Bab 3 SISTEM PERSAMAAN LINEAR

B SISTEM PERSAMAAN LINEAR Sejuh ii, hy diperlkuk sistem persm lier yg terdiri dri persm yg yky sm deg vriel, d hy mempuyi mtriks koefisie tk sigulr. Tepty, ii dlh sistem yg sellu mempuyi sutu peyelesi tuggl. Pd ii k dipeljri permslh dlm meyelesik sutu sistem liier m persm dlm vriel. Ksus tidk tertutup utuk sistem persegi pjg, m ¹, deg mtriks koefisie sigulr. Ide utm yg didsrk pd lgoritm elimisi Guss utuk sistem tk sigulr dpt secr lgsug meyesuik diri dlm ksus terseut. Secr sistemtis diguk opersi ris elemeter utuk memipulsi mtriks koefisie ke etuk reduksi tertetu yg eretuk segitig ts. Pd gi khir ii dierik eerp pliksi dri sistem lier seperti pd sirkuit elektrik sederh, jrig llu lits, persm kimi, d model ekoomi utuk pertukr rg.. Kosep Dsr Sutu persm lier dlm vriel, mislk,,,, dlh sutu persm yg dpt diytk dlm etuk deg,,,, d dlh kostt. Secr geometris, mislk d y erturutturut merupk ili d mk persm lier y meytk gris yg mellui titik (, ) d (, ). Sejl deg itu, utuk, y, z erturutturut merupk ili,, d mk persm lier y z meytk gris yg mellui titik (,, ), (,, ), (,, ). Sutu sistem dri m persm lier dlm vriel,,,, ts sutu field F, diseut sistem persm lier (SPL), dlh kelurg dri persmpersm lier erikut ii:! m m m m. 5 Didit B. Nugroho

B Sistem Persm Lier Didit B. Nugroho 5 Sistem persm terseut dpt ditulisk secr sigkt dlm etuk: i j j ij å, utuk i,,, m. Berdsrk kesm du mtriks, sistem terseut dpt ditulisk dlm etuk persm mtriks tuggl, yitu m m m m!!......... d ekuivle deg m m m m!! "!!! " ". Relsi mtriks di ts dpt ditulisk dlm etuk yg sigkt mejdi AX B, deg A dlh mtriks koefisie (mtri of coefficiets), X dlh mtriks vriel (mtri of vriles), d B dlh mtriks kostt (mtri of costts). Serigkli diperluk utuk megelurk mtriks vriel X d k meulisk mtriks diperesr (ugmeted mtri) dri sistem seperti [ ] m m m m B A! " " " "!!. Persm mtriks deg mft li yg ekuivle deg SPL di ts yitu!! "!!. CONTOH.. Sistem y z y z ekuivle deg persm mtriks z y d jug deg persm z y.

B Sistem Persm Lier 5 DEFINISI.. Himpu peyelesi dri sutu SPL dlh himpu semu vektor yg memeuhi setip persm. Deg kt li, himpu terseut dlh iris dri himpu peyelesi setip persm. Secr geometris, meyelesik sutu SPL dlm du tu tig vriel dlh ekuivle deg meetuk pkh kelurg gris tu idg mempuyi titik potog tukh tidk. Utuk SPL dlm dlm du vriel d y, peyelesi yg mugki dpt diilustrsik seperti pd Gmr.. Du gris sejjr Tidk d titik potog Sigulr Tidk Bes Lier () Du gris erpotog Stu titik potog Tk sigulr Bes Lier () Gmr.: Iris gris Du gris erhimpit Tk erhigg titik potog Sigulr Tidk Bes Lier (c) Gmr gi () di ts mempuyi rti hw sistem tidk mempuyi peyelesi, sedgk utuk gmr gi () sistem mempuyi tept stu peyelesi yitu pd perpotogy, d gmr gi (c) sistem mempuyi tk erhigg yk peyelesi. Utuk rug dimesi, sutu persm lier tuggl y cz d medefiisik sutu idg P. Peyelesi utuk sistem tig persm lier dlm tig vriel dlh iris dri tig idg, yitu P Ç P Ç P. Seperti pd sistem dlm du vriel, tig idg eriris dlm sutu titik tuggl terjdi jik hy jik mtriks koefisie dlh tk sigulr. Ksus peyelesi tk erhigg yk terjdi ketik tig idg eriris pd sutu gris. Di sisi li, idgidg yg eriris pd grisgris sejjr, tidk mempuyi titik potog yg sm, d ii merupk ksus dri sutu sistem yg tidk mempuyi peyelesi. Leih juh lgi, tidk d kemugki li yg terjdi, secr jels tidk dpt dipuyi tig idg yg mempuyi secr tept du titik dlm irisy. Kemugki peyelesi dlm etuk geometris diilustrsik pd Gmr.. Gmr.: Iris idg DEFINISI.. Dimil sutu ris tk ol dri sutu mtriks. Msuk tk ol pertm dri ris terseut dimk poros (pivot) utuk ris terseut. Didit B. Nugroho

5 B Sistem Persm Lier DEFINISI.. Pd mtriks yg diperesr dri sistem lier AX B yg mempuyi etuk eselo ris (tereduksi), vrielvriel yg erkorespodesi deg kolomkolom yg memut poros diseut vrielvriel utm (sic vriles), sedgk vrielvriel yg erkorespodesi deg kolomkolom yg tidk memut poros diseut vrielvriel es (free vriles). Secr umum, jik mtriks koefisie m dri sutu sistem m persm lier dlm vriel mempuyi perigkt r, mk terdpt m r ris ol dlm etuk eselo ris, d m r persm terseut hrus mempuyi ol pd rus k gr sistem mempuyi sutu peyelesi. Leih ljut, terdpt sejumlh r vriel utm d r vriel es d jug peyelesi umum yg tergtug pd r prmeter. Merigks pemhs di ts, dikethui hw terdpt tig kemugki utuk peyelesi sutu sistem lier. TEOREMA.. Sutu sistem AX B dri m persm lier dlm vriel mempuyi, slh stu dri: (i) tept stu peyelesi tuggl, (ii) tidk d peyelesi, (iii) peyelesi tk erhigg yk. Dlm Aljr Lier, kit tidk hy tertrik utuk meemuk stu peyelesi dri sistem persm lier. DEFINISI.. (Kosistesi) Sistem persm lier diktk kosiste (cosistet) jik mempuyi plig sedikit stu peyelesi, d diktk tidk kosiste (icosistet) jik tidk mempuyi peyelesi. CONTOH.. Selesik persm y. Peyelesi. Persm y ekuivle deg y deg y dlh serg. Jdi terdpt peyelesi tk erhigg yky. CONTOH.. Selesik sistem y z y z. Peyelesi. Jik persm pertm dikurgi persm kedu mk k diperoleh y tu y. Akity diperoleh y z z deg z dlh serg. Jdi terdpt peyelesi tk erhigg yky. CONTOH.. Tetuk sutu poliomil eretuk y yg mellui titiktitik (, ), (, ), (, 5), d (, ). Peyelesi. Deg mesustitusik ili d y dri setip titik ke etuk poliomil, k diperoleh empt persm segi erikut: 9 7 Didit B. Nugroho

