PENGOPTIMALAN JARINGAN LISTRIK DENGAN MINIMUM SPANNING TREE Dwiprima Elvanny Myori Abstract One of mathematics branch that have many application in daily life is graph theory. Graph theory is used to link the relationship between a set of objects with a set of other objects. The set can be human, town, animal, or others. Graph is used to represent discrete objects and links between them. One of the interesting topic in graph theory is the spanning tree. Spanning tree can determined the shortest route in a city, optimize the telephone network, the installation of water pipes in a house, optimizing the electrical network, and other examples. In the electrical network, the minimum spanning tree determines that the results obtained can help save the cost and length of the cable in the installation process. In this case, we used Kruskal s and Prim s algorithm to obtain optimal results. Keywords: electrical network, the minimum spanning tree, Kruskal s algorithm, Prim's algorithm Pendahuluan Matematika merupakan salah satu cabang ilmu yang sering digunakan untuk menyederhanakan atau menganalisis suatu permasalahan yang ditemui dalam kehidupan sehari-hari. Salah satu cabang ilmu yang dipelajari dalam matematika adalah teori graf. Walaupun teori graf telah lama digunakan, namun hingga kini aplikasi teori graf masih tetap banyak dipakai. Pada aplikasinya, teori graf sering digunakan untuk mengaitkan hubungan antara suatu himpunan objek dengan himpunan objek lainnya. Himpunan itu dapat berupa manusia, kota, hewan, atau yang lainnya. Jadi, graf digunakan untuk merepresentasikan objekobjek diskrit dan kaitan antara objek- objek tersebut. Representasi dari teori graf adalah dengan menyatakan objek sebagai titik, sedangkan hubungan antar objek dinyatakan dengan garis. Sebagai contoh, misalkan sebuah peta jaringan jalan raya yang menghubungkan sejumlah kota pada sebuah propinsi. Pada peta tersebut terdapat sebuah graf, dimana kota dinyatakan sebagai titik dan jalan raya dinyatakan sebagai garis. Dalam kehidupan sehari-hari orang senang bepergian cenderung berfikir bagaimana meminimumkan biaya perjalanan. Demikian pula dengan biaya-biaya lain seperti biaya hidup, biaya pendidikan dan lain-lain. Untuk masalah perjalanan atau jaringan, baik itu jaringan transportasi, jaringan listrik, ataupun jaringan komputer dan imformasi dapat dicari solusinya dengan memodelkan masalah tersebut ke dalam model graf, kemudian mencari lintasan terpendek pada graf hasil pemodelan tersebut. Dalam teori Graf, graf linier didefinisikan sebagai graf yang terdiri dari himpunan objek yang disebut vertex (titik) dan himpunan garis yang disebut edge (sisi). Graf memiliki banyak konsep, salah satu diantaranya adalah konsep pohon (tree). Pemilihan konsep pohon sebagai salah satu konsep terapan graf disebabkan karena konsep pohon merupakan konsep yang sangat dekat dengan kehidupan nyata. Secara tidak disadari, manusia banyak yang menggunakan pohon sebagai pemodelan berbagai hal dalam kehidupan sehari-hari. Teori graf mempunyai penerapan yang luas, beberapa contoh topik yang dikembangkan dan diselesaikan dalam teori graf bentuk pohon adalah seperti kasus Pohon Keputusan (Decision Tree), Travelling Salesman Problem (TSP), Penjadwalan dan juga Minimum Spanning Tree (MST). Pohon (tree) merupakan graf tak berarah yang terhubung dan tidak memiliki cycle (sirkuit). Spanning tree dari suatu graf terhubung merupakan subgraf yang memuat semua titik (vertex) dari graf asalnya dan berupa pohon. 16
