BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN. telah disusun. Hasil penelitian dan pembahasan yang akan dijelaskan meliputi

BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Hasil penelitian dan pembahasan didasarkan pada rumusan masalah yang telah disusun. Hasil penelitian dan pembahasan yang akan dijelaskan meliputi pemeriksaan steady state, uji distribusi, menentukan model antrean, perhitungan ukuran keefektifan dan program M/M/c (AS, MV). A. Hasil Penelitian Hasil penelitian yang diperoleh adalah data waktu kedatangan, data waktu pelayanan nasabah pada pengambilan nomor antrean, dan pelayanan teller nasabah primer. Analisis data pada penelitian ini diambil pada tanggal 3 Desember 216, 31 Desember 216, dan 4 Januari 217. Waktu penelitian dilakukan pada pukul 7.3 WIB sampai dengan pukul 12. WIB. Data primer pada bagian pengambilan nomor antrean dan pelayanan pada teller nasabah primer dikelompokkan masing-masing tiap 1 menit selama kurun waktu 4 jam 3 menit penelitian. Pelayanan teller nasabah primer memiliki disiplin antrean First Come First Served (FCFS) dimana nasabah yang pertama kali datang adalah nasabah yang pertama kali dilayani. 1. Hasil Penelitian pada Hari Jumat 3 Desember 216 Data primer yang diperoleh pada Hari Jumat 3 Desember 216 dikumpulkan, kemudian akan dilihat nilai rata-rata laju kedatangan (λ) dan rata-rata laju pelayanan (μ) serta pemeriksaan solusi steady state dan 77

selanjutnya dilakukan uji distribusi. Analisis data yang dilakukan adalah sebagai berikut: a. Pemeriksaan Kondisi Steady State Dalam analisis data yang terpenting adalah menghitung ukuran steady state yaitu jika tingkat kegunaan ρ < 1. Keadaan ini menunjukkan bahwa rata-rata laju kedatangan nasabah pada setiap loket kurang dari ratarata laju pelayanan pada loket tersebut. Dalam menghitung ukuran steady state (ρ) perlu diketahui nilai rata-rata laju kedatangan (λ) dan rata-rata laju pelayanan (μ). 1) Laju kedatangan nasabah Data kedatangan nasabah berdasarkan waktu yang tertera pada nomor antrean. Nomor antrean nasabah diperoleh dari mesin antrean yang telah disediakan. Data kedatangan nasabah yang diperoleh terdapat pada Lampiran 7.A. Berdasarkan data yang diperoleh pada Lampiran 7. A kemudian perlu diketahui nilai rata-rata laju kedatangan nasabah tiap 1 menit. Sebelum menghitung rata-rata laju kedatangan nasabah tiap 1 menit terlebih dahulu data dikelompokkan berdasarkan interval waktu. Berikut ini pengelompokkan data kedatangan nasabah berdasarkan interval waktu yang disajikan pada Tabel 4.1. 78

Tabel 4.1 Kedatangan nasabah berdasarkan interval tiap 1 menit pada Jumat, 3 Desember 216 Interval dengan i kedatangan Banyaknya kedatangan nasabah pada interval I i (K i ) Frekuensi atau banyaknya interval I i (f(i i )) Banyaknya nasabah yang datang selama kurun waktu I i (K i f(i i )) I 4 I 1 1 I 2 2 4 8 I 3 3 3 9 I 4 4 3 12 I 5 5 3 15 I 6 6 3 18 I 7 7 2 14 I 8 8 2 16 I 9 9 1 9 I 1 1 1 1 I 11 11 1 11 I 12 12 I 13 13 I = 27 N = 122 Berdasarkan Tabel 4.1 diperoleh rata-rata laju kedatangan nasabah tiap 1 menit adalah: λ = 122 27 nasabah nasabah = 4,5185 =,4518 = 27,111 nasabah 1 menit menit jam Berdasarkan perhitungan tersebut, diperoleh rata-rata laju kedatangan nasabah tiap 1 menit sebanyak 4,5185 nasabah. Dengan demikian ratarata laju kedatangan nasabah tiap jam sebanyak 27,111 nasabah. 2) Laju pelayanan nasabah Teller Primer Data pelayanan nasabah di teller 6, teller 7, dan teller 8 diperoleh berdasarkan hasil observasi pada saat nasabah sudah melengkapi persyaratan. Apabila terdapat nasabah yang belum melengkapi persyaratan, maka nasabah tersebut tidak tercatat dalam 79

observasi. Data pelayanan nasabah tiap 1 menit di teller 6, teller 7, dan teller 8 yang sudah melengkapi dan mengumpulkan syarat terdapat pada Lampiran 7.B. Berdasarkan data yang diperoleh pada Lampiran 7.B kemudian perlu diketahui nilai rata-rata laju pelayanan berdasarkan interval waktu. Berikut ini pengelompokkan data pelayanan nasabah di teller 6, teller 7, dan teller 8 berdasarkan interval waktu yang disajikan pada Tabel 4.2. Tabel 4.2. Pelayanan nasabah berdasarkan interval tiap 1 menit pada Jumat, 3 Desember 216 Interval dengan i kedatangan Banyaknya kedatangan nasabah pada interval I i (K i ) Frekuensi atau banyaknya interval I i (f(i i )) Banyaknya nasabah yang datang selama kurun waktu I i (K i f(i i )) I 6 I 1 1 5 5 I 2 2 12 24 I 3 3 4 12 I 4 4 I 5 5 I 6 6 I 7 7 I 8 8 I 9 9 I 1 1 I 11 11 I 12 12 I 13 13 I = 27 N = 41 Berdasarkan Tabel 4.2 diperoleh rata-rata laju pelayanan nasabah tiap 1 menit adalah: μ = 41 nasabah nasabah = 1,5185 =,1518 = 9,111 nasabah 27 1 menit menit jam 8

Berdasarkan perhitungan tersebut, diperoleh rata-rata laju pelayanan nasabah tiap 1 menit sebanyak 1,5185 nasabah. Dengan demikian rata-rata laju pelayanan nasabah tiap jam sebanyak 9,111 nasabah. Kemudian dilanjutkan dengan perhitungan: Nilai λ = 27,111 nasabah nasabah, μ = 9,111, dan c = 3 yang jam jam kemudian dihitung nilai steady state seperti berikut: ρ = λ cμ = 27,111 3 9,111 =,9919 < 1 Berdasarkan perhitungan tersebut, diperoleh rata-rata laju kedatangan nasabah kurang dari rata-rata laju pelayanan. b. Uji Kecocokan Distribusi Uji kecocokan distribusi yang digunakan untuk menguji data kedatangan dan data pelayanan nasabah adalah Uji Kolmogorov-Smirnov. Berdasarkan hasil pada Lampiran 11 data kedatangan berdistribusi Poisson dan data pelayanan berdistribusi Poisson. 2. Hasil Penelitian pada Hari Sabtu 31 Desember 216 Data primer yang diperoleh pada Hari Sabtu 31 Desember 216 dikumpulkan, kemudian akan dilihat nilai rata-rata laju kedatangan (λ) dan rata-rata laju pelayanan (μ) serta pemeriksaan solusi steady state dan selanjutnya uji distribusi. Analisis data yang dilakukan adalah sebagai berikut: 81

a. Pemeriksaan Kondisi Steady State Dalam analisis data yang terpenting adalah menghitung ukuran steady state yaitu jika tingkat kegunaan ρ < 1. Keadaan ini menunjukkan bahwa rata-rata laju kedatangan nasabah pada setiap loket kurang dari ratarata laju pelayanan pada loket tersebut. Dalam menghitung ukuran steady state (ρ) maka perlu diketahui nilai rata-rata laju kedatangan (λ) dan ratarata laju pelayanan (μ). 1) Laju kedatangan nasabah Data kedatangan nasabah berdasarkan waktu yang tertera pada nomor antrean. Nomor antrean nasabah diperoleh dari mesin antrean yang telah disediakan. Data kedatamgan nasabah yang diperoleh terdapat pada Lampiran 8.A. Berdasarkan data yang diperoleh pada Lampiran 8.A kemudian perlu diketahui nilai rata-rata laju kedatangan nasabah tiap 1 menit. Sebelum menghitung rata-rata laju kedatangan nasabah tiap 1 menit terlebih dahulu data dikelompokkan berdasarkan interval waktu. Berikut ini pengelompokkan data kedatangan nasabah berdasarkan interval waktu yang disajikan pada Tabel 4.3. 82