B Sistem Persm Lier 55 5 8. Sistem terseut mempuyi peyelesi tuggl yitu 9,,,. Jdi poliomil yg dimit dlh y 9. Perlu dictt hw sutu sistem lier ts field tk higg tidk perh mempuyi peyelesi yg yky erhigg seli tu. Jdi, sutu sistem lier yg mempuyi leih dri stu peyelesi secr otomtis mempuyi tk erhigg yk peyelesi. Hsil ii tidk dipliksik utuk sistem tk lier seperti sutu persm kudrtik rel c yg dpt mempuyi seyk,, tu peyelesi rel.. Eksistesi Peyelesi Sekrg k dijw perty yg ditetuk ketik sutu sistem persm lier dlh kosiste. LEMMA.. Dierik A Î M m (F) dlm etuk eselo ris, d dimil X Î M (F) segi mtriks vriel. Sistem homoge AX m, seljuty cukup ditulis AX, dri m persm deg vriel mempuyi (i) sutu peyelesi tuggl jik m, (ii) peyelesi tk higg yk jik m <. Bukti. Jik m, mk A dlh sutu mtriks segitig persegi deg elemeeleme digoly tidk sm deg. Kre itu AX Þ X A yg errti hy terdpt peyelesi tuggl X tu m, yg diseut peyelesi trivil. Jik m <, mk terdpt m vriel es. Deg megmil ili vrielvriel terseut dlh elemeeleme di field, diperoleh peyelesi gd. Jdi jik field mempuyi eleme tk erhigg yk, diperoleh peyelesi tk erhigg yk, d jik field mempuyi k eleme, diperoleh seyk k m peyelesi. Diperhtik hw dlm ksus ii dipuyi peyelesi trivil, d jug peyelesi li yg diseut peyelesi tk trivil. Yg perlu dictt dri lemm di ts yitu hw sistem persm lier homoge sellu kosiste kre psti mempuyi sutu peyelesi trivil. Dipuyi hw jik A dlh mtriks persegi tk sigulr mk A ekuivle ris deg sutu mtriks eselo ris yg tidk memut sutu ris ol. Tetpi jik A dlh sigulr mk A ekuivle ris deg sutu mtriks eselo ris yg memut sutu ris ol. Seljuty erdsrk Lemm.. diperoleh kit di wh ii. AKIBAT.. Dierik A Î M (F) d sistem homoge AX. () Jik A tidk sigulr, mk sistem hy mempuyi peyelesi trivil. () Jik A dlh sigulr, mk sistem mempuyi peyelesi tk trivil. CONTOH.. Sistem homoge erikut hy mempuyi peyelesi trivil. y y. Didit B. Nugroho

5 B Sistem Persm Lier CONTOH.. Sistem homoge y z y z mempuyi peyelesi trivil y z. Seli itu jug mempuyi peyelesi legkp z d y utuk serg z. Secr khusus, dimil z mk sutu peyelesi tk trivily yitu, y, d z. CONTOH.. Dierik sistem AX deg A. 7 Mtriks A dlh sigulr d mempuyi etuk eselo ris tereduksi. Jdi sistem mempuyi sutu peyelesi tk trivil yitu, y, z. TEOREMA.. (Teorem KroeckerCpelli) Dimil A Î M m (F), Y Î M m (F) segi mtriks kostt d X Î M (F) segi mtriks vriel. Sistem persm AX Y dlh kosiste jik hy jik rk(a) rk([a Y]). Bukti. Dimil kolomkolom dri [A Y] yg diotsik deg K i, i. Dimti hw [A Y] Î M m () (F) d kolom ke ( ) dri [A Y] dlh...... K AX å iki.! i... å Deg memetuk K j K j K pd [A Y] [A AX], diperoleh [A ]. Jdi j rk([a Y]) rk([a ]) rk(a). Sekrg didik hw r rk(a) rk([a Y]). Ii errti hw mejumlhk sutu kolom tmh ke A tidk meruh perigkt, d kre itu, deg sergki opersi kolom diperoleh [A Y] ekuivle deg [A ]. Diperhtik hw tidk d opersi terseut yg merupk sutu permutsi dri kolomkolom, kre kolom pertm dri [A Y] d [A ] dlh sm. Ii errti hw Y dpt diperoleh dri kolomkolom K i, i, dri A. Seljuty Jdi peyelesiy dlh Y å i i K i. X.! Didit B. Nugroho

B Sistem Persm Lier 57 Secr rigks, erikut ii disjik skem ketuggl d eksistesi peyelesi utuk sutu sistem lier. AX Y Sistem kosiste jik rk(a) rk([a Y]) Sistem tidk kosiste jik rk(a) < rk([a Y]) Peyelesi dlh tuggl jik rk(a) yk vriel Peyelesi dlh tk erhigg yk jik rk(a) < yk vriel Gmr.: Skem ketuggl d eksistesi peyelesi SPL CONTOH.. Tujukk pkh sistem AX Y erikut ii dlh kosiste. 5 5,8 8 77,. 79, Peyelesi. Dietuk mtriks yg diperesr dri sistem, yitu 5 5,8 [ A Y ] 8 77,. 79, Pd Cotoh.. diperoleh hw det(a) 8 ¹, kre itu rk([a Y]) d jug rk(a). Kre rk(a) rk([a Y]) mk sistem terseut dlh kosiste. Dierik du sistem persm lier homoge dlm vriel yg mempuyi mtriks koefisie A d B. Jik setip ris dri B dlh komisi lier dri risris A (yitu jumlh dri kelipt risris A) d setip ris A dlh komisi lier dri risris B, mk ii mudh diuktik hw du sistem mempuyi peyelesi yg sm. Seliky dlh er tetpi tidk mudh utuk diuktik. Sejl deg itu jik A d B mempuyi etuk eselo ris tereduksi yg sm, mk kedu sistem mempuyi peyelesi yg sm d seliky jug er. Hl terseut jug sejl dlm ksus du sistem yg tidk homoge, deg syrt hw dlm peryt yg seliky diperluk kodisi tmh hw kedu sistem dlh kosiste. Leih ljut, utuk sistem lier kosiste yg erhuug deg du tu leih persm diperluk sekli sutu metode yg sistemtis gr dpt ditemuk semu peyelesiy. Peyelesi sistem lier homoge mupu tk homoge yg kosiste dpt dicri deg ermcmmcm cr. Berikut ii k dihs cr meyelesik sistem lier deg megguk ivers, tur Crmer, elimisi GussJord, d dekomposisi LU. Didit B. Nugroho

B Sistem Persm Lier Didit B. Nugroho 58. Meyelesik SPL Megguk Ivers Sutu sistem persm liier AX Y dpt diselesik deg megguk ivers mtriks d tur Crmer jik A merupk mtriks persegi tk sigulr. TEOREMA.. Jik A dlh tk sigulr, mk sistem AX Y mempuyi peyelesi tuggl Y A X. Bukti. Didik hw A d.. (Ketuggl) Didik hw AX Y, mk ( ) Y A A X A Û Y A X I Û Y A X.. (Eksistesi) Dimil Y A X, mk ( ) ( ) Y I Y AA Y A A AX. CONTOH.. Selesik sistem di wh ii deg megguk ivers. y z y z y z 7. Peyelesi. Dicri ivers dri mtriks koefisie segi erikut: [A I ] 8 8 8 8 [I A ]. Diperoleh 7 8 z y.. Atur Crmer TEOREMA.. (Atur Crmer utuk persm dlm vriel) Sistem y e c dy f mempuyi peyelesi tuggl jik D d c ¹, yitu D D d y D D y, deg D d f e d D y f c e.

