik sebgi berikut : =.. sebyk fktor Bilg berpgkt deg ekspoe bilg sli tu pgkt bult positif tersebut serig dimk pgkt sebery. Sedgk bilg berpgkt deg ekspoe bilg bult egtif, ol tu pech dimk pgkt tk sebery. Dri defiisi bilg berpgkt bult positif di ts dpt dituruk sutu teorem sebgi berikut:. m. = m+. ( m ) = m. 3. ( b ) = b 4. ( b ) =, b 0 b m 5. = m-, m > d 0 B. Pgkt Nol d Bult Negtif Sekrg kit perlus defiisi pgkt bilg bult liy, yitu pgkt ol d bult egtif. Ii dilkuk sedemiki sehigg teorem yg berlku pd pgkt bult positif berlku utuk semu bilg bult. Ad du kibt yg berhubug deg teorem dri perpgkt di ts yitu : 0 = ( jik 0 ) - = ( jik 0 ) Jik rumus ) hrus berlku utuk pgkt ol, mk 0. = 0+ =. Berdsrk usur idetits terhdp perkli, yitu mk memeuhi. = Deg - -
membdigk kedu persm ii kit hrus medefiisik 0 =. Jdi kit defiisik : Jik bilg yg tk ol mk 0 =. Jels bhw 0 0 tidk didefiisik Sekrg jik rumus ) hrus berlku utuk pgkt bilg bult egtif mk. - = 0 = bil 0. Berdsr sift isvers mk - =. Kre itu kit defiisik : Jik bilg rel d dlh bilg bult egtif mk - =, 0. Deg megguk defiisi ii mk : = C. Pgkt Bult d Rsiol Dri uri tersebut teorem dits dpt berlku utuk pgkt bult, d kit ytk dlm torem : Jik, b dlh bilg rel d m, dlh bilg bult mk :. m. = m+. ( m ) = m. 3. ( b ) = b 4. ( ) = b b, b 0 m 5. = m-, d 0 Teorem tersebut dpt diperlus utuk lebih dri du fktor, misl. m. r = +m+r ; ( bc ) =. b. c d seterusy. Cotoh : Sederhk : ( 3 - + -3 ) - Jwb : ( 3 - + -3 ) - = + 9 8 7 = 7 Rumus rumus dri teorem di ts dpt jug kit perlus sehigg berlku utuk pgkt bilg rsiol, bik bilg rsiol positif, ol mupu bilg - -
rsiol egtif, deg pegerti bhw: dipgktk deg meghsilk. Deg demiki dlh bilg itu yg jik m/ = R. Atu rumus m = m/ berlku pbil terdefiisi ( ) m d Cotoh : ). 9 / = 3 kre 3 = 9 ). 4 6 =, kre 4 = 6 Deg pegerti tersebut kit defiisik bhw : Jik d b dlh bilg rel d dlh bilg bult positif, sehigg b =, mk b dimk kr pgkt dri. ditulis b = ( ) / Utuk cotoh ksus berpkh ili dri : ( 3) d 4 ( 3) ( ) / Bil pertm kli kit meghitug ( -3 ), mk ( 3) = 9 / = 3 Sedgk bil pgkty diklik telebih dulu, diperoleh: ( 3) ) / = ( -3 ) = -3. Berrti ( 3) ) / ( 3) Bdigk deg berikur ii: 4 4 4 Peyelesi I: ( 3) = 9 = 3 = 3 ( ) /. Mkh yg ber? 4 4 Peyelesi II: ( 3) = ( 3) = 3, mkh peyelesi yg ber? Tetu sj peyelesi I, kre m/ = ( ) m d R Ksus-ksus semcm itu byk dijumpi d mejdik k bigug dlm memhmi kosep bilg berpgkt, sehigg kosep tersebut dijelsk kepd k. D. Bilg Irsiol Bilg Irsiol mucul kre tidk ditemuky betuk deg, b bilg b bult d b 0, meskipu dlm kesehri bilg ii serig dijumpi. Misly berp pjg sisi persegi yg lusy 3 stu lus, hl ii memuculk bilg deg lmbgy yitu 3, yg merupk slh stu cotoh bilg irsiol. Cotoh bilg irsiol yg li, misly: 5 sebgiy. - 3 -, log3, π, bilg e d
