ANALISIS ALGORITMA FLOYD UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH PENCARIAN LINTASAN TERPENDEK PADA SETIAP PASANGAN SIMPUL

Transkripsi

1 Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume, No. (), hal - ANALISIS ALGORITMA FLOYD UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH PENCARIAN LINTASAN TERPENDEK PADA SETIAP PASANGAN SIMPUL Syurya Pratiningsih, Neva Satyahadewi, Bayu Prihandono INTISARI Penentuan lintasan terpendek dapat dilakukan dengan beberapa algoritma, salah satunya dengan Algoritma Floyd. Algoritma Floyd merupakan algoritma perhitungan untuk mencari lintasan terpendek pada setiap pasangan simpul (all pairs shortest path). Tujuan dari penelitian ini adalah mengkaji dan mengaplikasikan Algoritma Floyd untuk menentukan lintasan terpendek setiap pasangan simpul. Salah satu penerapan Algoritma Floyd digunakan untuk menentukan lintasan terpendek antar tempat kunjungan wisata di Kota Singkawang. Pencarian lintasan terpendek menggunakan Algoritma Floyd dimaksudkan untuk meminimalisir kemungkinan wisatawan berputar-putar mengitari Kota Singkawang. Daftar nama tempat wisata diperoleh dari Dinas Kebudayaan, Pariwisata, Pemuda dan Olahraga Kota Singkawang dan data besarnya jarak antar tempat kunjungan wisata diperoleh dari Dinas Bina Marga Kota Singkawang dan bantuan Google Map. Data bobot diinterpretasikan ke dalam bentuk matriks, dimana merupakan jumlah simpul. Matriks pendahulu (predecessor) kemudian dibentuk untuk mendapatkan lintasan terpendek pada iterasi. Setelah itu dilakukan iterasi sebanyak. Penentuan bobot lintasan terpendek adalah nilai dari setiap elemen pada matriks bobot. Sehingga lintasan yang dilalui dari simpul awal ke simpul tujuan diberikan oleh matriks pendahulu. Lintasan terpendek yang diperoleh untuk menempuh semua simpul dengan salah satu simpul boleh dilewati kembali adalah dengan panjang lintasannya, km. Kata kunci : lintasan terpendek, algoritma Floyd, matriks, simpul PENDAHULUAN Suatu graf G terdiri dari himpunan yang berhingga, yaitu himpunan simpul-simpul tidak kosong (vertices atau node disimbolkan ) dan himpunan garis-garis (edges atau arcs disimbolkan []. Simpul ( ) merupakan titik fundamental dalam pembentukan suatu graf, sedangkan sisi (garis/ ) merupakan penghubung antar simpul. Salah satu permasalahan yang dapat dimodelkan dengan graf adalah masalah mencari lintasan terpendek (shortest path). Lintasan terpendek adalah jalur yang dilalui dari suatu simpul ke simpul lain dengan besar atau nilai pada sisi yang jumlah akhirnya dari simpul awal ke simpul akhir paling kecil []. Perhitungan lintasan terpendek dengan menggunakan Algoritma Floyd dapat mencari semua jarak simpul pada suatu jaringan. Algoritma Floyd menggunakan matriks sebagai representasi dari sebuah jaringan []. Matriks merupakan himpunan skalar (bilangan ril atau kompleks) yang disusun berbentuk segiempat siku-siku yang terdiri dari baris dan kolom []. Jika suatu jaringan terdiri dari n buah sisi maka matriks yang akan dibentuk oleh Algoritma Floyd untuk proses perhitungan sebesar []. Sisi graf pada Algoritma Floyd boleh memiliki bobot negatif tetapi tidak diperbolehkan memiliki siklus dengan bobot negatif []. Penentuan lintasan terpendek yang dibahas pada penelitian ini adalah penentuan lintasan terpendek antar tempat kunjungan wisata di Kota Singkawang. Tempat kunjungan wisata diasumsikan sebagai simpul, jalan yang menghubungkan antar tempat kunjungan wisata diasumsikan sebagai sisi dan besarnya jarak antar satu tempat kunjungan wisata dengan tempat kunjungan wisata lain diasumsikan sebagai bobot. Solusi yang diberikan merupakan lintasan terpendek untuk setiap pasangan simpulnya. Tujuan dari penelitian ini adalah mengkaji Algoritma Floyd dalam penentuan lintasan terpendek untuk setiap pasangan simpul dan mengaplikasikan Algoritma Floyd untuk menentukan lintasan

