4. Undecidabality(Bagian1)

Transkripsi

1 IF5110 Teori Komputasi 4. Undecidabality(Bagian1) Oleh: Rinaldi Munir Program Studi Magister Informatika STEI-ITB 1

2 MaknaUndecidabality Persoalan keputusan(decision problem): persoalan yang jawabannya hanya salah satu dari dua: ya (yes) atau tidak (no), atau ekivalen dengan1 atau0 (trueataufalse). Contoh: Diberikan masukan sebuah bilangan bulat n. Apakah n bilangan prima? Jawabanya: ya(jika n prima) atau tidak(jika n bukan prima) Persoalankeputusan(problem) yang tidakdapatdiselesaikan(solved) olehkomputerdisebutundecidable. undecidable tidak dapat diputuskan jawabannya ya atau tidak. Sebaliknya persoalan keputusan disebuat decidable jika terdapat algoritma yang apabila diberikan instansiasi(instance) persoalan tersebut maka akan memberikan jawaban ya atau tidak. 2

3 Contoh: diberikanprogram Hello World yang diperkenalkanolehbrian Cernighanberikutini. main() { printf( Hello, world!\n ); } Tetapiinibukansatu-satunyaprogram Hello World. Adabanyakprogram lain yang jugamencetak Hello world! seperti di bawah ini: 3

4 main() { int X; scanf( %d, &X); while (X!= 1) { if (X % 2 == 0) /* X genap */ X = X / 2 else X = 3*X + 1; } if (X == 1) printf( Hello, world!\n ); } Apakah program mencetak Hello, world! untuk semua nilai X? 4

5 -Program menerima input n - Lalu mencari solusi integer dari persamaanx n + y n = z n. - Jika ditemukan, maka cetak Hello, world! -Jika tidak pernah menemukan x, y, danzyang memenuhi, iaakan terus looping dan tidak pernah mencetak Hello, world! - Untuk n = 2, solusinyaadayaitux= 3, y= 4, danz= 5. - Jadiuntukn= 2 program mencetak Hello, world! - Tetapiuntukn> 2 program tidakpernahmenemukan x, y, dan z yang memenuhi, sehingga gagal mencetak Hello, world! 5

6 Apakah ketiga program Hello world di atas selalu mencetak string Hello, world! untuksetiapinputyang diberikan? PersoalanHello-world (Hello-world-problem): Diberikansebuahprogram PbesertamasukanI (jikaada). Tentukanapakahprogram Pmencetakstring Hello, world! sebagai luarannya? decision problem Jawaban: ya, jika P mencetak Hello, world! tidak, jikaptidakmencetak Hello, world! Akan dibuktikan bahwa tidak ada algoritma untuk memecahkan persoalan Hello-world. 6

7 Hello-world Tester Untuk membuktikan bahwa tidak ada algoritma untuk memecahkan persoalan Hello-world, kita mengasumsikan terdapatprogram HsebagaiHello-world tester. Hello-world tester memeriksa apakah program P beserta data masukan I mencetak string Hello, world!. Misalkan program tester tersebut adalah H. Program H menerima masukan berupa P dan I, dan memberikan luaran berupa string ya atau tidak. P I H ya tidak Gambar 1. Program hipotetik H sebagai Hello-world tester 7

8 JikasebuahpersoalanmemilikialgoritmapenyelesaiansepertiH, maka algoritma tersebut selalu dengan tepat memberikan jawaban ya atau tidak apapun instansiasi persoalan yang diberikan. Jika demikianmakakitakatakanpersoalantersebutdecidable. Sebaliknyadisebutundecidable. Akan dibuktikan bahwa H untuk persoalan Hello-world tidak pernah ada, yaitupersoalanhello-world adalahundecidable. PembuktianbahwaHtidakadadilakukandengancara kontradiksi, yaitumengasumsikanpersoalanhello-worldadalahdecidable. Kontradiksi dilakukan dengan membuat modifikasi pada H. Modifikasi itu mudah dilakukan, karena jika H ditulis dalam Bahasa C maka modifikasinyahanyadenganmengubahstatementdidalamprogram H. 8