Bilg irsiol, jik diytk dlm betuk desiml, mk bgi desimly tidk perh terjdi perulg, misly: =,443563730950488068874... ; π = 3,4596535897933846643383..., meskipu π = 3,4 tu 7 itu hy sutu pedekt sj. Betuk-betuk kr merupk bilg irsiol, bilg-bilg ii dlh krkr bilg rsiol yg buk bilg rsiol. Perhtik bhw dy td kr belum tetu merupk betuk kr, misly 49 d 3, 78 buk betuk kr kre 49 d 3, 78 merupk bilg rsiol. Perlu di igt bhw, telh kit rtik sebgi kr kudrt yg o egtif dri, dim 0, misly 49 = + 7 d buk 7 Betuk kr merupk bilg irsiol, wlupu dlm perhitug-perhitug betuk kr dpt didekti deg bilg-bilg rsiol, misly 7dpt didekti deg bilg rsiol,646 jik diguk pedekt teliti smpi 3 gk dibelkg kom E. Opersi Betuk Akr. Pejumlh d Pegurg Utuk meyederhk betuk kr dpt megguk sift bhw b =.b. Pejumlh d pegurg betuk kr dpt disederhk pbil kr-kry sejeis, sehigg x b ± y b = ( x ± y) b Cotoh : Sederhk 75 47 + 48 Jwb : 75 47 + 48 = 5.x3 49x3 + 6x3 = 5 3 7 3 + 4 3 = ( 5 7 + 4 ) 3 = 3. Perkli Betuk Akr Apbil perkli bilg tersebut deg bsis idex pgkt kr sm mk kit guk rumus x y b ( x. y).. = b, tetpi pbil bsis idex pgkt kr berbed mk idexy dismk dhulu bru diklik misly p m q m pm m q m pm q b = b =. b - 4 -
Cotoh : Sederhk x 8 Deg megguk sift b =.b mk didpt x 8 = 96 = 6x6 = 4 6 cr li x 8 = 3 x = 4 6 3. Pembgi Betuk Akr Cotoh : Sederhk 7 7 = = 3 3 9 = 3 Deg megguk sift = b b 7 7 Mk didpt = = 9 = 3 3 3 Bgim sediy pembgi tersebut bsis idex pgkt kry berbed, 3 8 misly? 4 4. Mersiolk Peyebut Pech. Pech-pech berbetuk b 6 6 6 Cotoh : i) = x = = 3 ii) 3 = 3 = b. Pech-pech berbetuk 3 x + = b 6 d + b Betuk-betuk kr seperti ( + b ) d ( - b ) dimk betukbetuk kr yg sekw. Hsil perkliy dlh rsiol, sebb hsil dri ( + b ) ( - b) = b bilg pd rus k tersebut dlh rsiol. Sift betuk kr yg sekw ii diguk utuk mersiolk peyebut pech- pech yg berbetuk seperti dits Cotoh : i) ii) 4 3 = 4 3 x 3 + 4( 3 + ) = = ( 3 + ) 3 + 3 + = x + + 3 = = = 3-5 -
Ltih : ) Nytk dlm betuk pgkt pech:. p b. 3 5 c. 3 x ) Nytk dlm betuk pgkt pech. 3 b. 3 5 c. 5 7 3) Hituglh: 5. 3 4 4 3 + 6 b. 8 + 4) Sederhk: 5 4 3. 3 + 50 8 b. ( 75 + 7)3 5) Apbil = 6 d b = 7, mk hituglh berikut ii :. -/3 b. /4 x b -/3 c. 3 -/ x 4b -/3 6) Pk Umr mempuyi sebidg th yg lusy terctt di Ktor perth dlh 369 m Teryt pekrg itu berbetuk persegi. Berp pjg ukur th pekrg itu? 7) Tetuk betuk sederh dri pech berikut! 4 7 3. b. c. 7 + 3 7 3 + 5 8) Berp meter btg besi yg diperluk utuk membut kergk besi di bwh ii 6 m m m 9). Ukur ls sebuh bej berbetuk blok dlh 5 mx(6 3) m. Volum bej itu 40 m 3 Berp tiggi bej? 0). Lus permuk dri sebuh poros rod gigi dlh x cm. Dikethui persm volumeydlh V= 0,94 3 x. Jik dikethui V=75 cm 3, tetuk lus x! - 6 -
Bb IV Logritm A. Pegerti d Sift-sift Logritm Pd bilg berpgkt, telh kit kethui bhw 3 = 8 Peulis seperti 3 = 8 dpt ditulis dlm betuk logritm yitu log 8 = 3, ii kre fugsi ekspoe deg bilg pokok > 0 d mempuyi ivers yitu fugsi logritm deg bilg pokok. Deg demiki dpt kit defiisik bhw : Fugsi logritm deg bilg pokok > 0 d dlh ivers dri fugsi ekspoe deg bilg pokok. Secr umum dpt ditulis : log b = c c = b deg > 0, d b > 0 Pd betuk log b = c