Suatu graf dapat memiliki banyak spanning tree. Subgraf ini diperoleh dengan cara menghilangkan sirkuit di dalam graf tersebut. Definisi Minimum Spanning Tree (MST) dari suatu graf berbobot (weighted) adalah suatu spanning tree dari yang sisisisinya memiliki jumlah bobot minimum [4]. Konsep MST diterapkan pada graf berbobot dan tak berarah. Tujuan dari konsep MST adalah menemukan jalur terpendek yang menghubungkan semua titik yang terdapat pada sebuah graf. Dengan kata lain, MST bekerja dengan menentukan semua spanning tree yang mungkin dibuat dan memperhitungkan bobot yang terkecil. Masalah MST hampir serupa dengan masalah rute terpendek (shortest route), tetapi tujuannya adalah untuk menghubungkan seluruh simpul dalam jaringan sehingga total panjang cabang tersebut diminimisasi. Jaringan yang dihasilkan menghubungkan semua titik dalam jaringan tersebut pada total jarak (panjang) minimum. MST merupakan sebuah permasalahan dalam suatu graf yang penerapannya banyak digunakan, terutama dalam permasalahan optimasi. Beberapa masalah tersebut antara lain pencarian jarak terpendek, meminimalisasi pemasangan jaringan kabel telepon ataupun kabel jaringan listrik. 1. Pengoptimalan Jaringan Listrik dengan Minimum Spanning Tree Penyaluran (transmisi) energi listrik dari pusat pembangkit listrik dilakukan dengan kabel melalui saluran udara atau saluran bawah tanah dengan tegangan tinggi. Dibandingkan dengan transmisi saluran bawah tanah, transmisi dengan saluran udara memiliki beberapa keuntungan, antara lain : Isolasinya lebih mudah, Pendinginnya baik, Gangguan-gangguan lebih mudah diatasi dengan cepat, Jauh lebih murah. Di Indonesia, tegangan transmisi dari pusat pembangkit listrik ke gardu induk antara 70kV 150 kv dengan menggunakan saluran udara. Selanjutnya, dari gardu induk disalurkan ke gardu transformator dengan tegangan 20kV, sedangkan penyaluran dari gardu transformator ke konsumen digunakan tegangan 220/380 V. Untuk jaringan distribusi ini kebanyakan menggunakan saluran udara, kecuali di bagian-bagian kota yang padat menggunakan saluran bawah tanah. Diagram penyaluran energi listrik dari pusat pembangkit sampai konsumen ditunjukkan seperti gambar berikut. Gambar 1. Diagram blok penyaluran energi listrik Ditinjau dari konstruksi sistem jaringan dibedakan menjadi beberapa jenis, antara lain: a. Sistem jaringan radial Sistem jaringan ini biasanya gardu induk dihubungkan langsung dengan pusat listrik. Gardu-gardu transformatornya dihubungkan langsung dengan salah satu gardu induk. Sistem ini digunakan jika letak gardu-gardu induknya tersebar, saling berjauhan dan jauh dari pusat listrik. Diagram jaringan listrik dengan sistem radial ditunjukkan pada Gambar 2. Gambar 2. Sistem jaringan radial JTEV (Jurnal Teknik Elektro dan Vokasional), Vol. I, No. 1 April 2015 17
b. Sistem jaringan lingkaran Sistem jaringan ini gardu-gardu induk dihubungkan berderet, sehingga membentuk lingkaran dengan pusat pembangkit listriknya seperti ditunjukkan pada Gambar 3. ini dapat menggunakan cara manual namun akan memakan waktu yang lama. Oleh karena itu terdapat berbagai macam algoritma yang dapat membantu menyelesaikan permasalahan pembentukan MST, seperti algoritma Boruvka, algoritma Kruskal, agoritma Prim, algoritma genetika, dan lain sebagainya. Pada tulisan kali ini akan digunakan algoritma Kruskal dan algoritma Prim dalam menentukan jaringan listrik yang optimal pada suatu daerah. 1.1 Algoritma Kruskal Gambar 3. Sistem jaringan lingkaran Gardu-gardu transformatornya juga dihubungkan berderet membentuk lingkaran dengan salah satu gardu induk. Keuntungan sistem ini jika salah satu salurannya terputus disuatu tempat, suplai energinya masih dapat berjalan. Sistem ini digunakan untuk jaringan-jaringan yang dibangun rapat. c. Sistem jaringan jala Sistem jaringan ini gardu-gardu induk dihubungkan langsung dengan pusat listrik. Selain itu, gardu induk yang satu juga dihubungkan dengan yang lain. Dibandingkan dengan sistem-sistem yang lain, sistem