B Sistem Persm Lier 59 Bukti. Dimil A d didik D ¹, mk c d D d A c. Berdsrk Teorem.. diperoleh hw sistem mempuyi peyelesi tuggl e A d e de f D D D y f D c f D ce f D D. y D y D D Kre itu D d y. D D AKIBAT.. Sistem homoge y c dy hy mempuyi peyelesi trivil jik D d c ¹. CONTOH.. Sistem 7 8y 9y mempuyi peyelesi tuggl d y deg D D 8 7 D 7( 9).8 79, D 98, D y 9 Jdi 98 d y. 79 79 D D y. Secr umum, utuk sistem AX Y dlm persm d vriel,,,, diotsik D (i,, ) dlh determi utuk mtriks yg diperoleh dri A i deg meggti kolom kei, yg erkorespodesi deg vriel i, deg kolom kostt. Peyelesi dri sistem dlh tuggl yg dirumusk oleh D i i, utuk i,,,, D deg D dlh determi dri mtriks A. CONTOH.. Ak diselesik sistem pd Cotoh.. deg megguk tur Crmer. Pertm kli dihitug dulu determi dri A yitu det(a) D. Seljuty dri rumus Crmer di ts, diperoleh D, D y, d D z 9. 7 Kre itu peyelesi utuk sistem yitu 9, y, z. 7 7 Didit B. Nugroho

B Sistem Persm Lier.5 Reduksi Bris Jik mtriks yg diperesr dri SPL diw ke etuk eselo ris (tereduksi) deg sergki opersi ris elemeter, mk peyelesi dri sistem dpt diperoleh dri pegmt. CONTOH.5. Dierik mtriks yg diperesr dri sistem d sudh diw ke etuk eselo ris tereduksi yitu 5. Jik vrielvriel sistem dlh,, d utuk kolom,, d secr erurut, mk peyelesi utuk sistem di ts yitu 5,, d. CONTOH.5. Dierik mtriks yg diperesr dri sistem mempuyi etuk eselo ris tereduksi yitu. Dimislk vrielvriel sistem dlh,,, d utuk kolom,, d secr erurut. Sistem persm yg erkorespodesi yitu. Kre kolom,, d memut poros errti vriel,, d segi vriel utmy, sedgk segi vriel esy. Seljuty deg meyelesik sistem utuk vriel utm diperoleh. Dimil ili tertetu utuk, mislk k, diperoleh peyelesi sistem yitu k, k, d k. CONTOH.5. Dierik mtriks yg diperesr dri sistem eretuk eselo ris tereduksi yitu. Kre sistem memut persm deg etuk yg tidk perh mempuyi peyelesi, mk sistem terseut tidk kosiste. Secr umum, SPL deg m persm dlm vriel dpt diselesik deg elimisi Guss (Jord). Prosedur utuk meghsilk etuk eselo ris dimk elimisi Guss, sedgk prosedur utuk meghsilk etuk eselo ris tereduksi dimk elimisi GussJord. Didit B. Nugroho

B Sistem Persm Lier MULAI Msukk A, m, i, j Apkh usurusur dlm kolom kej pd d di wh ris kei semuy ol? Tidk Dimil pj segi usur pertm tk ol dlm kolom j pd tu di wh ris kei j j Y Apkh j? Tidk Y Apkh p i? Y Tidk Ditukrk ris kep deg ris kei Bris kei digi oleh ij Bris keq dikurgi qj kli ris kei, utuk q,, m (q ¹ i) Dietuk c i j i i j j Tidk Apkh j? Apkh i m? Tidk Y Y Cetk A, c,, c i BERHENTI Gmr.: Algoritm GussJord Didit B. Nugroho

B Sistem Persm Lier Berikut ii dierik lgkhlgkh elimisi Guss. Lgkh : Tetuk kolom tk ol plig kiri. Lgkh : Jik usur yg plig ts/ puck dri kolom yg ditetuk dlm lgkh pertm sm deg ol, mk tukrk ris ts deg ris li sehigg usur puck dri kolom terseut dlh tidk ol. Lgkh : Jik usur yg sekrg erd di puck dri kolom yg ditetuk dlm lgkh pertm tidk sm deg ol, ktk ¹, mk ris pertm diklik deg gr diperoleh utm. Lgkh : Tmhk kelipt yg tept dri ris terts ke risris di why sehigg semu usur di wh utm sm deg ol. Lgkh 5: Tutup ris plig ts dri mtriks terseut d lkuk muli lgkh pertm lgi utuk mtriks gi yg tersis. CONTOH.5. Dierik mtriks 7 8. 5 5 Mtriks terseut dpt diw ke etuk eselo ris deg lgkh :. Kolom tk ol plig kiri yitu. Kre usur puck kolom terseut dlh mk ris pertm ditukr deg ris kedu mejdi 8 7. 5 5. Kre usur puck dri kolom pertm sm deg, mk ris pertm digi du sehigg mejdi 5 7 5 5. Usur di wh utm pd kolom pertm diut sm deg ol deg cr ris ketig dikurgi du kli ris pertm, sehigg mejdi 5 7 5 7 9 5. Dilkuk lgi seperti lgkh pertm d seterusy deg meutup ris pertm: 5 5 7 7 5 5 7 9 5 7 9 Didit B. Nugroho

B Sistem Persm Lier Didit B. Nugroho 5 7 5 7. Mtriks yg terkhir sudh eretuk eselo ris. Seljuty utuk medptk etuk eselo ris tereduksi (elimisi Guss Jord) dri etuk eselo ris, ditmhk lgkh erikut. Lgkh : Dimuli dri ris tk ol terkhir d dikerjk ke ts, ditmhk kelipt yg sesui dri ris tk ol terseut ke ris di tsy utuk medptk ili ol di ts utm. CONTOH.5.5 Berikut ii diljutk proses dri mtriks eselo ris pd Cotoh.5. utuk memperoleh etuk eselo ris tereduksi: 5 7 7 5 5 5 7. Mtriks yg terkhir sudh eretuk eselo ris tereduksi. CONTOH.5. Selesiklh sistem erikut deg elimisi GussJord 5 5 5 5 5 5 8 5 8. Peyelesi. Mtriks yg diperesr dri sistem terseut dlh 8 8 5 5 5 5. Seljuty deg megguk elimisi GussJord, etuk mtriks yg diperesr terseut diw ke etuk eselo ris tereduksi segi erikut: 8 8 5 5 5 5 8 8 5 5 5 8 8 5 5 5 5 «