Tabel 4.3. Kedatangan nasabah berdasarkan interval tiap 1 menit pada Sabtu, 31 Desember 216 Interval dengan i kedatangan Banyaknya kedatangan nasabah pada interval I i (K i ) Frekuensi atau banyaknya interval I i (f(i i )) Banyaknya nasabah yang datang selama kurun waktu I i (K i f(i i )) I 9 I 1 1 1 1 I 2 2 4 8 I 3 3 5 15 I 4 4 6 24 I 5 5 2 1 I 6 6 I 7 7 I 8 8 I 9 9 I 1 1 I 11 11 I 12 12 I 13 13 I = 27 N = 58 Berdasarkan Tabel 4.3 diperoleh rata-rata rata laju kedatangan nasabah tiap 1 menit adalah: λ = 58 nasabah nasabah = 2,1481 =,2148 = 12,8886 nasabah 27 1 menit menit jam Dari perhitungan tersebut, diperoleh rata-rata laju kedatangan nasabah tiap 1 menit sebanyak 2,1481 nasabah. Dengan demikian rata-rata laju kedatangan nasabah tiap jam sebanyak 12,8886 nasabah. 2) Laju pelayanan nasabah Teller Primer Data pelayanan nasabah di teller 7 dan teller 8 diperoleh berdasarkan hasil observasi pada saat nasabah sudah melengkapi persyaratan. Apabila terdapat nasabah yang belum melengkapi persyaratan, maka nasabah tersebut tidak tercatat dalam observasi. Data 83

pelayanan nasabah tiap 1 menit di teller 7 dan teller 8 yang sudah melengkapi dan mengumpulkan syarat terdapat pada Lampiran 8.B. Berdasarkan data yang diperoleh pada Lampiran 8.B kemudian perlu diketahui nilai rata-rata laju pelayanan berdasarkan interval waktu. Berikut ini pengelompokkan data pelayanan nasabah di teller 7 dan teller 8 berdasarkan interval waktu yang disajikan pada Tabel 4.1. Tabel 4.4. Pelayanan nasabah berdasarkan interval tiap 1 menit pada Sabtu, 31 Desember 216 Interval dengan i kedatangan Banyaknya pelayanan nasabah pada interval I i (K i ) Rata-Rata Frekuensi atau banyaknya interval I i (f(i i )) Banyaknya nasabah yang dilayani selama kurun waktu I i (K i f(i i )) I 7 I 1 1 8 8 I 2 2 1 2 I 3 3 2 6 I 4 4 I 5 5 I 6 6 I 7 7 I 8 8 I 9 9 I 1 1 I 11 11 I 12 12 I 13 13 I = 27 N = 34 Berdasarkan Tabel 4.4 diperoleh rata-rata laju pelayanan nasabah tiap 1 menit adalah: μ = 34 nasabah nasabah = 1,2593 =,1259 = 7,5558 nasabah 27 1 menit menit jam Berdasarkan perhitungan tersebut, diperoleh rata-rata laju pelayanan nasabah tiap 1 menit sebanyak 1,2593 nasabah. Dengan 84

demikian rata-rata laju pelayanan nasabah tiap jam sebanyak 7,5558 nasabah. Kemudian dilanjutkan dengan perhitungan: Nilai λ = 12,8886 nasabah nasabah, μ = 7,5558, dan c = 2 jam jam yang kemudian dihitung nilai steady state seperti berikut: ρ = λ cμ = 12,8886 2 7,5558 =,8529 < 1 Berdasarkan perhitungan tersebut, diperoleh rata-rata laju kedatangan nasabah kurang dari rata-rata laju pelayanan. b. Uji Kecocokan Distribusi Uji kecocokan distribusi yang digunakan untuk menguji data kedatangan dan data pelayanan nasabah adalah Uji Kolmogorov- Smirnov. Berdasarkan hasil pada Lampiran 12 data kedatangan berdistribusi Poisson dan data pelayanan berdistribusi Poisson. 3. Hasil Penelitian pada Hari Rabu 4 Januari 217 Data primer yang diperoleh pada Hari Rabu 4 Januari 217 dikumpulkan, kemudian akan dilihat nilai rata-rata laju kedatangan (λ) dan rata-rata laju pelayanan (μ) serta pemeriksaan solusi steady state dan selanjutnya dilakukan uji distribusi. Analisis data yang dilakukan adalah sebagai berikut: 85

a. Pemeriksaan Kondisi Steady State Dalam analisis data yang terpenting adalah menghitung ukuran steady state yaitu jika tingkat kegunaan ρ < 1. Keadaan ini menunjukkan bahwa rata-rata laju kedatangan nasabah pada setiap loket kurang dari ratarata laju pelayanan pada loket tersebut. Dalam menghitung ukuran steady state (ρ) perlu diketahui nilai rata-rata laju kedatangan (λ) dan rata-rata laju pelayanan (μ). 1) Laju kedatangan nasabah Data kedatangan nasabah berdasarkan waktu yang tertera pada nomor antrean. Nomor antrean nasabah diperoleh dari mesin antrean yang telah disediakan. Data kedatangan nasabah yang diperoleh terdapat pada Lampiran 9.A. Berdasarkan data yang diperoleh pada Lampiran 9.A kemudian perlu diketahui nilai rata-rata laju kedatangan nasabah tiap 1 menit. Sebelum menghitung rata-rata laju kedatangan nasabah tiap 1 menit terlebih dahulu data dikelompokkan berdasarkan interval waktu yang disajikan pada Tabel 4.5. 86

Tabel 4.5. Kedatangan nasabah berdasarkan interval tiap 1 menit pada Rabu, 4 Januari 217 Interval dengan i kedatangan Banyaknya kedatangan nasabah pada interval I i (K i ) Frekuensi atau banyaknya interval I i (f(i i )) Banyaknya nasabah yang datang selama kurun waktu I i (K i f(i i )) I 1 I 1 1 1 1 I 2 2 2 4 I 3 3 I 4 4 2 8 I 5 5 1 5 I 6 6 2 12 I 7 7 4 28 I 8 8 3 24 I 9 9 1 9 I 1 1 4 4 I 11 11 2 22 I 12 12 1 12 I 13 13 3 39 I = 27 N = 24 Berdasarkan Tabel 4.5 diperoleh rata-rata laju kedatangan nasabah tiap 1 menit adalah: λ = 24 27 nasabah nasabah = 7,5556 =,7555 = 45,3336 nasabah 1 menit menit jam Dari perhitungan tersebut, diperoleh rata-rata laju kedatangan nasabah tiap 1 menit sebanyak 7,5556 nasabah. Dengan demikian rata-rata laju kedatangan nasabah tiap jam sebanyak 45,3336 nasabah. 2) Laju pelayanan nasabah Teller Primer Data pelayanan nasabah di teller 6, teller 7, teller 8, dan teller 9 diperoleh berdasarkan hasil observasi pada saat nasabah sudah melengkapi persyaratan. Apabila terdapat nasabah yang belum melengkapi persyaratan, maka nasabah tersebut tidak tercatat dalam 87

observasi. Data pelayanan nasabah tiap 1 menit di teller 6, teller 7, teller 8, dan teller 9 yang sudah melengkapi dan mengumpulkan syarat terdapat pada Lampiran 9.B. Berdasarkan data yang diperoleh pada Lampiran 9.B kemudian perlu diketahui nilai rata-rata laju pelayanan berdasarkan interval waktu. Berikut ini pengelompokkan data pelayanan nasabah di teller 6, teller 7, teller 8 dan teller 9 berdasarkan interval waktu yang disajikan pada Tabel 4.6. Tabel 4.6. Pelayanan nasabah berdasarkan interval tiap 1 menit pada Rabu, 4 Januari 217 Interval dengan i kedatangan Banyaknya pelayanan nasabah pada interval I i (K i ) Rata-Rata Frekuensi atau banyaknya interval I i (f(i i )) Banyaknya nasabah yang dilayani selama kurun waktu I i (K i f(i i )) I 2 I 1 1 6 6 I 2 2 12 24 I 3 3 4 12 I 4 4 1 4 I 5 5 2 1 I 6 6 I 7 7 I 8 8 I 9 9 I 1 1 I 11 11 I 12 12 I 13 13 I = 27 N = 56 Berdasarkan Tabel 4.6 diperoleh rata-rata laju pelayanan nasabah tiap 1 menit adalah: μ = 56 nasabah nasabah = 2,741 =,274 = 12,4446 nasabah 27 1 menit menit jam 88

