Universitas Padjadjaran, November 00 (D.) OPTIMASI KOMPOSISI PERLAKUAN DENGAN MENGGUNAKAN METODE RESPONSE SURFACE Andry Ritonga H. Sudartianto Sri Winarni Mahasiswa Program Strata Jurusan Statistika FMIPA Universitas Padjadjaran, Staf Pengajar Jurusan Statistika FMIPA Universitas Padjadjaran ABSTRAK Pada beberapa ekperimen yang digunakan pada banyak penelitian seringkali bertujuan untuk melakukan optimasi perlakuan yang dicobakan. Proses optimasi tersebut bertujuan untuk mendapatkan setting taraf faktor yang mampu menghasilkan respon yang terbaik. Salah satu alternatif analisis yang dapat digunakan adalah metode response surface. Metode response surface merupakan suatu pengembangan metode polinomial ortogonal. Dengan metode response surface akan didapatkan suatu persamaan regresi yang dapat berbentuk linear maupun non linear. Komposisi perlakuan yang optimal dapat dilihat melalui contour plot dan surface plot. Pada contoh yang digunakan (optimasi kuat tekan paving block), didapatkan hasil bahwa komposisi perlakuan yang menghasilkan kuat tekan paving block terbaik adalah komposisi dengan kadar air %, tingkat kehalusan pasir 4,5 mm dan jumlah pasir yang terkandung dalam campuran bahan pengisi sebanyak 5 gram. Kata kunci : Response Surface, contour plot, surface plot, optimasi.. PENDAHULUAN Menurut Gill dkk (99), metode optimasi dalam hubungan matematik biasanya menyangkut pengertian memaksimalkan atau meminimalkan. Sedangkan menurut Bronson (98), dalam suatu problem optimasi diusahakan untuk memaksimalkan atau meminimalkan suatu besaran spesifik sebagai tujuan (objective) yang tergantung dari input sebuah variabel keputusan. Optimasi merupakan suatu proses untuk mencapai hasil yang ideal atau optimal (nilai efektif yang dapat dicapai). Dalam disiplin matematika, optimasi merujuk pada studi permasalahan yang mencoba mencari solusi optimal, yaitu penyelesaian yang tidak melanggar batasan-batasan yang ada yang mempunyai nilai tujuan paling terbesar atau terkecil, tergantung fungsi tujuannya yaitu maksimal atau minimal (Lieberman and Hillier,995). Manajemen Risiko di Bidang Perbankan dan Asuransi 88
Universitas Padjadjaran, November 00 Menurut Douglas C. Montgomery (009), response surface merupakan suatu metode gabungan antara teknik matematika dan teknik statistika yang berguna untuk mengembangkan, meningkatkan, dan mengoptimalkan suatu proses. Metode response surface ini dapat digunakan untuk mencari titik optimum dari suatu proses yang telah dilakukan dan untuk mengoptimumkan suatu proses yang telah ada. Response Surface digunakan untuk menyelidiki hubungan antara beberapa variabel yang memberikan pengaruh pada satu atau lebih variabel respon. Dalam metode response surface ini digunakan rangkaian eksperimen yang dirancang untuk memperoleh respon yang optimal (G. E. P. Box dan K. B. Wilson; 978). Response surface merupakan suatu metode pengembangan dari polinom ortogonal, sehingga dengan menggunakan metode response surface ini akan didapatkan suatu model persamaan regresi yang dapat berbentuk linier maupun non linier. Selain persamaan regresi