ANALISIS SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL MODEL PREDATOR PREY DENGAN PERLAMBATAN SKRIPSI. Oleh: VIVI AIDA FITRIA NIM:

Transkripsi

1 ANALISIS SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL MODEL PREDATOR PREY DENGAN PERLAMBATAN SKRIPSI Oleh: VIVI AIDA FITRIA NIM: JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG MALANG 009

2 ANALISIS SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL MODEL PREDATOR PREY DENGAN PERLAMBATAN SKRIPSI Diajukan Kepada: Universitas Islam Negeri "Maulana Malik Ibrahim" Malang Untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan dalam Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si) Oleh: VIVI AIDA FITRIA NIM: JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG MALANG 009

3 ANALISIS SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL MODEL PREDATOR PREY DENGAN PERLAMBATAN SKRIPSI Oleh: VIVI AIDA FITRIA NIM: Telah Diperiksa dan Disetujui untuk Diuji: Tanggal: 7 Juli 009 Pembimbing I, Pembimbing II, Usman Pagalay, M.Si Ach. Nashichuddin, M.Ag NIP NIP Mengetahui, Ketua Jurusan Matematika Sri Harini, M.Si NIP

4 ANALISIS SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL MODEL PREDATOR PREY DENGAN PERLAMBATAN SKRIPSI Oleh: VIVI AIDA FITRIA NIM: Telah Dipertahankan di Depan Dewan Penguji Skripsi dan Dinyatakan Diterima Sebagai Salah Satu Persyaratan Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si) Tanggal: 7 Juli 009 Susunan Dewan Penguji: Tanda Tangan 1. Penguji Utama : Abdussakir, M. Pd ( ) NIP Ketua Penguji : Sri Harini, M.Si ( ) NIP Sekretaris Penguji : Usman Pagalay, M.Si ( ) NIP Anggota Penguji : Ach. Nashichuddin, M.Ag ( ) NIP Mengetahui dan Mengesahkan Ketua Jurusan Matematika Sri Harini, M.Si NIP

5 SURAT PERNYATAAN ORISINALITAS PENELITIAN Saya yang bertanda tangan dibawah ini: Nama : VIVI AIDA FITRIA NIM : Fakultas/Jurusan : SAINS DAN TEKNOLOGI/MATEMATIKA Judul Penelitian : ANALISIS SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL MODEL PREDATOR PREY DENGAN PERLAMBATAN Menyatakan dengan sebenar benarnya bahwa hasil penelitian saya ini tidak terdapat unsur unsur penjiplakan karya penelitian atau karya ilmiah yang pernah dilakukan atau dibuat oleh orang lain, kecuali yang secara tertulis dikutip dalam naskah ini dan disebutkan dalam sumber kutipan dan daftar pustaka. Apabila ternyata hasil penelitian ini terbukti terdapat unsur unsur jiplakan, maka saya bersedia untuk mempertanggung jawabkan, serta diproses sesuai peraturan yang berlaku. Malang, 3 Juli 009 Yang Membuat Pernyataan Vivi Aida Fitria NIM

6 KATA PENGANTAR Assalamu alaikum Wr. Wb. Segala puji bagi Allah SWT karena atas rahmat, taufiq dan hidayah Nya, penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains dalam bidang Matematika di Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang. Penulis menyadari bahwa banyak pihak yang telah berpartisipasi dan membantu dalam menyelesaikan penulisan skripsi ini. Untuk itu, iringan do a dan ucapan terima kasih yang sebesar besarnya penulis sampaikan, terutama kepada: 1. Prof. Dr. H. Imam Suprayogo selaku Rektor Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang.. Prof. Drs Sutiman Bambang Sumitro, SU., D.Sc selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang. 3. Ibu Sri Harini, M.Si selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang. 4. Bapak Usman Pagalay, M.Si dan Bapak Ach. Nashichuddin, M. Ag yang telah bersedia meluangkan waktunya untuk memberikan bimbingan dan pengarahan selama penulisan skripsi. 5. Segenap dosen pengajar atas ilmu yang telah diberikan kepada penulis. 6. Ibunda, suami, ananda dan segenap keluarga yang senantiasa memberikan do a dan dukungan yang terbaik bagi penulis.

7 7. Teman teman Matematika, terutama angkatan 005 beserta semua pihak yang telah membantu penyelesaian skripsi ini. Dalam penyusunan skripsi ini tentunya masih terdapat banyak kesalahan dan kekurangan, sehingga penulis mengharapkan kritik dan saran demi perbaikan skripsi ini. Akhirnya, semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi kita semua. Amien. Wassalamu alaikum Wr. Wb. Malang, 7 Juli 009 Penulis

8 DAFTAR ISI Halaman KATA PENGANTAR... i DAFTAR ISI... iii DAFTAR GAMBAR... iv DAFTAR TABEL... v DAFTAR LAMPIRAN... vi ABSTRAK... vii BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Rumusan Masalah Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian Batasan Masalah Metode Penelitian Sistematika Pembahasan... 5 BAB II KAJIAN TEORI.1 Sistem Persamaan Diferensial Sistem Otonomus Model Matematika Model Logistik Model Logistik dengan Perlambatan Model Populasi Predator Prey Model Populasi Predator Prey dengan Perlambatan Keseimbangan Lingkungan Hidup dalam Kajian Islam... 8 BAB III PEMBAHASAN 3.1 Analisis Pembentukan Model Predator Prey dengan Perlambatan Analisis Model Predator Prey dengan Perlambatan BAB IV PENUTUP 4.1 Kesimpulan Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN LAMPIRAN... 67

9 DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar.1 Grafik Model Logistik Gambar. Grafik Model Logistik dengan Perlambatan Gambar 3.1 Grafik Persamaan Diferensial dari Prey (x(t))... 4 Gambar 3. Grafik Persamaan Diferensial dari Predator (y(t)) Gambar 3.3 Grafik Jumlah Populasi Predator dan Prey... 5 Gambar 3.4 Grafik Persamaan Diferensial dari Prey (x(t)) Tanpa Waktu Perlambatan Gambar 3.5 Grafik Persamaan Diferensial dari Prey (x(t)) dengan Waktu Perlambatan... 54

10 DAFTAR TABEL Halaman Tabel 3.1 Jumlah Populasi Predator dan Prey Tabel 3. Solusi Numerik Jumlah Populasi dengan Waktu Perlambatan dan Tanpa Waktu Perlambatan... 60

11 DAFTAR LAMPIRAN Halaman Lampiran 1 Program Matlab Grafik Model Logistik Lampiran Program Matlab Grafik Model Logistik dengan Perlambatan.. 68 Lampiran 3 Program Matlab Grafik Predator Prey dengan Perlambatan Lampiran 4 Program Matlab Grafik Predator Prey dengan Sembarang Nilai Perlambatan... 70

12 ABSTRAK Fitria, Vivi Aida Analisis Sistem Persamaan Diferensial Model Predator Prey dengan Perlambatan. Skripsi, Program S I Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang. Pembimbing: Usman Pagalay, M.Si Ach. Nashichuddin, M. Ag Kata Kunci: Sistem Persamaan Diferensial, Titik Ekuilibrium, Kestabilan, Perlambatan. Model predator prey dengan perlambatan merupakan model interaksi dua spesies antara mangsa dan pemangsa yang berbentuk sistem persamaan diferensial tak liner. Adanya waktu perlambatan sangat mempengaruhi kestabilan titik ekuilibrium sistem persamaan diferensial model predator prey. Berdasarkan permasalahan di atas maka penelitian ini bertujuan untuk menganalisis pengaruh waktu perlambatan terhadap kestabilan titik ekuilibrium sistem persamaan diferensial model predator prey. Namun sebelum itu, agar dapat diketahui asal mula pembentukan model predator prey dengan perlambatan akan dianalisis proses terbentuknya model predator prey dengan perlambatan. Penelitian ini menggunakan penelitian kepustakaan, yaitu dengan menampilkan argumentasi penalaran keilmuan yang memaparkan hasil kajian literatur dan hasil olah pikir peneliti mengenai suatu permasalahan atau topik kajian. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa ada beberapa nilai perlambatan yang menyebabkan titik ekuilibrium sistem persamaan diferensial model predatorprey stabil, dan ada beberapa nilai perlambatan yang menyebabkan titik ekuilibrium sistem persamaan diferensial model predator prey tidak stabil