9 Asumsikan bahwa H ada. Sekarang, modifikasihmenjadih 1 yang memilikiperilaku sepertih, tetapih 1 tidakmencetakstring tidak sebagai luarannya, melainkanmencetak Hello, world!. P ya I H 1 Hello, world! Gambar2.H 1 berlakusepertih, tetapih 1 mencetak Hello, world! ketika Hmencetak tidak 9

10 Selanjutnya, modifikasih 1 menjadih 2. -H 2 hanyamenerimasatumasukanyaitu P. -H 2 memilikiperilakusepertih 1 tetapibaikprogram dandata masukannyakeduanyasamadenganp. Dengankatalain, H 2 (P) = H 1 (P, P) ya P H 2 Hello, world! Gambar3.H 2 berlakusepertih 1, tetapi masukannyaadalahp sebagaip sekaligus I 10

11 UntukmemodifikasiH 1 menjadih 2, caranyaadalahsebagai berikut: 1. H 2 mula-mulamembacaseluruhkodeprogram Pdan menyimpannyadidalamlarik(array) A. 2. H 2 kemudianmensimulasikanh 1, tetapiketikah 1 akan membaca input dari P(yaitu I), maka langkahnya diganti dengan membaca string yang sebelumnya disimpan di dalamlarika. PerhatikanGambar3, bahwah 2, biladiberikanprogram P sebagai masukannya, akan menghasilkan luaran ya jika P mencetak Hello, world! bila masukannya adalah string dirinya sendiri. Selainitu, H 2 akanmencetak Hello, world jikap(yang menerimamasukandirinyasendiri) tidak mencetak Hello, world! sebagailuarannya. 11

12 AkanditunjukkanbahwaH 2 tidakada, akibatnyah 1 tidakada, dankesimpulannyah jugatidakada. Kunci pembuktiannya adalah dengan membayangkan apa yang dilakukanh 2 jikamasukanyang diberikanadalahdirinya sendiri(gambar 4). Dengankatalain, apayang dilakukanolehh 2 (H 2 )? ya H 2 H 2 Hello, world! Gambar4. Apa yang dilakukanh 2 bilamenerimamasukanadalahdirinyasendiri? 12

13 1) JikaH 2 (H 2 ) = ya makaapabilah 2 diberikanh 2 sebagaidata masukannya maka ia tidak mencetak Hello, world!. Namun, H 2 (H 2 ) = H 1 (H 2,H 2 ) = H(H 2,H 2 ), danhmencetak ya jikadan hanyajikamasukanpertamanya, yaituh 2 (yang menerimamasukan kedua sebagai data), mencetak Hello, world!. Jadi, H 2 (H 2 ) = ya mengimplikasikanh 2 (H 2 ) = Hello, world! 2) Tetapi, jikah 2 (H 2 ) = Hello, world!, makah 1 (H 2,H 2 ) = Hello, world! danh(h 2,H 2 ) = tidak. (maksudnya, Hmencetak tidak jikadan hanyajikamasukanpertamanya, yaituh 2(yang menerimamasukan kedua sebagai data), tidak mencetak Hello, word! (berarti mencetak ya ) Jadi, H 2 (H 2 ) = Hello, world! mengimplikasikanh 2 (H 2 ) = ya Keduasituasiiniparadoks, sehinggadisimpulkanh 2 tidakada, akibatnyah 1 tidakada, dankesimpulannya Hjugatidakada. Dengan kata lain, tidak ada algoritma untuk menentukan apakah program P dengan masukan I mencetak Hello, world! sebagai luarannya. Persoalan Hello-world adalah undecidable. 13

14 Bahasavs. Persoalan Ingatlah kembali bahwa bahasa adalah himpunan string Bahasa(padaalfabetA) adalahhimpunanbagiandaria *. Sebuah instans persoalan(problem) dapat diekspresikan sebagai himpunan string <input,output>. Misalnya, persoalan penjumlahan(a+b) ekivalen dengan himpunan string yang berbentuk{a1b11a+b}. Integer a dan b dinyatakan sebagai0 a dan0 b, sedangkana+bdinyatakansebagai0 a+b Contoh: { , } Penjelasan: artinya apakah = 5? Jawaban untuk persoalan ini adalah YA atau TIDAK Himpunan string-string tersebut membentuk bahasa pada alfabet biner Jadi, setiap persoalan berkoresponden dengan bahasa. 14