tersebut, dengan metode response surface ini akan didapatkan juga komposisi taraf yang optimal yang dapat dilihat melalui contour plot dan surface plot.. TUJUAN Melakukan proses optimasi komposisi perlakuan dengan menerapkan metode response surface untuk mendapatkan respon pengamatan yang terbaik.. LANDASAN TEORI Pada setiap eksperimen yang dilakukan baik yang bertujuan untuk proses optimasi ataupun yang bukan optimasi, perlu ditentukan terlebih dahulu desain dasar dari eksperimen tersebut. Desain dasar yang digunakan dan dicobakan pada suatu eksperimen yang melibatkan dua faktor atau lebih adalah desain faktorial. Perlakuan pada desain faktorial merupakan komposisi taraf dari faktor faktor yang digunakan. Pengaruh perlakuan diuji dengan menggunakan Analisi Varians (ANAVA) yang mampu memecah pengaruh perlakuan ke dalam pengaruh utama dan pengaruh interaksinya. Dalam melakukan analisis ANAVA, diperlukan beberapa asumsi yang harus dipenuhi, yaitu normalitas dan homogenitas varians. Untuk uji normalitas ini, yang digunakan adalah nilai residu ( ). di mana:... (.) Ketika eksperimen yang dilakukan bertujuan untuk proses optimasi, maka eksperimen tersebut dipastikan memiliki faktor yang bersifat kuantitatif. Proses optimasi dapat Manajemen Risiko di Bidang Perbankan dan Asuransi 89
Universitas Padjadjaran, November 00 dilakukan dengan menggunakan metode response surface. Tahapan yang dilakukan dalam metode response surface adalah sebagai berikut a. Penentuan Polinom Faktor Dengan mengujian polinom faktor ini, maka dapat diketahui tingkat orde dari suatu faktor yang memberikan pengaruh terhadap suatu variabel respon. Untuk menguji polinom faktor tersebut digunakan uji ANAVA. Dalam menentukan polinom faktor, terlebih dahulu dilakukan pengujian tingkat orde faktor. Untuk mencari Jumlah Kuadrat (JK) orde faktor, digunakan perumusan seperti di bawah ini : JK(polinom) ( Y ) ijξi = ξi... (.) dengan nilai ξi berasal dari tabel koefisien polinom ortogonal. Sedangkan untuk nilai F hitung dapat diperoleh dengan membagi Kuadrat Terkecil (KT) dari polinom faktor terhadap KT dari kekeliruan atau dapat dituliskan sebagai berikut: KT(polinom faktor) F= KT(E)... (.) Pengujian dilakukan dengan melihat apakah efek penyimpangan dari model persamaan regresi yang ada masih berlaku atau tidak, apabila efek penyimpangan dari model persamaan regresi tertentu signifikan, maka diperlukan persamaan regresi dengan tingkat orde yang lebih tinggi lagi. Untuk pengujian keberlakuan persamaan regresi dimulai dari orde yang paling rendah hingga orde yang paling tinggi yang dapat dibentuk dalam penelitian. Pada umumnya, persamaan regresi dengan tingkat orde (kuadratik) sudah cukup baik untuk digunakan. Namun pada situasi tertentu, diperlukan juga untuk menggunakan persamaan regresi dengan tingkat orde yang lebih tinggi (Raymond H. Myers, dkk; 009). b. Penentuan Persamaan Regresi Dalam menentukan persamaan regresinya akan didapatkan suatu persamaan regresi yang dapat berbentuk linier ataupun non linier. Untuk model persamaan regresi yang paling sederhana atau orde pertama (linier), bentuk persamaan regresinya adalah sebagai berikut: Manajemen Risiko di Bidang Perbankan dan Asuransi 90
