8 April 2015 Teori Bahasa dan Otomata

Transkripsi

1 EKSPRESI REGULAR MATERI MINGGU KE-4

2 EKSPRESI REGULAR Bahasa disebut reguler jika terdapat FSA yang dapat menerimanya. Bahasa reguler dinyatakan secara sederhana dengan ekspresi reguler/regular expression (RE). Contoh penerapan : searching string pada file RE -> NFA dengan e Move -> DFA Definisi ekspresi reguler 1. Ø = {} = (himpunan kosong) adalah sebuah ekspresi regular 2. { ɛ } =string kosong adalah ekspresi regular 3. Untuk setiap a ϵ, maka a adalah ekspresi regular 4. Jika a dan b adalah ekspresi regular maka a b, ab dan a* adalah ekspresi regular. Ø yang melambangkan himpunan kosong, atau tidak punya anggota, sedangkan { ɛ } adalah himpunan yang memiliki satu anggota, yaitu string kosong. 2

3 Notasi a b, ab dan a* adalah penyederhanaan notasi yang diperoleh dari notasi asli sebagai berikut : Jika dimiliki himpunan A,B sebagai himpunan berikut : Ekspresi a b maksudnya : A={a} dan B={b} A B = gabungan/union antara himpunan A dengan himpunan B = {a,b} Dinotasikan secara singkat sebagai : a b Ekspresi ab maksudnya : A={a} dan B={b} AB = CONCATENATION antara himpunan A dengan himpunan B = {ab} Dinotasikan secara singkat sebagai : ab Ekspresi a* maksudnya : A={a} A* = CLEENE closure dari himpunan A, didefinisikan : A 0 A 1 A 2... A, yang menghasilkan suatu himpunan : { ɛ, a, aa, aaa, aaaa,.}, dinotasikan sebagai a* 3

4 Akibat Logis Ekspresi Reguler, berdasarkan Aturan-Aturan dalam Teori Himpunan, 1. a b = b a 2. a Ø = Ø a 3. a a = a 4. (a b) c = a (b c) 5. aɛ = ɛa = a 6. aø = Øa = Ø 7. (ab)c=a(bc) 8. a(b c)=ab ac = dan (a b)c = ac bc 9. a* = a** = a*a* = (ɛ a)*=a*(a ɛ) = (a ɛ)a* = ɛ aa* 10. aa*= a*a 4

5 CONTOH Ekspresikan dalam bentuk ekspresi reguler kalimat-kalimat berikut : Sederatan NOL minimal nol buah Ekspresinya : 0* Sederatan NOL minimal satu buah Ekspresinya : 00* Sederetan NOL minimal satu buah diikuti sederetan SATU sebanyak satu buah atau lebih Ekspresinya : 00*11* Sederetan bit NOL dan SATU sembarang yang diawali dengan NOL dan diakhiri dengan SATU Ekspresinya : 0(0,1)*1 atau ditulis : 0(0 1)*1 Sederetan SATU dengan jumlah GENAP Ekspresinya : 11(11)* Sederetan NOL dengan jumlah GENAP diikuti sederetan SATU dengan jumlah GANJIL Ekspresinya : 00(00)*1(11)* 5

6 CONTOH String apakah ekspresi-ekspresi regular berikut : a. Ekspresi : (1,0)* Sederetan bit NOL dan SATU dengan jumlah sembarang dan susunan sembarang. b. Ekspresi : (0,1)*1* Sederetan bit NOL dan SATU dengan jumlah sembarang urutan sembarang diikuti dengan deretan bit SATU dengan jumlah nol atau lebih. c. Ekspresi : (00)*(11)* Deretan NOL kosong atau Genap diikuti deretan SATU kosong atau genap. a. Ekspresi : (11)* (00)* String kosong atau berisi bit NOL genap atau bit SATU genap dengan posisi sembarang 6