Dari perhitungan tersebut, diperoleh rata-rata laju pelayanan nasabah tiap 1 menit sebanyak 2,741 nasabah. Dengan demikian ratarata laju pelayanan nasabah tiap jam sebanyak 12,4446 nasabah. Kemudian dilanjutkan dengan perhitungan: Nilai λ = 45,3336 nasabah nasabah, μ = 12,4446, dan c = 4 jam jam yang kemudian dihitung nilai steady state seperti berikut: ρ = λ cμ = 45,3336 4 12,4446 =,917 < 1 Berdasarkan perhitungan tersebut, diperoleh rata-rata laju kedatangan nasabah kurang dari rata-rata laju pelayanan. b. Uji Kecocokan Distribusi Uji kecocokan distribusi yang digunakan untuk menguji data kedatangan dan data pelayanan nasabah adalah Uji Kolmogorov-Smirnov. Berdasarkan hasil pada Lampiran 13 data kedatangan berdistribusi Poisson dan data pelayanan berdistribusi Poisson. B. Pembahasan Setelah diperoleh hasil perhitungan dengan Uji Kolmogorov-Smirnov maka akan dijelaskan tentang bagaimana menentukan model antrean yang sesuai dengan sistem antrean yang ada. Setelah memperoleh model antrean yang sesuai pada tiap fase, kemudian tahapan selanjutnya yang dilakukan adalah mencari ukuran keefektifan dari kinerja sistem antrean. Apabila ukuran keefektifan 89

belum sesuai dengan standar pelayanan pendaftaran yang telah ditetapkan PT Bank BPD DIY Kantor Cabang Sleman, maka dilakukan optimasi sistem antrean. 1. Menentukan Model Antrean Sistem antrean pelayanan nasabah primer yang ada di PT Bank BPD DIY Kantor Cabang Sleman memiliki model (M/M/c):(FCFS/ / ). Keadaan ini menunjukkan bahwa laju kedatangan dan laju pelayanan pada model (M/M/c):(FCFS/ / ) berdistribusi Poisson dengan multi server. Pada bagian disiplin antrean pada model (M/M/c):(FCFS/ / ) memuat aturan First Come First Served (FCFS) dengan kapasitas sistem dan sumber pemanggilan tak terbatas. 2. Menentukan Ukuran Keefektifan Kinerja Sistem Antrean Ukuran keefektifan dari kinerja sistem antrean meliputi perhitungan Lq, Ls, Wq dan Ws. Perhitungan tersebut dapat dilakukan apabila laju kedatangan dan laju pelayanan tiap phase telah mencapai steady state. Kondisi steady state terjadi apabila laju kedatangan tidak melebihi laju pelayanan. Selain itu, model antrean harus memenuhi asumsi bahwa proses kedatangan dengan pelaksanaan pelayanan independen. Keadaan ini menunjukkan bahwa rata-rata kedatangan tidak akan berubah-ubah dalam waktu tertentu dan tidak mempengaruhi satuan antrean pertama dalam penguraian pelayanan. 9

Apabila sistem antrean tidak memenuhi kondisi steady state, maka ukuran keefektifan tidak dapat diselesaikan mengggunakan rumus (M/M/c):(FCFS/ / ). Dalam kasus ini terdapat vacation maka digunakan Quasy Birth Death (QBD) Process dimana harus memenuhi kondisi steady state. Sehingga ukuran keefektifan dari kinerja sistem antrean meliputi perhitungan L (c) v dan W (c) v. a. Ukuran Keefektifan pada Teller Nasabah Primer pada Hari Jumat 3 Desember 216 Ukuran keefektifan pada kedatangan nasabah dan pelayanan teller nasabah primer pada Hari Jumat dapat dihitung dengan model (M/M/3 : FCFS/ / ). Kondisi sistem dalam keadaaan steady state. Selain itu terdapat vacation maka dilakukan perhitungan menggunakan Quasy Birth Death (QBD) Proces. Laju kedatangan tiap jam adalah λ = 27,111 kedatangan per jam, Laju pelayanan tiap jam untuk masing-masing server adalah μ = 9,111 orang per jam, sedangkan karena jumlah server (c) sebanyak 3 orang, maka μ n = μc = 27,333 orang per jam. Rata-rata waktu vacation bagi ketiga server tersebut adalah θ =,2778 jam. Faktor utilitas sistem atau peluang sistem sibuk dinotasikan dengan ρ dan diperoleh nilai ρ =,9919. Untuk ukuran keefektifitasan apabila mengabaikan adanya waktu vacation diperoleh : 91

C 1 P = [ ρn n! + ρc c! ( 1 1 ρ ) n= c 2 = [,9919n n! n= L q = P +,99193 3! 1 1 ( 1,9919 ) 3 1 Jadi, waktu menganggur server adalah,18%. =,18 ρ c+1 (c 1)! (c ρ) 2 =,18,9919 4 (2)! (3,9919) 2 = 119,551 Jadi, nasabah yang mengantre ada 12 nasabah per jam. L s = L q + λ μ = 119,551 + 27,111 9,111 = 122,487 Jadi, nasabah yang berada dalam sistem ada 123 nasabah per jam. W q = L q λ = 119,551 27,111 = 4,48 Jadi, waktu nasabah yang mengantre 4,4 jam. W s = W q + 1 μ = 4,5178 + 1 9,111 = 4,5178 Jadi, waktu nasabah yang berada dalam sistem adalah 4,5 jam. Untuk ukuran keefektifitasan apabila memasukkan adanya waktu vacation diperoleh perhitungan berikut ini. Matriks generator infinitesimal Q untuk sistem antrean M/M/3 (AS,MV), 92

Q = A C B 1 A 1 C 1 B 2 A 2 C 2 B A C [ Susbtitusi nilai λ, μ, dan θ ke dalam entri-entri setiap submatriks yang mengandung elemen tersebut A = λ = 27,111 C = [λ = [27,111 B 1 = [ μ = [ 9,111 (λ + 3θ) A 1 = [ 3θ,8334 = [ 27,9444 (λ + μ + 2θ) 36,7776 C 1 = [ λ λ = [27,111 27,111 B 2 = [ μ = [ 9,111 2μ 18,222 (λ + 3θ) 3θ A 2 = [ (λ + μ + 2θ) 2θ (λ + 2μ + θ) 27,9444,8334 = [ 36,7776,5556 45,618 λ 27,111 C 2 = [ λ = [ λ 27,111 27,111 μ 9,111 B 3 = [ = [ 2μ 18,222 3μ 27,333 93

h A = [ cθ h 1 (c 1)θ h 2 (c 2)θ h 3 27,9444 = [,8334 36,7776,5556 45,618,2778 54,444 h k = λ + μk + (c k)θ untuk 1 k c 1 B = [ μ 2μ = [ 3μ 9,111 18,222 27,333 λ C = [ λ λ 27,111 = [ 27,111 27,111 r = λ λ + cθ = 27,111 27,111 + (3)(,2778) =,972 r k = λ + kμ + (c k)θ (λ + kμ + (c k)θ)2 4kμλ 2kμ r 1 = 27,111 + (9,111) + (2)(,2778) (2)(9,111) r 2 = (27,111 + 9,111 + (2)(,2778)) 2 (4)(27,111)(9,111) (2)(9,111) =,975 27,111 + (2)(9,111) +,2778 (2)(2)(9,111) (27,111 + (2)(9,111) +,2778)2 (4)(2)(27,111)(9,111) (2)(2)(9,111) =,9713 94

r c = r 3 = ρ =,9919 r k = λ + kμ + (c k)θ + (λ + kμ + (c k)θ)2 4kμλ 2kμ r 1 = 27,111 + 9,111 + (2)(,2778) (2)(9,111) r 2 = r 3 = (27,111 + 9,111 + (2)(,2778)) 2 (4)(27,111)(9,111) + (2)(9,111) = 3,661 27,111 + (2)(9,111) +,2778 (2)(2)(9,111) + (27,111 + (2)(9,111) +,2778)2 (4)(2)(27,111)(9,111) (2)(2)(9,111) = 1,5317 27,111 + (3)(9,111) (2)(3)(9,111) (27,111 + (2)(9,111)) 2 (4)(27,111)(9,111) + (2)(3)(9,111) = 1 c k r k,k+1 = ( k + 1 ) (θ μ ) r k r untuk k c 1 k+1 r k r,1 = ( 3 + 1 ) (,2778 9,111 ) r r = ( 3 1 r 1 ) (,2778 9,111 ),972 3,661,972 =,423 95