Universitas Padjadjaran, November 00 Y = β + β x + β x + β x + ε 0... (.4) dengan Y sebagai respon; x, x, dan x masing-masing sebagai prediktor. Sedangkan β 0, β, β, dan β ditaksir dengan menggunakan metode kuadrat terkecil untuk meminimalkan jumlah kuadrat kekeliruan ε. Sedangkan untuk persamaan regresi dengan tingkat orde (kuadratik). Persamaan regresinya adalah sebagai berikut: y= β+ β x+ β x+ β x+ β x+ β x+ β x+ β xx+ β xx+ β x x+ ε 0... (.5) Di mana suku x x menunjukkan interaksi antara variabel variabel x dan x, suku x x menunjukkan interaksi antara variabel-varabel x dan x, dan suku xx menunjukkan interaksi antara variabel-variabel x dan x. Persamaan di atas dapat ditulis dalam notasi matrix sebagai berikut di mana:... (.6),,, dan... (.7) Koefisien β dalam model-model di atas akan ditaksir dengan menggunakan metoda kuadrat terkecil berdasarkan data hasil eksperimen. Dengan meminimalkan jumlah kuadrat kekeliruan є, yakni Maka L dapat dituliskan menjadi:... (.8)... (.9) karena merupakan skalar (matrix x ), maka. Kemudian L diturunkan terhadap β: Manajemen Risiko di Bidang Perbankan dan Asuransi 9
Universitas Padjadjaran, November 00... (.0) Maka, penaksir untuk β yang didapatkan dengan metode kuadrat terkecil adalah c. Menggambarkan Kontur... (.) Garis kontur adalah garis yang menghubungkan titik-titik yang mempunyai ketinggian yang sama dari suatu bidang acuan tertentu. Untuk menggambarkan konturnya, digunakan software tertentu. Hasil dari kontur sendiri ada yang berdimensi dua (contour plot) dan ada yang berdimensi tiga (surface plot). Dengan menggunakan kontur tersebut, dapat terlihat komposisi taraf dari faktor faktor yang optimal dalam memberikan pengaruh terhadap suatu variabel respon. 4. CONTOH KASUS Dalam pembuatan paving block, faktor faktor yang mempengaruhi kuat tekan paving block adalah tingkat kehalusan pasir, kadar air, dan banyaknya jumlah pasir yang terkandung dalam campuran bahan pengisi. Setiap faktor faktor yang ada terdiri atas beberapa taraf. Dalam contoh kasus ini, ingin diketahui komposisi taraf-taraf faktor yang bagaimanakah yang akan menghasilkan kuat tekan paving block yang terbaik. A B C,5,75 6,5 8,75, 4, 7,4, 4, 7,4, 4, 7,4, 4, 7,4 5 55,8 0,9 69,9 70,7 45,7 6, 5,0 7,0 8, 59,0 60,,0 70,6 66,8 40, 56, 09,5 65, 60,8, 50 50, 0,0 5,8 57,0 5,4 49,0 06, 55,5 5, 8,0 45,0 70,5 50,6 50,5 7, 75 9, 69,0 47, 44, 69,5,0 69, 9,9 40,0 88, 8,5 79,5 80, 55, 59, 48,0 0,9 99,5 85, 60, 59,8 5, 75, 9,5 85,5 4,7 69,9 4, 79, 50, 70,5 40, 70,0 4,0 6,8 0,9 60,4 0, 50, 9,0 5,5 4, 49,5,0 44,0 48,0 7,0 90,6 89,0 0,5 99,8 0, 0,7 99,5 00, 95, 60, 99,5 87,4 55, 89, 75,4 49,4 77,0 67, 9, 88,0 79, 89,9 7,5 60, 80, 69,4 00 5, 50,,7 0,9 60,4 0, 5,0 5, 9, 59, 85, 65,9 Manajemen Risiko di Bidang Perbankan dan Asuransi 9