13 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Peningkatan jumlah populasi tanpa batas waktu tertentu tidak akan mungkin terjadi baik di laboratorium maupun di alam. Misalnya yang terjadi pada sebuah bakteri. Bakteri dapat bereproduksi dengan cara pembelahan setiap 0 menit dengan kondisi laboratorium yang ideal. Setelah 0 menit, akan terdapat dua bakteri, empat bakteri setelah 40 menit, dan demikian seterusnya. Jika keadaan ini berlangsung terus selama satu setengah hari hanya 36 jam saja akan terdapat bakteri yang cukup untuk membentuk suatu lapisan setebal satu kaki. Darwin menghitung bahwa hanya memerlukan 750 tahun bagi sepasang gajah untuk menghasilkan populasi 19 juta gajah (Campbell, 004 :344). Hal ini menyingkapkan bahwa tak ada "kekurangan keseimbangan" dalam alam semesta ciptaan Allah dan bahwa kekuasaan, kebijaksanaan, dan pengetahuan Nya tidak terbatas. Allah menjelaskannya dalam Al Quran : ا لذ ي خ ل ق س ب ع س م او ات ط ب اق ا م ا ت ر ى ف ي خ ل ق الر ح م ن م ن ت ف او ت ف ار ج ع ال ب ص ر ه ل ت ر ى م ن ف ط ور ) ۳ ( ث م ار ج ع ال ب ص ر ك رت ي ن ي ن ق ل ب ا ل ي ك ال ب ص ر خ اس ي ا و ه و ح س ير ) ٤ ( Artinya : Yang telah menciptakan tujuh langit berlapis lapis. Kamu sekali kali tidak melihat pada ciptaan Tuhan Yang Maha Pemurah sesuatu yang tidak seimbang. Maka lihatlah berulang ulang, adakah kamu lihat

14 sesuatu yang tidak seimbang. Kemudian pandanglah sekali lagi niscaya penglihatanmu akan kembali kepadamu dengan tidak menemukan sesuatu cacat dan penglihatanmu itupun dalam keadaan payah. (Q.S Al Mulk : 3 4) Oleh karena itu di dalam skripsi ini, akan dibahas tentang analisis kestabilan model predator prey atau analisis kestabilan model mangsa pemangsa. Dari model predator prey yang stabil akan terciptalah lingkungan yang seimbang. Model ini digambarkan dalam suatu persamaan matematika. Persamaan ini merupakan pendekatan terhadap suatu fenomena fisik. Persamaan yang digunakan adalah persamaan diferensial. Persamaan diferensial adalah persamaan yang di dalamnya terdapat turunan turunan. (Frank Ayres, 199 : 1) Dengan model dapat digambarkan suatu fenomena sehingga menjadi lebih jelas dalam memahaminya. Dan dengan adanya model predator prey ini, memudahkan para ahli untuk dapat memproyeksikan populasi/spesies pada suatu waktu tertentu atau menekan laju populasi agar tetap seimbang. Dari waktu ke waktu bentuk model predator prey dimodifikasi sehingga dapat menggambarkan dengan dengan teliti keadaan sebenarnya. Begitupula model predator prey, berawal dari model yang sederhana yang diperkenalkan oleh Lotka Voltera, sampai pada model predator prey dengan perlambatan. Di dalam model predator prey dengan perlambatan dipertimbangkan waktu tunda dari prey pada saat memasuki masa sebelum melahirkan. Dengan adanya waktu perlambatan inilah menyebabkan titik ekuilibrium model tidak stabil. Berdasarkan permasalahan di atas, penulis sangat tertarik untuk membahas atau mengkaji lebih jauh tentang model predator prey dengan perlambatan. Penulis akan menganalisis pada saat waktu perlambatan berapakah titik

15 ekuilibrium model predator prey stabil. Oleh karena itu, dalam skripsi ini penulis mengambil judul ANALISIS SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL MODEL PREDATOR PREY DENGAN PERLAMBATAN. 1. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan di atas, maka permasalahan dalam penelitian ini adalah : 1. Bagaimanakah analisis pembentukan model predator prey dengan perlambatan?. Bagaimanakah pengaruh waktu perlambatan terhadap kestabilan titik ekuilibrium sistem persamaan diferensial model predator prey? 1.3 Tujuan Penelitian Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan penelitian ini adalah : 1. Untuk menganalisis pembentukan model predator prey dengan perlambatan.. Untuk mengetahui pengaruh waktu perlambatan terhadap kestabilan titik ekuilibrium sistem persamaan diferensial model predator prey dengan perlambatan. 1.4 Manfaat Penelitian Adapun manfaat dari pembahasan masalah ini adalah sebagai berikut: 1. Manfaat bagi Penulis

16 Untuk memperdalam dan mengembangkan wawasan disiplin ilmu yang telah dipelajari dalam mengkaji permasalahan tentang analisis dari sistem persamaan diferensial dengan perlambatan.. Manfaat bagi Pembaca Sebagai tambahan wawasan dan informasi tentang model matematika dari salah satu model dalam matematika ekologi, yaitu model predator prey dengan perlambatan 1.5 Batasan Masalah Dalam skripsi ini akan dibahas tentang analisis model predator prey dengan perlambatan. Untuk menghindari terjadinya pembahasan yang meluas, maka penulis membatasi ruang lingkup permasalahan pada analisis kestabilan titik equilibrium E * dua persamaan tak linear dengan adanya waktu perlambatan. 1.6 Metode Penelitian Pada penelitian ini, pendekatan penelitian yang digunakan adalah menggunakan penelitian kepustakaan (library research). Studi kepustakaan merupakan penampilan argumentasi penalaran keilmuan yang memaparkan hasil kajian literatur dan hasil olah pikir peneliti mengenai suatu permasalahan atau topik kajian. Studi kepustakaan berisi satu topik kajian yang di dalamnya memuat beberapa gagasan dan atau proposisi yang berkaitan dan harus didukung oleh data yang diperoleh dari sumber kepustakaan. Sumber kajian pustaka dapat berupa jurnal penelitian, disertasi, tesis, skripsi, laporan penelitian, atau diskusi diskusi

17 ilmiah. Bahan bahan pustaka tersebut harus dibahas secara mendalam sehingga mendukung gagasan dan atau proposisi untuk menghasilkan kesimpulan dan saran. Data yang diperlukan dalam penelitian ini adalah data yang bersifat tekstual meliputi persamaan diferensial non linier, pemodelan matematika, dan pembahasan keduanya dalam analisis model matematika. Dalam memahami datadata yang berupa teks dalam buku buku literatur diperlukan suatu analisis. Metode analisis yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode deduksi, yaitu cara berpikir yang berangkat dari hal hal umum menuju kesimpulan yang khusus. 1.7 Sistematika Penulisan Untuk mempermudah pembaca memahami tulisan ini, penulis membagi tulisan ini kedalam empat bab sebagai berikut: BAB I PENDAHULUAN: Dalam bab ini dijelaskan latar belakang masalah, pembatasan dan rumusan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, metode penelitian dan sistematika pembahasan. BAB II KAJIAN TEORI: Dalam bab ini dikemukakan hal hal yang mendasari dalam teori yang dikaji. BAB III PEMBAHASAN: Dalam bab ini dipaparkan hasil hasil kajian yang meliputi pembentukan model predator prey dengan perlambatan dan analisis sistem persamaan diferensial pada model predator prey dengan perlambatan BAB IV PENUTUP: Dalam bab ini dikemukakan kesimpulan akhir penelitian dan diajukan beberapa saran.

18 BAB II KAJIAN TEORI Pemodelan matematika merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang cukup penting dan banyak manfaatnya. Beberapa situasi sejalan dengan semakin kompleksnya permasalahan pemodelan matematika dapat diterapkan langsung untuk memecahkan suatu masalah dalam kehidupan nyata, diantaranya permasalahan permasalahan pada bidang kedokteran, meteorologi, farmakologi dan sebagainya. Model matematika adalah model yang digambarkan dalam suatu persamaan matematika. Persamaan ini merupakan pendekatan terhadap suatu fenomena fisik, salah satu persamaan yang digunakan adalah persamaan diferensial. Ada banyak jenis dari persamaan diferensial, salah satunya yaitu persamaan diferensial tak linier. Persamaan diferensial tak linier inilah yang mendasari model predator prey dengan perlambatan..1 Sistem Persamaan Diferensial Definisi 1 : Sistem persamaan diferensial adalah suatu sistem yang memuat n buah persamaan diferensial, dengan n buah fungsi yang tidak diketahui, dimana n merupakan bilangan bulat positif lebih besar sama dengan (Finizio dan Ladas, 198:13). Antara persamaan diferensial yang satu dengan yang lain saling keterkaitan dan konsisten.