r 1,2 = ( 3 1 1 + 1 ) (,2778 9,111 ) r 1 r = ( 2 2 r 1 2 ) (,2778 9,111 ),975 1,5317,975 =,527 r 2,3 = ( 3 2 2 + 1 ) (,2778 9,111 ) r 2 r = ( 1 3 r 2 3 ) (,2778 9,111 ),9713 1,9713 r k,k+2 = =,344 (c k)(c k 1) (k + 1)(k + 2) untuk k c 2 r,2 = r 1,3 = ( θ 2 μ ) r k r k+2 (r k+2 r k+1 )(r k+1 r k ) (3 )(3 1) (,2778 2 ( + 1)( + 2) 9,111 ) r r 2 (r 2 r 1 )(r 1 r ) = (3)(2) 2 (1)(2) (,2778 9,111 ) (,972)(1,5317) (1,5317,975)(3,661,972) =,35 (3 1)(3 1 1) (,2778 2 (1 + 1)(1 + 2) 9,111 ) r 1 r 3 (r 3 r 2 )(r 2 r 1 ) = (2)(1) 2 (2)(3) (,2778 9,111 ) (,975)(1) (1,9713)(1,5317,975) =,187 r k,k+3 = (c k)(c k 1)(c k 2) ( θ 3 (k + 1)(k + 2)(k + 3) μ ) r k r k+3(r k+2r k+3 r k r k+1 ) (r k+3 r k+2 )(r k+2 r k+1 )(r k+1 r k ) untuk k c 3 96

r,3 = (3 )(3 1)(3 2) ( + 1)( + 2)( + 3) (,2778 3 9,111 ) r r 3(r 2r 3 r r 1 ) (r 3 r 2 )(r 2 r 1 )(r 1 r ) = (3)(2)(1) 3 (1)(2)(3) (,2778 9,111 ) (,972)(1)((1,5317)(1) (,972)(,975)) (1,9713)(1,5317,975)(3,661,972) =,5 Karena nilai semua entri telah didapatkan, maka rate matriks R dapat dikonstruksikan sebagai berikut: r R = [ r,1 r 1 r,2 r 1,2 r 2 r,3 r 1,3 r 2,3 r 3 = [,972,423,975,35,527,9713,5,187,344,9919 Struktur matriks B[R untuk kasus antrean M/M/3 (AS,MV) adalah sebagai berikut:,972 RB = [,423,975,35,527,9713,5,187,344,9919 [ 9,111 18,222 27,333 = [,3854 8,8422,638,963 17,699,137,5111 9,426 27,1116 97

27,9444 A + RB = [,8334 36,7776,5556 45,618,2778 54,444 + [,3854 8,8422,638,963 17,699,137,5111 9,426 27,1116 27,9444 = [ 1,2188 27,9354,638 1,5159 27,9118,137,5111 9,684 81,5556 Substitusikan submatriks ke dalam matriks: A B 1 B[R = [ C A 1 B 2 C 1 A 2 B 3 C 2 A + RB Dimana submatriks tersebut adalah: A = 27,111 C = [27,111 B 1 = [ 9,111 27,9444,8334 A 1 = [ 36,7776 C 1 = [ 27,111 27,111 B 2 = [ 9,111 18,222 27,9444,8334 A 2 = [ 36,7776,5556 45,618 98

27,111 C 2 = [ 27,111 27,111 9,111 B 3 = [ 18,222 27,333 27,9444 A + RB = [ 1,2188 27,9354,638 1,5159 27,9118,137,5111 9,684 81,5556 Berdasarkan (π, π 1, π 2,, π c 1, π c )B[R = diperoleh sepuluh persamaan berikut ini: a) 27,111π + 9,111π 11 = b) 27,111π 27,9444π 1 = c),5556π 1 36,7776π 11 + 9,111π 21 + 18,222π 22 = d) 27,111π 1 27,9444π 2 = e) 27,111π 11 +,8334π 2 36,7776π 21 + 9,111π 31 = f),5556π 21 45,618π 22 + 18,222π 32 + 27,333π 33 = g) 27,111π 2 27,9444π 3 = h) 27,111π 21 + 1,2188π 3 27,9354π 31 = i) 27,111π 22 +,638π 3 + 1,5159π 31 27,9118π 32 = j),137π 3 +,5111π 31 + 9,684π 32 81,5556π 33 = 99

Dengan memisalkan π = K, maka diperoleh solusi untuk sistem linear tersebut yaitu: π = K π 1 =,972K π 11 = 2,9756K π 2 =,9413K π 21 = 2,822K π 22 = 4,416K π 3 =,9132K π 31 = 2,6717K π 32 = 4,4449K π 33 =,31K Jika ρ < 1, maka distribusi dari {L v, J} diberikan oleh π k = Kβ k, k c solusi tersebut dapat diperoleh koefisien sebagai berikut: β = 1 β 1 =,972 β 11 = 2,9756 β 2 =,9413 β 21 = 2,822 β 22 = 4,416 β 3 =,9132 β 31 = 2,6717 1

β 32 = 4,4449 β 33 =,31 Menghitung banyaknya nasabah dan waktu tunggu dalam sistem antrean multiserver dengan vacation dapat dihitung dengan persamaan berikut: L v (c) = ρ 1 ρ + 1 σ δ(i H) 2 η Pada kasus antrean M/M/3(AS,MV) maka matriks H, η, dan δ adalah sebagai berikut r r 1 r 2,972,423,35 H = [ r 1 r 12 = [,975,527 r 2,9713 r 3,5 η = [ r 13 = [,187 r 23,344 δ = [β 3 β 31 β 32 = [,9132 2,6717 4,4449 1,972,423,35 I H = [ 1 [,975,527 1,9713,298,423,35 = [,295,527,287,298,423,35 det [,295,527 =,3,287 11

Minor-minor dari matriks (I H),295,527 M 11 = [,287 =,8 M 12 = [,527,287 = M 13 = [,295 =,423,35 M 21 = [,287 =,1,298,35 M 22 = [,287 =,9 M 23,298,423 = [ =,423,35 M 31 = [,295,527 =,23,298,35 M 32 = [,527 =,16,298,423 M 33 = [,295 =,9 Matriks kofaktor dari matriks (I H),8 [,1,9,23,16,9 Matriks adjoin dari matriks (I H),8,1,23 [,9,16,9 12

(I H) 1 1,8,1,23 =,3 [,9,16,9,2,162,641 = 33333,3333 [,1251,36,82 26,6667 4 76,6667 = [ 3 53,3333 3 26,6667 4 76,6667 (I H) 2 = [ 3 53,3333 3 26,6667 4 76,6667 [ 3 53,3333 3 711,1129 2266,67 6477,781 = [ 9 32 9 σ = β 33 + δ(i H) 1 η =,31 + [,9132 2,6717 4,4449 26,6667 4 76,6667,5 [ 3 53,3333 [,187 3,344,5 =,31 + [24,352 43,623 6,8685 [,187,344 =,31 + 21,7667 = 21,7698 13

L v (c) = ρ 1 ρ + 1 σ δ(i H) 2 η =,9919 1,9919 + 1 [,9132 2,6717 4,4449 21,7698 711,1129 2266,67 6477,781,5 [ 9 32 [,187 9,344 = 122,4568 +,459[649,3883 334,688 1366,485,5 [,187,344 = 122,4568 + (,459)(476,6527) = 144,3351 Jadi banyaknya nasabah yang berada pada sistem antrean multiserver dengan vacation adalah 144 orang per jam. W v (c) = Nilai harapan waktu tunggu nasabah pada sistem adalah ρ cμ(1 ρ) + 1 cμσ δ(i H) 2 η = L (c) v cμ = 144,3351 (3)(9,111) = 5,286 Jadi waktu tunggu nasabah yang berada pada sistem antrean multiserver dengan vacation 5,286 jam. persentase: Persentase pemanfaatan sarana pelayanan dinyatakan dengan c = ρ 1% =,9919 1% = 99,19% Sehingga diperoleh persentase pemanfaatan sarana pelayanan di dalam sistem antrean multiserver dengan vacation adalah 99,19%. 14

b. Ukuran Keefektifan pada Teller Nasabah Primer Hari Sabtu 31 Desember 216 Ukuran keefektifan pada kedatangan nasabah dan pelayanan teller nasabah primer pada Hari Sabtu dapat dihitung dengan model (M/M/2 : FCFS/ / ). Kondisi sistem dalam keadaaan steady state. Selain itu terdapat vacation maka dilakukan perhitungan menggunakan Quasy Birth Death (QBD) Process. Laju kedatangan tiap jam adalah λ = 12,8886 kedatangan per jam, Laju pelayanan tiap jam untuk masing-masing server adalah μ = 7,5558 orang per jam. Jumlah server (c) terdapat 2 orang, maka μ n = μc = 15,1116 orang per jam. Rata-rata waktu vacation bagi kedua server tersebut adalah θ =,3759 jam. Faktor utilitas sistem atau peluang sistem sibuk dinotasikan dengan ρ dan diperoleh nilai ρ =,8529. Untuk ukuran keefektifitasan apabila mengabaikan adanya waktu vacation diperoleh : C 1 P = [ ρn n! + ρc c! ( 1 1 ρ ) n= c 1 = [,8529n n! n= L q = P +,85293 2! 1 1 ( 1,8529 ) 2 1 Jadi, waktu menganggur server adalah 4,47%. =,447 ρ c+1 (c 1)! (c ρ) 2 =,447,8529 3 (1)! (2,8529) 2 = 2,5633 Jadi, nasabah yang mengantre ada 3 nasabah per jam. 15