B Sistem Persm Lier Didit B. Nugroho Mtriks yg terkhir sudh eretuk eselo ris tereduksi. Diperoleh sistem persm yg erkorespodesi yitu 5. d diselesik dlm vriel utm, diperoleh 5. Seljuty deg megmil ili serg r, s d 5 t mk diperoleh peyelesi utuk sistem deg rumus r s t, s, d. Serigkli leih disuki utuk meyelesik SPL deg elimisi Guss. Apil elimisi ii dikerjk mk utuk meetuk peyelesi khir dri sistem persm lier yg erkorespodesi diguk tekik yg dimk sustitusi lik (cksustitutio) yitu. Diselesik persm utuk vriel utm.. Dimuli dri persm plig wh d dikerjk ke ts secr erurut disustitusik setip persm ke persm di tsy.. Dimil serg ili utuk vriel es, jik d. CONTOH.5.7 Pd Cotoh.5. diperoleh mtriks eselo ris yitu. Sistem persm yg erkorespodesi yitu 5. Sistem diselesik deg susitusi lik segi erikut. Pertm kli diytk dulu persm di ts dlm vriel utm yitu () 5 () ()

B Sistem Persm Lier 5 Deg mesustitusik ili dri persm () ke persm (), diperoleh ( ). Kemudi ili disustitusik ke persm (), diperoleh ( ) 5 5. Jik dimil serg ili, d 5 c mk diperoleh peyelesi khir utuk sistem yitu c,, d. DEFINISI.5. Dlm elimisi Guss (Jord), kelipt (ilg) dri sutu ris dikurgk dri ris liy utuk memperoleh msuk ol diseut pegli (multiplier). Segi cotoh, sutu opersi memerik sutu pegli m.. Peyelesi Sistemtis dri SPL Dierik sutu sistem m persm lier dlm vriel,,, yg mempuyi mtriks yg diperesr M d ekuivle ris deg mtriks N yg mempuyi etuk eselo ris tereduksi mellui elimisi GussJord. Berdsrk hl terseut mk M d N erukur m (). Didik hw N mempuyi r ris tk ol d hw utm pd ris i terdpt pd kolom c i, utuk i r, mk c < c < < c r. Didik jug hw kolom sisy dlh kolom c r,, c deg c r < c r < < c. Ksus : c r. Sistem dlh tidk kosiste. Utuk ris tk ol terkhir dri N yitu (,,, ) deg persm yg erkorepodesi dlh tidk mempuyi peyelesi. Akity SPL tidk mempuyi peyelesi. Ksus : c r. Sistem persm yg erkorespodesi deg ris tk ol dri B dlh kosiste. Perlu dictt hw r. Jik r, mk c, c,, c d! d! d " " N! d.! " "! Dlm hl ii terdpt peyelesi tuggl yitu d, d,, d. Jik r <, mk k terdpt leih dri stu peyelesi. Utuk semu peyelesi yg diperoleh deg megmil vriel,, segi vriel tk es d megguk r persm yg erkorespodesi deg ris tk ol di N utuk meytk vriel terseut dlm sukusuku dri vriel es sisy yitu,,, mk dpt dimil ili serg: c r c c! c r,, c r c! r, c, r, cr cr c c r! r, c c. c r Didit B. Nugroho

B Sistem Persm Lier Secr khusus, deg megmil c... r c c, tu secr erurut dimil, k dihsilk miiml du peyelesi utuk sistem. CONTOH.. Selesiklh sistem y y y. Peyelesi. Mtriks yg diperesr dri sistem d mtriks reduksi risy, secr erturutturut, yitu M, N. Dri situ diperoleh peyelesi tuggl d y. (Dlm hl ii, r, c, c ; c r c < ; r.) CONTOH.. Selesiklh sistem 5 7 7 5 5 5. Peyelesi. Mtriks yg diperesr dri sistem d mtriks reduksi risy, secr erturutturut, yitu 5 M 7 7, N. 5 5 5 Dri situ diperoleh hw teryt SPL tidk kosiste. (Dlm hl ii, r, c, c d jug c r c.) CONTOH.. Selesiklh sistem. Peyelesi. Mtriks yg diperesr dri sistem d mtriks reduksi risy, secr erturutturut, yitu M, N. Diperoleh peyelesi legkp yitu, deg dlh serg. (Dlm hl ii, r, c, c ; c r c < ; r <.) CONTOH.. Selesiklh sistem 5 8 8 5 7 5 9 9 5. Peyelesi. Mtriks yg diperesr dri sistem d mtriks reduksi risy, secr erturutturut, yitu Didit B. Nugroho

B Sistem Persm Lier Didit B. Nugroho 7 9 9 7 8 8 M, 5 9 N. Peyelesi legkp SPL, deg,, 5 dlh serg, yitu 5 9, 5 5,. (Dlm hl ii, r, c, c, c ; c r c < 7 ; r <.) CONTOH..5 Tetuklh ilg rsiol t gr sistem erikut ii kosiste d seljuty selesik sistem utuk ili t terseut. y y y t. Peyelesi. Mtriks yg diperesr dri sistem d mtriks reduksi risy, secr erturutturut, yitu t M, t N. Kre itu, jik t ¹ tu t ¹ mk sistem dlh tidk kosiste. Jik t mk sistem dlh kosiste d N, sehigg diperoleh peyelesi utuk sistem yitu d y. CONTOH.. Tetuklh ilg rsiol d dri sistem di wh ii gr (i) tidk mempuyi peyelesi, (ii) peyelesiy tuggl, (iii) peyelesiy tk erhigg yk. y z y z 5 y 5z. Peyelesi. Dilkuk reduksi ris pd mtriks yg diperesr dri sistem: 5 5 8 Ksus. Jik 8 ¹ tu ¹ mk mtriks dpt direduksi ke etuk 8 v u d diperoleh peyelesi tuggl yitu u, y v, d 8 z.