Universitas Padjadjaran, November 00 0,9 48, 0, 9,0 5,5 4,, 40, 0, 55, 77,0 67, 9,5 0, 6,0,0 44,0 48,0 0,,5 0,5 49,0 69, 59,5 5,9 5,5 0,5 07,5 0,5 5,9 89,9 05, 99,5 9,5 60, 55,0 5,0 9,, 0, 5,0 5,0 95, 0,7 0,4 5,0 59, 49, 0,0,0 09, 0,0,4,0 88, 09, 95,0 40,0 55, 44,6 Keterangan: A = Banyaknya jumlah pasir yang terkandung dalam campuran bahan pengisi (gram). B = Kadar air (%) C = Tingkat kehalusan pasir (mm) 5. HASIL DAN PEMBAHASAN Dalam contoh kasus ini, data yang digunakan telah memenuhi asumsi berdistribusi normal dan juga homogenitas varians. Oleh karena itu, pengujian selanjutnya dapat dilaksanakan. a. Uji Signifikan untuk Faktor Faktor Tabel 5. Tabel ANAVA Sumber Variasi Dk JK KT F hitung F tabel Rata-rata 48978,47 48978,47 Perlakuan: A 4 77,46 8044, 665,8,45 B 67585,554 5586,9 5,9,07 C 844,909 907,5 455,65,68 AB 66,4 7,0 6,457,0 AC 8 955,74 69,467 7,74,8 BC 6 4,,685 5,06,7 ABC 4 4450,585 85,44 4,99,6 Manajemen Risiko di Bidang Perbankan dan Asuransi 9
Kekeliruan 0 5058,45 4,54 Jumlah 80 465,005 Prosiding Universitas Padjadjaran, November 00 Berdasarkan tabel 5. di atas, dapat disimpulkan bahwa: Banyaknya jumlah pasir yang terkandung dalam campuran bahan pengisi memberikan efek yang signifikan terhadap kuat tekan paving block. Tingkat kehalusan pasir memberikan efek yang signifikan terhadap kuat tekan paving block. Kadar air memberikan efek yang signifikan terhadap kuat tekan paving block. Interaksi antara banyaknya jumlah pasir yang terkandung dalam campuran bahan pengisi dan tingkat kehalusan pasir memberikan efek yang signifikan terhadap kuat tekan paving block. Interaksi antara banyaknya jumlah pasir yang terkandung dalam campuran bahan pengisi dan kadar air memberikan efek yang signifikan terhadap kuat tekan paving block. Interaksi antara tingkat kehalusan pasir dan kadar air memberikan efek yang signifikan terhadap kuat tekan paving block. Interaksi antara banyaknya jumlah pasir yang terkandung dalam campuran bahan pengisi, tingkat kehalusan pasir, dan kadar air memberikan efek yang signifikan terhadap kuat tekan paving block. b. Menentukan Polinom Faktor Setelah dilakukan uji signifikansi terhadap faktor faktor yang ada, selanjutnya dilakukan pengujian untuk menentukan polinom faktornya. Setelah dilakukan pengujian, maka didapatkan bahwa tingkat persamaan regresi yang berlaku adalah persamaan regresi hingga tingkat orde keempat. Dengan menggunakan persamaan (.), maka didapatkan JK (polinom) untuk setiap faktor yang ada. Sedangkan untuk mendapatkan nilai F hitung, maka digunakan persamaan (.). Nilai JK (polinom) dan juga F hitung yang telah didapatkan tersebut dituliskan ke dalam tabel ANAVa seperti di bawah ini Tabel 5. Tabel ANAVA untuk Menentukan Polinom Faktor Sumber Variasi dk JK KT F hitung Rata rata Faktor A A linier A kuadratik 4 48978,47 77,46 068,84 575,6 068,84 575,6 64,64,649 Manajemen Risiko di Bidang Perbankan dan Asuransi 94