L s = L q + λ μ = 2,5633 + 12,8886 7,5558 = 4,2691 Jadi, nasabah yang berada dalam sistem ada 4 nasabah per jam. W q = L q λ = 2,5633 12,8886 =,1989 Jadi, waktu nasabah yang mengantre,2 jam. W s = W q + 1 μ =,1989 + 1 7,5558 =,3312 Jadi, waktu nasabah yang berada dalam sistem adalah,3 jam. Untuk ukuran keefektifitasan apabila memasukkan adanya waktu vacation diperoleh perhitungan berikut ini. Matriks generator infinitesimal Q untuk sistem antrean M/M/2 (AS,MV), A B 1 Q = [ C A 1 B C 1 A C Susbtitusi nilai λ, μ, dan θ ke dalam entri-entri setiap submatriks yang mengandung elemen tersebut A = λ = 12,8886 C = [λ = [12,8886 B 1 = [ μ = [ 7,5558 (λ + 2θ) A 1 = [ 2θ,7518 = [ 13,644 (λ + μ) 2,4444 16

C 1 = [ λ λ = [12,8886 12,8886 B 2 = [ μ = [ 7,5558 2μ 15,1116 = [ h cθ 13,644,7518 A = [ h 1 (c 1)θ 2,4444,3759 h 2 28,2 h k = λ + μk + (c k)θ untuk 1 k c 1 B = [ μ = [ 7,5558 2μ 15,1116 λ 12,8886 C = [ λ = [ 12,8886 r = λ λ + cθ = 12,8886 12,8886 + (2)(,3759) =,9449 r k = λ + kμ + (c k)θ (λ + kμ + (c k)θ)2 4kμλ 2kμ r 1 = 12,8886 + 7,5558 +,3759 (2)(7,5558) (12,8886 + 7,5558 +,3759)2 (4)(12,8886)(7,5558) (2)(7,5558) =,939 r c = r 2 = ρ =,8529 r k = λ + kμ + (c k)θ + (λ + kμ + (c k)θ)2 4kμλ 2kμ 17

r 1 = r 2 = 12,8886 + 7,5558 +,3759 (2)(7,5558) + (12,8886 + 7,5558 +,3759)2 (4)(12,8886)(7,5558) (2)(7,5558) = 1,8165 12,8886 + (2)(7,5558) (2)(2)(7,5558) + (12,8886 + (2)(7,5558))2 (4)(2)(12,8886)(7,5558) (2)(2)(7,5558) = 1 c k r k,k+1 = ( k + 1 ) (θ μ ) r k r untuk k c 1 k+1 r k r,1 = ( 2 + 1 ) (,3759 7,5558 ) r r = ( 2 1 r 1 ) (,3759 7,5558 ),9449 1,8165,9449 =,179 r 1,2 = ( 2 1 1 + 1 ) (,3759 7,5558 ) r 1 r = ( 1 2 r 1 2 ) (,3759 7,5558 ),939 1,939 =,3829 r k,k+2 = (c k)(c k 1) (k + 1)(k + 2) untuk k c 2 r,2 = ( θ 2 μ ) r k r k+2 (r k+2 r k+1 )(r k+1 r k ) (2 )(2 1) (,3759 2 ( + 1)( + 2) 7,5558 ) r r 2 (r 2 r 1 )(r 1 r ) = (2)(1) 2 (1)(2) (,3759 7,5558 ) (,9449)(1) (1,939)(1,8165,9449) =,44 18

Karena nilai semua entri telah didapatkan, maka rate matrix R dapat dikontruksi sebagai berikut: r r,1 r,2,9449,179,44 R = [ r 1 r 1,2 = [,939,3829 r 2,8529 Struktur matriks B[R untuk kasus antrean M/M/3 (AS,MV) adalah sebagai berikut:,9449,179,44 RB = [,939,3829 [ 7,5558,8529 15,1116,8153,6649 = [ 7,949 5,7862 12,8886 13,644,7518 A + RB = [ 2,4444,3759 28,2,8153,6649 + [ 7,949 5,7862 12,8886 13,644 1,5671,6649 = [ 13,3495 6,1621 15,1116 Substitusikan submatriks ke dalam matriks: A C B[R = [ B 1 A 1 C 1 B 2 A + RB Dimana submatriks tersebut adalah: A = 12,8886 19

C = [12,8886 B 1 = [ 7,5558 13,644,7518 A 1 = [ 2,4444 C 1 = [ 12,8886 12,8886 B 2 = [ 7,5558 15,1116 13,644 1,5671,6649 A + RB = [ 13,3495 6,1621 15,1116 Berdasarkan (π, π 1, π 2,, π c 1, π c )B[R = diperoleh enam persamaan berikut ini a) 12,8886π + 7,5558π 11 = b) 12,8886π 13,644π 1 = c),7518π 1 2,4444π 11 + 7,5558π 21 + 15,1116π 22 = d) 12,8886π 1 13,644π 2 = e) 12,8886π 11 + 1,5671π 2 13,3495π 21 = f),6649π 2 + 6,1621π 21 15,1116π 22 = Dengan memisalkan π = K, maka diperoleh solusi untuk sistem linear tersebut yaitu: π = K π 1 =,9449K π 11 = 1,758K 11

π 2 =,8928K π 21 = 1,7517K π 22 = 1,3849K Jika ρ < 1, maka distribusi dari {L v, J} diberikan oleh π k = Kβ k, k c solusi tersebut dapat diperoleh koefisien sebagai berikut: β = 1 β 1 =,9449 β 11 = 1,758 β 2 =,8928 β 21 = 1,7517 β 22 = 1,3849 Menghitung banyaknya nasabah dan waktu tunggu dalam sistem antrean multiserver dengan vacation dapat dihitung dengan persamaan berikut: L v (c) = ρ 1 ρ + 1 σ δ(i H) 2 η Pada kasus antrean M/M/2(AS,MV) maka matriks H, η, dan δ adalah sebagai berikut: H = [ r r 1,9449,179 r = [ 1,939 η = [ r 2 r 12 = [,44,3829 δ = [β 2 β 21 = [,8928 1,7517 111

I H = [ 1,179,179 [,9449 = [,551 1,939,61,551,179 det [,61 =,34 Matriks adjoin dari matriks (I H),61,179 [,551 (I H) 1 = 1,179 [,61,34,551,61,179 32,126 = 297,5216 [ = [18,1488,551 16,3934 (I H) 2 18,1488 32,126 32,126 = [ [18,1488 16,3934 16,3934 329,3797 118,896 = [ 268,745 σ = β 22 + δ(i H) 1 η 18,1488 32,126 = 1,3849 + [,8928 1,7517 [ 16,3934 [,44,3829 = 1,3849 + [16,234 57,3776 [,44 = 1,3849 + 22,6828,3829 = 24,677 L v (c) = ρ 1 ρ + 1 σ δ(i H) 2 η =,8529 1,8529 + 1 [,8928 1,7517 24,677 329,3797 118,896 [ 268,745 [,44,3829 = 5,7981 +,416[294,77 146,783 [,44,3829 = 5,7981 + (,416)(572,2728) = 29,647 112