19 Bentuk umum dari suatu sistem n persamaan orde pertama mempunyai bentuk sebagai berikut : dx 1 = g 1 ( t, x 1, x,..., x n ) dt dx = g ( t, x 1, x,..., x n ) dt M (.1) dx n dt = g n ( t, x 1, x,..., x n ) Dengan x,... 1, x x n adalah variabel bebas dan t adalah variabel terikat, sehingga x 1 = x 1 ( t ), x = x ( t ),... x n = x n ( t ), dimana dx n dt merupakan derivatif fungsi x n terhadap t, dan g i adalah fungsi yang tergantung pada variabel x,... 1, x x n dan t (Claudia, 004:70).. Sistem Otonomus Definisi : berbentuk Sistem otonomus adalah suatu sistem persamaan diferensial yang x & = f ( x, y ) y & = g ( x, y ) (.) dimana fungsi fungsi f dan g bebas dari waktu (Finizio dan Ladas, 198:87). Definisi 3: Jika y ˆ memenuhi

20 g ( y ˆ ) = 0 maka y ˆ adalah sebuah titik ekuilibrium dari dy = g (y) (Claudia, 004 : 494) dx Contoh : x & = y, y & = x (.3) Titik ekuilibrium persamaan (.3) ditentukan oleh dua persamaan y = 0, x = 0. Jadi (0,0) merupakan satu satunya titik ekuilibriumdari persamaan (.3). Jika sistem otonomus (.) linier dengan koefisien konstan, maka sistem otonomus tersebut berbentuk : x & = ax + by y & = cx + dy (.4) dengan a,b,c, dan d adalah konstanta. Jika dimisalkan ad bc 0 maka titik (0,0) adalah satu satunya titik kritis persamaan (.4) dan persamaan karakteristiknya berbentuk : λ ( a d ) λ + ( ad bc ) = 0 (.5) dengan λ 1 dan λ adalah akar akar persamaannya. Sehingga terdapat teorema berikut : Teorema 1 a. Titik kritis (0,0) dari sistem (.4) stabil, jika dan hanya jika, kedua akar dari persamaan (.5) adalah riil dan negatif atau mempunyai bagian riil takposistif.

21 b. Titik kritis (0,0) dari sistem (.4) stabil asimtotis, jika dan hanya jika, kedua akar dari persamaan (.5) adalah riil dan negatif atau mempunyai bagian riil negatif. c. Titik kritis (0,0) dari sistem (.4) tak stabil, jika salah satu (atau kedua akar) akar dari persamaan (.5) adalah riil dan positif atau jika paling sedikit satu akar mempunyai bagian riil posistif (Finizio dan Ladas, 198:93). Sistem persamaan diferensial tak linier seringkali muncul dalam penerapan, misalnya dalam model predator prey. Tetapi hanya beberapa tipe persamaan diferensial tak linier yang dapat diselesaikan secara eksplisit. Sedangkan persamaan diferensial tak linier yang tidak dapat diselesaikan secara eksplisit, dapat diselesaikan dengan melinierkan terlebih dahulu. Sistem (.) dari dua persamaan diferensial tak linier dengan dua fungsi yang tak diketahui berbentuk : x & = ax + by + P ( x, y ) y & = cx + dy + Q ( x, y ) (.6) dimana a, b, c, d, P, Q memenuhi syarat : a c a. a, b, c dan d konstanta real dan 0 d b b. P(x,y) dan Q(x,y) mempunyai derivatif parsial kontinu untuk semua (x,y) dan memenuhi : lim P ( x, y ) = lim Q ( x, y ) = 0 ( x, y ) ( 0, 0 ) x + y ( x, y ) ( 0, 0 ) x + y sehingga sistem linearnya berbentuk :

22 x & = ax + by y & = cx + dy (.7) Dari syarat di atas maka berlaku : Teorema a. Titik kritis (0,0) dari sistem tak linier (.6) adalah stabil asimtotis jika titik kritis (0,0) dari sistem yang dilinierkan (.7) adalah stabil asimtotis. b. Titik kritis (0,0) dari sistem taklinier (.6) adalah takstabil jika titik kritis (0,0) dari sistem (.7) adalah takstabil. Teorema ini tidak memberikan kesimpulan mengenai sistem (.6) bila (0,0) hanya merupakan titik stabil dari sistem (.7). (Finizio dan Ladas, 198:94)..3 Model Matematika Pemecahan masalah dalam dunia nyata dengan matematika dilakukan dengan mengubah masalah tersebut menjadi bahasa matematika, proses tersebut disebut pemodelan secara matematik atau model matematika. (Baiduri, 00:1). Jadi pemodelan matematika dapat dipandang sebagai terjemahan dari fenomena atau masalah menjadi permasalahan matematika. Informasi matematika yang diperoleh dengan melakukan kajian matematika atas model tersebut dilakukan sepenuhnya dengan menggunakan kaedahkaedah matematika. Syarat utama model yang baik adalah sebagai berikut : a. Representatif: model mewakili dengan benar sesuatu yang diwakili, makin mewakili, model makin kompleks.

23 b. Dapat dipahami/dimanfaatkan: model yang dibuat harus dapat dimanfaatkan (dapat diselesaikan secara matematis), makin sederhana makin mudah diselesaikan. Langkah langkah dalam pemodelan masalah digambarkan dalam diagram berikut : 1.Memformulasikan model real /identifikasi masalah. Asumsi untuk model 3. Memformulasikan masalah matematika 6. Validasi model 5. Interpretasi model 4. Menyelesaikan masalah matematika Keterangan : 1. Identifikasi masalah, yaitu mampu memahami masalah yang akan dirumuskan sehingga dapat ditranslasi ke dalam bahasa matematika. Membuat asumsi, yaitu dengan cara menyederhanakan banyaknya faktor yang berpengaruh terhadap kejadian yang sedang diamati dengan mengasumsi hubungan sederhana antara variabel. Asumsi tersebut dibagi dalam dua kategori utama : a. Klasifikasi variabel Pemodel mengidentifikasi variabel terhadap hal hal yang mempengaruhi tingkah laku pengamatan

24 b. Menentukan interelasi antara variabel yang terseleksi untuk dipelajari Pemodel membuat sub model sesuai asumsi yang telah dibuat pada model utama, kemidian mempelajari secara terpisah pada satu atau lebih variabel bebas. 3. Menyelesaikan atau menginterpretasikan model Setelah model diperoleh kemudian diselesaikan secara matematis, dalam hal ini model yang digunakan dan penyelesaiannya menggunakan persamaan diferensial. Apabila pemodel mengalami kesulitan untuk menyelesaikan model dan interpretasi model, maka kelangkah dan membuat asumsi sederhana tambahan atau kembali kelangkah 1 untuk membuat definisi ulang dari permasalahan. Penyederhanaan atau definisi ulang sebuah model merupakan bagian yang penting dalam matematika model. 4. Verifikasi model Sebelum menyimpulkan kejadian dunia nyata dari hasil model, terlebih dahulu model tersebut harus diuji. Beberapa pertanyaan yang diajukan sebelum melakukan uji dan mengumpulkan data, yaitu : 1) apakah model menjawab masalah yag telah diidentifikasi? ) apakah model membuat pemikiran yang sehat? 3) apakah data (sebaiknya menggunakan data aktual yang diperoleh dari observasi empirik) dapat dikumpulkan untuk menguji dan mengoperasikan model dan apakah memenuhi syarat apabila diuji (Baiduri, 00:15 17).