2 S. PRATININGSIH, N. SATYAHADEWI, B. PRIHANDONO terpendek setiap pasangan simpul. Pada penelitian ini graf yang digunakan memiliki bobot positif, tidak berarah, graf tidak lengkap dan tempat kunjungan wisata yang diteliti sebanyak titik. Langkah awal penyelesaian Algoritma Floyd yaitu menginterpretasikan kasus ke dalam bentuk graf. Mengasumsikan obyek yang dijadikan simpul, sisi, dan bobot. Pada penelitian ini tempat kunjungan wisata diasumsikan sebagai simpul, lintasan yang dilewati antar tempat kunjungan wisata sebaga sisi dan besarnya jarak antar tempat kunjungan wisata sebagai bobot. Daftar nama tempat wisata diperoleh dari Dinas Kebudayaan, Pariwisata, Pemuda dan Olahraga Kota Singkawang, sedangkan data besarnya jarak antar tempat kunjungan wisata diperoleh dari Dinas Bina Marga Kota Singkawang dan bantuan Google Map. Data bobot yang sudah ada, diinterpretasikan ke dalam bentuk matriks dimana merupakan jumlah simpul. Kemudian menentukan matriks pendahulu (predecessor) yang merupakan matriks awal dari representasi permasalahan yang diambil. Setelah itu dilakukan iterasi sebanyak simpul. Penentuan bobot lintasan terpendek adalah nilai dari setiap elemen pada matriks bobot. Sehingga lintasan yang dilalui dari simpul awal ke simpul tujuan diberikan oleh matriks pendahulu. ALGORITMA FLOYD Algoritma Floyd membandingkan semua kemungkinan lintasan pada graf untuk setiap sisi dari semua simpul. Algoritma Floyd lebih menjamin keberhasilan dalam menemukan solusi optimum pada kasus penentuan lintasan terpendek untuk semua pasangan simpul (single pair shortest path) []. Bobot dari simpul yang merupakan simpul awal ke simpul yang merupakan simpul tujuan, mempunyai tiga kemungkinan nilai, yaitu []:. jika (dari simpul ke simpul itu sendiri). bobot sisi jika dan simpul terhubung dengan simpul. jika dan simpul tidak terhubung dengan simpul Algoritma Floyd akan memeriksa setiap lintasan dan membandingkan lintasan tengah untuk mendapatkan lintasan terpendek. Lintasan tengah merupakan lintasan yang dilalui antara dua simpul yang merupakan simpul antara []. Misalkan terdapat suatu graf dengan simpul { }. Misalkan pula simpul { } untuk sebarang subset dari. Andaikan setiap lintasan dari simpul ke simpul mempunyai simpul antara yang berada pada dan adalah lintasan yang memiliki bobot minimum diantara lintasan-lintasan tersebut. p v k p v j v i p Gambar Lintasan terpendek dari simpul v i ke simpul v j dengan simpul v k sebagai simpul antara Jika adalah simpul antara pada lintasan, maka lintasan dapat dijabarkan menjadi seperti pada Gambar. Lintasan merupakan lintasan terpendek dari simpul ke simpul dengan semua simpul antara yang berada dalam himpunan { }. Karena bukan merupakan simpul antara pada lintasan, maka adalah lintasan terpendek dari simpul ke simpul. Demikian pula pada lintasan yang merupakan lintasan terpendek dari simpul ke simpul [].

