BAB 2 LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 51 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Dasar Teori Antrian Dalam hampir setiap organisasi selalu ada contoh proses yang menimbulkan deretan tunggu disebut antrian. Deretan bagian, mesin atau unit harus menunggu untuk memperoleh pelayanan karena fasilitas pelayanan terbatas dan tidak bisa memenuhinya secara bersamaan. Bila berpergian dengan pesawat maka akan dihadapkan berbagai deretan antrian. Untuk membeli karcis, orang harus berdiri dalam deretan menuju loket agen perjalanan. Begitu tiba di lapangan udara, orang harus berdiri pada deretan pemeriksaan bagasi dan pemeriksaan paspor. Di dalam pesawat penumpang harus berdiri lagi dalam deretan untuk mendapatkan tempat duduk. Ini adalah contoh dalam kehidupan sehari-hari tentang antrian. Pengertian Teori Antrian Banyak model yang berbeda tentang sistem aliran barang mencakup faktor-faktor yang ditandai dengan suatu sebaran peubah acak. Yang paling umum digunakan adalah pendekatan analitis pada sistem aliran acak seperti pada analisis antrian, atau teori antrian. Teori antrian mengacu kepada

2 52 pengamatan matematis dan fisik dari suatu kelompok masalah yang ditandai dengan ciri-ciri : 1. Ada masukan dari satuan yang memasuki sistem 2. Satuan yang bergerak melewati sistem adalah diskrit. 3. Satuan yang mulai membutuhkan pelayanan disusun dengan satu cara dan menerima pelayanan menurut susunan tadi. 4. Mekanisme yang ada yakni yang mengatur kapan satu satuan yang melayani selesai dilayani. 5. Paling tidak satu dari dua mekanisme, kedatangan atau pelayanan, tidak ditentukan seluruhnya tetapi dapat diperhitungkan pada satu jenis sistem probabilistik (berpeluang). Menurut Taha (1996, p135), teori antrian adalah teori yang menyangkut studi matematis dari antrian-antrian atau baris-baris penungguan. Formasi baris-baris penungguan merupakan sesuatu yang biasa terjadi apabila kebutuhan akan suatu pelayanan melebihi kapasitas yang tersedia untuk menyelenggarakan pelayanan tersebut. Apabila pelayanan terlalu banyak maka akan memerlukan ongkos yang besar, sebaliknya jika kapasitas pelayanan kurang maka akan terjadi baris penungguan dalam waktu yang cukup lama yang juga akan menimbulkan ongkos baik berupa ongkos sosial, kehilangan langganan ataupun pengangguran kerja. Yang menjadi tujuan utama teori antrian ialah

3 53 mencapai keseimbangan antara ongkos pelayanan dengan ongkos yang disebabkan oleh adanya waktu menunggu tersebut. Ada dua kondisi yang dijumpai dalam sistem manusia-mesin : Siklus waktu kegiatan permesinan (machine cycle time) dan kegiatan pelayanan (operator cycle time) berlangsung secara konstan dan dapat diprediksikan. Kedua siklus kegiatan baik permesinan maupun pelayanan berlangsung secara random atau acak. Proses yang terjadi pada model antrian dapat digambarkan seperti berikut : Gambar 2.1 Model Antrian Sumber Gambar: Taha, Hamdy A. (1996). Riset Operasi. Jilid 2. Binarupa Aksara, Jakarta. Unit-unit langganan yang memerlukan pelayanan yang diturunkan dari suatu sumber input memasuki sistem antrian dan ikut dalam antrian. Dalam waktu tertentu, anggota antrian ini dipilih untuk dilayani. Pemilihan ini didasarkan pada suatu antrian tertentu yang disebut disiplin pelayanan atau service dicipline. Pelayanan yang diperlukan dilaksanakan dengan suatu

4 54 mekanisme pelayanan tertentu (service mechanism). Setelah itu, unit-unit langganan meninggalkan sistem antrian Teori Antrian Dengan Gabungan Kedatangan Dan Kepergian Menurut Taha (1997,p185), Notasi yang sesuai dengan untuk meringkaskan karakteristik dari antrian parallel telah secara universal dibakukan dalam format berikut ini: (a/b/c) : (d/e/f) Dengan pendekatan sistem, suatu antrian dapat dilihat pada gambar sebagai berikut : Gambar 2.2 Sistem Antrian Sumber : Modul PSK&E Lab Teknik Industri Dimana simbol a, b, c, d, e, dan f adalah unsur-unsur dasar dari model ini sebagai berikut: a b = Distribusi kedatangan = Distribusi waktu pelayanan (atau keberangkatan)