25 .4 Model Logistik Model logistik atau model Verhulst atau kurva pertumbuhan logistik adalah sebuah model pertumbuhan populasi. Model logistik termasuk model yang memiliki waktu kontinu. Model tersebut dideskripsikan sebagai berikut: dx dt x = rx 1. K (.8) Konstanta r, diasumsikan positif. Konstanta r adalah laju pertumbuhan intrinsik karena perbandingan laju pertumbuhan untuk x diperkirakan sama dengan r. Konstanta positif K biasanya mengarah kepada daya kapasitas kesehatan lingkungan yaitu kemampuan menahan populasi agar tetap maksimum. Solusi dari model logistik tersebut adalah : x ( t ) = x 0 x 0 K (.9) rt + ( K x ) e 0 Model logistik mempunyai dua titik ekuilibrium, yaitu x = 0 dan x = K. Titik ekulibrium pertama tidak stabil sementara titik ekuilibrium kedua adalah stabil global. Beberapa kurva dari solusi model logistik dengan titik awal yang berbeda dapat dilihat pada Grafik.1.

26 Gambar.1. Grafik Model Logistik dari Persamaan (.9) dengan K= 100,r=1 dan Lima Kondisi Awal Masing Masing x(0)= 10,x(0)=30, x(0)=80, x(0) = 10 dan x(0) = Model Logistik dengan Perlambatan Model logistik tunggal dengan perlambatan adalah ( t ) dx dt ( τ ) x t = rx ( t ) 1, (.10) K dimana τ adalah sebuah waktu perlambatan dan dianggap positif. Suatu titik ekuilibrium positif dari model ini adalah K. Hal ini diusulkan oleh Hutchinson di Gopalsamy, model (.10) tersebut bisa digunakan pada model pertumbuhan populasi jenis dinamik tunggal terhadap ketahanan level K, dengan sebuah konstanta laju pertumbuhan intrinsik r. Bentuk x 1 ( t τ ) K

27 pada model (.10) merupakan sebuah kepadatan tergantung pada mekanisme pengaruh arus balik yang mengambil τ satuan waktu untuk menanggapi perubahan pada kepadatan populasi diwakili pada model (.10) oleh x. Model logistik dengan perlambatan (.10) dikenal sebagai persamaan perlambatan Verhulst atau persamaan Hutchinson. Persamaan Hutchinson telah dipelajari di beberapa jurnal dan buku. Selanjutnya akan dianalisis stabilitas lokal dari titik ekuilibrium. Untuk menganalisis, digunakan sebuah metode standar yaitu metode linierisasi disekitar titik ekuilibrium. Misalkan u ( t ) x ( t ) K du t maka dt ( ) dx ( t ) =. Mensubtitusi x ( t ) u ( t ) + K dt untuk memperoleh du dt ( t ) dt ( ) du t ( ( ) + K ) = r u t ( τ ) r = u t u t t K =, = ke dalam persamaan (.10) u t + K 1 (.11) K ( ) ( τ ) ru ( τ ). Karena x(t) tertutup untuk K, u ( t ) u ( t τ ) dapat dihilangkan. Selanjutnya didapatkan suatu model linier dt ( ) du t = ru t ( τ ). (.1) Untuk memahami stabilitas titik ekuilibrium nol dari model (.1), dipertimbangkan persamaan karakteristik pada model (.1). Pensubtitusian λτ pada fungsi tes ( t ) e karakteristik x = ke dalam model (.1) menghasilkan persamaan

28 λ e λτ = re λ ( t τ ) λτ karena e 0, maka λτ λ + re = 0. (.13) Lemma 1 Misalkan r > 0 dan τ > 0 jika 1 τ maka persamaan (.13) re memiliki akar akar persamaan karakteristik negatif Bukti λτ Misalkan F ( λ ) = λ + re. Dengan catatan bahwa λ bukan bilangan riil nonnegatif. Akan dibuktikan bahwa akar akar dari F ( λ ) adalah bukan λτ λτ bilangan komplek. Karena F ( λ ) = λ + re maka F '( λ ) = 1 r τ e λ 1 τ λτ = ln ( r τ ) adalah titik kritik dari F ( λ ). Oleh karena itu, F "( λ ) = r τ e yang positif. Ini berarti bahwa nilai dari titik kritik memberikan nilai dan minimum untuk F ( λ ). Selanjutnya karena F ( λ ) = ( ln ( r τ ) + 1 ) 1 τ yang sama dengan nol jika 1 1 r τ = atau τ =, dan kurang dari nol jika e re τ < 1 re maka persamaan (.13) hanya memiliki satu akar, yaitu τ = 1 re, dan jika 1 λ = ln ( r τ ) persamaan (.13) memiliki dua akar riil negatif. τ Jika F ( λ ) > 0, yaitu r τ > 1, ini mengakibatkan bahwa tidak ada e akar riil dari persamaan karakteristik (.13). Kondisi persamaan karakteristik ini mempunyai akar komplek konjugat. Jika

29 dimisalkan λ = ρ + i ω, R ω, sebagai sebuah akar dari (.13), maka ρ + i ω = re ρ, [ 0, ) ( ρ + i ω ) τ ρτ = re ( cos ( ωτ ) i sin ( ωτ )) maka didapatkan dua persamaan dengan bagian riil dan bagian imajinernya: ( ωτ ) ρτ ρ = re cos, (.14.a) ( ωτ ) ρτ ω = re sin. (.14.b) (Syamsuddin, 006:3.7). Lemma Misalkan r > 0 dan τ > 0, 1 π. Jika < τ < maka akar dari re r persamaan karakteristik (.13) adalah komplek konjugat dengan bagian riil negatif. `Bukti λτ Misalkan F ( λ ) = λ + re. Dari persamaan (.13) bahwa λ bukan bilangan λτ riil nonnegatif. Maka F '( λ ) = 1 r τ e dan λ = ln ( r τ ) λτ titik ekuilibrium untuk F ( λ ). Selanjutnya F ( λ ) = r τ e 1 adalah sebuah τ " adalah positif. Ini berarti bahwa nilai dari titik ekuilibrium memberi nilai minimum untuk F ( λ ). Fungsi ( λ ) F tidak mempunyai akar riil dimana 1 1 F ( λ ) = ( ln ( r τ ) + 1 ) > 0 dan ini terjadi ketika < τ. Sekarang akan τ re ditunjukkan bahwa akar dari F ( λ ) adalah sebuah bilangan komplek dengan bagian riil negatif. Misalkan persamaan (.13) tersebut mempunyai akar λ = ρ + i ω dengan ρ 0. Karena λ = 0 adalah bukan akar dari

30 persamaan karakteristik (.13) dan diasumsikan ω > 0 (dari persamaan (.14b)) bahwa 0 < ωτ = r τ e ρτ π sin ωτ < hal ini menunjukkan Hal ini menunjukkan bahwa sisi kiri dari persamaan (.14a) adalah nonnegatif. Karena kontradiksi hal ini membuktikan bahwa ρ < 0. Perhatikan konjugat dari λ membuktikan persamaan karakteristik (.13) (Syamsuddin, 006: 3.9). Berikut adalah kurva dari solusi model logistik dengan beberapa nilai perlambatan berbeda : Gambar.. Grafik Model Logistik dari Persamaan (.10) dengan K= 100,r=1 dan Tiga Nilai Perlambatan Yaitu τ = 1. 5, τ = dan τ =. 5

31 .6 Model Populasi Predator Prey Dalam subbab ini, dibahas tentang model sederhana dari predator prey, yang didefinisikan sebagai konsumsi predator terhadap prey. Model predator prey yang paling sederhana didasarkan pada model Lotka Volterra (Lotka, 193 ; Volterra, 196) dalam Claudia (004 :760), yang dideskripsikan dalam kata kata Volterra, sebagai berikut : Kasus pertama yang saya pertimbangkan adalah bahwa ada dua jenis hubungan. Yang pertama menemukan makanan yang cukup di lingkungannya dan akan berkembang terus meskipun hidup sendirian, dan yang kedua mati karena kekurangan makanan jika dibiarkan hidup sendiri. Tetapi makanan yang kedua untuk makanan yang pertama. Sehingga dua jenis ini dapat hidup berdampingan. Angka perbandingan dari kenaikan jenis makanan dikurangi jumlah individu dari pertumbuhan jenis makanan, saat tambahan jenis makanan berkembang seiring dengan berkembangnya jumlah individu dari jenis makanan. Model Lotka Voltera tersusun dari pasangan persamaan diferensial yang mendeskripsikan predator prey dalam kasus yang paling sedehana. model ini membuat beberapa asumsi : 1. Populasi prey akan tumbuh secara eksponen ketika tidak adanya predator. Populasi predator akan mati kelaparan ketika tidak adanya populasi prey 3. Predator dapat mengkonsumsi prey dengan jumlah yang tak terhingga 4. Tidak adanya lingkungan yang lengkap (dengan kata lain, kedua populasi berpindah secara acak melalui sebuah lingkungan yang homogen)