Universitas Padjadjaran, November 00 A kubik A kuartik Faktor B B linier B kuadratik B kubik Faktor C C linier C kuadratik Interaksi A X B A L X B L A L X B D A L X B T A D X B L A D X B D A D X B T A T X B L A T X B D A T X B T A E X B L A E X B D A E X B T Interaksi A X C A L X C L A L X C D A D X C L A D X C D A T X C L A T X C D A E X C L A E X C D Interaksi B X C B L X C L B L X C D B D X C L B D X C D B T X C L B T X C D Interaksi A X B X C A L X B L X C L A L X B L X C D A L X B D X C L A L X B D X C D A L X B T X C L A L X B T X C D A D X B L X C L A D X B L X C D A D X B D X C L 8 6 4 9,04 57,000 67585,554 9064,0 4854,54 6,97 844,909 07,874 687,05 66,4 574,49 6,6 96,99 7,508 6,86 6,445,60 87,60 45,94 88,078 80,57,869 955,74 6,467 7097,08 5,686 5,550,85 847,68 6,44 0,570 4, 8,55 584,94 97,00 69,607 79,79 7,98 4450,585 47,64 867,990 4,75 9,49 9,77 0,470 0,65 6,4 7,590 9,04 57,000 9064,0 4854,54 6,97 07,874 687,05 574,49 6,6 96,99 7,508 6,86 6,445,60 87,60 45,94 88,078 80,57,869 6,467 7097,08 5,686 5,550,85 847,68 6,44 0,570 8,55 584,94 97,00 69,607 79,79 7,98 47,64 867,990 4,75 9,49 9,77 0,470 0,65 6,4 7,590 9,77,569 84,50 50,888 0,64 48,06 86,9,68 4,50 9,404,696 0,6,458,695 0,74,447 6,84,9 0,566 0,68 68,59 0,847 0,84 0,09 0,097 0,5 0,94 0,90,876,0 4,0,88 8,847,0 0,59 0,50,8 0,455 7,60 0,489 8,597 0,80 Manajemen Risiko di Bidang Perbankan dan Asuransi 95
Universitas Padjadjaran, November 00 A D X B D X C D A D X B T X C L A D X B T X C D A T X B L X C L A T X B L X C D A T X B D X C L A T X B D X C D A T X B T X C L A T X B T X C D A E X B L X C L A E X B L X C D A E X B D X C L A E X B D X C D A E X B T X C L A E X B T X C D Kekeliruan 0 80 464,79,75,8 0,7 40,75 40,07 94,649 0,54 59,856 7,7 74,88 0,8 86,5 9,09 64,7 5058,45 464,79,75,8 0,7 40,75 40,07 94,649 0,54 59,856 7,7 74,88 0,8 86,5 9,09 64,7 4,54,04 0,080 0,0 0,00 9,50 0,949,8 0,004,40 0,407 8,89 0,00 4,45,06,56 Dengan α = 0,05; maka didapat F tabel =, 9. Berdasarkan tabel ANAVA di atas dapat dilihat bahwa faktor faktor yang memberikan efek adalah: Faktor A yang berbentuk linier, kuadratik, dan kuartik. Faktor B yang berbentuk linier dan kuadratik. Faktor C yang berbentuk linier dan kuadratik. Faktor interaksi antara A dan B yang berbentuk A L X B L, A L X B D, A L X B T,A T X B D, dan A E X B L. Faktor interaksi antara A dan C yang berbentuk A L X C D, A T X C D, dan A E X C D. Faktor interaksi antara B dan C yang berbentuk B L X C D, B T X C D, dan B D X C D. Faktor interaksi antara A, B, dan C yang berbentuk A L X B L X C D, A L X B T X C D, A D X B L X C D, A D X B D X C D, A T X B L X C D, A T X B D X C D, A E X B L X C D, A E X B D X C D. c. Menentukan Persamaan Regresi Dengan menggunakan persamaan (.), maka akan didapatkan : Manajemen Risiko di Bidang Perbankan dan Asuransi 96
Universitas Padjadjaran, November 00-845,459 45,466 65,4 8,7-0,80 -,56-44,99 0,00-6 -7,546 0-4,447 0,66-0,00-7 -,9 0-8 9,447 0 b= 0,0-4 -,6 0-7 7,97 0 5,055-0,88 0,00-0,0-5,866 0-4 5,749 0-5 -,99 0-6,56 0-9 6,5 0-8 -4,0 0-0 5,4 0 Maka persamaan regresi yang terbentuk menjadi: d. Analsis dengan Contour Plot dan Surface Plot Manajemen Risiko di Bidang Perbankan dan Asuransi 97
Universitas Padjadjaran, November 00 Dengan menggunakan software tertentu didapatlah contour plot dan surface plot dengan hasil sebagai berikut: Contour Plot Contour Plot of Kuat tekan pavin vs Tingkat kehalusa; Kadar air Tingkat kehalusan pasir 7 6 5 4 Kuat tekan paving block < 98,7 98,7-09,864 09,864 -,59,59 -,9,9-45,047 45,047-56,775 56,775-68,50 68,50-80,0 80,0-9,957 9,957-0,685 0,685-5,4 > 5,4 Hold Values Pasir 5 4 5 6 Kadar air 7 8 Manajemen Risiko di Bidang Perbankan dan Asuransi 98