5 55 c d e f = Jumlah pelayanan pararel (c=1,2,..., ) = Peraturan pelayanan ( misalnya, FCFS, LCFS, GD, SIRO) = Jumlah maksimum yang diijinkan dalam sistem = Ukuran sumber pemanggil Notasi baku tersebut menggantikan simbol a dan b untuk kedatangan dan keberangkatan dengan kode berikut ini, M = distribusi kedatangan atau keberangkatan dalam poisson (atau Markov, atau distribusi antar-kedatangan atau pelayanan eksponensial yang setara) D = waktu antar kedatangan atau waktu pelayanan yang konstan ataupun deterministik Ek = distribusi erlangian atau gamma dari distribusi antar kedatangan atau waktu pelayanan dengan parameter k. GI = distribusi indenpenden umum dari kedatangan (atau waktu antarkedatangan) G = distribusi umum dari keberangkatan (atau waktu pelayanan) Teori antrian berhubungan dengan analisa suatu antrian dan perilakunya. Secara umum dapat dikatakan bahwa suatu antrian terjadi bila tingkat jumlah orang atau sesuatu yang harus dilayani lebih besar daripada tingkat jumlah pelayanannya. Jika jumlah orang/barang yang datang/harus dilayani lebih kecil daripada kecepatan pelayanannya, maka antrian akan berkurang atau mungkin tidak ada antrian lagi.

6 56 Pekerjaan atau orang yang datang ke sistem dapat berasal dari suatu populasi yang finite atau infinite. Bila jumlah pekerjaan atau orang/barang tidak mempunyai limit yang diperbolehkan menunggu dalam suatu antrian, maka antrian ini disebut sebagai infinite. Sebaliknya, bila antrian mempunyai limit disebut antrian finite. Karakteristik lain yang diperlukan untuk menjelaskan situasi antrian adalah disipin antrian. Istilah disiplin antrian menyatakan metode suatu set aturan yang digunakan untuk menentukan urutan pekerjaan atau orang/barang yang akan dilayani. Dalam teori antrian diasumsikan bahwa pekerjaan atau orang/barang akan dilayani menurut First come, first served basis, yaitu menurut urutan yang sama sebagaimana mereka datang dalam antrian. Dalam praktek, beberapa fasilitas pelayanan seperti Kantor Pos, Supermarket, Bank jika sistem antrian yang dimiliki mempunyai beberapa fasilitas pelayanan yang menganggur ada biayanya, demikian pula bagi orang yang menunggu fasilitas pelayanan, maka dalam kenyataannya kita temui ketidak-seimbangan antara input dan proses outputnya. Karenanya tujuan daripada teori antrian ini adalah meminimalkan total biaya yang timbul dari fasilitas pelayanan yang menganggur dan waktu yang hilang bagi orang/barang karena menunggu pelayanan.

7 Situasi Antrian Situasi antrian yang terdapat di perusahaan industri, antrian langganan di Supermarket ataupun di Bank mempunyai kesamaan. Situasi yang sama tersebut adalah nasabah membutuhkan perhatian atau layanan. Sebagai contoh dari nasabah perusahaan industri adalah pembuatan mesin-mesin yang harus diuji coba oleh operator mesin. Disini operator mesin bertindak sebagai pemberi jasa pelayanan. Dari berbagai masalah penerapan teori antrian, perlu untuk dibuat beberapa dasar asumsi tentang aspek-aspek khusus dari sistem antrian. Dalam model dasar teori antrian, asumsi-asumsi yang dibuat adalah : 1. Proses atau pola kedatangan. 2. Proses pelayanan. 3. Ukuran antrian 4. Disiplin Antrian 5. Jumlah fasilitas pelayanan Nasabah dapat datang di suatu antrian menurut berbagai cara yang berbeda. Mereka dapat datang dalam kelompok kecil atau besar, secara teratur atau tidak teratur waktunya. Dengan demikian proses atau pola kedatangan dari suatu antrian mungkin sangant besar variabilitasnya. Karena waktu kedatangan tidak dapat diketahui dengan pasti, kita harus menentukan distribusi probabilitas atas kedatangan tersebut. Dalam model dasar antrian, distribusi ini disebut exponential distribution. Dari teori

8 58 statistik kita ketahui bahwa pola kedatangan adalah secara random, maka interval atau jarak antara kedatangan akan mengikuti distribusi exponential ini. Bila pola kedatangan ini betul-betul secara random, maka dengan mengelompokkan data kedatangan kedalam interval waktu yang sama akan kita peroleh distribusi Poisson. Jadi distribusi Poisson juga digunakan untuk menjelaskan proses kedatangan bila waktu diantara interval mempunyai distribusi exponensial Unsur-Unsur Dasar Dari Model Antrian Dari sudut pandang model antrian, situasi antrian diciptakan dengan cara berikut ini. Sementara para pelanggan tiba di satu sarana pelayanan, mereka bergabung dalam sebuah antrian. Pelayan memilih seorang pelanggan dari antrian untuk memulai pelayanan. Setelah selesainya pelayanan, proses memilih pelanggan baru (yang sedang menunggu) diulangi. Diasumsikan tidak ada waktu yang terhilang antara penyelesaian pelayanan dengan diterimanya seorang pelanggan baru di sarana pelayanan tersebut. Pelaku-pelaku utama dala sebuah situasi antrian adalah pelanggan (customer) dan pelayan (server). Dalam model antrian, interaksi antara pelanggan dan pelayan adalah menarik hanya dalam hal kaitannya dengan periode waktu yang diperoleh pelanggan untuk menyelesaikan sebuah pelayanan. Jadi, dari sudut pandang kedatangan pelanggan, kita tertarik pada