Jadi banyaknya nasabah yang berada pada sistem antrean multiserver dengan vacation adalah 3 orang per jam. W v (c) = Nilai harapan waktu tunggu nasabah pada sistem adalah ρ cμ(1 ρ) + 1 cμσ δ(i H) 2 η = L (c) v cμ = 29,647 (2)(7,5558) = 1,9591 Jadi waktu tunggu nasabah yang berada pada sistem antrean multiserver dengan vacation adalah 1,9591 jam. Persentase pemanfaatan sarana pelayanan dinyatakan dengan c = ρ 1% =,8529 1% = 85,29% Sehingga diperoleh persentase pemanfaatan sarana pelayanan di dalam sistem antrean multiserver dengan vacation adalah 85,29%. c. Ukuran Keefektifan pada Teller Nasabah Primer Hari Rabu 4 Januari 217 Ukuran keefektifan pada kedatangan nasabah dan pelayanan teller nasabah primer pada hari Rabu dapat dihitung dengan model (M/M/4 : FCFS/ / ). Kondisi sistem dalam keadaaan steady state. Selain itu terdapat vacation maka dilakukan perhitungan menggunakan Quasy Birth Death (QBD) Process. Laju kedatangan tiap jam adalah λ = 45,3336 kedatangan per jam. Laju pelayanan tiap jam untuk masing-masing server adalah μ = 12,4446 orang per jam. Jumlah server (c) terdapat 4 orang, maka μ n = μc = 113

181,3344 orang per jam. Rata-rata waktu vacation bagi keempat server tersebut adalah θ =,3278 jam. Faktor utilitas sistem atau peluang sistem sibuk dinotasikan dengan ρ dan diperoleh nilai ρ =,917. Untuk ukuran keefektifitasan apabila mengabaikan adanya waktu vacation diperoleh : C 1 P = [ ρn n! + ρc c! ( 1 1 ρ ) n= c 1 = [,917n n! n= L q = P +,9173 4! 1 1 ( 1,917 ) 4 1 Jadi, waktu menganggur server adalah,99%. =,99 ρ c+1 (c 1)! (c ρ) 2 =,99,917 5 (3)! (4,917) 2 = 8,2954 Jadi, nasabah yang mengantre ada 8 nasabah per jam. L s = L q + λ μ = 8,2954 + 45,3336 12,4446 = 11,9382 Jadi, nasabah yang berada dalam sistem ada 12 nasabah per jam. W q = L q λ = 8,2954 45,3336 =,183 Jadi, waktu nasabah yang mengantre,2 jam. W s = W q + 1 μ =,1989 + 1 12,4446 =,2634 Jadi, waktu nasabah yang berada dalam sistem adalah,3 jam. 114

Untuk ukuran keefektifitasan apabila memasukkan adanya waktu vacation diperoleh perhitungan berikut ini. Matriks generator infinitesimal Q untuk sistem antrean M/M/4 (AS,MV). Q = A B 1 [ C A 1 B 2 A 2 B 3 C 2 A 3 B C 3 A C Susbtitusi nilai λ, μ, dan θ ke dalam entri-entri setiap submatriks yang mengandung elemen tersebut A = λ = 45,3336 C = [λ = [45,3336 B 1 = [ μ = [ 12,4446 (λ + 4θ) A 1 = [ 4θ 1,3112 = [ 46,6449 (λ + μ + 3θ) 58,7616 C 1 = [ λ λ = [45,3336 45,3336 B 2 = [ μ = [ 12,4446 2μ 24,8892 (λ + 4θ) 4θ A 2 = [ (λ + μ + 3θ) 3θ (λ + 2μ + 2θ) 46,6449 1,3112 = [ 58,7616,9834 7,8784 115

λ 45,3336 C 2 = [ λ = [ λ 45,3336 45,3336 μ 12,4446 B 3 = [ = [ 2μ 24,8892 3μ 37,3338 (λ + 4θ) A 3 = [ 4θ (λ + μ + 3θ) 3θ (λ + 2μ + 2θ) 2θ (λ + 3μ + θ) 46,6449 = [ 1,3112 58,7616,9834 7,8784,6556 82,9952 λ C 3 = [ λ λ λ 45,3336 = [ 45,3336 45,3336 45,3336 B 4 = [ μ 2μ = 3μ 4μ [ 12,4446 24,8892 37,3338 49,7784 A = h [ cθ h 1 (c 1)θ h 2 (c 2)θ h 3 (c 3)θ h 4 = [ 46,6449 1,3112 58,7616,9834 7,8784,6556 82,9952,3278 95,112 h k = λ + μk + (c k)θ untuk 1 k c 1 116

B = [ μ 2μ 3μ 4μ = [ 12,4446 24,8892 37,3338 49,7784 λ C = [ λ λ λ = [ 45,3336 45,3336 45,3336 45,3336 r = λ λ + cθ = 45,3336 45,3336 + (4)(,3278) =,9719 r k = λ + kμ + (c k)θ (λ + kμ + (c k)θ)2 4kμλ 2kμ r 1 = 45,3336 + 12,4446 + (3)(,3278) (2)(12,4446) (45,3336 + 12,4446 + (3)(,3278)) 2 (4)(12,4446)(45,3336) (2)(12,4446) =,9713 117

r 2 = 45,3336 + (2)(12,4446) + (2)(,3278) (2)(2)(12,4446) (45,3336 + (2)(12,4446) + (2)(,3278)) 2 (4)(2)(12,4446)(45,3336) (2)(2)(12,4446) =.97 r 3 = 45,3336 + (3)(12,4446) +,3278 (2)(3)(12,4446) (45,3336 + (3)(12,4446) +,3278)2 (4)(3)(12,4446)(45,3336) (2)(3)(12,4446) =,9659 r c = r 4 = ρ =,917 r k = λ + kμ + (c k)θ + (λ + kμ + (c k)θ)2 4kμλ 2kμ r 1 = 45,3336 + 12,4446 + (3)(,3278) (2)(12,4446) (45,3336 + 12,4446 + (3)(,3278)) 2 (4)(12,4446)(45,3336) + (2)(12,4446) r 2 = = 3,756 45,3336 + (2)(12,4446) + (2)(,3278) (2)(2)(12,4446) (45,3336 + (2)(12,4446) + (2)(,3278)) 2 (4)(2)(12,4446)(45,3336) + (2)(2)(12,4446) = 1,8778 118

r 3 = 45,3336 + (3)(12,4446) +,3278 (2)(3)(12,4446) + (45,3336 + (3)(12,4446) +,32783)2 (4)(3)(12,4446)(45,3336) (2)(3)(12,4446) = 1,2572 r 4 = 45,3336 + (4)(12,4446) (2)(4)(12,4446) + (45,3336 + (4)(12,4446))2 (4)(45,3336)(12,4446) (2)(4)(12,4446) = 1 c k r k,k+1 = ( k + 1 ) (θ μ ) r k r untuk k c 1 k+1 r k r,1 = ( 4 + 1 ) (,3278 12,4446 ) r r 1 r = ( 4 1 ) (,3278 12,4446 ),9719 3,756,9719 =,369 r 1,2 = ( 4 1 1 + 1 ) (,3278 12,4446 ) r 1 r 2 r 1 = ( 3 2 ) (,3278 12,4446 ),9713 1,8778,9713 =,423 r 2,3 = ( 4 2 2 + 1 ) (,3278 12,4446 ) r 2 r 3 r 2 = ( 2 3 ) (,3278 12,4446 ).97 1,2572.97 =,593 r 3,4 = ( 4 3 3 + 1 ) (,3278 12,4446 ) r 3 r 4 r 3 = ( 1 4 ) (,3278 12,4446 ),9659 1,9659 =,1865 119

r k,k+2 = (c k)(c k 1) (k + 1)(k + 2) untuk k c 2 r,2 = r 1,3 = r 2,4 = (4 )(4 1) (,3278 2 ( + 1)( + 2) 12,4446 ) ( θ 2 μ ) r k r k+2 (r k+2 r k+1 )(r k+1 r k ) r r 2 (r 2 r 1 )(r 1 r ) = (4)(3) (1)(2) (,3278 2 12,4446 ) (,9719)(1,8778) (1,8778,9713)(3,756,9719) =,92 (4 1)(4 1 1) (,3278 2 (1 + 1)(1 + 2) 12,4446 ) r 1 r 3 (r 3 r 2 )(r 2 r 1 ) = (3)(2) (2)(3) (,3278 2 12,4446 ) (,9713)(1,2572) (1,2572.97)(1,8778,9713) =,32 (4 2)(4 2 1) (,3278 2 (2 + 1)(2 + 2) 12,4446 ) r 2 r 4 (r 4 r 3 )(r 3 r 2 ) = (2)(1) (3)(4) (,3278 2 12,4446 ) (.97)(1) (1,9659)(1,2572.97) =,781 r k,k+3 = (c k)(c k 1)(c k 2) ( θ 3 (k + 1)(k + 2)(k + 3) μ ) r k r k+3(r k+2r k+3 r k r k+1 ) (r k+3 r k+2 )(r k+2 r k+1 )(r k+1 r k ) untuk k c 3 12