15 Contoh lain: persoalan hello-world(yang dibahas pada bagian awal kuliah) dapat direpresentasikan sebagai string yang terdiri dari kode program hello-world (dalam Bahasa C) diikuti dengan satu atau lebih masukan(jika ada). Himpunan string tersebut membentuk bahasa pada alfabet yang tediri dari karakter-karakter ASCII. {main(){printf( Hello, world!\n );}## Hello,world!} Instanspersoalandiatasdibaca: apakahkode-kodeprogram C tersebut memberikan luaran Hello,world! sebagai luaran pertamanya? Jawaban untuk persoalan ini adalah YA atau TIDAK. 15

16 DuaTipeMesinTuring Terdapat dua tipe Mesin Turing (MT) didasarkan pada apakah ia berhenti atau tidak setelah diberikan input string: 1. MesinTuring yang selaluberhentiuntuksetiapinputstring yang diberikan, tanpa memperhatikan apakah ia menerima (accept) atau tidak menerima string tersebut. Persoalan yang diselesaikan oleh mesin Turing tipe ini disebut decidable problems. Dengan kata lain, sebuah persoalan disebut dedicable jika mesinturing dapatmemecahkan(solveataudecide) ) persoalan tersebut Mesin Turing dalam hal dapat disebut sebagai sebuah algoritma. Bahasa yang diterima oleh mesin Turing tipe ini disebut bahasa rekursif(recursive language) 16

17 Mesin Turing tipe ini memberikan jawaban YA (accept) atau TIDAK (reject) untuksetiapinstanspersoalan. Instans persoalan Mesin Turing YA TIDAK if jawaban persoalan adalah YA maka berhenti pada status ya if jawaban persoalan adalah TIDAK makaberhentipadastatus TIDAK 17

18 Status YA Status TIDAK Status YA dan status TIDAK adalah status berhenti(final state) 18

19 Contoh decidable problem: Apakah jawaban persoalan di bawah ini, YA atau TIDAK? Apakah mesin M memiliki tiga status? Apakah string w adalah bilangan biner? Apakah sebuah DFA M menerima sembarang masukan string? 19

20 2. Mesin Turing yang hanya berhenti jika ia menerima string yang diberikan(dinyatakan oleh status akhir). Jika mesin tidak menerima, maka ia tidak akan berhenti(infinite loop) Jadi, kita tidak pernah yakin apakah string tersebut diterimaatauditolak. Bahasa yang diterima oleh mesin Turing tipe ini disebut bahasa yang dapat dienumerasi secara rekursif (recursively enumerable language) Mesin Turing tipe ini sering diacu sebagai prosedur 20

21 Recursive Languages vs. Recursively Enumerable (RE) Languages Sebuahbahasaformal disebutbahasarekursif(recursive lanauage) jika terdapat mesin Turing yang selalu berhenti untuksetiapinput stringyang diberikan. Sembarang mesin Turing M untuk bahasa rekursif akan terlihatsepertiini: 21

22 Sebuahbahasaformal disebutbahasarecursively enumerable (RE) jika terdapat mesin Turing yang hanya berhenti jika jika menerima(accept) input stringyang diberikan. Sembarang mesin Turing M untuk bahasa RE akan terlihat sepertiini: 22

23 Istilah rekursif sinonimdengandecidable. Di dalam pemrograman atau matematika, sebuah fungsi rekursif akan pasti berhenti. Jadi, sebuah persoalan disebut rekursif jika kita dapat membuat fungsi rekursif untuk memecahkannya, dan fungsi rekursif tersebut selaluberhenti. Istilah recursively enumerable memiliki makna yang serupa dengan di atas. Sebuah fungsi yang dapat mendaftarkan semua stringdarisebuahbahasadisebutfungsiyang mengenumerasi bahasatersebut. Bahasa yang anggota-anggotanya didaftarkan dalam suatu urutan tertentusamadenganbahasayang diterimaolehmesinturing, meskipunmesinturing mungkinakan infinite loop padainput string yang tidakiaterima. 23