3 Analisis Algoritma Floyd Untuk Menyelesaikan Masalah Pencarian Lintasan Langkah awal pengerjaan Algoritma Floyd dimulai dengan menentukan matriks ( ) sebagai matriks bobot yang berukuran atau. Didefinisikan merupakan bobot awal lintasan yang dimulai dari simpul ke simpul. Matriks pendahulu (predecessor) kemudian ditentukan dengan ( ) dimana dari matriks. Kemudian menentukan ( ) untuk setiap menggunakan persamaan sebagai berikut: jika { jika () min { } Jika maka. Jika tidak, maka. Lintasan yang dilalui simpul ke simpul diberikan oleh matriks ( ). Bobot lintasan terpendek dari simpul ke simpul adalah nilai dari setiap elemen pada matriks ( ). PENENTUAN LINTASAN TERPENDEK DAN BOBOT SETIAP PASANGAN SIMPUL Misalkan diberikan graf dengan { }. Didefinisikan matriks ( ) merupakan matriks yang setiap elemennya adalah bobot dari simpul ke simpul dengan semua simpul berada dalam himpunan { }. Barisan matriks pendahulu lebih dahulu ditentukan untuk mencari lintasan terpendek dari simpul ke simpul. Matriks ( ) merupakan kondisi awal matriks pendahulu yang ditentukan dengan. Selanjutnya untuk nilai ditentukan berdasarkan matriks dengan cara membandingkan antara nilai dengan nilai. Penjelasan tersebut dapat ditulis:. Jika maka. Jika maka: { jika jika Simpul antara pada lintasan dari simpul ke simpul diberikan oleh matriks ( ). Jika simpul kedua sama dengan maka tidak terdapat simpul antara pada lintasan dari simpul ke simpul. Jika simpul kedua tidak sama dengan, misal simpul, maka tentukan simpul kedua pada lintasan dari simpul ke simpul. Jika simpul kedua pada lintasan dari simpul ke simpul belum juga sama dengan simpul, misal simpul, maka tentukan lagi simpul kedua pada lintasan tersebut dan seterusnya hingga diperoleh simpul kedua sama dengan oleh lintasan terpendek dari simpul ke simpul adalah. (). Lintasan yang dilalui Misalkan diberikan graf dengan { }. Didefinisikan matriks ( ) merupakan matriks berukuran yang setiap elemennya adalah bobot simpul pada lintasan dari simpul ke simpul. Barisan matriks pendahulu terlebih dahulu ditentukan untuk mencari bobot lintasan terpendek dari simpul ke simpul. Matriks ( ) merupakan kondisi awal dari matriks bobot. Selanjutnya untuk nilai ditentukan berdasarkan persamaan: jika { min{ } Bobot lintasan terpendek setiap pasangan simpul pada graf elemen pada matriks ( ) []. jika () merupakan nilai dari setiap

