PENDUGAAN PARAMETER BEBERAPA SEBARAN POISSON CAMPURAN DAN BEBERAPA SEBARAN DISKRET DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITME EM ADE HARIS HIMAWAN

PENDUGAAN PARAMETER BEBERAPA SEBARAN POISSON CAMPURAN DAN BEBERAPA SEBARAN DISKRET DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITME EM ADE HARIS HIMAWAN SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Pendugaan Parameter Beberapa Sebaran Poisson Campuran dan Beberapa Sebaran Diskret dengan Menggunakan Algoritme EM adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Bogor, Agustus 2008 Ade Haris Himawan NIM 060211

ABSTRACT ADE HARIS HIMAWAN. Parameter Estimation of Some Mixed Poisson Distributions and Some Discrete Distributions Using EM Algorithm. Under direction of I GUSTI PUTU PURNABA and EFFENDI SYAHRIL. Mixed Poisson distributions are widely used in various disciplines including actuarial applications. The family of mixed Poisson distributions contains several members according to the choice of mixing distribution to the Poisson distribution. The first objective of this thesis is to find explicit formula of mixed Poisson and some discrete distributions. The second objective is to search parameter estimation of these formulas using EM algorithm. The results show that general EM algorithm can be applied to the mixed Poisson distributions. The value of parameter estimator can be obtained by using EM algorithm in empirical data. Keywords: Mixed Poisson, EM algorithm.

RINGKASAN ADE HARIS HIMAWAN. Pendugaan Parameter Beberapa Sebaran Poisson Campuran dan Beberapa Sebaran Diskret dengan Menggunakan Algoritme EM. Dibimbing oleh I GUSTI PUTU PURNABA dan EFFENDI SYAHRIL. Asuransi adalah transaksi pertanggungan yang melibatkan dua pihak, yaitu tertanggung dan penanggung. Perusahaan asuransi mengeluarkan polis yang berisi kesepakatan antara pihak tertanggung dan penanggung, dan menjanjikan akan membayar pemiliknya jika terjadi kerugian sepanjang waktu kontrak belum berakhir. Pembayaran kerugian disebut klaim sedang pengasuransi diwajibkan membayar premi. Sebaran Poisson secara luas digunakan dalam masalah asuransi terutama untuk model proses klaim. Salah satu contohnya pada asuransi kendaraan bermotor, kejadian musibah seperti kecelakaan terjadi dalam waktu yang berbedabeda merupakan kejadian acak, sehingga klaim yang datang tidak dapat diprediksi. Adapun tujuan penelitian ini adalah: (1) Mencari formula eksplisit sebaran Poisson campuran dan beberapa sebaran diskret. (2) Menerapkan algoritme EM untuk menduga nilai parameter dari sebaran Poisson campuran dan beberapa sebaran diskret. Metode yang digunakan dalam penelitian adalah studi pustaka disertai dengan perhitungan numerik untuk memperoleh nilai penduga parameter. Langkah-langkah yang akan dilakukan dalam penelitian adalah: (1) Penentuan formula eksplisit dari beberapa sebaran Poisson campuran dan beberapa sebaran diskret dengan menentukan fungsi sebaran geometri ( ), sebaran Poisson- Lindley( p ), sebaran Poisson-Inverse Gaussian (, ), sebaran binomial negatif(, ), sebaran Neyman (, ), sebaran Poisson-lognormal (, ), sebaran Yule ( ) dan sebaran beta-binomial (, ), (2) Penentuan formula untuk tahap E dan M untuk setiap sebaran Poisson campuran dengan menggunakan algoritme EM, (3) Penentuan nilai dugaan parameter dengan menggunakan algoritme EM berdasarkan data empirik. Nilai penduga parameter ini dihitung secara numerik dengan menggunakan software Matlab 6.5. Untuk menguji kesesuaian sebaran hipotetik dengan sebaran data empirik digunakan uji Khi-kuadrat. Formula eksplisit dari masing-masing sebaran Poisson campuran dan beberapa sebaran diskret telah berhasil diperoleh. Berdasarkan data empirik, diduga parameter dari setiap sebaran Poisson campuran dengan menggunakan algoritme EM. Nilai peluang dapat diperoleh dengan cara menyubstitusikan nilai penduga parameter ke fungsi kepekatan peluang dari beberapa sebaran Poisson. Setelah mendapatkan nilai peluang, nilai harapan juga dapat dicari dengan cara tiap nilai peluang dikalikan dengan total frekuensi hari. Dari frekuensi harapan dan 2 frekuensi teramati dapat dicari nilai hitung. Dengan mengasumsikan parameter pada sebaran Poisson ( ) adalah suatu konstanta, maka didapatkan 2 2 hitung tabel yang artinya sebaran Poisson ( )ini tidak cocok dengan sebaran data empirik. Hal yang sama terjadi pada sebaran

1 Poisson campuran yaitu sebaran sebaran geometri ( ), sebaran Poisson- Lindley( p ), dan sebaran Neyman (, ). Untuk sebaran Poisson campuran berupa sebaran Poisson-Inverse Gaussian(, ), sebaran binomial negatif (, ), dan sebaran Poissonlognormal(, )dengan 2 2 hitung tabel yang artinya bahwa asumsi parameter pada sebaran Poisson ( )menyebar menurut sebaran Inverse Gaussian, sebaran gamma atau sebaran lognormal menghasilkan sebaran Poisson campuran yang sesuai dengan sebaran data empirik. Untuk sebaran diskret yang sesuai dengan sebaran data empirik adalah sebaran Yule karena 2 hitung 2 tabel. Berdasarkan data uji Khi-kuadrat, sebaran yang sesuai dengan data empirik adalah sebaran Poisson-Inverse Gaussian, sebaran binomial negatif, sebaran Poisson-lognormal dan sebaran Yule. Kata kunci: Poisson Campuran, Sebaran beta-binomial, Sebaran Yule, Algoritme EM.