7 Bahasa Reguler Apabila r adalah RE, maka L(r) adalah bahasa reguler yang dibentuk menggunakan ekspressi reguler r. Contoh : Tentukan bahasa reguler yang dibentuk oleh r=(aa)* Jawab L(r) = L( (aa)* ) = { λ, aa, aaaa, aaaaaa,... } = {a 2 n n 0 } menyatakan himpunan string a dengan jumlah genap 7

8 CONTOH Tentukan bahasa reguler yang dibentuk oleh r =(aa*)(bb)*b Jawab : L ( r ) = L((aa)*(bb)*b) = { a n b 2m+1 n, m 0} Tentukan ekspresi reguler pembentuk bahasa pada S = {0,1}, yaitu L(r) = { w ϵ * w memiliki substring 00 } Jawab : r = (0+1)*00(0+1)* Tentukan ekspresi reguler pembentuk bahasa pada = {a,b}, yaitu L(r) = { ab n w n 3, w ϵ {a, b} + } Jawab : r = abbb(a+b)(a+b)* 8

9 Sifat Bahasa Reguler Tertutup terhadap operasi himpunan sederhana Jika L 1 dan L2 adalah bahasa reguler, maka L 1 U L 2 L1 L2, L1L2, ~ (L1) dan L1* adalah bahasa reguler juga Tertutup terhadap homomorphic image Jika L 1 adalah bahasa reguler, maka homomorphic image h(l 1 ) adalah bahasa reguler juga. Dimisalkan dan ᴦ adalah alfabet, maka fungsi homomorphic dinyatakan denganh : ᴦ jika w = a1 a2... an maka h(w) = h(a1) h(a2 )... h(an) Jika L adalah bahasa pada maka homomorphic image bahasa L adalah h(l)= { h(w) w ϵ L} 9

10 CONTOH Dimisalkan = {a,b} dan ᴦ = {a,b,c} dan didefinisikan h(a) = ab dan h(b) =bbc homomorphic image bahasa L = {aa,aba } adalah h(l)= { abab, abbbcab} Dimisalkan = {a,b} dan ᴦ = {b,c,d} dan didefinisikan h(a) = dbcc dan h(b) =bdc homomorphic image bahasa L(r) yang dibentuk dari ekspresi reguler r = (a+b*)(aa)* adalah h(l(r)) yang dibentuk dengan ekspresi reguler r = (dbcc + (bdc)*) (dbccdbcc)* 10

11 Hubungan RE dan NFA 11

12 Hubungan RE dan NFA 12

13 Ekuivalensi NFA, DFA, dan RG DFA bisa dibentuk dari NFA. RG bisa dibentuk dari DFA. NFA bisa dibentuk dari RG NFA DFA RG 13

14 Pembentukan DFA dari NFA 1. Diberikan sebuah NFA F = (K, V T, M, S, Z). Akan dibentuk sebuah DFA F = (K, V, M, S, Z ) dari NFA F tersebut. Algoritma pembentukannya adalah sbb. : 2. Tetapkan : S = S dan V T = V T 3. Copykan tabel NFA F sebagai tabel DFA F. Mula-mula K = K dan M = M 4. Setiap stata q yang merupakan nilai (atau peta) dari fungsi M dan q K, ditetapkan sebagai elemen baru dari K. Tempatkan q tersebut pada kolom Stata M, lakukan pemetaan berdasarkan fungsi M. 5. Ulangi langkah (3) sampai tidak diperoleh stata baru. 6. Elemen Z adalah semua stata yang mengandung stata elemen Z. 14

15 CONTOH Berikut ini diberikan sebuah NFA F = (K, V, M, S, Z) dengan : K = {A, B, C}, V T = {a, b}, S = A, Z = {C}, dan M didefinisikan sebagai berikut : STATA K NFA F Input a b A [A,B] C B A B C B [A,B] Tentukan DFA hasil transformasinya! 15