4 S. PRATININGSIH, N. SATYAHADEWI, B. PRIHANDONO PERHITUNGAN KOMPLEKSITAS WAKTU ALGORITMA FLOYD Penentuan lintasan terpendek dengan menggunakan Algoritma Floyd dilakukan dengan menghitung sebanyak matriks. Berdasarkan Persamaan (), proses iterasi akan menyebabkan perubahan pada elemen matriks, jika dikarenakan: a. Jika, maka nilai dan selalu sama dengan nol b. Jika, maka nilai karena c. Jika, maka nilai karena Simpul hanya bisa dipasangkan dengan simpul (selain simpul dengan indeks ) dan dengan simpul antara (selain simpul antara dengan indeks dan ). Sehingga untuk setiap matriks hanya akan dilakukan proses perbandingan sebanyak dan proses penjumlahan sebanyak Total proses yang dilakukan untuk setiap matriks adalah. Karena terdapat matriks, maka keseluruhan proses yang diperlukan untuk menentukan semua pasangan simpul adalah. Proses penentuan lintasan terpendek untuk semua pasangan simpul pada graf yang mempunyai simpul diperlukan waktu yaitu: () Jika dipilih dan maka. oleh karena itu, waktu eksekusi Algoritma Floyd mempunyai kompleksitas []. PENERAPAN ALGORITMA FLOYD UNTUK MENCARI LINTASAN TERPENDEK ANTAR TEMPAT WISATA DI KOTA SINGKAWANG Salah satu penerapan Algoritma Floyd dalam kehidupan dapat digunakan untuk menentukan lintasan terpendek antar tempat kunjungan wisata. Wisatawan pasti memilih lintasan yang paling pendek untuk menuju tempat wisata. Pencarian lintasan terpendek menggunakan Algoritma Floyd dapat meminimalisir kemungkinan wisatawan berputar-putar mengitari Kota Singkawang. Selain itu, didapatkan simpul antara yang merupakan simpul tengah antara tempat kunjungan wisata asal dan tempat kunjungan wisata tujuan sehingga wisatawan dapat memiliki pilihan tempat kunjungan wisata antara sebelum sampai ke tempat kunjungan wisata tujuan. Tempat kunjungan wisata yang diambil dalam penelitian ini disajikan pada Tabel. Tabel Daftar Tempat-Tempat Kunjungan Wisata Simpul Nama Tempat Kunjungan Wisata Simpul Nama Tempat Kunjungan Wisata Taman Pasir Panjang Indah Desa Wisata Bagak Sahwa dan Gunung Bagak Sahwa Palm Beach Cagar Alam Gunung Raya Passi Sinka Island Park Taman Eria dan Air Terjun Sariung Perkampungan Nelayan Teluk Mak Jantu Gunung Sari Taman Rekreasi Bukit Bougenville Sungai Hang Moi Danau Serantangan Bukit Roban Danau Tadau Taman Rekreasi Teratai Indah Batu Belimbing dan Gunung Poteng Air Terjun Sibohe Agro Wisata Taman Buah Desa Wisata Jarumnas Bukit Norio Agro Wisata Jeruk Siam Taman Burung Semua lintasan yang dilewati dianggap dalam keadaan normal dan tidak ada perhitungan terhadap masalah-masalah yang terjadi seperti macet dan lain sebagainya. Bobot antar tempat kunjungan wisata yang meter diasumsikan satu simpul. Bobot tempat kunjungan wisata yang tidak terhubung secara langsung dengan tempat kunjungan wisata lain diberi simbol. Simbol menunjukkan tidak adanya sisi yang menghubungkan antar simpul. Simbol dimaksudkan bahwa tempat kunjungan

5 Analisis Algoritma Floyd Untuk Menyelesaikan Masalah Pencarian Lintasan wisata awal memiliki banyak pilihan untuk menuju tempat kunjungan wisata tujuan dengan melewati tempat kunjungan wisata yang lain. Lintasan terpendek yang dilalui untuk semua tempat kunjungan wisata ditunjukkan pada Gambar. Lintasan ini selanjutnya akan diinterpretasikan ke dalam bentuk graf. Gambar Lintasan yang dilalui untuk semua tempat kunjungan wisata Lintasan pada Gambar selanjutnya dibentuk ke dalam graf seperti yang ditunjukkan pada Gambar. Gambar Lintasan yang dilalui dalam bentuk graf

6 S. PRATININGSIH, N. SATYAHADEWI, B. PRIHANDONO Data jarak antar tempat kunjungan wisata di Kota Singkawang pada Gambar diinterpretasikan ke dalam bentuk matriks. () L,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Matriks pendahulu kemudian dibuat setelah didapatkan data jarak antar tempat kunjungan wisata di Kota Singkawang. () Perhitungan untuk mencari lintasan terpendek setiap pasangan simpul antar tempat kunjungan wisata di Kota Singkawang kemudian dilakukan sesuai Persamaan (). Iterasi Perhitungan dimulai dengan memeriksa setiap elemen matriks menggunakan Persamaan ().,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Kemudian memeriksa setiap elemen matriks dengan menggunakan Persamaan (). Hal yang sama dilakukan pada setiap elemen matriks hingga setiap elemen matriks. Pemeriksaan setiap elemen matriks dengan menggunakan Persamaan () diperoleh hasil:,,,,,,,,,