9 59 interval waktu yang memisahkan kedatangan yang berturut-turut. Juga, dalam kasus pelayanan, yang diperhitungkan adalah waktu pelayanan per pelanggan. Dalam model-model antrian, kedatangan pelanggan dan waktu pelayanan diringkaskan dalam bentuk distribusi probabilitas yang umumnya disebut sebagai distribusi kedatangan (arrival distribution) dan distribusi waktu pelayanan (service time distribution). Kedua distribusi ini mewakili situasi di mana pelanggan tiba dan dilayani secara individual (misalnya, bank atau supermarket). Dalam situasi lainnya, pelanggan dapat tiba dan/atau dilayani dalam kelompok (misalnya, restoran). Kasus terakhir ini umumnya disebut sebagai antrian kelompok (bulk queue). Walaupun pola kedatangan dan kepergian adalah faktor-faktor penting dalam analisis antrian, faktor-faktor lain juga penting dalam pengembangan model-model antrian. Faktor pertama adalah cara memillih pelanggan dari antrian untuk memulai pelayanan. Ini disebut sebagai peraturan pelayanan (service dicipline). Peraturan yang paling umum adalah FCFS (first come, first served / datang pertama, dilayani pertama), LCFS (last come, first served / datang terakhir, dilayani pertama), SIRO (service in random order / pelayanan dalam urutan acak) juga dapat timbul dalam situasi praktis. Kita juga harus menambahkan bahwa sementara peraturan pelayanan menentukan pemilihan pelanggan dari satu jalur antrian, para pelanggan yang tiba di sebuah sarana pelayanan dapat juga ditempatkan dalam antrian prioritas (priority queue) sedemikian rupa sehingga prioritas yang lebih tinggi akan menerima

10 60 preferensi untuk mulai dilayani terlebih dahulu. Pemilihan pelangga yang spesifik dari setiap antrian prioritas dapat mengikuti peraturan pelayanan tertentu. Faktor kedua berkaitan dengan rancangan sarana tersebut dan pelaksanaan pelayanan. Sarana tersebut dapat mencakup lebih dari satu pelayan, sehingga memungkinkan beberapa pelanggan sebanyak jumlah pelayan tersebut untuk dilayani secara berbarengan (misalnya, kasir bank). Dalam kasus ini, semua pelayan menawarkan pelayanan yang sama dan sarana pelayanan tersebut dikatakan memiliki pelayanan sejajar (paralel servers). Sebaliknya, sarana pelayanan dapat pula terdiri dari serangkaian stasiun yang dapat dilalui pelanggan sebelum pelayanan diselesaikan (misalnya, pengolahan sebuah produk di serangkaian mesin). Situasi yang dihasilkan umumnya dikenal sebagai antrian serial atau antrian tandem (tandem queue). Rancangan yang paling umum dari sebuah sarana pelayanan mencakup baik stasiun pengolahan serial atau paralel. Ini menghasilkan apa yang disebut antrian jaringan (network queue). Faktor ketiga berkaitan dengan ukuran antrian yang diijinkan. Dalam beberapa situasi tertentu, hanya sejumlah pelanggan tertentu yang diijinkan, kemungkinan karena batasan ruang (misalnya, ruang unuk mobil di tempat pengisian bensin). Setelah antrian memenuhi kapasitas, pelanggan yang baru tiba tidak dapat masuk dalam anttrian.

11 61 Faktor keempat berkaitan dengan sifat sumber yang meminta pelayanan (kedatangan pelanggan). Sumber pemanggilan (calling source) dapat menghasilkan sejumlah terbatas pelanggan atau (secara teoritis) sejumlah tak terbatas pelanggan. Sumber tebatas trejadi ketika kedatangan mempengaruhi laju kedatangan pelanggan baru. Di sebuah bengkel dengan M mesin, sumber pemanggilan sebelum ada mesin rusak terdiri dari M calon pelanggan. Setelah satu mesin rusak, mesin itu menjadi pelanggan dan karena itu tidak dapat menghasilkan pemanggilan baru sampai diperbaiki. Perbedaan harus ditarik antara situasi bengkel dengan situasi lain di mana penyebab dari pemanggilan terbatas, tetapi mampu menghasilkan kedatangan yang tidak terhingga. Misalnya, dalam sebuah tempat pelayanan jasa pengetikan, jumlah pengetik adalah terbatas, tetapi setiap pengetik dapat menghasilkan kedatangan sebanyak apapun, karena ia biasanya tidak perlu menunggu penyelesaian bahan yang diserahkan sebelumnya sebelum menghasilkan pesanan-pesanan baru. Model-model antrian yang mewakili situasi di mana manusia mengambil peran sebagai pelanggan dan/atau pelayan harus dirancang untuk memperhitungkan pengaruh perilaku manusia (human behaviour). Pelayan manusia dapat mempercepat laju pelayanan ketika jalur antrian memanjang. Pelanggan manusia dapat berpindah dari satu jalur antrian ke jalur antrian lainnya dengan harapan dapat mengurangi waktu menunggu ( di saat berikutnya anda berada di bank atau superarket, Anda dapat membuat waktu