Universitas Padjadjaran, November 00 Surface Plot Surface Plot of Kuat tekan pavin vs Tingkat kehalusa; Kadar air Hold Values Pasir 5 00 uat tekan paving block 50 00 4 6 8 Kadar air 4 6 8 Tingkat kehalusan pasir Berdasarkan contour plot dan surface plot di atas dapat dilihat bahwa kuat tekan paving block mengalami peningkatan mulai dari kadar air,5 % hingga kadar air sebanyak %, namun pada saat kadar air lebih besar daripada %, maka kuat tekan paving block terus mengalami penurunan. Sedangkan pada faktor tingkat kehalusan pasir sendiri, kuat tekan paving block mengalami kenaikkan mulai dari tingkat kehalusan pasir, mm hingga tingkat kehalusan pasir sebesar 4,5 mm. Namun pada saat tingkat kehalusan pasir lebih besar daripada 4,5 mm, maka kuat tekan paving block terus mengalami penurunan. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa komposisi taraf yang menghasilkan kuat tekan paving block terbaik adalah pada komposisi kadar air sebanyak %, tingkat kehalusan pasir sebesar 4,5 mm dan jumlah pasir yang terkandung dalam campuran bahan pengisi sebanyak 5 gram. Dengan kuat tekan paving block yang dihasilkan di atas 5, 4 kg/cm. Manajemen Risiko di Bidang Perbankan dan Asuransi 99
Universitas Padjadjaran, November 00 6. KESIMPULAN Berdasarkan analisis yang telah dilakukan, maka dapat diperoleh sebagai berikut:. Metode response surface mampu mendapatkan komposisi perlakuan yang menghasilkan respon percobaan yang terbaik.. Berdasarkan kasus yang ada, dapat dilihat bahwa komposisi taraf yang menghasilkan kuat tekan paving block terbaik adalah pada kadar air %, tingkat kehalusan pasir 4,5 mm dan jumlah pasir yang terkandung dalam campuran bahan pengisi sebanyak 5 gram. Dengan kuat tekan yang dihasilkan di atas 5,4. DAFTAR PUSTAKA Box, G.E.P., Hunter, W.G. and Hunter, J.S. 978. Statistics for Experimenters, An Introduction to Design, Data Analysis and Model Buildin., New York: John Wiley and Sons, Inc. Montgomery, C. Douglas. 009. Design and Analysis of Experiment, Seventh edition. New York : John Wiley and Sons, Inc. Sudjana. 005. Desain dan Analisis Eksperimen, edisi keempat. Bandung: Tarsito. Lieberman and Hillier, 989. An Introduction of Operational Research, New York: McGraw-Hill Book Company. Myers, Raymond H., Montgomery, C.D., Anderson-Cook, M., C. 009. Response Surface Methodology Process and Product Optimazation using Design Experiments, Third edition. New York: John Wiley and Sons, Inc. (Gill et al., 99a) P. E. Gill., W. Murray, and M. A. Saunders. Transformed Hessian Methods for large-scales constrained optimization. Presented at the Fourth Stockholm Optimization days, Royal Institute of Technology, Stockholm, 6 7 August, 99. Manajemen Risiko di Bidang Perbankan dan Asuransi 00
Universitas Padjadjaran, November 00 LAMPIRAN Tabel Koefisien Polinom Ortogonal N = N = 4 N = 5 X j P P P P P P P P P 4 - - - - - 0 - - - - - -4 - - 0-0 6 4 - - -4 5 Σξ i 6 0 4 0 0 4 0 70 λ 0/ 5/6 5/ Manajemen Risiko di Bidang Perbankan dan Asuransi 0