r,3 = (4 )(4 1)(4 2) (,3278 3 ( + 1)( + 2)( + 3) 12,4446 ) r r 3(r 2r 3 r r 1 ) (r 3 r 2 )(r 2 r 1 )(r 1 r ) = (4)(3)(2) (1)(2)(3) (,3278 3 12,4446 ) (,9719)(1,2572)((1,8778)(1,2572) (,9719)(,9713)) (1,2572.97)(1,8778,9713)(3,756,9719) =,2 r 1,4 = (4 1)(4 1 1)(4 1 2) (,3278 3 (1 + 1)(1 + 2)(1 + 3) 12,4446 ) r 1 r 4(r 3r 4 r 1 r 2 ) (r 4 r 3 )(r 3 r 2 )(r 2 r 1 ) = (3)(2)(1) (2)(3)(4) (,3278 3 12,4446 ) (,9713)(1)((1,2572)(1) (,9713)(.97)) (1,9659)(1,2572.97)(1,8778,9713) =,2 r k,k+4 = (c k)(c k 1)(c k 2)(c k 3) ( θ 4 (k + 1)(k + 2)(k + 3)(k + 4) μ ) r k r k+4(r k+4r k+3r k+2 r k r k+1 r k+2 ) (r k+4 r k+3 )(r k+3 r k+2 )(r k+2 r k+1 )(r k+1 r k ) untuk k c 4 121

r,4 = (4 )(4 1)(4 2)(4 3) (,3278 4 ( + 1)( + 2)( + 3)( + 4) 12,4446 ) r r 4(r 4r 3r 2 r r 1 r 2 ) (r 4 r 3 )(r 3 r 2 )(r 2 r 1 )(r 1 r ) = (4)(3)(2)(1) (1)(2)(3)(4) (,3278 4 12,4446 ) (,9719)(1)((1)(1,2572)(1,8778) (,9719)(,9713)(.97)) (1,9659)(1,2572.97)(1,8778,9713)12 =,1 Karena nilai semua entri telah didapatkan, maka rate matrix R dapat dikontruksi sebagai berikut R = r [ r,1 r 1 r,2 r 1,2 r 2 r,3 r 1,3 r 2,3 r 3 r,4 r 1,4 r 2,4 r 3,4 r 4 = [,9719,369,9713,92,423.97,2,32,593,9659,1,2,781,1865,917 Struktur matrik B[R untuk kasus antrean M/M/4 (AS,MV) adalah sebagai berikut 122

RB =,9719 [,369,9713,92,423.97,2,32,593,9659,1,2,781,1865,917 [ 12,4446 24,8892 37,3338 49,7784 = [,4592 12,874,229 1,528 24,1425,75,1195 2,2139 36,67,5,1 3,8877 9,2837 45,3332 A + RB = 46,6449 [ 1,3112 58,7616,9834 7,8784,6556 82,9952,3278 95,112 + [,4592 12,874,229 1,528 24,1425,75,1195 2,2139 36,67,5,1 3,8877 9,2837 45,3332 = [ 46,6449 1,774 46,6742,229 2,362 46,7359,75,1195 2,8695 46,9345,5,1 3,8877 9,6115 49,7788 Substitusikan submatriks ke dalam matriks: B[R = A B 1 [ C A 1 B 2 C 1 A 2 B 3 C 2 A 3 B 4 C 3 A + RB 123

Dimana submatriks tersebut adalah: A = 45,3336 C = [45,3336 B 1 = [ 12,4446 46,6449 1,3112 A 1 = [ 58,7616 C 1 = [ 45,3336 45,3336 B 2 = [ 12,4446 24,8892 46,6449 1,3112 A 2 = [ 58,7616,9834 7,8784 45,3336 C 2 = [ 45,3336 45,3336 12,4446 B 3 = [ 24,8892 37,3338 46,6449 A 3 = [ 1,3112 58,7616,9834 7,8784,6556 82,9952 45,3336 C 3 = [ 45,3336 45,3336 45,3336 B 4 = [ 12,4446 24,8892 37,3338 49,7784 124

A + RB = [ 46,6449 1,774 46,6742,229 2,362 46,7359,75,1195 2,8695 46,9345,5,1 3,8877 9,6115 49,7788 Berdasarkan (π, π 1, π 2,, π c 1, π c )B[R = diperoleh lima belas persamaan berikut ini: a) 45,3336π + 12,4446π 11 = b) 45,3336π 46,6449π 1 = c) 1,3112π 1 58,7616π 11 + 12,4446π 21 + 24,8892π 22 = d) 45,3336π 1 46,6449π 2 = e) 45,3336π 11 + 1,3112π 2 58,7616π 21 + 12,4446π 31 = f),9834π 21 7,8784π 22 + 24,8892π 32 + 37,3338π 33 = g) 45,3336π 2 46,6449π 3 = h) 45,3336π 21 + 1,3112π 3 58,7616π 31 + 12,4446π 41 = i) 45,3336π 22 +,9834π 31 7,8784π 32 + 24,8892π 42 = j),9834π 32 82,9952π 33 + 37,3338π 43 + 49,7784π 44 = k) 45,3336π 3 46,6449π 4 = l) 45,3336π 31 + 1,774π 4 46,6742π 41 = m) 45,3336π 32 +,229π 4 + 2,362π 41 46,7359π 42 = n) 45,3336π 33 +,75π 4 +,1195π 41 + 2,8695π 42 46,9345π 43 = o),5π 4 +,1π 41 + 3,8877π 42 + 9,6115π 43 49,7788π 44 = 125

Dengan memisalkan π = K, maka diperoleh solusi untuk sistem linear tersebut yaitu: π = K π 1 =,9719K π 11 = 3,6428K π 2 =,9446K π 21 = 3,574K π 22 = 6,7622K π 3 =,918K π 31 = 3,561K π 32 = 6,7152K π 33 = 8,2671K π 4 =,8922K π 41 = 3,4392K π 42 = 6,6679K π 43 = 8,417K π 44 = 2,1428K Jika ρ < 1, maka distribusi dari {L v, J} diberikan oleh π k = Kβ k, k c solusi tersebut dapat diperoleh koefisien sebagai berikut: β = 1 β 1 =,9719 β 11 = 3,6428 β 2 =,9446 126

β 21 = 3,574 β 22 = 6,7622 β 3 =,918 β 31 = 3,561 β 32 = 6,7152 β 33 = 8,2671 β 4 =,8922 β 41 = 3,4392 β 42 = 6,6679 β 43 = 8,417 β 44 = 2,1428 Menghitung banyaknya nasabah dan waktu tunggu dalam sistem antrean multiserver dengan vacation dapat dihitung dengan persamaan berikut: L v (c) = ρ 1 ρ + 1 σ δ(i H) 2 η Pada kasus antrean M/M/4 (AS,MV) maka matriks H, η, dan δ adalah sebagai berikut: r H = [ r 1 r 1 r 2 r 12 r 2 r 3 r 13 r 23 r 3 = [,9719,369,9713,92,423.97,2,32,593,9659 r 4,1 r η = [ 14,2 r = [ 24,781 r 34,1865 δ = [β 4 β 41 β 42 β 43 = [,8922 3,4392 6,6679 8,417 127

1 I H = [ 1 1,9719 [ 1,369,9713,92,423.97,2,32,593,9659,281 = [,369,287,92,423,3,2,32,593,341,281 det [,369,287,92,423,3,2,32 =,8,593,341 Minor-monir dari matriks (I H),287,423,32 M 11 = [,3,593 =,3,341,423,32 M 12 = [,3,593 =,341,287,32 M 13 = [,593 =,341,287,423 M 14 = [,3 =,369,92,2 M 21 = [,3,593 =,4,341,281,92,2 M 22 = [,3,593 =,3,341,281,369,2 M 23 = [,593 =,341,281,369,92 M 24 = [,3 = 128

,369,92,2 M 31 = [,287,423,32 =,6,341,281,92,2 M 32 = [,423,32 =,4,341,281,369,2 M 33 = [,287,32 =,3,341,281,369,92 M 34 = [,287,423 =,369,92,2 M 41 = [,287,423,32 =,1,3,593,281,92,2 M 42 = [,423,32 =,7,3,593,281,369,2 M 43 = [,287,32 =,5,593,281,369,92 M 44 = [,287,423 =,2,3 Matriks kofaktor dari matriks (I H),3,4 [,6,1,3,4,7,3,5,2 Matriks adjoin dari matriks (I H),3 [,4,3,6,4,3,1,7,5,2 129