8 B Sistem Persm Lier Ksus. Jik, mk diperoleh mtriks. Jik ¹ tu ¹ mk sistem tidk mempuyi peyelesi. Seliky jik mk diperoleh peyelesi legkp yitu z d y z utuk serg z. Berikut ii dlh prisip yg umum utuk sistem AX Y. Sutu sistem lier dlh tidk kosiste jik etuk eselo ris A memut sutu ris ol d rus k dri persm yg erkorespodesi tidk sm deg ol. Jik etuk eselo ris dri mtriks A tidk memut sutu ris ol, mk sistem sellu kosiste, deg megik rus k. Jik setip kolom pd etuk eselo ris dri mtriks koefisie memut utm dri sutu ris, mk sistem lier tidk k perh mempuyi leih dri stu peyelesi. Di sisi li, jik sutu kolom tidk memut utm utuk sutu ris, mk vriely dpt erup himpu serg d kity jik terdpt sutu peyelesi, mk peyelesi terseut tk erhigg yky. Cr li meytk prisip kedu yitu pkh sutu sistem lier dpt mempuyi leih dri stu peyelesi tu tidk, tergtug pd pkh etuk eselo ris dri mtriks koefisie mempuyi kolom yg leih yk dripd ris tk ol. (Ctt hw etuk eselo ris tidk mugki mempuyi kolom yg leih sedikit dri ris tk ol. (Kep?)) Secr khusus, jik mtriks koefisie sli mempuyi kolom leih yk dri ris, mk sistem tidk hy mempuyi stu peyelesi. Apliksiy dlh Lemm.. yg sudh diicrk leih dulu..7 DekomposisiLU Sekrg didik hw diperluk utuk meyelesik AX Y secr erulg, utuk sutu mtriks A erukur tetpi utuk rus k Y ergd. Dlm hl ii dpt dimftk fktorissi (hsil kli mtriks elemeter). Asumsiy yitu hw A dpt direduksi ke etuk eselo ris tp meukrk ris. Als utuk sumsi terseut yitu hw pegemgy leih sederh. Jdi dipuyi mtriks elemeter E, E,, E k, yg meytk jumlh sutu kelipt semrg ris i ke semrg ris j, deg i > j, sehigg E k E k E A U, sutu mtriks ekuivle ris dlm etuk eselo ris. Kre E i d utuk setip A k i k, mk E E... E U. Berdsrk ksi dri setip mtriks, dpt diliht hw setip mtriks terseut dlh segitig wh, d kre itu E i jug segitig wh. Pd keyty, mtriks E i d E i dlh segitig wh stu (uit lower Didit B. Nugroho

B Sistem Persm Lier 9 trigulr), yg errti hw semu msuk digol utmy dlh. Dikethui hw hsil kli mtriksmtriks segitig wh stu dlh segitig wh stu, sehigg dikethui jug hw E E... E k dlh segitig wh stu. Dimil L yg meotsik hsil kli terseut, dipuyi A LU, hsil kli dri sutu mtriks segitig wh deg mtriks segitig ts. Fktorissi dri A terseut dikel segi dekomposisi LU (LUdecompositio) dri A. Gmr.5: Dekomposisi LU dri mtriks Seljuty, meyelesik AX Y dlh ekuivle deg meyelesik LUX Y. Kep ii petig? Dpt diselesik LUX Y deg meyelesik sergki sistem segitig. Pertm kli diselesik LZ Y megguk sustitusi mju, tu serigkli diseut elimisi mju. Diselesik sistem persm yg erkorespodesi deg proses wl Y megguk opersi ris elemeter yg sm deg yg diguk utuk mereduksi A ke etuk eselo ris. Sekrg diselesik UX Z deg sustitusi lik utuk memperoleh peyelesi vektor X. Sudh diliht hw U dlh etuk eselo ris dri A yg dihsilk oleh elimisi Guss, tetpi gim meghitug L dlm prkteky? Dikethui hw L dlh segitig wh stu, jdi msuk digol d superdigol dikethui. Muli dri kiri ke k, dictt iformsi yg digu selm elimisi, muli kolom. i Utuk setip i,,, dimil mi. Seljuty ris i, i, dikurgi () () deg m i kli ris utuk meghpus msuk (i,). Diotsik A ( ) segi mtriks yg diperoleh deg meghpus semu msuk kolom di wh poros. (Igt, hw sumsiy dlh tidk d peukr ris). Seljuty utuk setip i,,, dimil m () i i, d ris i dikurgi deg m i kli ris. Ii () k meghpus semu msuk kolom di wh poros. Diljutk cr terseut, d dikhiri smpi deg!! () ()!! U, " " " " " ( )!! utuk memperoleh!! m!! L m m!. # # # # " m m!! m, ij Didit B. Nugroho

B Sistem Persm Lier Didit B. Nugroho 7 CONTOH.7. Tetuk dekomposisi LU dri mtriks A. Peyelesi. Pertm kli, fktorissi dri mtriks A dimislk oleh LU u u u u u u m m m A. Dicri mtriks U deg meerpk elimisi Guss pd mtriks A: U A ) (,. Seljuty diperhtik lgkhlgkh elimisi Guss di ts utuk meetuk usurusur m, m, d m pd mtriks L, yitu : (i) usur m erkorespodesi deg yg pegli pemut oly dlh ( ), kre itu m, (ii) usur m erkorespodesi deg yg pegli pemut oly dlh ( ), kre itu m, d (iii) usur m erkorespodesi deg yg pegli pemut oly dlh ( ( )), kre itu m. Jdi, dekomposisi LU utuk mtriks A yitu. Secr rigks, lgkhlgkh utuk medptk peyelesi dri SPL deg megguk metode dekomposisi LU dlh segi erikut :. Dietuk sistem AX Y.. Ditetuk A LU.. Diselesik persm LZ Y deg Z [z z z ] T.. Diselesik persm UX Z. CONTOH.7. Selesik SPL erikut deg metode dekomposisi LU 7 Peyelesi. Lgkh. Dietuk sistem AX Y segi erikut 7. Lgkh. Ditetuk A LU (ii sudh diperoleh di Cotoh.7.). Lgkh. Dimislk Z [z z z ] T d dietuk persm LZ Y yitu

B Sistem Persm Lier Didit B. Nugroho 7 7 z z z 7 z z z z z z. Diperoleh z, z. 8, d z 7..8 9. Lgkh. Dietuk persm UX Z d diselesik segi erikut 9 8 9 8. Dri persm yg terkhir diperoleh peyelesi sistem yitu, 8., d..8 Apliksi Sistem Persm Lier.8. Sirkuit elektrik (electric circuits) Stu pliksi petig ljr lier utuk elektroik dlh meglis sirkuit elektrik. Ssry yitu meghitug rus yg meglir dlm setip cg sirkuit tu meghitug tegg di setip titik sirkuit. Terdpt du lis, yitu lis simpul (loop lysis) utuk meemuk rus secr lgsug, d lis titik (odl lysis) utuk meemuk tegg secr lgsug. Dlm pliksi ii diperluk kosepkosep dri elektroik:. Istilh d simol sirkuit elektrik: Simol utuk sumer tegg (yg meyek rus elektrik meglir dlm sirkuit). Simol utuk resistor (lt peghmt lir rus elektrik). Simol utuk kel (disumsik tidk mempuyi hmt).. Titik utm d cg: Simol utuk sutu titik utm (pricipl ode), yitu sutu titik deg tu leih kel ertemu. Cg: sutu lits (pth) dlm sirkuit yg mempuyi sutu titik pd setip ujug d memut miiml stu sumer tegg tu resistor tetpi titik memut titik liy.. Hukum Arus Kirchoff: jumlh rus yg meglir ke sutu titik sm deg jumlh rus yg meglir kelur dri titik.. Persm Hukum Ohm: V IR, deg V dlh ed tegg tr du ujug resistor yg diukur dlm volt, I dlh rus yg mellui resistor diukur dlm mpere, d R dlh resistsi resistor diukur dlm ohm. 5. Hukum Tegg Kirchoff: di sekitr sutu lits tertutup (closed pth) dlm sutu sirkuit elektrik, jumlh keik tegg mellui sumer tegg sm deg jumlh peuru tegg yg mellui resistor. Alis rus simpul sirkuit elektrik Dlm metode ii, dietuk d diselesik sutu sistem persm dlm vrielvriel rus simpul. Arus dlm ergi cg sirkuit mudh ditetuk dri rus simpul. Lgkhlgkh dlm metode rus simpul:. Dihitug yky rus simpul yg diperluk, ktk m.