jala yang paling handal. Dalam praktik untuk mendapatkan tingkat kehandalan yang tinggi digunakan suatu kombinasi dari sistem-sistem tersebut di atas. Algoritma Kruskal merupakan salah satu bagian algoritma dalam teori graf yang digunakan untuk mencari minimum spanning tree. Algoritma ini pertama kali muncul pada tahun 56 dalam sebuah tulisan yang ditulis oleh Joseph Kruskal. Algoritma Kruskal adalah sebuah algoritma dalam teori graf yang mencari sebuah minimum spanning tree untuk sebuah graf berbobot yang terhubung. Pada [4] diberikan algoritma Kruskal sebagai berikut. Input : Graf tak berarah-berbobot Output : minimum spanning tree Urutkan sisi di terbesar dari bobot terkecil ke bobot Buat suatu himpunan untuk setiap titik. for setiap sisi yang sudah berurutan do if then Gambar 4. Sistem jaringan jala Pada permasalahan jaringan listrik, MST dapat digunakan untuk menentukan jaringan listrik yang membutuhkan biaya minimum dalam penggunaan kabel. Menentukan MST Secara umum, jika merupakan suatu graf terhubung berbobot dengan buah titik, maka langkah-langkah memperoleh MST dengan algoritma Kruskal adalah sebagai berikut : i. masih kosong ii. pilih sisi dengan bobot minimum 18
iii. pilih sisi dengan bobot minimum berikutnya yang tidak membentuk sirkuit di, tambahkan ke iv. Ulangi langkah 3 sebanyak kali. v. Total langkah kali 1.2 Algoritma Prim Salah satu algoritma yang juga sering digunakan untuk menyelesaikan persoalan MST adalah algoritma Prim. Dalam pembentukan MST dengan menggunakan algoritma Prim, pada setiap langkah dipilih titik yang bersisian dengan sisi yang memiliki bobot paling minimum. Pada langkah berikutnya, pemilihan sisi selalu terhubung dengan pohon yang telah terbentuk. Pada [4] diberikan algoritma Prim sebagai berikut. Input : Graf tak berarah-berbobot Output : minimum spanning tree Misalkan titik sebarang di. Tentukan while dan sedemikian sehingga sisi do sisi terkecil antara da. adalah dengan algoritma Prim adalah sebagai berikut : i. masih kosong ii. Pilih titik secara acak dan pilih sisi yang terkait berbobot minimum dan masukkan ke iii. Pilih sisi berbobot minimum dan bersisian dengan titik di, tetapi tidak membentuk sirkuit di. Tambahkan ke dalam. iv. Ulangi langkah (iii) sebanyak kali. Jumlah langkah seluruhnya di dalam algoritma Prim adalah, yaitu sebanyak jumlah sisi di dalam spanning tree dengan buah titik. 2. Hasil dan Pembahasan Diberikan ilustrasi, yaitu dimana pada suatu daerah terdapat 20 lokasi yang akan dihubungkan dengan jaringan listrik. Dengan menggunakan MST diharapkan dapat meminimalisir biaya dan jarak dalam pengerjaan jaringan listrik tersebut. Diasumsikan bahwa masing-masing lokasi sebagai titik pada graf dan jarak antar lokasi yang memungkinkan untuk dipasang jaringan listrik (dengan satuan meter) sebagai sisi berbobot pada graf. Pada ilustrasi ini terdapat 20 titik (vertex) dan 27 sisi (edge) berbobot. Untuk lebih jelasnya, diberikan pada Gambar 5 berikut: Secara umum, jika merupakan suatu graf terhubung berbobot, maka langkah-langkah memperoleh MST JTEV (Jurnal Teknik Elektro dan Vokasional), Vol. I, No. 1 April 2015
A E 56 10 44 31 F 68 D H 63 B C G 56 47 I 25 J 46 P 55 54 Q 65 K N 43 15 11 14 L 57 O T M S 49 10 Gambar 5. Ilustrasi perencanaan jaringan listrik pada suatu daerah 73 R Dalam penyelesaian permasalahan yang diberikan pada ilustrasi dengan menggunakan algoritma Kruskal, dilakukan langkahlangkah sebagai berikut. i. Urutkan sisi dari bobot terkecil ke bobot terbesar No. Sisi Bobot 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 14 15 16 17 18 20 21 ii. 22 23 24 25 26 27 Pilih sisi yang memiliki bobot terkecil, yaitu sisi dengan bobot dan diperoleh spanning tree. iii. Pilih lagi sisi yang memiliki bobot minimum yang tidak membentuk sirkuit di, yaitu sisi dengan bobot 11. iv. Ulangi langkah (iii), diperoleh sisi dengan bobot. v. Ulangi langkah (iii), diperoleh sisi dengan bobot. vi. Ulangi langkah (iii), diperoleh sisi dengan bobot 14. vii. Ulangi langkah (iii), diperoleh sisi dengan bobot 15. viii. Ulangi langkah (iii), diperoleh sisi dengan bobot 25. ix. Ulangi langkah (iii), diperoleh sisi dengan bobot 31. x. Ulangi langkah (iii), diperoleh sisi dengan bobot 43. 20