32 Selanjutnya bentuk verbal ini diterjemahkan ke dalam sebuah sistem persamaan diferensial. Diasumsikan bahwa populasi prey berkurang ketika predator membunuhnya dan bertahan hidup (tidak mengurangi populasi prey) ketika predator hanya menyerangnya. Model dengan laju perubahan dari populasi prey (x) dan populasi predator (y) adalah : dx dt dy dt x = rx 1 α xy K (.15) = cy + β xy Parameter model di atas yaitu : K= daya kapasitas r = laju pertumbuhan intrinsik prey c = laju kematian jika predator tanpa prey α = laju perpindahan dari prey ke predator β = laju pepindahan dari predator ke prey Model di atas dibentuk dengan analisis sebagai berikut : Dimulai dengan memperhatikan apa yang terjadi pada populasi predator ketika tidak adanya prey, tanpa sumber makanan, bilangannya diharapkan berkurang secara eksponensial, dideskripikan oleh persamaan di bawah ini : dy dt = cy Persamaan ini menggunakan hasil kali dari bilangan predator (y) dan kelajuan kematian predator (c). Untuk mendeskripsikan penurunan kelajuan (karena tanda negatif pada bagian kanan persamaan) dari populasi predator

33 dengan pengaruh waktu. Dengan adanya prey bagaimanapun juga pengurangan ini dilawan oleh laju kelahiran predator, yang ditentukan oleh laju konsumsi ( β xy ). Dimana laju penyerangan ( β ) dikalikan dengan bilangan y dan bilangan x. Bilangan predator dan prey naik ketika pertemuan predator dan prey lebih sering, tetapi laju aktual dari konsumsi akan tergantung pada laju penyerangan ( β ). Persamaan populasi predator menjadi dy dt = cy + β xy Perkalian β y adalah tanggapan predator secara numerik atau peningkatan perkapita dari fungsi prey yang melimpah. Dan untuk perkalian β xy menunjukkan bahwa kenaikan populasi predator sebanding dengan perkalian dan prey yang melimpah. Beralih pada populasi prey, kita berharap tanpa serangan predator, bilangan prey akan naik secara eksponensial. Persamaan di bawah ini mendeskripsikan laju kenaikan populasi prey dengan pengaruh waktu, dimana r adalah laju pertumbuhan intrinsik prey dan x adalah jumlah dari populasi prey. dx = dt rx Di hadapan predator, bagaimanapun juga populasi prey dicegah dari peningkatan eksponensial secara terus menerus. Karena model predator prey memiliki waktu yang kontinu dan mengisyaratkan tentang model

34 pertumbuhan populasi maka termasuk dalam model logistik. Jadi persamaan di atas menjadi: dx dt = rx ( 1 x K ) Dengan adanya predator bagaimanapun juga kenaikan ini dilawan oleh laju kematian prey karena adanya penyerangan dari predator, yang ditentukan oleh laju konsumsi ( α xy ).Di mana laju penyerangan (α ) dikalikan dengan bilangan y dan bilangan x. Bilangan predator dan prey turun ketika pertemuan predator dan prey lebih sering, tetapi laju aktual dari konsumsi akan tergantung pada laju penyerangan (α ). Persamaan populasi prey menjadi: dx dt x = rx ( 1 ) α xy K Adapun analisis numerik model predator prey adalah : 1. Titik ekuilibrium model (.15) adalah E 0 = (0,0), E 1 = (K,0) dan E * =(x *,y * ) = c r ( K β c ),. Agar mendapatkan sebuah titik ekuilibrium β αβ K yang positif diasumsikan bahwa K β c > 0. Matriks Jacobian dari model (.15) yaitu J rx r α y = K β y α x c + β x

35 . Matriks Jacobian pada titik ekuilibrium E * adalah J rc = β K r β K rc α K α c β 0 3. Persamaan karakteristik dari Matriks Jacobian di atas adalah rc c f ( λ ) = λ + λ + ( r β K rc ) β K β K 4. Misalkan rc c P = dan Q = ( r β K rc ) maka nilai eigen dari matrik β K β K Jacobian di atas adalah λ 1, = P ± P 4 Q Karena P dan Q adalah bilangan positif, maka nilai eigen dari P dan Q memiliki bagian yang riil negatif. Hal ini berarti bahwa titik ekuilibrium E * adalah asimtot lokal stabil. Karena asimtot global stabil. K β c > 0 maka titik ekuilibrium E * juga.7 Model Populasi Predator Prey dengan Perlambatan Waktu perlambatan (perlambatan) sangat penting untuk diperhitungkan di dunia permodelan karena keputusan seringkali dibuat berdasarkan pada keterangan realita. Merupakan hal yang penting untuk mempertimbangkan model populasi dimana laju pertumbuhan populasi tidak

36 hanya tergantung pada ukuran populasi pada satu waktu tertentu tetapi juga tergantung pada ukuran populasi pada ( t τ ), dimana τ adalah waktu perlambatan. Berikut adalah model populasi predator prey dengan perlambatan yang diperkenalkan olah May pada tahun 1974: dx ( t ) x ( t τ ) = rx ( t ) 1 α x ( t ) y ( t ) dt K dy ( t ) = cy ( t ) + β x ( t ) y ( t ) dt (.16) dimana r, K, τ, α, c dan β adalah konstanta positif. Parameter model (.16) yaitu : K= daya kapasitas r = laju pertumbuhan intrinsik prey c = laju kematian jika predator tanpa prey α = laju perpindahan dari prey ke predator β = laju perpindahan dari predator ke prey τ = waktu perlambatan Untuk menganalisis kestabilan titik ekuilibrium dari model dengan perlambatan, harus mengelinierisasi model di sekitar titik ekuilibrium, kemudian memeriksa nilai eigen pada persamaan karakteristik. Titik ekuilibrium asimtot stabil jika dan hanya jika akar akar dari persamaan karakteristik mempunyai bagian real negatif. Langkah selanjutnya dalam menganalisis titik ekuilibrium dari model predator prey dengan perlambatan dibutuhkan teorema berikut :

37 Teorema 3 Misalkan Kβ c > 0 berbentuk : dan ± τ k didefinisikan pada persamaan (.16) τ + k π / k π 3 π / k π = +. dan τ k = +, ω ω ω ω + + maka terdapat sebuah bilangan positif m sedemikian hingga m merubah dari stabil ke tidak stabil dan ke stabil. Dengan kata lain, ketika + + [ 0, τ ) 0 1 m 1 m + ( τ, τ )... ( τ τ ) τ 0,, titik ekuilibrium [ 0, m 1, m stabil, dan ketika τ τ τ ) ( τ, τ )... ( τ τ ) E tidak stabil. Oleh karena itu ada bifurkasi untuk τ Bukti E pada model (3.) ± = τ k, titik ekuilibrium, k=0,1,, Diketahui bahwa titik ekuilibrium E stabil untuk τ = 0. Maka untuk membuktikan teorema 3 hanya dibutuhkan kondisi secara transversal. d (Re λ ) d τ τ + = τ k > 0 d (Re λ ) dan < 0. d τ τ = τ k Persamaan λ + λ Pe λτ + Q = 0 dideferensialkan menjadi d λ λτ d λ λτ d λ λ + Pe + λ Pe τ λ = 0, d τ d τ d τ λτ d λ λτ ( λ + ( 1 λτ ) Pe ) = λ Pe. d τ Agar lebih mudah dipahami, maka d λ d τ diubah menjadi d λ d τ 1. Maka didapatkan :