12 62 menunggu anda menjadi tidak membosankan dengan memperhatikan fenomena perpindahan ini). Beberapa pelanggan manusia juga menolak untuk bergabung dalam satu jalur antrian, karena mereka memperkitakan waktu menunggu yang lama, atau mereka dapat membatalkan setelah berada dalam antrian karena waktu menunggu mereka sudah terlalu panjang. (Catat bahwa dalam hal perilaku manusia, waktu menunggu yang panjang bagi satu orang tidak sama panjangnya bagi orang lainnya). Tidak diragukan lagi, terdapat ciri-ciri perilaku manusia yang lainnya dalam situasi antrian sehari-hari. Tetapi, dari sudut pandang model antrian, ciri-ciri ini hanya dapat diperhitungkan jika perilaku itu dapat dikuantifikasi dengan cara tertentu yang memungkinkannya untuk dimasukkan dalam model yang bersangkutan. Juga, model-model antrian tidak dapat memperhitungkan sebuah perilaku individual dari pelanggan dalam arti bahwa semua pelanggan dalam anr\trian diperkirakan untuk berperilaku secara setara sementara mereka berada di sarana pelayanan yang bersangkutan. Jadi pelanggan yang suka mengobrol (dengan pelayan selama dilayani) dipertimbangkan sebagai kasus yang jarang dan perilakunya itu diabaikan dalam perancangan sistem. Sebaliknya, jika sebagian besar pelanggan ternyata suka mengobrol, sebuah rancangan yang realistik dari sarana pelayanan tersebut harus didasari oleh fakta bahwa kebiasaan ini, walaupun membuang-buang waktu, merupakan bagian integral dari operasinya. Satu cara yang logis untuk memasukkan pengaruh kebiasaan ini adalah meningkatkan waktu pelayanan per pelanggan.

13 63 Jadi, dapat kita lihat bahwa unsur-unsur dasar dari model antrian bergantung pada faktor-faktor berikut ini : 1. Distribusi kedatangan ( kedatangan tunggal atau kelompok ) 2. Distribusi waktu pelayanan ( pelayanan tunggal atau kelompok ) 3. Rancangan sarana pelayanan ( stasiun serial, paralel, atau jaringan ) 4. Peraturan pelayanan (FCFS, LCFS, SIRO ) dan prioritas pelayanan 5. Ukuran antrian ( terhingga atau tidak terhingga ) 6. Sumber pemanggilan (terhingga atau tidak terhingga ) 7. Perilaku manusia ( perpindahan, penolakan, atau pembatalan ) Tujuan kita dalam mempelajari pengoperasian sebuah sarana pelayanan dalam kondisi acak adalah untuk memperoleh beberapa karakteristik yang mengukur kinerja sistem yang sedang dipelajari tersebut. Misalnya, satu ukuran yang logis dari kinerja adalah seberapa lama seorang pelanggan diperkirakan harus menunggu sebelum dilayani. Satu ukuran lain adalah persentase waktu sarana pelayanan tersebut tidak dipergunakan. Ukuran pertama memandang sistem dari sudut pandang pelanggan, sementara ukuran kedua mengevaluasi derajat pemanfaatan sarana tersebut. Kita secara intuitif melihat bahwa semakin lama seorang pelanggan menunggu, semakin kecil persentase waktu sarana tersebut tidak dipergunakan, dan sebaliknya. Kedua ukuran kinerja ini karena itu dipergunakan untuk memilih tingkat pelayanan (atau laju pelayanan) yang

14 64 akan menghasilkan keseimbangan yang wajar antara kedua situasi yang bertentangan ini Analisa Antrian Dalam Sistem Manusia-Mesin Dua kondisi/siklus yang biasa dijumpai dalam sistem manusia-mesin : Siklus waktu kegiatan persiapan ( machine cycle time ) dan kegiatan pelayanan ( Operator cycle time ) yang berlangsung secara konstan dan dapat diprediksikan. Artinya: Bilamana kondisi yang berlangsung atau terjadi adalah bila sistem bekerja sesuai dengan asumsi awal dari operator dan operator dapat mengendalikan sepenuhnya kinerja dari mesin yang bersangkutan sehingga kegiatan produksi dapat berjalan sesuai dengan keinginan dari operator yang bersangkutan. Kedua siklus kegiatan, baik siklus persiapan maupun pelayanan berlangsung secara random / acak. Artinya : Kondisi dimana baik waktu yang dihabiskan untuk melakukan setup dri mesin maupun waktu yang diperlukan dalam melakukan pelayanan tidak dapat diprediksikan sebelumnya, sehingga hal itu akan berimbas pada tidak menentunya waktu yang dihabiskan dalam suatu pelayanan.