16 Jawab: Berdasarkan algoritma di atas, maka : 1. S = S = A, V T = V T = {a, b}. 2. Hasil copy tabel NFA F menghasilkan tabel DFA F berikut : STATA K NFA F Input a b A [A,B] C B A B C B [A,B] 3. Pada tabel DFA F di atas terdapat stata baru yaitu [A,B]. Pemetaan [A,B] adalah : M([A,B],a) = M(A,a) M(B,a) = [A,B] A = [A,B], dan M([A,B],b) = M(A,b) M(B,b) = C B = [B,C], sehingga diperoleh tabel berikut : STATA K NFA F Input a b A [A,B] C B A B C B [A,B] [A,B] [A,B] [B,C] 16

17 4. Langkah (3) di atas menghasilkan stata baru yaitu [B,C]. Setelah pemetaan terhadap [B,C] diperoleh tabel berikut : STATA K NFA F Input a b A [A,B] C B A B C B [A,B] [A,B] [A,B] [B,C] [B,C] [A,B] [A,B] 5. Setelah langkah (4) di atas tidak terdapat lagi stata baru. Dengan demikian DFA F yang dihasilkan adalah : DFA F = (K, V T, M, S, Z ), dimana : K = {A, B, C, [A,B], [B,C]}, V T = {a, b}, S = A, Z = {C, [B,C]}. Fungsi transisi M serta Graf dari DFA F adalah sebagai berikut : 17

18 Pembentukan RG dari DFA Diketahui sebuah DFA F = (K, V T, M, S, Z). Akan dibentuk RG G = (V T,V N, S, Q). Algoritma pembentukan RG dari DFA adalah sebagai berikut : Tetapkan V T = V T, S = S, V N = S Jika A p, A q ϵ K dan a ϵ V T, maka : M(A p, a) = A ekuivalen dengan produksi Ap aa Ap a, q,jika jika A A q q Z Z 18

19 CONTOH Diketahui sebuah DFA F dengan Z = {S} dan fungsi transisi M sebagai berikut : Dengan algoritma di atas maka diperoleh Q(RG)sbb. : M(S,0) = B S 0B M(S,1) = A S 1A M(A,0) = C A 0C M(A,1) = S A 1 M(B,0) = S B 0 M(B,1) = C B 1C M(C,0) = A C 0A M(C,1) = B C 1B STATA K DFA F INPUT 0 1 S B A A C S B S C C A B RG yang dihasilkan adalah G(V T, V N, S, Q), dengan V T = {0,1}, V N = {S, A, B, C}, S = S, dan Q = {S 0B, S 1A, A 0C, B 1C, C 0A, C 1B, A 1, B 0} 19

20 Pembentukan NFA dari RG Diketahui RG G = (V T, V N, S, Q). Akan dibentuk NFA F = (K, V T, M, S, Z). Algoritma pembentukan NFA dari RG : 1. Tetapkan V T = V T, S = S, K = V N 2. Produksi A p a A q ekuivalen dengan M(A p, a) = A q Produksi A p a ekuivalen dengan M(A p, a) = X, dimana X V 3. K = K {X} 4. Z = {X} 20

21 CONTOH Diketahui RG G = (V T, V N, S, Q) dengan : V T = {a, b}, V N = {S, A, B}, S = S, dan Q = {S as, S ba, A aa, A ab, B b} Tabel M : STATA K NFA F Terapkan algoritma di atas untuk memperoleh NFA F sebagai berikut : 1. V T = V T = {a, b}, S = S, K = V N = {S, A, B} 2. S as M(S,a) = S, S ba M(S,b) = A, A aa M(A,a) = A, A ab M(A,a) = B, B b M(B,b) = X INPUT NFA yang diperoleh : F(K, V T, M, S, Z), dengan K = {S, A, B, X}, V T = {a, b}, S = S, Z = {X}, 21 a b S S A A [A,B] B X X

22 Ekuivalensi NFA- Dengan ER (Ekspresi Regular) 22

23 CONTOH Tentukan NFA untuk ekspresi regular r = 0(1 23)* Jawab : r 1 = 0 r 2 = 1 r 3 = 23 r 4 = r 2 r 3 =

24 CONTOH r 5 = r 4 * = (1 23)* r = r 5 = 0(1 23)* 24

25 TERIMAKASIH Lilis Setyowati 25