38 P P e d d 1 ) 1 ( λ λτ λ τ λ λτ + = λ τ λ λ λτ + = P P e dari persamaan karakteristik 0 = + + Q Pe λτ λ λ diketahui bahwa Q P e + = λ λ λτ Maka didapatkan λ τ λ λ λ τ λ + + = ) ( 1 Q Q d d Oleh karena itu ω λ τ λ i d d sign = ) (Re ω λ τ λ i d d sign = = 1 Re = = = ω λ ω λ λ λ λ i i Q Q Q sign 4 Re 1 Re + + = Q Q Q sign 4 1 ω ω ω = 4 ) ( Q Q sign ω ω ω ( ) 4 sign Q = ω Karena 4 4 ) ( ω ω ω Q P Q + = Maka didapatkan ) ) ( ( ) (Re 4 ω ω τ λ ω λ Q P sign d d sign i + = =

39 = sign ( ω ( P + Q )) Jadi dapat dibuktikan bahwa kondisi transversal telah terpenuhi. (Syamsuddin, 006:4.10).8 Keseimbangan Lingkungan Hidup dalam Kajian Islam Reaksi antara predator prey di dalam biologi dipelajari dalam salah satu cabangnya yang disebut ekologi. Ekologi berasal dari bahasa Yunani, yang terdiri dari dua kata, yaitu oikos yang artinya rumah atau tempat hidup, dan logos yang berarti ilmu. Ekologi diartikan sebagai ilmu yang mempelajari tentang interaksi antar makhluk hidup dan interaksi antara makhluk hidup dan lingkungannya. Pembahasan ekologi tidak lepas dari pembahasan ekosistem dengan berbagai komponen penyusunnya, yaitu faktor abiotik dan biotik. Faktor abiotik antara lain suhu, air, kelembapan, cahaya, dan topografi, sedangkan faktor biotik adalah makhluk hidup yang terdiri dari manusia, hewan, tumbuhan, dan mikroba. Ekologi juga berhubungan erat dengan tingkatantingkatan organisasi makhluk hidup, yaitu populasi, komunitas, dan ekosistem. Tingkatan tingkatan organisme makhluk hidup tersebut dalam ekosistem akan saling berinteraksi, saling mempengaruhi membentuk suatu sistem yang menunjukkan kesatuan. Interaksi antarkomponen ekologi dapat merupakan interaksi antarorganisme, antarpopulasi, dan antarkomunitas. Di dalam interaksi antar

40 organisme menurut sifatnya dapat dibagi menjadi lima macam. Salah satu diantara interaksi tersebut bersifat predasi. Yaitu hubungan antara mangsa dan pemangsa (predator). Hubungan ini sangat erat sebab tanpa mangsa, predator tak dapat hidup. Sebaliknya, predator juga berfungsi sebagai pengontrol populasi mangsa. Sehingga terdapat keseimbangan dalam interaksi tersebut, yaitu terdapat keseimbangan antara jumlah populasi predator dan prey. Di dalam kajian Islam Allah juga sudah mengatur dengan indah keseimbangan tersebut. Bahkan berabad abad tahun yang lalu Allah telah menyebutkan firman Nya dalam Qur an Surat Al Mulk ayat 3 dan 4, yang berbunyi : ا لذ ي خ ل ق س ب ع س م او ات ط ب اق ا م ا ت ر ى ف ي خ ل ق الر ح م ن م ن ت ف او ت ف ار ج ع ال ب ص ر ه ل ت ر ى م ن ف ط ور ) ۳ ( ث م ار ج ع ال ب ص ر ك رت ي ن ي ن ق ل ب ا ل ي ك ال ب ص ر خ اس ي ا و ه و ح س ير ) ٤ ( Artinya : Yang telah menciptakan tujuh langit berlapis lapis. Kamu sekalikali tidak melihat pada ciptaan Tuhan Yang Maha Pemurah sesuatu yang tidak seimbang. Maka lihatlah berulang ulang, adakah kamu lihat sesuatu yang tidak seimbang. Kemudian pandanglah sekali lagi niscaya penglihatanmu akan kembali kepadamu dengan tidak menemukan sesuatu cacat dan penglihatanmu itupun dalam keadaan payah. Menurut Musthafa Ahmad al Maraghi dalam Tafsir al Maraghi bahwa Alam raya ini diciptakan oleh Allah swt dalam bentuk yang sangat serasi dan selaras. Keserasian ini dalam ilmu biologi dikenal dengan istilah rantai atau jaring makanan. Apabila ada satu komponen dari rantai makanan

41 tersebut terganggu keseimbangannya maka akan mempengaruhi komponen yang lain. Seperti misalnya sekawanan gajah yang seharusnya mencari makan di hutan, sekarang sudah mulai memasuki pemukiman manusia karena sumber makanannya sudah habis, hutan tempat mencari makan dirusak manusia. Akibatnya manusia sendiri yang terganggu keamanannya, rumahnya diserang gajah. Dalam Tafsir Jalalain, Jalaluddin al Mahalli dan Jalaluddin as Suyuthi secara jelas mengatakan bahwa tidak ada satupun mahluk ciptaan Allah SWT yang diciptakan tidak seimbang. Bahkan Abil Fida Ismail bin Katsir dalam Tafsir Ibnu Katsir mengatakan bahwa pada dasarnya manusia, bumi, hewan, tumbuh tumbuhan dan seluruh makhluk ciptaan Allah SWT layaknya sahabat yang tidak pernah berselisih karena merasa saling membutuhkan. Namun sayang persahabatan ini telah dirusak oleh manusia itu sendiri. Oleh karena itu jika interaksi antara predator dan prey tidak dirusak oleh ulah manusia maka keseimbangan jumlah populasi antara predator dan prey akan stabil. Karena sudah sifat alamiah dari predator bertugas untuk mengontrol populasi prey. Maka sudah menjadi tugas kita untuk menjaga kelestarian lingkungan hidup, yaitu dengan tetap menjaga keseimbangannya. Karena segala tindakan yang merusak keseimbangan dan kelestarian bumi dan alam pada dasarnya merupakan pelanggaran agama dan berdosa. Dalam surat al A raf: 56, Allah SWT berfirman:.

42 و لا ت ف س د وا ف ي الا ر ض ب ع د ا ص لاح ه ا و اد ع وه خ و ف ا و ط م ع ا ا ن ر ح م ة ال له ق ر يب م ن ال م ح س ن ين Artinya : Janganlah membuat kerusakan di muka bumi (dunia) sesudah direformasi, berdo alah kepada Nya dengan rasa takut dan rindu; rahmat Allah selalu dekat kepada orang yang berbuat baik. Ungkapan janganlah berbuat kerusakan di muka bumi sesudah direformasi (wa lâ tufsidû fii al ardl ba da ishlâhihâ) dalam surat al A raf ayat 56 di atas mengandung makna ganda. Pertama, larangan merusak bumi setelah perbaikan (ishlah), yaitu saat bumi ini diciptakan Allah SWT. Makna ini menunjukkan tugas manusia untuk melindungi bumi yang sudah merupakan tempat yang baik bagi hidup manusia. Jadi, larangan merusak bumi berkaitan dengan usaha pelestarian lingkungan hidup yang sehat dan alami. Kedua, larangan membuat kerusakan di bumi setelah terjadi perbaikan oleh sesama manusia. Hal ini bersangkutan dengan tugas reformasi aktif manusia untuk berusaha menciptakan sesuatu yang baru, yang baik (shalih) dan membawa kebaikan (mashlahah) untuk manusia. Apabila manusia menyadari betapa pentingnya bumi bagi mereka, maka manusia dan bumi bisa bersanding secara harmonis. Apalagi manusia terbuat dari tanah, dan tanah itu sendiri berasal dari bumi, sehingga antara manusia dan bumi memiliki ketergantungan satu sama lain. Allah SWT berfirman: Q.S. Al Ra du:4