15 65 Pemikiran Analitis dan sintesa (Analitical thinking and Sintetical thinking) : Pemikiran analitis merupakan suatu proses yang berguna untuk melakukan suatu pengamatan terhadap bagian-bagian dari suatu sistem kerja yang dianalisa sebagai suatu bagian integral yang berdiri sendiri (sistem individual ) Pemikiran sintesa merupakan suatu proses untuk melakukan analisa terhadap prilaku dari suatu sistem sebagai suatu kesatuan yang integral dan memperhitungkan bagaimana suatu sub sistem dapat saling mempengaruhi satu sama lain. Agar suatu sistem kerja dapat berjalan dengan baik, kombinasi dari kedua proses tersebut mutlak diperlukan, terutama dalam menghadapi suatu malfungsi dari suatu sistem kerja. Dimana dalam hal ini pendiagnosisan sistem dilakukan melalui proses analitis, sedangkan pemecahan dan integrasi sistem agar dapat berjalan normal kembali merupakan proses sintesa Empat Model Struktur Antrian Secara Umum Antrian Single Channel, Single Phase Sistem : disini fasilitas yang dilayani akan datang, masuk dan membentuk antrian pada satu baris/aliran pelayanan dan selanjutnya akan berhadapan dengan satu

16 66 fasilitas operasi pelayanan. Seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut : Gambar 2.3 Antrian Single Channel, Single Phase Sistem Sumber : Modul PSK&E Lab Teknik Industri Antrian Multi Channel, Single Phase Sistem : disini fasilitas yang dilayani akan datang, masuk dan membentuk antrian pada satu baris/aliran pelayanan dan selanjutnya akan berhadapan dengan beberapa fasilitas operasi pelayanan. Seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut : Gambar 2.4 Antrian Multi Channel, Single Phase Sistem

17 67 Sumber : Modul PSK&E Lab Teknik Industri Antrian Single Channel, Multi Phase Sistem : disini fasilitas yang dilayani akan datang, masuk dan membentuk antrian pada beberapa baris/aliran pelayanan dan selanjutnya akan berhadapan dengan satu fasilitas operasi pelayanan. Seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut : Gambar 2.5 Antrian Single Channel, Multi Phase Sistem Sumber : Modul PSK&E Lab Teknik Industri Antrian Multi Channel, Multi Phase Sistem : dimana disini kedatangan fasilitas yang akan dilayani akan masuk dalam sistem pelayanan yang dioperasikan dari satu fasilitas terus menuju ke fasilitas pelayanan yang lain. Seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut :

18 68 Gambar 2.6 Antrian Multi Channel, Multi Phase Sistem Sumber : Modul PSK&E Lab Teknik Industri Rumus-rumus antrian single channel, single phase sistem : Tingkat kedatangan ( λ) merupakan frekuensi atau rata-rata waktu datangnya pekerjaan dalam satuan waktu. Dan secara umum pola kedatangannya berdistribusi Poisson. Sedangkan tingkat pelayanan (μ ) merupakan rata-rata waktu pelayanan dalam ukuran pekerjaan per satuan waktu. Dan secara umum pola pelayanan berdistribusi Exponential Pendayagunaan Fasilitas Pelayanan : Menurut White (1975, p101), kuantitas nilai dari ρ merupakan nilai dari traffic intensity terhadap sebuah sistem, dalam beberapa terminologi antrian, simbol ini termsuk dalam analisis beban yang berlebihan, beban angkat, dan utilitas dari server itu sendiri, dimana : λ ρ = μ

19 69 untuk perhitungan single server dan beberapa pendekatan model antrian lainnya. bilamana : ρ 1, maka aliran akan bergerak lancar walaupun dengan adanya antrian didalamnya. ρ >1, maka antrian akan terjadi dan sulit untuk diperhitungkan rumus untuk model antrian (M/M/1) : (GD/ / ) menurut White (1975, p104) dan Taha (1997, p192) Jumlah Kedatangan orang/barang yang membentuk Antrian : Lq = 2 ρ (1 ρ) Waktu Menunggu Rata-rata Dalam Antrian : Wq = ρ μ( 1 ρ) Suatu model antrian sederhana mempunyai karakteristik sebagai berikut : 1. Waktu datangnya pekerjaan dapat dinyatakan polanya sebagai distribusi poisson. 2. Waktu pelayanan dapat dinyatakan polanya sebagai distribusi exponensial. 3. Single fasilitas pelayanan. 4. Disiplin antrian adalah first come, first served basis atau general discpline. 5. Dalam infinite calling population

20 70 Rumus-rumus antrian multi channel, single phase sistem : Pendayagunaan Fasilitas Pelayanan : ρ = λ Sμ bilamana : ρ 1, maka aliran akan bergerak lancar ρ >1, maka antrian akan terjadi Dimana : S = Jumlah fasilitas pelayanan ( Server ) yang tersedia rumus untuk model antrian (M/M/c) : (GD/ / ) menurut White (1975, p103) Probabilitas Sistem Antrian Kosong Po = c! c ( c ρ ) ( 1 ρ ) + ( cρ ) 1 c n n = 0 n! 1 Dimana : Po = probabilitas sistem antrian kosong ( tidak ada fasilitas yang harus dilayani/yang masuk dalam sistem pelayanan/antrian ) Jumlah Kedatangan orang/barang yang membentuk Antrian :