disebut bilg pokok ( dsr ) logritm ( utuk bilg pokok 0 bisy tidk ditulis, misl 0 log 3 ditulis log 3 ) b disebut bilg yg dimbil logritmy c disebut hsil logritm Dri hubug pgkt d logritm tersebut di ts mk dpt ditemuk beberp sift sift logritm yg perlu dikethui yitu : Jik > 0,, m > 0, > 0 d x R, mk :. log =. log ( m ) = log m + log 3. m log ( ) = log m - log 4. log m x = x. log m log 5. = 6. log m = g g log m log bil g > 0, g 7. log m. m log = log 8. q p log m = 9. log = 0 p q log m - 7 -
Cotoh : ). Hituglh log 4 + log - log 6 Jwb : log 4 + log - log 6 = log = log 4. 6 8 = 3 ). Jik log = 0,300 ; log 3 = 0,477, hituglh log 5 3.0 Jwb : log 5 = log = log 3 + log 0 - log = 0,477 + 0,300 =,76 3). Gs di dlm silider dikompresik dibtis, deg tempertur wl T =000K d perbdig kompresi ε=0 d k=,4. Hitug tempertur khir kompresi (T ) deg rumus T =T ε k- Jwb: T =T ε k- T =000. 0,4- T =000. 0 0,4 log T = log 000 + log 0 0,4 = 3 + 0,4 = 3,4 T = 5 Jdi tempertur khir kompresi T sebesr 5 K. B. Megguk Dftr Logritm Pd dftr logritm disusu deg bilg pokok 0 yg bisy tidk ditulisk bilg pokoky, misl : log 0 = ; log 00 = d seterusy. Sebelum mecri mtise (bgi desiml dri hsil pegmbil logritm ) mk perlu dikethui krkteristiky dhulu. Berikut ii ditujukk cr mecri logritm sutu bilg deg megguk dftr : Misly : log 4866 = Bilg 4866 berd ditr 000 d 0000 yitu 0 3 < 4866 < 0 4 didpt : 3 < log 4866 < 4 berrti mempuyi krkteristik 3. Utuk mecri mtise bilg 4866 tertulis di dlm dftr log dlh 687 Jdi log 4866 = 3,687. - 8 -
Terliht sebgi berikut : N 0 3 4 5 6 7 8 9 450.. 486 687 Semu ili log dri bilg-bilg seperti 0,04866 ; 4,866 ; 48,66 ; 486,6 ; 48660 mempuyi mtise yg sm yitu 687 ( mtise deg 4 desiml ), yg berbed hy krkteristiky, yitu : log 0,04866, krkteristiky, sehigg log 0,04866 = 0,687 - log 4,866, krkteristiky 0, sehigg log 4,866 = 0,687 log 48,66, krkteristiky, sehigg log 4,866 =,687 d seterusy Sekrg bgim bil bilg yg dicri mtise logritmy tidk d didlm dftr? Misly log 5546 yg mtisey m. Dri dftr mpk bhw log 5540 mtisey dlh 0,705 d log 5550 mtisey dlh 0,706 Sehigg terdpt hubug : Log bil Mtise 5540 0,705 6 x 5546 m 0 (selisih du gk terkhir kedu mtise) 5550 0,706 Nili x = m 0,705. Kit lkuk pembh sebdig : x 6 = x = 0,6. Oleh kre ili x ditetuk pd gk terkhir sehigg 0 diperoleh : m = 0,705 + 0,00006 = 0,7056 Mk log 5546 = 4,7056-9 -
Bgim mecri tilogritmy? Opersi perik tilogritm sutu bilg merupk opersi isvers dri opersi perik logritm, deg pegerti bhw jik log N = mk N disebut tilogritm dri Cotoh : ). Crilh x, jik log x =,04 Kre krkteristiky, mk x dlh bilg tr 0 d 00. Kemudi crilh dlm dftr log utuk mecri tempt mtise 04..Teryt d di dlm kolom 0 pd N=6. Jdi x = 6, sehigg log 6 =,04 ). Crilh x, jik log x = 0,399 Krkteristiky dlh, berrti x bilg 0,0.. Mtise 399 terdpt di dlm kolom 0 pd N = 38. Jdi x = 38 deg krkteristik sm deg 0,038 tu log 0,038 = 0,399 Cotoh Sol : ). Deg dftr logritm hituglh : Jwb : 8,6x ( 4,6) 45,5 Log x = Log 8,6 + Log 4,6 - Log 45,5 =,65 + ( 0,69 ) - (,69 ) =,65 +,38,085 Log x =,484 x = 6, x ). Crilh x dri log 0,5 = - 0,657 Jwb : x log 0,5 = - 0,657 0,657 x = 0,5-0,657 log x = log 0,5 0,6990 0,300 - log x = = 0,657 0, 657 log x = 0,4580 x =,87-0 -