43 و ف ي الا ر ض ق ط ع م ت ج او ر ات و ج نات م ن ا ع ن اب و ز ر ع و ن خ يل ص ن و ان و غ ي ر ص ن و ان ي س ق ى ب م اء و اح د و ن ف ض ل ب ع ض ه ا ع ل ى ب ع ض ف ي الا ك ل ا ن ف ي ذ ل ك لا ي ات ل ق و م ي ع ق ل ون Artinya : Dan di bumi ini terdapat bagian bagian yang berdampingan, dan kebun kebun anggur, tanaman tanaman dan pohon korma yang bercabang dan yang tidak bercabang, disirami dengan air yang sama. Kami melebihkan sebahagian tanam tanaman itu atas sebahagian yang lain tentang rasanya. Sesungguhnya pada yang demikian itu terdapat tanda tanda (kebesaran Allah) bagi kaum yang berfikir. Manusia, bumi, dan makhluk ciptaan lainnya di alam semesta adalah sebuah ekosistem yang kesinambungannya amat bergantung pada moralitas manusia sebagai khalifah di bumi, sebagaimana Al Qur an jelaskan dalam surat Al Baqarah:30 و ا ذ ق ال ر بك ل ل م لاي ك ة ا ن ي ج اع ل ف ي الا ر ض خ ل يف ة ق ال وا ا ت ج ع ل ف يه ا م ن ي ف س د ف يه ا و ي س ف ك الد م اء و ن ح ن ن س ب ح ب ح م د ك و ن ق د س ل ك ق ال ا ن ي,ا ع ل م م ا لا ت ع ل م ون Artinya : Ingatlah ketika Tuhanmu berfirman kepada para Malaikat: "Sesungguhnya Aku hendak menjadikan seorang khalifah di muka bumi." Mereka berkata: "Mengapa Engkau hendak menjadikan (khalifah) di bumi itu orang yang akan membuat kerusakan padanya dan menumpahkan darah, padahal kami senantiasa bertasbih dengan memuji Engkau dan mensucikan Engkau?" Tuhan berfirman: "Sesungguhnya Aku mengetahui apa yang tidak kamu ketahui."

44 Dalam konteks ini, melindungi dan merawat bumi, menurut Fakhruddin al Razi dalam tafsir Mafatih al Ghaib, merupakan suatu kewajiban setiap muslim dan menjadi tujuan universal syariat Islam. Semua itu menunjukkan betapa Allah SWT menciptakan segala sesuatu dalam keseimbangan dan keserasian. Semuanya serba terkait. Jika terjadi gangguan yang luar biasa terhadap salah satunya, maka akan terganggu pula makhluk lainnya. Karenanya, keseimbangan dan keserasian tersebut harus dipelihara, agar tidak terjadi kerusakan.

45 BAB III PEMBAHASAN 3.1 Analisis Pembentukan Model Predator Prey dengan Perlambatan Berikut adalah model populasi predator prey dengan perlambatan yang diperkenalkan olah May pada tahun 1974: dx ( t ) x ( t τ ) = rx ( t ) 1 α x ( t ) y ( t ) dt K dy ( t ) = cy ( t ) + β x ( t ) y ( t ) dt (3.1) dimana r, K, τ, α, c dan β adalah konstanta positif. Parameter model (3.1) yaitu : K= daya kapasitas r = laju pertumbuhan intrinsik prey c = laju kematian jika predator tanpa prey α = laju perpindahan dari prey ke predator β = laju perpindahan dari predator ke prey τ = waktu perlambatan Dimulai dengan menganalisis pembentukan model predator. Pertama, dengan memperhatikan apa yang terjadi pada populasi predator ketika tidak adanya prey, tanpa sumber makanan, bilangannya diharapkan berkurang secara eksponensial, dideskripikan oleh persamaan di bawah ini : dy = cy dt

46 Persamaan ini menggunakan hasil kali dari bilangan predator (y) dan kelajuan kematian predator (c). Tanda negatif pada bagian kanan persamaan untuk mendeskripsikan penurunan kelajuan dari populasi predator terhadap pengaruh waktu. Dengan adanya prey (sebagai konsumsi predator) pengurangan ini dilawan oleh laju kelahiran predator, yang ditentukan oleh laju konsumsi ( β xy ). Dimana laju penyerangan ( β ) dikalikan dengan bilangan y dan bilangan x. Bilangan predator dan prey naik ketika pertemuan predator dan prey lebih sering, tetapi laju aktual dari konsumsi akan tergantung pada laju penyerangan ( β ). Persamaan populasi predator menjadi dy dt = cy + β xy Perkalian β y adalah tanggapan predator secara numerik atau peningkatan perkapita dari fungsi prey yang melimpah. Dan untuk perkalian β xy menunjukkan bahwa kenaikan populasi predator sebanding dengan perkalian dan prey yang melimpah. Selanjutnya dianalisis populasi prey. Diharapkan tanpa serangan predator, bilangan prey akan naik secara eksponensial. Persamaan di bawah ini mendeskripsikan laju kenaikan populasi prey dengan pengaruh waktu, dimana r adalah laju pertumbuhan intrinsik prey dan x adalah jumlah dari populasi prey. dx = dt rx

47 Di hadapan predator, bagaimanapun juga populasi prey mencegah agar tidak terjadi peningkatan eksponensial secara terus menerus. Karena model predator prey memiliki waktu yang kontinu dan mengisyaratkan tentang model pertumbuhan populasi maka termasuk dalam model logistik. Jadi persamaan di atas menjadi: dx dt = rx ( 1 x K ) Dengan adanya predator, kenaikan ini dilawan oleh laju kematian prey karena adanya penyerangan dari predator, yang ditentukan oleh laju konsumsi ( α xy ). Dimana laju penyerangan (α ) dikalikan dengan bilangan y dan bilangan x. Bilangan predator dan prey turun ketika pertemuan predator dan prey lebih sering, tetapi laju aktual dari konsumsi akan tergantung pada laju penyerangan (α ). Persamaan populasi prey menjadi: dx dt x = rx ( 1 ) α xy K Karena dalam kondisi tertentu pada populasi prey tedapat keterlambatan (waktu τ )pada laju kelahiran maka persamaan populasi menjadi : dx dt ( x τ ) = rx ( 1 ) α xy K Jadi sistem persamaan diferensial model predator prey dengan perlambatan adalah :

48 dx ( t ) x ( t τ ) = rx ( t ) 1 α x ( t ) y ( t ) dt K dy ( t ) = cy ( t ) + β x ( t ) y ( t ) dt 3. Analisis Model Predator Prey dengan Perlambatan Berikut ini adalah pembahasan tentang analisis model predator prey dengan mempertimbangkan waktu perlambatan, May (1974) telah menunjukkan model sistem persamaan diferensial di bawah ini : dx ( t ) x ( t τ ) = rx ( t ) 1 α x ( t ) y ( t ) dt K dy ( t ) = cy ( t ) + β x ( t ) y ( t ) dt (3.) Dimana r, K, τ, α, c dan β adalah konstanta positif. Model (3.) memuat sebuah single diskrit perlambatan. Jika masa perlambatan dari prey adalah τ, maka fungsi laju pertumbuhan perkapita akan membawa sebuah waktu perlambatan τ. Di dalam skripsi ini akan dianalisis pengaruh waktu perlambatan terhadap kestabilan titik ekuilibrium dari sistem. Titik equilibrium model (3.) ada yaitu : 1. Titik (0,0) dy. Titik kedua yang memenuhi = 0 dt dx dan = 0 yaitu : dt

49 dy = 0 dt cy + β xy = 0 cy x = β y c x = β dan dx = 0 dt rx rx α xy = 0 rx rx y = α x rx r y = α rc r β K y = α r ( K β c ) y = αβ K c r ( K β c ) Jadi titik ekuilibrium yang kedua yaitu,. β αβ K Dalam skripsi ini akan difokuskan pada analisis kestabilan dari titik equilibrium E *, karena titik equilibrium tersebut berada di kuadran positif dan asimtot stabil ketika tidak ada waktu perlambatan. Untuk memahami kestabilan lokal dari titik equilibrium E * pada model (3.), akan dianalisis model sistem persamaaan diferensial nonlinear setelah model tersebut dilinearisasi. Misalkan u ( t ) x * = x ( t ) dan v ) ( t ) = y ( t y. Maka setelah disubtitusi ke dalam model (3.) didapatkan :

50 u &( t ) = r u t v &( t ) = c v t atau u ( t τ ) + x ( ( ) + x ) 1 α u ( t ) ( ( ) + y ) + β u ( t ) K ( + x )( v ( t ) + y ) ( + x )( v ( t ) + y ) r r r r u &( t ) = ru ( t ) + rx u ( t ) u ( t τ ) x u ( t τ ) x u ( t ) ( x K K K K α u ( t ) v ( t ) α x v ( t ) α y u ( t ) α x y ) v &( t ) = cv ( t ) cy + β u ( t ) v ( t ) + β y u ( t ) + β x v ( t ) + β x y Setelah menyederhanakan dan mengabaikan hubungan hasil kali, didapat sebuah model linear : r u &( t ) = x u ( t τ ) α x v ( t ) K v &( t ) = β y u ( t ). Menganalisis kestabilan lokal dari titik ekulibrium titik E pada model (3.) ekuivalen dengan menganalisis kestabilan dari titik ekulibrium nol pada model linear. Dari model yang telah dilinearisasi didapatkan matrik Jacobian sebagai berikut : J f 1 = u f u f 1 v f v Misalkan f = u &( ) dan f = v &( ) maka didapatkan matriks Jacobian sebagai berikut : 1 t 1 t J = r K x β y e λτ α x 0