21 71 c Po.( cρ) ρ Lq = 2 c!. (1 ρ) Waktu Menunggu Rata-rata Dalam Antrian : Wq = c ( cρ ) Po cμ( 1 ) 2 c! ρ Ws = 1 Wq + μ Model Serial K Stasiun Dengan Kapasitas Antrian tak Hingga ( ) Menurut Taha (1997, p216) suatu sajianteorema tanpa bukti yang dapat diterapkan dalam serial k stasiun mempertimbangkan sistem dengan k stasiun dalam serial, seperti diperlihatkan pada gambar, Gambar 2.6 Model Antrian Serial-k Sumber Gambar: Taha, Hamdy A. (1996). Riset Operasi. Jilid 2. Binarupa Aksara, Jakarta.

22 72 Asumsikan bahwa kedatangan di stasiun 1 dihasilkan oleh satu satu populasi tak hingga sesuai dengan distribusi poisson dengan laju kedatangan rata-rata λ. Unit-unit yang dilayani akan bergerak berurutan dari satu sasiun ke stasiun beriktnyasampai dikeluarkan di stasiun k. Pni = (1-ρi) ρi ni, ni = 0,1,2, Untuk i= 1,2,,k Dalam kondisi ini dapat dibuktikan bahwa, untuk semua I, keluaran dari stasiun i bersifat poisson dengan nilai mean λ dan bahwa setiap stasiun dapat diperlakukan secaara independen sebagai (M/M/c) : (GD/ / ). Tetapi haruslah diingat bahwa hasil steady state dari stasiun tersebut akan berlaku jika λ<ciµi, untuk i = 1,2,.,k. 2.2 Peta Kerja Definisi Peta Kerja Pendefinisian peta kerja Menurut Sritomo (1995, p123),merupakan suatu peta ataupun alat yang menggambarkan kegiatan kerja secara sistematis dan jelas.

23 Jenis - Jenis Peta Kerja Definisi pemetaan pada peta kerja dapat dibagi menjadi 2 jenis yaitu : a. Peta Kerja Keseluruhan Peta kerja keseluruhan merupakan peta kerja yang digunakan untuk menganalisa kerja secara keseluruhan. Peta kerja keseluruhan yang umum dipakai adalah : Peta Aliran Proses (Flow Process Chart) Merupakan peta kerja yang menggambarkan semua aktivitas baik yang produktif maupun tidak produktif yang terlibat dalam proses pelaksanaan kerja. Peta Proses Operasi (Operation Process Chart) Merupakan peta kerja yang mencoba menggambarkan urutan kerja dengan jalan membagi pekerjaan tersebut menjadi elemen-elemen operasi secara detail. Diagram Aliran (Flow Chart) Merupakan peta kerja yang serupa dengan peta aliran proses hanya saja penggambarannya dilakukan diatas layout kerja yang ada. Peta Proses Produk Banyak (Multi Product Process Chart)

24 74 Merupakan peta kerja yang dibuat untuk memberikan gambaran pekerjaan dari banyak produk secara mendetail untuk setiap produknya. b. Peta Kerja Setempat Peta kerja setempat merupakan peta kerja yang digunakan untuk menganalisa kerja setempat. Peta kerja setempat yang umum dipakai adalah : Peta Tangan Kiri dan Kanan (Left and Right Hand Chart) Merupakan peta kerja yang digunakan untuk menganalis gerakan tangan kiri atau kanan dari pekerja secara mendetail dengan menggunakan gerakan dasar therblig. Peta Pekerja dan Mesin (Man and Machine Process Chart) Merupakan peta kerja yang memberikan informasi tentang hubungan waktu siklus pekerja dan waktu operasi mesin yang ditangani. 2.3 ABC Analysis Pengklasifikasian ABC menurut Vincent Gaspersz (2005, p273), merupakan klasifikasi dari suatu kelompok material dalam susunan menurun berdasarkan biaya penggunaan material itu per periode waktu (harga per unit material dikalikan dengan volume penggunaan dari material itu selama

25 75 periode tertentu). Periode waktu yang umum digunakan dalam pengklasifikasian ABC adalah minimal satu tahun. Pada dasarnya terdapat sejumlah faktor yang menentukan kepentingan suatu material, yaitu : nilai total uang dari material, biaya per unit dari material, kelangkaan atau kesulitan memperoleh material, ketersediaan sumber daya, tenaga kerja, dan fasilitas yang dibutuhkan untuk membuat material tersebut, panjang dan variasi waktu tunggu (lead time) dari material, sejak pemesanan material itu pertama kali sampai kedatangannya, ruang yang dibutuhkan untuk menyimpan material tersebut, risiko penyerobotan atau pencurian material, biaya kehabisan stok atau persediaan (stockout cost) dari material, kepekaan material terhadap perubahan desain. Pengklasifikasian ABC juga dapat diterapkan menggunakan kriteria lain, dan bukan hanya berdasarkan kriteria biaya, tetapi tergantung pada faktor-faktor penting apa yang menentukan material itu.