24 DefinisiFormal Definisi. Misalkan adalahalfabetdanl * adalah sebuah bahasa. Kita katakan bahasa L adalah rekursif jika L = L(M) untuk mesin Turing M sedemikian sehingga untuk setiap w * berlaku kondisi berikut: 1.Jikaw L, makakomputasimesinturing Mterhadap input string wberhentipadastatus diterima(accept status). 2.Jikaw L, makakomputasimesinturing Mterhadap input string wberhentipadastatus ditolak(reject status). Keterangan: L = L(M) artinya bahasa yang diterima oleh mesin Turing M 24

25 Mesin Turing M yang bertipe ini dapat dianggap sebagai sebuah algoritma. Algoritma adalah urutan langkah-langkah yang terdefinisi dengan baik dan selalu berhenti dan menghasilkan jawaban. Oleh karena sebuah persoalan berkoresponden dengan sebuah bahasa, maka persoalan L disebut decidable jika ia adalah bahasa rekursif. Dengan kata lain, sebuah bahasa disebut dicidable jika terdapat algoritma yang: (i) berhenti pada setiap input string w, dan (ii) menyimpulkanapakahw Latauw L. Bahasayang tidakdecidabledisebutundecidablelanguage. Untukbahasaundecidabletidakterdapatalgoritmayang memenuhi(i) dan(ii). 25

26 HubunganAntaraBahasaRekursif, RE, dannon-re Keteangan: L d = Bahasadiagonalisasi(akandijelaskankemudian) L u = BahasaUniversal (akandijelaskankemudian) 26

27 Recursively Enumerable (RE) Hirarkhi bahasa formal menurut Chomsky: Non-RE Languages Regular (DFA) Contextfree (PDA) 27 Context sensitive Recursive

28 Recursive, RE, Undecidable languages 28

29 KaidahTentangKomplemen MisalkanLadalahsebuahbahasapadaalfabet{0, 1} dan L adalahkomplemennya. Kaidah 1: Jika L rekursif, maka L juga rekursif 29

30 Kaidah2: JikaLdan L adalahre, makaladalahrekursif. MenurutKiadah1, L jugarekursif. MisalkanL 1 = L(M 1 ) danl 2 = L = L(M 2 ) 30

31 UndecidableProblems Beberapa persoalan tergolong undecidable, yang berarti tidak terdapat mesin Turing yang dapat menyelesaikan instans persoalan tersebut. Contoh: Hello-world problem Halting problem Membership Problem 31

32 Membership Problem Membership problem: DiberikanmesinTuring Mdanstring w. ApakahMmenerimaw? Dengan kata lain, apakah w termasuk ke dalambahasayang dikenaliolehm, atauw L(M)? 32

33 Untuk membuktikan bahwa membership problem adalah undecidable, maka dilakukan pembuktian dengan kontradiksi sebagai berikut: Misalkan terdapat mesin Turing H untuk memecahkan membership problem. M YA M menerima w w H TIDAK M menolak w 33

34 Misalkan L adalah bahasa recursively enumerable dan misalkanm adalahmesinturing yang menerimal. Kita akanbuktikanbahwaljugaadalahbahasarekursif. Kita gambarkan mesin Turing yang menerima L dan berhenti pada sembarang masukan apapun yang diberikan: M H YA terima w w M menerima w? TIDAK tolak w 34

35 Oleh karena itu L adalah bahasa rekursif KarenaLadalahbahasayang dipilihsembarang, maka setiap bahasa recursively enumerable juga adalahbahasarekursif. Tetapi, terdapatbahasarecursively enumerable yang bukanbahasarekursif. Kontradiksi! 35