51 Polinom karakteristik dari J adalah : = det ) det( y x e x K r J I β α λ λ λ λτ = + λ β α λ λτ y x e x K r det = + + y x e x K r αβ λ λ λτ Jadi persamaan karakteristik dari J adalah sebagai berikut : 0 = + + Q Pe λτ λ λ (3.3) dimana = x K r P dan. = y x Q αβ Untuk 0 = τ persamaan karakteristik (3.3) menjadi : 0 = + + Q P λ λ (3.4) yang memiliki akar akar. 4, 1 Q P P ± = λ (3.5) Karena P dan Q keduanya adalah bilangan positif, nilai eigen dari persamaan karakteristik (3.4) memiliki bagian riil negatif. Sedangkan untuk, 0 τ jika,, > 0 = ω ω λ i adalah sebuah akar dari persamaan karakteristik (3.4) maka didapatkan :, 0 = + + Q e ip iωτ ω ω

52 ω + ip ω cos( ωτ ) + P ω sin( ωτ ) + Q = Dengan memisahkan bagian riil dan imajinernya, didapatkan : ω + P ω sin( ωτ ) + Q = 0, (3.6) P ω cos( ωτ ) = 0. Kedua persamaan diatas dikuadratkan menjadi: 0. 4 P ω sin ( ωτ ) = ω Q ω + Q P ω cos ( ωτ ) = 0. Kedua persamaan diatas dijumlahkan, menjadi 4 P ω sin ( ωτ ) + P ω cos ( ωτ ) = ω Q ω + Q 4 P ω = ω Q ω + Q Kemudian dikelompokkan didapatkan polinomial pangkat empat: 4 ω ( P + Q ) ω + Q = 0, (3.7) Akar akar dari persamaan diatas yaitu: ω ± = {( P + Q ) ± ( P + Q ) 4 Q }, 1 atau 4 {( P + Q ) ± P + 4 P Q }. 1 ω ± = (3.8) Dari persamaan (3.7) dapat diketahui bahwa ada solusi positif pada ω ±. ± Selanjutnya dapat ditemukan nilai τ k dari subtitusi ω ± ke dalam persamaan (3.6) dan penyelesaian untuk τ, yaitu :

53 cos ωτ = 0 ωτ = cos 1 0 ωτ ωτ + Didapatkan = 90 + k π = 70 + k π π / k π 3 π / k π τ = +, τ k = + k=0,1,, (3.9) ω ω ω ω + k, + + Sebagai contoh model (3.) dimasukkan parameter r =1, K = 00, α = 0.15, c=1 dan β =0.1. Maka didapatkan beberapa grafik sebagai berikut: Gambar 3.1 Grafik Persamaan Diferensial Dari Prey (x(t)) dengan x(0)=9 dan τ = 0. 5

54 Gambar 3. Grafik Persamaan Diferensial dari Predator (y(t)) dengan y(0)=9 dan τ = 0. 5 Dan berikut ini adalah jumlah populasi predator dan dan prey pada saat nilai perlambatan τ = 0. 5 : Hari ke Prey (x(t)) Predator(y(t)) 1 9, , , , ,9188 7, , , , , ,8904 5, , , , , ,6540 7, , , ,7666 7, ,9639 5,8344

55 13 8, , , , , , ,6157 8, , , , , ,9857 5, , , ,1881 7, , , ,1174 7, ,196 6, , , ,6769 5, , , , , ,6995 7, , , ,0107 5, ,518 5, , , ,3886 7, , , ,4673 6, ,0908 5, ,4198 5, , , ,3156 7, ,5981 7, ,5763 6, , , , , , , ,5688 7, ,6385 7, , , ,071 5, ,5131 5, ,3407 6, , , , , , , , , , , ,1334 6, ,1386 7, , , , ,50550

56 61 9,1338 5, , , , , , , ,8899 7, , , ,1559 5, , , ,9900 6, , , , , , , , , , , ,8950 6, , , ,0056 7, , , ,1567 6, , , ,8094 6, , , , , ,3377 6, ,4888 6, , , ,7085 6, , , ,0890 7, , , ,880 6, , , , , ,7987 7, ,115 7, , , ,3171 6, ,8833 6, , , , , , , , , , , , , , , , , ,1691 7, , ,75858

57 109 9, , , , , , ,6558 6, , , , , ,4000 6, ,8897 6, , , ,611 6, , , , , , , , , , , , , ,0915 7, ,6545 6, , , , , ,3113 6, , , ,1599 7, ,6974 6, , , ,8034 6, ,7135 6, ,4987 6, ,06 6, ,7365 6, , , , , ,3515 6, , , ,31 6, ,7730 6, , , , , ,033 6, ,4307 6, ,44 6, , , , , ,7954 6, ,1766 6, , , ,095 6, ,8343 6,80700

58 157 9, , , , , , , , ,1807 6, , , , , , , ,1179 6, ,3315 6, ,1403 6, , , , , , , , , , , ,090 6, , , , , , , ,0808 6, ,8011 6, ,033 6, ,9516 6, , , , , , , ,5649 6, , , ,9416 6, , , , , ,0483 6, ,3438 6, , , ,9570 6, ,7781 6, ,8193 6, , , ,1373 6, ,1857 6, , , , , ,8838 6, ,070 6, , , , , ,9810 6,781

59 05 9, , , , ,01 6, , , ,1675 6, ,995 6, ,838 6, ,841 6, , , , , , , , , , , ,8495 6, , , , , ,1515 6, , , ,867 6, , , , , , , , , , , , , , , ,9859 6, , , ,1359 6, ,0050 6, , , , , , , , , ,188 6, ,0505 6, , , , , , , , , ,1080 6, ,0879 6, , , , , , , ,0897 6, ,1135 6, , ,74139

60 53 9,9141 6, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,0378 6, ,9465 6, , , ,9691 6, , , , , , , , , , , ,96 6, ,0494 6, , , , , ,9598 6, ,991 6, , , , , , , , , , , ,984 6, , , , , , , , , , , , , ,9611 6, ,0663 6, , , , ,70875

61 301 9, , , , ,9658 6, ,0 6, , , , , , , , , ,9635 6, ,0186 6, , , , , , , ,9479 6, , , ,0147 6, , , , , , , ,9516 6, , , , , ,0459 6, , , , , , , , , , , ,040 6, , , ,9947 6, , , , , ,0067 6, , , ,0334 6, ,9948 6, ,9634 6, , , , , , , , , , , ,9667 6, ,9698 6, ,0018 6, , , ,0971 6,68733

62 349 9, , , , , , , , ,0876 6, ,0836 6, ,0003 6, ,9765 6, ,9748 6, , , ,0599 6, ,0699 6, , , , , , , , , ,0343 6, ,056 6, ,007 6, , , , , , , ,0105 6, ,046 6, , , , , , , , , , , ,09 6, , , ,9817 6, ,9778 6, , , ,0168 6, ,0160 6, , , , , , , , , , , ,003 6, , , , , , , , , ,0135 6, , ,67518

63 397 10, , , , , , ,9937 6,65449 Tabel 3.1 Jumlah Populasi Predator dan Prey Dari grafik (3.1) dan (3.) di atas dapat diamati bahwa dengan nilai perlambatan τ = 0. 5 titik ekuilibrium (10;6.33) sistem persamaan diferensial model predator prey stabil. Gambar 3.3 Grafik Jumlah Populasi Predator dan Prey dengan τ =. 7 Dari grafik (3.3) dapat diamati bahwa dengan nilai perlambatan τ =. 7 titik ekuilibrium (10;6.33) sistem persamaan diferensial model predator prey tidak stabil. Dari persamaan (3.9) yang telah diubah ke dalam bentuk radian didapatkan nilai nilai perlambatan sebagai berikut :