26 76 Penggunaan analisis ABC adalah untuk menetapkan : Frekuensi perhitungan inventori (cycle counting), di mana material kelas A harus diuji lebih sering dalam hal akurasi catatan inventorinya dibandingkan material kelas B dan C. Prioritas rekayasa (engineering), di mana material kelas A memberikan petunjuk pada bagian rekayasa dalam peningkatan program reduksi biaya ketika mencari material-material tertentu yang perlu difokuskan. Prioritas pembelian, di mana aktivitas pembelian seharusnya difokuskan pada bahan baku bernilai tinggi (high cost) dan penggunaan dalam jumlah tinggi (high usage). Keamanan, di mana analisis ABC dapat digunakan sebagai indikator dari material mana yang seharusnya lebih aman disimpan dalam ruangan terkunci untuk mencegah kehilangan, kerusakan, atau pencurian. Sistem pengisian kembali (replenishment sistems), di mana analisis ABC akan membantu mengidentifikasi metode pengendalian yang digunakan. Keputusan investasi, di mana material kelas A menggambarkan investasi yang lebih besar dalam inventori sehingga perlu lebih berhati-hati dalam membuat keputusan tentang kuantitas pesanan dan

27 77 stok pengaman terhadap material kelas A dibandingkan dengan material kelas B dan C. Adapun prosedur yang ada dalam analisis ABC adalah sebagai berikut : Tentukan volume penggunaan per periode waktu (biasanya demand per tahun) dari material-material yang akan diklasifikasikan. Gandakan (kalikan) volume penggunaan per periode waktu (demand per tahun) dari setiap material dengan biaya per unitnya guna memperoleh nilai total penggunaan biaya per periode waktu (per tahun) untuk setiap material. Jumlahkan nilai total penggunaan biaya dari semua material untuk memperoleh nilai total penggunaan biaya keseluruhan. Tentukan persentase nilai total penggunaan biaya dari setiap material dengan membagi nilai total penggunaan material biaya setiap material dengan nilai total penggunaan biaya keseluruhan. Urutkan material dalam rank persentase nilai total penggunaan biaya dengan urutan menurun dari terbesar sampai terkecil. Klasifikasikan material-material ke dalam kelas A, B, dan C berdasarkan kriteria persentase yang telah ditentukan.

28 78 Analisis ABC mengikuti prinsip 80-20, atau hukum pareto di mana sekitar 80 % dari nilai total inventori material direpresentasikan (diwakili) oleh 20% material inventori. 2.4 Identifikasi Distribusi Uji Kebaikan Suai (Goodness of Fit) Menurut Walpole (1995, p325), Uji kebaikan suai (Goodness of Fit) digunakan untuk menentukan apakah suatu populasi memiliki sebaran teoritik tertentu yang didasarkan pada seberapa baik kesesuaian antara frekuensi yang teramati dalam data contoh dengan frekuensi harapan yang didasarkan pada sebaran yang dihipotesiskan Kolmogorov-Smirnov Test Uji Kolmogorov-Smirnov merupakan salah satu uji kebaikan suai yang digunakan untuk membandingkan tingkat kesesuaian sample dengan suatu distribusi tertentu seperti normal, uniform, poisson, dan eksponensial. Uji ini didasarkan pada perbandingan frekuensi kumulatif dari data dengan frekuensi kumulatif dari distribusi teoritis. Berikut adalah langkah dalam pengujian kolmogorov-smirnov : 1) Tentukan frekuensi kumulatif data hasil observasi (F 0 ). 2) Tentukan frekuensi kumulatif distribusi data teoritis (F e ).

29 79 3) Tentukan nilai D n dengan menghitung absolute dari selisih F e F 0. 4) Tentukan D n Maksimal dari langkah nomor 3. 5) Tentukan nilai kritis tabel uji kolmogorov-smirnov. D n α Dn Tabel = dari tabel nilai kritis D untuk n 6) Jika Dn Max Hitung < Dn Tabel maka terima hipotesis yang mengatakan bahwa data mengikuti pola distribusi yang dihipotesiskan. Menurut White (1975, p338), mengemukakan bahwa sebaiknya menggunakan kolmogorov-smirnov test dalam uji kebaikan suai dikarenakan secara statistikal akan lebih baik dibandingkan dengan chi-square test Uji Hipotesis Menurut Walpole (1995, p288), uji hipotesis adalah suatu uji yang dilakukan dengan menggunakan pernyataan atau dugaan mengenai satu atau lebih populasi. Dalam hal ini digunakan dua macam hipotesis yaitu hipotesis nol yaitu hipotesis yang dirumuskan dengan harapan akan ditolak (H 0 ) dan hipotesis alternatif yaitu suatu hipotesis yang diharapkan untuk diterima apabila hipotesis awal ditolak (H 1 ). Suatu hipotesis awal akan ditolak apabila nilai dari x hitung jatuh di wilayah kritis. Dan hipotesis awal akan diterima apabila nilai dari x hitung jatuh di wilayah penerimaan.