7 B Sistem Persm Lier. Dipilih m rus simpul yg slig es, mk I, I,, I m, d ditulisk pd digrm sirkuit. Dipliksik Hukum Tegg Kirchoff utuk setip simpul. Hsily dlh sistem m persm lier dlm m vriel rus simpul eretuk: ìri RI... Rm I m V ï RI RI... RmI m V í ï! ï îrmi RmI... RmmI m Vm deg R, R,, R mm d V, V,, V m dlh kostt.. Selesik sistem persm utuk m rus simpul I, I,, I m megguk metode yg sudh dipeljri. 5. Susu kemli rusrus cg dri rus simpul. CONTOH.8. di wh ii. Tetuk rus yg meglir dlm setip cg sirkuit elektrik Peyelesi. Lgkh. Ditetuk yky rus simpul yg diperluk, yitu. Lgkh. Dipilih rus simpul seperti yg ditujukk pd gmr di wh ii. Lgkh. Lgkh. Diytk Hukum Tegg Kirchoff utuk setip simpul. Hsily dlh sistem persm erikut: ìi 5( I I ) 5( I I) ï í5( I I) I ( I I). ï î5( I I) ( I I ) 55I Setelh disederhk mejdi: ì7i 5I 5I ï í 5I 5I I. ï î 5I I I Diselesik sistem persm megguk metode yg sudh dipeljri utuk memperoleh rus (semu diukur dlm mpere): I,5; I, d I,7. Didit B. Nugroho

,5,,,5,8,,7 B Sistem Persm Lier 7 Lgkh 5. Disusu kemli rus cg dri rus simpul yg memerik hsil seperti yg ditujukk pd gmr erikut. CONTOH.8. wh ii. Tetuk rus yg meglir dlm setip cg sirkuit di Peyelesi. Lgkh. Byky rus simpul yg diperluk dlh. Lgkh. Dipilih rus simpul seperti yg ditujukk pd gmr erikut ii. Lgkh. Diytk Hukum Tegg Kirchoff utuk setip simpul. Hsily dlh sistem persm erikut: ìi ( I I ) I ï í5i ( I I) I 5( I I) ï î5i 5I 5( I I ) Sistem disederhk mejdi: ìi I I ï íi 8I 5I ï îi 5I 5I Didit B. Nugroho

7 B Sistem Persm Lier Lgkh. Lgkh 5. Diselesik sistem persm megguk metode yg sudh dipeljri utuk memperoleh rus (semu diukur dlm mpere): I,57; I,7 d I,5 Disusu kemli rus cg dri rus simpul yg memerik hsil seperti yg ditujukk pd gmr di wh ii. Alis tegg titik dri sirkuit elektrik Dlm metode ii dietuk d diselesik sutu sistem persm deg vriely dlh tegg pd titik utm sirkuit. Lgkhlgkh dlm metode lisis titik:. Dihitug yky titik utm dlm sirkuit, mislk.. Ditetpk titik N, N,, N d diytk pd digrm sirkuit. Tegg pd titik terseut erturutturut dimk V, V,, V.. Dipilih stu titik utuk mejdi titik cu d disyrtk teggy.. Utuk setip titik keculi titik cu, diytk Hukum Arus Kirchoff dlm etuk jumlh ljr dri rus yg meglir kelur dri sutu titik sm deg ol. Diperhtik gmrgmr di wh ii. () () (c) (d) Segi cotoh, utuk titik N pd gmr () di ts k dihsilk persm: I I I c. Arus dlm setip cg diytk dlm sukusuku tegg titik pd setip khir cg megguk hukum Ohm (I V/R). Segi cotoh, utuk gmr () rus yg meglir ke wh dri titik N tergtug pd ed tegg V V d hmt dlm cg. Dlm ksus gmr (c), ed tegg yg melewti hmt dlh V V kurg dri tegg yg melewti sumer tegg. Jdi rus yg meglir ke wh dlh seperti yg ditujukk. Dlm ksus gmr (d), ed tegg yg melewti hmt hrus volt leih esr dri pd V V. Jdi rus yg meglir dlh seperti ditujukk. Didit B. Nugroho

B Sistem Persm Lier 75 Hsil, setelh disederhk, dlh sutu sistem m persm lier dlm m vriel tegg titik (deg m ): ìgv GV... GmVm I ï GV GV... GmVm I í ï! ï îgmv GmV... GmmVm I m deg G, G,, G mm d I, I,, I m dlh kostt. 5. Diselesik sistem persm utuk m titik tegg V, V,, V. CONTOH.8. Guk lis titik utuk meemuk tegg dri setip titik pd sirkuit di wh ii. Peyelesi. Lgkh. Dictt hw psg titik pd gi wh seery dlh titik. Jdi yky titik utm sirkuit dlh. Lgkh. Ditetpk titik utm pd digrm sirkuit. Lgkh. Lgkh. Lgkh 5. Dipilih titik N segi titik cu d disyrtk teggy ol. Dipliksik Hukum Arus Kirchoff utuk setip titik. Dimislk V dlh tegg pd titik N, d V dlh tegg pd titik N, sert diigt hw V. Diperoleh sistem persm: ìv V V V ï 5 í. V ï V V V î Persm pertm dihsilk dri Hukum Arus Kirchoff yg dipliksik pd titik N d persm kedu dihsilk dri Hukum Arus Kirchoff pd titik N. Dikumpulk sukusuku terseut mejdi: ìæ ö æ ö ïç V ç V è 5 ø è ø í. ï æ ö æ ö ç V ç V ïî èø è ø Diselesik sistem utuk memperoleh: V 8, volt d V 7, volt. Didit B. Nugroho