C. Persm Logritm Utuk meyelesik persm logritm perlu diperhtik syrt-syrt dri betuk log b = c yitu : sebgi bilg pokok hrus dipeuhi > 0 d, sedgk b sebgi bilg yg ditrik logritmy hrus dipeuhi b > 0. Perlu jug dibedk tr log log x d log x kre log log x = log (log x), sedgk log x = (log x) (log x) Cotoh : Tetuk peyelesi dri : log (x-) + log (x-) = log 6 Jwb : Syrt yg hrus dipeuhi dlh : i) x > 0 x > ii) x > 0 x > Dri syrt i) d ii) dpt ditulis x > Mk : log (x-) + log (x-) = log 6 log (x-)(x-) = log 6 (x-) (x-) = 6 x - 3x 4 = 0 (x-4) (x+) = 0 x = 4 tu x = - Kre syrt yg hrus dipeuhi x > mk H.P = { 4 } Ltih 3:. Selesik : ). 3 log 9 b). log + log 0 log 5 c). log + log 3 - log 6 - log 8. Jik log 5 = 0,69897 d log 7 = 0,84570. Hituglh log,5 x 3. Berp ili x jik log 4. Selesik : x 8 + log ). (,4 ),3 b). (,476 ) x 4 - log = 3 8 x5,43 4,6 5. Buktik bhw + b + b = 7b jik dikethui bhw log 3 6. Jik log 3 = d log 5 = b, tetuk hsil dri log 45. - - = ( log + log b)
7. Sutu gs di dlm tbug meglmi kompresi secr isotermis sehigg volumey megecil mejdi V = 9 V. Apbil tek wl =,5. 0 5 N/m d volume wl (V )=.0-3, hitug ush kompresi yg diperluk(ω) deg rumus: ω=p. V l 8. Tetuk peyelesi dri: ). log x + log ( x+ ) = log 0,5 b). log x + log x 3 9 = 0 V V - -
Bb V Peutup Mteri bilg rel dlm bh jr ii hy membhs kosep secr umum d hy diberik sedikit cotoh sol besert pembhs, kemudi diljutk deg ltih sol. Deg mediskusik tetg sift sift bilg rel d opersiy, perbdig seili d berblik ili, sift sift bilg berpgkt, bilg irsiol d opersi betuk kr, sert logritm sehigg pemhm terhdp mteri tersebut hrus betul betul dikusi sehigg guru d sisw dpt megguky utuk meyelesik sol yg berkit deg mslh perhitug sehri-hri. Pd bh jr ii cotoh-cotoh peerp dlm kehidup sehri-hri belum semu diberik pd semu jurus di SMK tetpi hy diberik sebgi sj d dihrpk pesert diklt dpt memberik cotoh sesui jurus yg dijrk. Utuk memperdlm pegus mteri, pesert diklt dpt megerjk sol ltih yg d pd khir setip pembhs. Apbil d kesulit dlm megerjk ltih disrk pesert mediskusik deg pesert li gr dpt memhmi mteri. Disdri msih byk kekurg dlm bh jr ii, sehigg kritik d sr dri pembc sgt kmi hrpk. - 3 -
Dftr Pustk Avi C. Bjpi, 983, Applied Mth, New York, Joh Wiley & Sos E.T. Ruseffedi, 989, Dsr dsr Mtemtik Moder d Komputer utuk Guru, Bdug, Trsito Mrkb dkk, 007, Mtemtik SMK/MAK Kels X, Klte, Sk Mitr Kompetesi P.T Mc Jy cemerlg Nsutio,AH dkk, 994, Mtemtik I SMU, Jkrt, Bli Pustk ST. NEGORO B. HARAHAP, 985, Esiklopedi Mtemtik, Jkrt, Ghli Idoesi. Tim PPPG Mtemtik, 004, Aritmetik, Yogjkrt : PPPG Mtemtik -----------------------, 005, Bh Ajr Diklt Guru Mtemtik, Jkrt, Direktort Pedidik Meegh Kejuru. - 4 -