Hak Cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2008 Hak Cipta dilindungi Undang-undang 1 Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber a Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah. b Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor. 2 Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin Institut Pertanian Bogor.

PENDUGAAN PARAMETER BEBERAPA SEBARAN POISSON CAMPURAN DAN BEBERAPA SEBARAN DISKRET DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITME EM ADE HARIS HIMAWAN Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Departemen Matematika SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008

Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Ir. Retno Budiarti, M.S.

Judul Tesis Nama NIM : Pendugaan Parameter Beberapa Sebaran Poisson Campuran dan Beberapa Sebaran Diskret dengan Menggunakan Algoritme EM : Ade Haris Himawan : G551060211 a Disetujui Komisi Pembimbing a Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA Drs. Effendi Syahril, Grad.Dipl. Ketua Anggota A Diketahui Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana Matematika Terapan Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S. Tanggal Ujian: 19 Agustus 2008 Tanggal Lulus:

PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia- Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian dilaksanakan sejak bulan Nopember 2007 untuk mencari nilai penduga parameter, dengan judul Pendugaan Parameter Beberapa Sebaran Poisson Campuran dan Beberapa Sebaran Diskret dengan Menggunakan Algoritme EM. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA dan Bapak Drs. Effendi Syahril, Grad.Dipl. selaku pembimbing, serta kepada Ibu Ir. Retno Budiarti, M.S. selaku penguji luar komisi. Di samping itu, penghargaan penulis sampaikan kepada Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. sebagai ketua Program Studi Matematika Terapan dan Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan fasilitas berupa beasiswa. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada istri dan anak serta seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Agustus 2008 Ade Haris Himawan

RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Brebes pada tanggal 12 Juni 1975 dari ayah H. Kastum dan ibu Hj. Fasichah. Penulis merupakan putra kedua dari enam bersaudara. Tahun 1993 penulis lulus dari SMA Negeri 2 Brebes dan pada tahun 1994 lulus seleksi masuk Universitas Muhammadiyah Surakarta (UMS). Penulis memilih Jurusan Pendidikan Matematika pada Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam dan selesai pada tahun 1998. Tahun 1999 penulis menjadi staf pengajar di Madrasah Aliyah Negeri Brebes. Pada tahun 2000 masuk PNS dan mengajar di MTs N Model Brebes. Pada tahun 2006 penulis lulus seleksi masuk Program Magister Program Studi Matematika Terapan di Institut Pertanian Bogor lewat jalur Beasiswa Utusan Daerah Departemen Agama Republik Indonesia.

DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL... xii DAFTAR LAMPIRAN... xiii PENDAHULUAN 1 Latar Belakang Masalah... 1 Perumusan Masalah.... 2 Tujuan Penelitian... 2 LANDASAN TEORI... 3 Konsep Dasar Peluang...... 3 Beberapa Jenis Sebaran Pencampur...... 9 Sebaran Poisson Campuran... 10 Metode Pendugaan Parameter... 11 Algoritme EM... 12 METODOLOGI PENELITIAN... 15 SOLUSI EKSPLISIT BEBERAPA SEBARAN POISSON CAMPURAN DAN BEBERAPA SEBARAN DISKRET... 16 Beberapa Sebaran Poisson Campuran... 16 Beberapa Sebaran Diskret... 23 PENDUGAAN PARAMETER DENGAN ALGORITME EM... 26 Beberapa Sebaran Poisson Campuran... 26 Beberapa Sebaran Diskret... 42 NILAI PENDUGA PARAMETER... 48 KESIMPULAN DAN SARAN... 52 DAFTAR PUSTAKA... 54 LAMPIRAN... 55 xi

DAFTAR TABEL Halaman Tabel 1 Banyaknya klaim dan frekuensi hari dalam rentang waktu pengamatan 145 hari untuk sebaran Poisson campuran... 48 Tabel 2 Nilai Penduga Parameter Beberapa Sebaran Poisson Campuran... 48 Tabel 3 Nilai peluang sebaran Poisson campuran... 49 Tabel 4 Nilai harapan sebaran Poisson campuran... 49 Tabel 5 Banyaknya klaim dan frekuensi hari dalam rentang waktu pengamatan 60 hari untuk beberapa sebaran diskret... 50 Tabel 6 Nilai peluang dan nilai harapan beberapa sebaran diskret... 51 xii

DAFTAR LAMPIRAN Halaman Lampiran 1 Bukti Lema 1... 56 Lampiran 2 Program sebaran geometri... 56 Lampiran 3 Program sebaran Poisson-Lindley... 57 Lampiran 4 Program sebaran Poisson-Inverse Gaussian... 58 Lampiran 5 Program sebaran binomial negatif... 59 Lampiran 6 Program sebaran Neyman.. 60 Lampiran 7 Program sebaran Poisson-lognormal. 61 Lampiran 8 Nilai peluang dan nilai harapan sebaran Poisson campuran.. 61 Lampiran 9 Program sebaran Yule... 67 Lampiran 10 Program sebaran beta-binomial... 67 Lampiran 11 Nilai peluang dan nilai harapan beberapa sebaran diskret.. 68 Lampiran 12 Nilai Khi-kuadrat beberapa sebaran Poisson campuran dan beberapa sebaran diskret... 69 xiii