(I H) 1 =,3 1,8 [,4,3,6,4,3,1,7,5,2,3 = 9,6525 [,4,3,6,4,3,1,7,5,2 37,5 = [ 5 37,5 75 37,5 37,5 125 87.5 62,5 25 37,5 (I H) 2 = [ 5 37,5 75 37,5 37,5 125 37,5 87.5 [ 62,5 25 5 37,5 75 37,5 37,5 125 87.5 62,5 25 146,25 = [ 375 146,25 75 2812,5 146,25 16875 7812,5 396,5 625 σ = β 44 + δ(i H) 1 η = 2,1428 + [,8922 3,4392 6,6679 8,417 37,5 [ 5 37,5 75 37,5 37,5 125,1 87.5,2 [ 62,5,781 25,1865,1 = 2,1428 + [33,4575 173,58 445,9313,2 139,241 [,781,1865 = 2,1428 + 228,6838 = 23,8266 13

L v (c) = ρ 1 ρ + 1 σ δ(i H) 2 η =,917 1,917 + 1 [,8922 3,4392 6,6679 8,417 23,8266 146,25 [ 375 146,25 75 2812,5 146,25 16875,1 7812,5,2 [ 396,5,781 625,1865 = 1,1982 +,43,1 [1254,6563 8182,125 2574,98,2 73222,17 [,781,1865 = 1,1982 + (,43)(15668,678) = 77,579 Jadi banyaknya nasabah yang berada pada sistem antrean multiserver dengan vacation adalah 76 orang per jam. Nilai harapan waktu tunggu nasabah di dalam sistem adalah W v (c) = ρ cμ(1 ρ) + 1 cμσ δ(i H) 2 η = L (c) v cμ = 75,579 (4)(12,4446) = 1,5181 Jadi waktu tunggu nasabah yang berada pada sistem antrean multiserver dengan vacation adalah 1,5181 jam. Persentase pemanfaatan sarana pelayanan dinyatakan dengan c = ρ 1% =,917 1% = 91,7% Sehingga diperoleh persentase pemanfaatan sarana pelayanan di dalam sistem antrean multiserver dengan vacation adalah 91,7%. 131

3. Program M/M/c (AS,MV) Script 1 disp( Program menghitung_nilai_keefektifan_sistem_antrian_m/m/2(as,mv) ) lambda=input('masukan_laju_kedatangan='); mu=input('masukan_laju_pelayanan='); teta=input('masukan_rata-rata_waktu_vacation='); c=input('banyak_server='); rho=lambda/(c*mu) r2b=1; r=lambda/(lambda+c*teta); r1=(lambda+mu+teta-sqrt((lambda+mu+teta)^2-(4*lambda*mu)))/(2*mu); r1b=(lambda+mu+teta+sqrt((lambda+mu+teta)^2- (4*lambda*mu)))/(2*mu); r2=rho; r1=2*(teta/mu)*(r/(r1b-r)); r2=((teta/mu)^2)*r*r2b/((r2b-r1)*(r1b-r)); r12=(1/2)*(teta/mu)*(r1/(r2b-r1)); R=[r r1 r2; r1 r12; r2; A=[-lambda; C=[lambda ; A1=[-(lambda+2*teta) 2*teta; -(lambda+mu); B1=[; mu; B2=[ ; mu; 2*mu; C1=[lambda ; lambda ; A=[-(lambda+2*teta) 2*teta ; -(lambda+mu+teta) teta; - (lambda+2*mu); B=[ ; mu ; 2*mu; C=[lambda ; lambda ; lambda; matriks=a+(r*b); BR=[A(1:1,1:1) C(1:1,1:2) B1(1:1,1:1) A1(1:1,1:2) C1(1:1,1:3) B1(2:2,1:1) A1(2:2,1:2) C1(2:2,1:3) B2(1:1,1:2) matriks(1:1,1:3) B2(2:2,1:2) matriks(2:2,1:3) B2(3:3,1:2) matriks(3:3,1:3); beta=1; beta1=lambda/(lambda+2*teta); beta11=lambda/mu; beta2=(lambda/(lambda+2*teta))^2; beta21=((lambda/mu)*r1)+((2*teta)/mu)*((r^2)/(r1b-r)); beta22=((teta*1*mu)/(2*mu*(1-r1)*mu))*((r/(r1b-r))+r1); H=[r r1; r1; E=[r2; r12; 132

D=[beta2 beta21; I=eye(2,2); N=inv(M); P=N*N; sigma=(beta22+(d*p*e)); disp(' ') disp('nilai harapan banyaknya customer dalam sistem') L=(rho/(1-rho))+((1/sigma)*D*P*E); L_vacation=ceil(L) disp('nilai harapan waktu menunggu customer dalam sistem (dalam jam)') W_vacation=L/lambda Script 2 disp('program menghitung nilai keefektifan sistem antrian M/M/3(AS,MV)') lambda=input('masukan_laju_kedatangan='); mu=input('masukan_laju_pelayanan='); teta=input('masukan_rata-rata_waktu_vacation='); c=input('banyak_server='); rho=lambda/(c*mu) r2b=1; r=lambda/(lambda+c*teta); r1=(lambda+mu+2*teta-sqrt((lambda+mu+2*teta)^2- (4*lambda*mu)))/(2*mu); r2=(lambda+2*mu+teta-sqrt((lambda+2*mu+teta)^2- (4*2*lambda*mu)))/(2*2*mu); r3=rho; r11=(lambda+mu+2*teta+sqrt((lambda+mu+2*teta)^2- (4*lambda*mu)))/(2*mu); r22=(lambda+2*mu+teta+sqrt((lambda+2*mu+teta)^2- (4*2*lambda*mu)))/(2*2*mu); r33=r2b; r1=3*(teta/mu)*(r/(r11-r)); r12=(teta/mu)*(r1/(r22-r1)); r23=(1/3)*(teta/mu)*(r2/(r33-r2)); r2=(3)*((teta/mu)^2)*r*r22/((r22-r1)*(r11-r)); r13=(1/3)*((teta/mu)^2)*r1*r33/((r33-r2)*(r22-r1)); r3=((teta/mu)^3)*r*r33*(r22*r33-r*r1)/((r33-r2)*(r22-r1)*(r11-r)); R=[r r1 r2 r3; r1 r12 r13; r2 r23; r3; A=[-lambda; C=[lambda ; A1=[-(lambda+2*teta) 2*teta; -(lambda+mu); B1=[; mu; B2=[ ; mu; 2*mu; C1=[lambda ; lambda ; 133

C2=[lambda ; lambda ; lambda ; A=[-(lambda+2*teta) 2*teta ; -(lambda+mu+teta) teta; - (lambda+2*mu); B=[ ; mu ; 2*mu; C=[lambda ; lambda ; lambda; beta3=(lambda/(lambda+2*teta)^3); beta31=(3*teta/mu*r/(r11-r)*r)+(lambda*r1/mu); beta32=(r/(1-r1)/(r11- r)*2*teta/2/mu*lambda/mu)+(2*teta/2/mu*r1*lambda/mu/(1-r1)); beta33=((r2*r)+(r12*r1)+(r2*lambda/mu)); H=[r r1 r2; r1 r12; r2; E=[r3; r13; r23; D=[beta3 beta31 beta32; I=eye(3,3); M=I-H; N=inv(M); P=N*N; sigma=(beta33+(d*p*e)); disp(' ') disp('nilai harapan banyaknya customer dalam sistem') L=(rho/(1-rho))+((1/sigma)*D*P*E); L_vacation=ceil(L) disp('nilai harapan waktu menunggu customer dalam sistem (dalam jam)') W_vacation=L/lambda Hasil Script 1 Program menghitung nilai keefektifan sistem antrian M/M/2(AS,MV) masukan_laju_kedatangan=12.8886 masukan_laju_pelayanan=7.5558 masukan_rata-rata_waktu_vacation=.3759 banyak_server=2 rho =.8529 nilai harapan banyaknya customer dalam sistem L_vacation = 29.452 nilai harapan waktu menunggu customer dalam sistem (dalam jam) W_vacation = 1.958 134

Hasil Script 2 Program menghitung nilai keefektifan sistem antrian M/M/3(AS,MV) masukan_laju_kedatangan=27.111 masukan_laju_pelayanan=9.111 masukan_rata-rata_waktu_vacation=.2778 banyak_server=3 rho =.9919 nilai harapan banyaknya customer dalam sistem L_vacation = 144.135 nilai harapan waktu menunggu customer dalam sistem (dalam jam) W_vacation = 5.26 135