xi. Ulangi langkah (iii), diperoleh sisi dengan bobot 44. xii. Ulangi langkah (iii), diperoleh sisi dengan bobot 46. xiii. Ulangi langkah (iii), diperoleh sisi dengan bobot 49. xiv. Ulangi langkah (iii), diperoleh sisi dengan bobot. xv. Ulangi langkah (iii), diperoleh sisi dengan bobot. xvi. Ulangi langkah (iii), diperoleh sisi dengan bobot 54. xvii. Ulangi langkah (iii), diperoleh sisi dengan bobot 55. xviii. Ulangi langkah (iii), diperoleh sisi dengan bobot 56. xix. Ulangi langkah (iii), diperoleh sisi dengan bobot 63. Diperoleh langkah untuk menyelesaikan permasalahan pada ilustrasi ini menggunakan algoritma Kruskal. Pada graf awal, sisi yang membentuk sirkuit dihilangkan akan tetapi setiap titik tetap terhubung. Panjang kabel yang dibutuhkan pada pemasangan jaringan listrik menggunakan algoritma Kruskal adalah 663 meter. Jika dengan menggunakan algoritma Prim, maka dilakukan langkah-langkah sebagai berikut. i. Pilih titik secara acak dan pilih sisi yang terkait berbobot minimum dan masukkan ke. Dalam hal ini dipilih sisi dengan ii. bobot. Pilih sisi yang berisisian dengan sisi dan memiliki bobot minimum. Dalam hal ini diperoleh sisi iii. Pilih sisi yang berisisian dengan sisi dan memiliki bobot minimum, serta tidak membentuk sirkuit. Dalam hal ini diperoleh sisi iv. v. vi. vii. viii. ix. x. xi. xii. xiii. xiv. xv. xvi. xvii. xviii. xix. Dalam hal ini, diperoleh hasil yang sama dengan hasil yang diperoleh menggunakan algoritma Kruskal, yaitu panjang kabel yang dibutuhkan adalah 663 meter. Meskipun kelihatannya algoritma Kruskal lebih efektif dalam menyelesaikan masalah, tetapi algoritma Prim ini merupakan algoritma yang lebih cocok digunakan dalam hal pemasangan jaringan listrik. Hal ini disebabkan oleh pemasangan jaringan listrik biasanya diselesaikan pada suatu titik terlebih dahulu dan kemudian dilanjutkan dengan titik-titik yang berhubungan dengan titik yang telah selesai dikerjakan. Hasil yang diperoleh dari langkah-langkah menggunakan algortima Kruskal dan algortima Prim dapat dilihat pada Gambar 6. JTEV (Jurnal Teknik Elektro dan Vokasional), Vol. I, No. 1 April 2015 21
A E 56 10 F 44 31 D H 63 B C G I 25 15 14 J L M 55 46 N T P 54 43 S Q 11 O 49 R Gambar 6. Graf yang diperoleh setelah menggunakan algoritma Kruskal dan algoritma Prim 3. Kesimpulan Dalam menentukan minimum spanning tree dengan menggunakan algoritma Kruskal merupakan langkah yang lebih efektif dibandingkan dengan menggunakan algoritma Prim, meskipun hasil yang diperoleh sama. Namun dalam kasus optimasi jaringan listrik, algoritma Prim yang lebih cocok digunakan. Hal ini dikarenakan pada pemasangan jaringan listrik tidak bisa hanya dilihat dari segi jaraknya, tetapi juga pada langkah pemasangannya. Jaringan listrik harus diselesaikan pada satu daerah terlebih dahulu dan diuji apakah pemasangan kabelnya sudah cocok atau belum. 4. Daftar Pustaka [1] Bondy, J. A dan Murty, U. S. R. 76. Graph Theory with Applications. Macmillan, London. [2] Danutama, Karol. 2009. Optimasi Algoritma Pohon Merentang Minimum Kruskal. Makalah IF2091 Struktur Diskrit. [3] Tim Fakultas Teknik UNY. 2003. Modul Teknik Jaringan Listrik. Departemen Pendidikan Nasional. [4] Ye Wu, Bang dan Chao, Kun-Mao. 2004. Spanning Trees and Optimization Problems. Chapman & Hall/CRC Press, USA. 22