7 B Sistem Persm Lier CONTOH.8. Guk lis titik utuk meemuk tegg dri setip titik pd sirkuit di wh ii. Peyelesi. Lgkh. Ditetuk yky titik utm yitu. Lgkh. Ditetpk titik utm pd digrm sirkuit. Lgkh. Dipilih titik N segi titik cu d disyrtk teggy ol. Lgkh. Dipliksik Hukum Arus Kirchoff utuk setip titik. Dimislk V tegg pd titik N, V tegg pd titik N, V tegg pd titik N, d diigt hw V. Hsily dlh sistem persm erikut: ìv V V V 5 ï 5 9 ï V V 5 V V V V í. ï ïv V V V V V ïî Persm pertm, kedu, d ketig dihsilk dri Hukum Arus Kirchoff yg dipliksik erturutturut pd titik N, N, d N. Sukusuku persm terseut dikumpulk mejdi: ìæ ö 5 ïç V V ïè5 9 ø 9 ï æ ö æ ö 5 í V ç V ç V. ï è ø è ø ï æ ö æ ö ï ç V ç V î è ø è ø Lgkh 5. Diperoleh: V 5.88 volt, V.7 volt, d V.9 volt. Didit B. Nugroho

B Sistem Persm Lier 77 CONTOH.8.5 Guk lis titik utuk meemuk tegg setip titik pd sirkuit di wh ii. Peyelesi. Lgkh. Ditetuk yky titik utm yitu. Lgkh. Ditetpk titik utm pd digrm sirkuit. Lgkh. Dipilih titik N segi titik cu d disyrtk teggy ol. Lgkh. Dipliksik Hukum Arus Kirchoff utuk setip titik. Dimislk V tegg pd titik N, V tegg pd titik N, V tegg pd titik N, d diigt hw V. Hsily dlh sistem persm erikut: ìv V V V V V ï 5 ï V V V V V í. ï ïv V V V ïî 5 5 Persm pertm, kedu, d ketig dihsilk dri Hukum Arus Kirchoff yg dipliksik erturutturut pd titik,, d. Dikumpulk sukusuku terseut mejdi: ìæ ö æ ö ïç V ç V V ïè 5ø è ø 5 ï æ ö æ ö í ç V ç V. ï è ø è ø ï æ ö ï V ç V î 5 è5 5 ø 5 Lgkh 5. Diselesik sistem di ts utuk memperoleh: V 7 volt, V 58 volt, d V 97 volt. Didit B. Nugroho

8 A B y C 78 B Sistem Persm Lier u v z w t.8. F Jrig llu lits (trffic etwork) E D Jrig di wh ii meggmrk rus llu lits yg mellui sutu kompleks jl tertetu. (Byky rus diytk oleh rtrt rus ke dlm d ke lur jrig pd st puck kesiuk llu lits) Deg Hukum Arus Kirchoff, dihsilk sistem segi erikut: 8 v (A) u y (B) y z (C) z t (D) t u w (E) u w (F). Mtriks yg diperesr dri sistem dlh 8. yg ekuivle ris deg 8. Leih ljut peyelesiy yitu w y t z t u t w v w. Segi cotoh, jik w d t (kedr per jm), mk, y 7, z, u, d v 7. Didit B. Nugroho

B Sistem Persm Lier 79 Sekrg didik hw jl dri A ke B d dri B ke C hrus ditutup (misly utuk perik), errti d y. Bgim kemugki llu litsy? Utuk mejw perty ii, ditetpk y dlm peyelesi di ts, diperoleh w, t, z, u, d v 8. Tetu sj, ili egtif utuk z dlh tidk orml. Dihidri rus egtif, sehigg hrus dilik rh jl yg meghuugk C d D, d diuh mejdi z..8. Persmpersm kimi Apliksi sistem lier utuk kimi dlh keseimg sutu persm kimi. Als pemikir ii dlh hukum kekekl mss yg diytk segi erikut: Mss tidk diciptk tu dimushk dlm reksi kimi yg mpu. Oleh kre itu peyeimg persm memerluk jumlh tom yg sm pd kedu sisi dri sutu reksi kimi. Mss dri semu kompoe rekt (usur yg memsuki sutu reksi) hrus sm deg mss dri produk (usur yg dihsilk oleh reksi). Segi cotoh, dierik persm kimi segi erikut C H O CO H O. Meyeimgk reksi kimi terseut sm rtiy deg mecri ili, y, z, d t sehigg yky tom dri setip usur dlh sm pd kedu sisi persm: C H yo zco th O. Diperoleh sistem persm lier: z t y z t. Peyelesi umum dri sistem di ts dlh y z t. Dipilih d diperoleh y 7, z, t. Persm yg seimg dlh: C H 7O CO H O..8. Model ekoomi utuk pertukr rg Dlm rgk memhmi d mmpu meggerkk ekoomi sutu egr tu sutu derh, org hrus smpi pd sutu model tertetu erdsrk ergi sektor ekoomi. Model Leotief dlh sutu ush dlm rh ii. Didsrk pd sumsi hw setip idustri dlm ekoomi mempuyi du jeis permit: permit eksterl (dri lur sistem) d permit iterl (permit pd stu idustri oleh yg liy tetpi dlm sistem yg sm), model Leotief meggmrk ekoomi segi sistem persm liier. Model Leotief ditemuk oleh Profesor Wssily Leotief yg megemgk sutu model ekoomi yg meygkut ekoomi Amerik Serikt deg memgiy ke dlm 5 sektor ekoomi. (Pd tggl 8 Oktoer 97, Profesor Leotief medptk peghrg Noel dlm ekoomi.) Didit B. Nugroho

8 B Sistem Persm Lier Model Leotief Tertutup Dipertimgk sutu ekoomi yg terdiri dri idustri (sektor) yg slig tergtug S, S,, S. Ii errti hw setip idustri memki eerp rg yg diproduksi oleh idustri li, termsuk dri diriy sediri. Sutu ekoomi diktk tertutup jik terpeuhi dri keutuhy sediri, errti tidk d rg yg kelur tu msuk sistem. Dimil m ij dlh yky uit yg diproduksi oleh idustri S i d dipki utuk memproduksi stu uit dri idustri S j. Jik p j dlh tigkt produksi dri idustri S j, mk m ij p j meytk yky uit yg diproduksi oleh idustri S i d dipki oleh idustri S j. Jdi jumlh totl uit yg diproduksi oleh idustri S i dlh p m i p m i p m i. Utuk meyeimgk ekoomi, totl produksi dri setip idustri hrus sm deg totl pemki. Diperoleh sistem lier: m p m p m p p m p m p m p p! m p m p m p p. Jik dimil m m! m m m! m A " " " " m m! m mk sistem dpt ditulisk segi AP P, deg p p P,! p d A diseut mtriks msukkelur (iputoutput mtri). Seljuty diliht vektor kolom P yg memeuhi AP P d usurusury tk egtif. CONTOH.8. Didik hw ekoomi sutu derh tertetu tergtug pd tig idustri: pely, elektrisits, d produksi miyk. Berdsrk pegws opersi terhdp tig idustri terseut ts periode stu thu diperoleh pegmt segi erikut:. Utuk memproduksi uit pely, idustri pely hrus memki, uit dri produky sediri,, uit elektrisits d, uit miyk utuk mejlk opersiy.. Utuk memproduksi uit elektrisits, prik pemgkit dy hrus memeli, uit pely,, uit dri produksiy sediri, d,5 uit miyk.. Terkhir, perush yg memproduksi miyk memerluk, uit pely,, uit elektrisits d, uit dri produksiy sediri utuk memproduksi uit miyk. Tetuk tigkt produksi dri setip idustri terseut dlm rgk memeuhi permit iterl d eksterl deg sumsi hw model di ts dlh tertutup. Peyelesi. Dimil vrielvriel segi erikut:. p tigkt produksi utuk idustri pely. Didit B. Nugroho