7 Analisis Algoritma Floyd Untuk Menyelesaikan Masalah Pencarian Lintasan Karena semua elemen pada matriks telah diperiksa, maka langkah selanjutnya adalah memeriksa matriks pendahulu dengan ketentuan pada Persamaan (). Pada Iterasi tidak ditemukan adanya. Sehingga matriks pendahulunya tidak mengalami perubahan. Hasil digunakan untuk menentukan besar bobot pada iterasi adalah sebagai berikut: () L,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, () L yang () Hasil yang digunakan untuk menentukan lintasan-lintasan yang dilalui pada iterasi adalah sebagai berikut: Iterasi () Analog dengan iterasi, pada iterasi semua elemen pada matriks diperiksa. Perhitungan menggunakan dan yang dipereroleh pada iterasi. Perhitungan dimulai dengan memeriksa setiap elemen matriks dengan menggunakan Persamaan (). Kemudian memeriksa setiap elemen matriks dengan menggunakan Persamaan ().

8 S. PRATININGSIH, N. SATYAHADEWI, B. PRIHANDONO Hal yang sama dilakukan pada setiap elemen matriks hingga setiap elemen matriks. Pemeriksaan setiap elemen matriks Karena semua elemen pada matriks diperoleh hasil: matriks pendahulu sesuai ketentuan Persamaan (). telah diperiksa, maka langkah selanjutnya adalah memeriksa a. Pada ditemukan dengan maka sehingga b. Pada ditemukan dengan maka sehingga Sehingga diperoleh nilai dan pada iterasi yaitu: () L,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Matriks pendahulu kemudian dibuat setelah didapatkan hasil perhitungan bobot pada iterasi. (),,,,,, Analog dengan perhitungan pada iterasi dan, dilakukan hingga iterasi sebanyak simpul yaitu iterasi. Hasil perhitungan iterasi ke pada pencarian lintasan terpendek tempat kunjungan wisata di Kota Singkawang dengan Algoritma Floyd menggunakan program Matlab disajikan pada Tabel.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

9 Analisis Algoritma Floyd Untuk Menyelesaikan Masalah Pencarian Lintasan Tabel Hasil Perhitungan dengan Algoritma Floyd,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Adapun matriks pendahulu yang digunakan untuk menentukan simpul-simpul yang dilalui diperoleh pada iterasi ke disajikan pada Tabel. Tabel Tabel yang Merepresentasikan Setiap Pasangan Simpul Misalkan ingin berkunjung dari Danau Tadau ke Bukit Roban, ada beberapa tempat wisata lain yang dapat dikunjungi. Perhitungan secara singkat dapat dijabarkan sebagai berikut: Jadi lintasan yang dipilih dari Danau Tadau ke Bukit Roban adalah yaitu Danau Tadau Bukit Norio Taman Rekreasi Teratai Indah Agro Wisata Taman Buah Bukit Roban dengan panjang lintasan, km. Bandingkan besar bobot jarak jika dari Danau Tadau langsung menuju Bukit Roban ( ) memiliki panjang lintasan, km tanpa memiliki pilihan mengunjungi tempat kunjungan wisata lain. Lintasan terpendek yang diperoleh untuk menempuh semua simpul dengan salah satu simpul boleh dilewati kembali adalah dengan panjang lintasannya, km. Beberapa hasil lintasan yang dilalui setiap pasangan simpul dan besarnya jarak yang dilaui disajikan pada Tabel. Tabel Beberapa Lintasan Terpendek Tempat Wisata di Kota Singkawang