36 Halting Problem Halting problem adalahpersoalanrecursively enumerableyang juga undecidable. Halting Problem: Diberikansebuahprogram Pdanmasukannya, I. TentukanapakahPakanberhentipadainput I? Mengingat mesin Turing dapat dipandang sebagai sebuah program danpita sebagaidata masukan, makadeskripsihalting Problem di atas ekivalen dengan Halting Problem pada mesin Turing, sepertiyang sudahdipelajarisebelumnya: Halting Problem: Diberikan mesin Turing M dan string masukan w. Tentukanapakah M akanberhentipadainput w? 36

37 37

38 Akan dibuktikan bahwa Halting Problem adalah undecidable. Untukmembuktikannya, asumsikanbahwahalting Problem adalahdecidable, yaituterdapatmesinturing universal Hyang mensimulasikan perilaku mesin Turing M. Hmenerimainput berupaperilakumdandata w. Hmemberikan jawaban 1 jikamberhentisetelahmengolahw, atau 0 jikam tidak berhenti setelah mengolah w. M w H 1 0 M berhenti setelah mengolah w M tidak berhenti setelah mengolah w 38

39 Konstruksi H w M Akankah M berhenti setelah mengolah w? Perilaku M w H H menuliskan: 1 jika M berhenti setelah membaca w 0 jika tidak 39

40 MisalkanmesinHdimodifikasimenjadimesinH 1 sedemikian sehinggah 1 memilikiperilakusepertih, namunbedanya: H 1 mengalamiinfinite loop jikamberhentisetelah mengolah w H 1 berhentijikamtidakberhenti(mengalamiinfinite loop) setelah mengolah w Perilaku M w H 1 mengalamiinfinite loop jikam berhenti setelah mengolah w H 1 H 1 berhentijikamtidakberhenti (mengalami infinite loop) setelah mengolah w 40

41 Selanjutnya, mesinh 1 dimodifikasilagimenjadimesinh 2. MesinH 2 membacahanyadeskripsiperilakum, lalumenirukanperilakuh 1. PerilakuH 2 dapatdigambarkansebagaiberikut: Jikadiberikan deskripsi perilaku mesin M, maka: - H 2 mengalamiinfinite loop jikam berhenti setelahmengolah deskripsi perilaku M sendiri. - H 2 berhentijikam tidakberhenti(mengalamiinfinite loop) setelah mengolah deskripsi perilaku M sendiri. H 2 menyalinperilakum copy H 2 menirukanperilakuh 1 perilaku input Perilaku M Perilaku M Perilaku M H 2 mengalamiinfinite loop jikam berhenti setelah mengolah M H 2 H 2 H 2 berhentijikamtidak berhenti setelah mengolah M 41

42 AkanditunjukkanbahwaH 2 tidakada, akibatnyah 1 tidakada, dan kesimpulannya H juga tidak ada. Cara pembuktiannyaadalahdenganmengamatiapayang terjadipadah 2 jikamasukanyang diberikanadalahperilaku dirinya sendiri. perilakuh 2 H 2 H 2 H 2 H 2 42

43 PerilakuH 2 : Mengalamiinfinite loop jika H 2 berhentisetelahmengolahh 2. Berhentijika H 2 tidakberhenti (mengalamiinfinite loop) setelah mengolahh 2. H 2 h 2 H 2 H 2 H 2 Pada keadaan yang digambarkan oleh Gambar di atas, dapat ditunjukkansifat-sifatberikut: - H 2 mengalamiinfinite loop jikah 2 berhentisetelahmengolah perilakunya sendiri, dan - H 2 berhenti jikah 2 tidakberhenti(mengalamiinfinite loop) setelah mengolah perilakunya sendiri KONTRADIKSI!!! 43

44 Dari keduasifatdiatasterlihatadanyahalyang bertentangan: H 2 mengalamiinfinite loop jikadanhanyajikah 2 berhenti. Hal ini tidak mungkin terjadi atau kontradiksi, sehingga akibatnya dapat disimpulkan: H 2 tidakada==> H 1 tidakada==> Htidakada Dengankatalain, mesinturing untukmenyelesaikanhalting Problem tidak mungkin ada! Dengan kata lain, Halting Problem adalah undecidable. 44