30 Pola Distribusi Data Frequency Distribution Menurut Harrel (2000, p ), frequency distribution merupakan distribusi kelompok data dalam interval atau kelas berdasarkan frekuensi dari kejadian. Distribusi frekuensi dapat dibagi dua yaitu : 1) Discrete Frequency Distribution Merupakan distribusi yang terbatas pada nilai tertentu dan hanya sekumpulan frekuensi yang terbatas saja yang ditampilkan. Sebagai contoh dari discrete frequency distribution adalah jumlah orang yang datang ke suatu sistem pada interval waktu tertentu. 2) Continuous Frequency Distribution Merupakan rentang nilai antara sample dari suatu nilai berada. Suatu data dapat dikatakan memiliki continuous frequency distribution apabila data tersebut dapat mewakili interval nilai yang sudah ditentukan Theoretical Distribution Merupakan suatu distribusi yang dapat dibedakan berdasarkan parameter yang ditentukan dari dispersion (penyebaran) dan density (kerapatan). Menurut Banks dan Gibsons (1997), berikut adalah beberapa statistikal distribusi teoritis yang ada

31 81 1) Normal Distribution Distribusi normal merupakan distribusi kontinu yang tidak terbatas. Biasanya kurva normal membentuk lonceng dengan nilai rata-ratanya berada pada titik tengah kurva yang berarti jumlahnya paling banyak. Berikut adalah rumusnya : [ x μ] 2 1 f ( x) = exp 2 2, dimana : 2πσ 2σ µ = shift parameter / mean σ = scale parameter / standard deviation Gambar 2.7 Distribusi Normal Sumber Gambar: Plot Software Stat-fit

32 82 2) Poisson Distribution Distribusi poisson merupakan distribusi diskrit yang memiliki batas dari 0 pada batas bawah dan tidak terbatas pada batas atas. Biasanya distribusi poisson berhubungan dengan tingkat kedatangan untuk suatu sistem dan berkaitan erat dengan distribusi eksponensial. Berikut adalah rumusnya : λ x e λ p( x) =, dimana : x! λ = rate of occurrence / mean Gambar 2.8 Distribusi Poisson Sumber Gambar: Plot Software Stat-fit 3) Uniform Distribution

33 83 Distribusi uniform merupakan distribusi kontinu dimana dibatasi pada kedua sisinya. Biasanya data berdisribusi uniform apabila nilai max dan min tidak berbeda jauh. Berikut adalah rumusnya : f ( x) = 1 max min Gambar 2.9 Distribusi Uniform Sumber Gambar: Plot Software Stat-fit 4) Exponential Distribution Distribusi eksponensial adalah distribusi kontinu dimana dibatasi oleh batas bawah. Bentuk dari distribusi ini akan selalu sama dimana dimulai dari nilai minimum yang terbatas dan terus menurun sampai nilai x terbesar. Biasanya distribusi eksponensial mencerminkan waktu antar kedatangan.

34 84 [ x min] 1 f ( x) = exp, dimana : β β min = minimum x value β = scale parameter Gambar 2.10 Distribusi Eksponensial Sumber Gambar: Plot Software Stat-fit 2.6 Pengukuran Kerja Definisi dan Pembagian Pengukuran Kerja Menurut Sritomo (1995, p ) Pengukuran kerja merupakan bagian dari penelitian cara kerja. Pengukuran kerja adalah pengukuran kerja dilihat dari waktu kerja pada saat operator melakukan kerja. Pengukuran kerja merupakan metode penetapan keseimbangan antara kegiatan dengan manusia yang dikontribusikan dengan output yang akan dihasilkan. Pengukuran kerja dibagi menjadi dua yaitu :

35 85 1) Pengukuran kerja langsung Pengukuran kerja langsung adalah pengukuran waktu kerja yang dilakukan secara langsung di tempat dimana pekerjaan diukur dan dijalankan. Cara pengukurannya dilakukan dengan menggunakan alat bantuan seperti jam henti (stopwatch) dan sampling kerja. 2) Pengukuran kerja tidak langsung Pengukuran tidak langsung adalah pengukuran kerja dengan cara dihitung dengan metode standar data / formula, pengukuran kerja dengan analisa regresi, penetapan waktu baku dengan data gerakan. Atau dengan kata lain si pengamat tidak harus berada di tempat pengukuran kerja. Biasanya dilakukan dengan WF (Work Factor) dan MTM (Methods Time Measurement) Diagram Fishbone Ditemukan oleh Prof. Kaoru Ishikawa dari Universitas Tokyo pada tahun Menurut Turner, (2000,p ) Diagram sebab akibat adalah suatu diagram yang menunjukkan hubungan antara sebab dan akibat Dipergunakan untuk menunjukkan faktor faktor penyebab (sebab) dan karakteristik kualitas (akibat) yang disebabkan oleh faktor faktor penyebab itu.

36 86 Disebut juga diagram tulang ikan (fishbone diagram) Manfaat Membantu mengidentifikasi akar penyebab dari suatu masalah Membantu membangkitkan ide ide untuk solusi suatu masalah Membantu dalam penyelidikan atau pencarian fakta lebih lanjut