10 S. PRATININGSIH, N. SATYAHADEWI, B. PRIHANDONO Simpul Bukit Norio Sinka Island Park Simpul Air Terjun Sibohe Lintasan yang dilalui ---- Gunung Sari --- Palm Beach Taman Burung ---- Keterangan Bukit Norio - Taman Rekreasi Teratai Indah - Agro Wisata Taman Buah - Sungai Hang Moi - Air Terjun Sibohe Sinka Island Park - Perkampungan Nelayan Teluk Mak Jantu - Danau Tadau - Gunung Sari Palm Beach - Sinka Island Park - Perkampungan Nelayan Teluk Mak Jantu - Danau Tadau - Taman Burung Bobot (km),,, PENUTUP Algoritma Floyd merupakan algoritma untuk mencari bobot minimum dari suatu graf pada permasalahan All Pairs Shortest Path. Algoritma Floyd menggunakan matriks sebagai representasi graf. Iterasi dilakukan sebanyak kali dimana merupakan banyaknya simpul. Persamaan yang digunakan yaitu min{ }. Salah satu penerapan Algoritma Floyd adalah mencari lintasan terpendek antar tempat kunjungan wisata di Kota Singkawang. Sebagai contoh, lintasan terpendek dari Danau Tadau menuju Bukit Roban adalah Danau Tadau Bukit Norio Taman Rekreasi Teratai Indah Agro Wisata Taman Buah Bukit Roban dengan panjang lintasan, km. Lintasan terpendek yang diperoleh untuk menempuh semua simpul dengan salah satu simpul boleh dilewati kembali adalah yaitu Taman Pasir Panjang Indah - Palm Beach - Sinka Island Park - Perkampungan Nelayan Teluk Mak Jantu - Danau Tadau - Taman Burung - Desa Wisata Jarumnas - Agro Wisata Jeruk Siam - Desa Wisata Jarumnas - Gunung Sari - Bukit Norio - Taman Rekreasi Teratai Indah - Agro Wisata Taman Buah - Taman Rekreasi Bukit Bougenville - Danau Serantangan - Bukit Roban - Sungai Hang Moi - Air Terjun Sibohe - Batu Belimbing dan Gunung Poteng - Taman Eria dan Air Terjun Sariung - Cagar Alam Gunung Raya Passi - Desa Wisata Bagak Sahwa dan Gunung Bagak Sahwa dengan panjang lintasannya, km. DAFTAR PUSTAKA []. Manongga B, Yessica N, Matematika Diskrit. Kencana Prenada Media Group. Jakarta;. []. Hayati EN. Pencarian Rute Terpendek Menggunakan Algoritma Greedy. Seminar Nasional IENACO.. :-. []. Purwananto Y, Purwitasari D, Wibowo AW. Implementasi dan Analisis Algoritma Pencarian Rute Terpendek di Kota Surabaya. Jurnal Penelitian dan Pengembangan Telekomunikasi.. :-. []. Hayati EN. Program Dinamis untuk Penentuan Lintasan Terpendek dengan Pendekatan Algoritma Floyd Warshal. Dinamika Teknik.. :-. []. Ardiansyah I, Hakim DK. Rancang Bangun Aplikasi untuk Menentukan Jalur Terpendek Menggunakan Algoritma Floyd di Lokasi Wisata Purbalingga. Juita.. ;-. []. Iftadi I, Jauhari WA, Nugroho B. Perancangan Peta Evakuasi Menggunakan Algoritma Floyd- Warshall untuk Penentuan Lintasan Terpendek: Studi Kasus. Performa.. :-. []. Deo N. Graph Teory with Applications to Engineering and Computer Science. Prentice Hall of India Private Limited. New Delhi:. []. Cormen, Thomas H, et al., Introduction to Algortihms. McGraw-Hill Book Company. New York:. SYURYA PRATININGSIH NEVA SATYAHADEWI BAYU PRIHANDONO : Jurusan Matematika FMIPA Untan, Pontianak, syurya@gmail.com : Jurusan Matematika FMIPA Untan, Pontianak, neva.satya@math.untan.ac.id : Jurusan Matematika FMIPA Untan, Pontianak, beiprihandono@gmail.com