B Sistem Persm Lier 8. p tigkt produksi utuk prik pemgkit dy (elektrisits).. p tigkt produksi utuk perush yg memproduksi miyk. Kre model dlh tertutup, mk totl pemki dri setip idustri hrus sm deg totl produksi. Diperoleh sistem lier segi erikut:,p,p,p p,p,p,5p p,p,p,p p. Mtriks msukkelur dlh,,, A,,,5,,, d seljuty sistem dpt ditulisk segi (A I)P. Mtriks yg diperesr dri sistem homoge dlh,7,,,,9,5,,,8 yg dpt direduksi mejdi,8,9. Utuk meyelesik sistem, dimil p t (sutu prmeter), mk peyelesi umumy dlh p,8t p,9t p t. Seperti yg telh diseutk seelumy hw ili dri vrielvriel dlm sistem hrus tk egtif, kre itu t ³. Segi cotoh, dimil t k meghsilk peyelesi p 8 uit, p 9 uit, d p uit. Model Leotief Teruk Model Leotief yg pertm memperlkuk ksus tidk d rg yg msuk tu kelur sistem, tetpi dlm keyty ii serig tidk terjdi. Bisy, sutu ekoomi tertetu hrus memeuhi sutu permit lur. Dlm ksus ii, jik dimil d i segi permit dri idustri lur pd S i, sedgk p i d m ij seperti dlm model tertutup, mk p i m i p m i p m i p d i utuk setip i. Diperoleh sistem lier segi erikut: P AP d d d d! d diseut vektor permit. Sutu cr utuk meyelesik sistem dlh P AP d Þ (I A)P d Þ P (I A) d. Tetu sj diperluk hw mtriks I A hrus iversiel, yg mugki tidk sellu terjdi dlm ksus ii. Jik (I A) mempuyi msuk tk egtif, mk usur dri vektor P dlh tk egtif d kre itu dpt diterim segi peyelesi utuk model ii. Dlm ksus ii diktk hw mtriks A dlh produktif. deg [ ] T Didit B. Nugroho

8 B Sistem Persm Lier CONTOH.8.7 Dierik sutu ekoomi teruk yg terdiri dri tig idustri: pemg tu r, prik pemgkit listrik, d prik perkit moil. Utuk memproduksi uit tu r, opersi pemg hrus memeli, uit dri produksiy sediri,, uit dri elektrisits, d, uit moil utuk trsportsi. Utuk memproduksi uit elektrisits, diperluk,5 uit tu r,, uit elektrisits, d,5 uit moil. Terkhir, utuk memproduksi uit moil, prik moil hrus memeli, uit tu r,,5 uit elektrisits, d memerluk, uit moil. Disumsik hw dlm sutu periode stu miggu, ekoomi mempuyi permit lur 5. uit tu r, 75. uit elektrisits, d 5. uit moil. Tetuk tigkt produksi dri setip idustri dlm periode stu miggu utuk memeuhi secr tept permit dlm d lur. Peyelesi. Mtriks msukkelur d vektor permit dri ekoomi ii, secr erturutturut, dlh,,5, 5. A,,,5, d 75..,,5, 5. Dietuk persm P (I A) d, deg,9,5, I A,,,5.,,5,9 Megguk rumus ivers, diperoleh,,8,77 ( I A),7,88,.,,5, Kre itu,,8,77 5. 99,59 P,7,88, 75. 7795,7.,,5, 5. 7,57 Jdi, totl pegelur dri opersi pemg tu r hruslh 9.9,59 uit, totl pegelur utuk prik pemgkit listrik dlh 7.795,7 d totl pegelur utuk prik pemut moil dlh 7.,57 uit. Didit B. Nugroho

B Sistem Persm Lier Didit B. Nugroho 8 SOALSOAL UNTUK BAB. Tulisk kemli sistem persm erikut segi persm mtriks. () () (c) (d) (e) (f) (g) (h) 5. Nytk pkh sistem lier di wh ii tidk mempuyi peyelesi, mempuyi stu peyelesi tu tk erhigg yk peyelesi. () () (c) (d) (e) (f) (g) (h). Dierik A d 5 Y. Selesik AX Y megguk tur Crmer.. Dierik 5 A d Y. Selesik AX Y megguk tur Crmer.

8 B Sistem Persm Lier 5. Selesik sistem persm lier y z 7y z.. Dierik sistem persm lier 5 8. () Tulisk mtriks yg diperesr utuk sistem di ts. () Reduksi mtriks yg diperesr deg opersi ris elemeter ke etuk eselo ris. (c) Guk jw gi () utuk meyelesik sistem lier. 7. Dierik sistem persm lier 5 8 9. () Tulisk mtriks yg diperesr utuk sistem di ts. () Reduksi mtriks yg diperesr deg opersi ris elemeter ke etuk eselo ris. (c) Guk jw gi () utuk meyelesik sistem lier. 8. Dierik sistem persm lier 7 7 5 8 5 7 7 8 7 () Tulisk mtriks yg diperesr utuk sistem di ts. () Reduksi mtriks yg diperesr deg opersi ris elemeter ke etuk eselo ris. (c) Guk jw gi () utuk meyelesik sistem lier. 9. Reduksi setip mtriks di wh ii deg opersi ris elemeter ke etuk eselo ris tereduksi: () 5 5 () 5 5 (c) 5 5 5. Utuk setip mtriks yg diperesr erikut ii, reduksi mtriks ke etuk eselo ris d eselo ris tereduksi, d selesik sistem lier. 5 () () 5 7 8 5 7 Didit B. Nugroho

B Sistem Persm Lier 85. Diperhtik sutu sistem persm lier dlm vrielvriel,,,, d 5, yg diytk dlm persm mtriks eretuk AX Y. Didik hw mtriks [A Y] dpt direduksi ke etuk eselo ris:. 7 () Mkh vrielvriel utm d mkh vrielvriel es? () Tetuk semu peyelesi utuk sistem lier.. Diperhtik sutu sistem persm lier dlm vrielvriel,,,, d 5, yg diytk dlm persm mtriks eretuk AX Y. Didik hw mtriks [A Y] dpt direduksi ke etuk eselo ris: 5. () Mkh vrielvriel utm d mkh vrielvriel es? () Tetuk semu peyelesi utuk sistem lier.. Selesiklh SPL erikut deg mereduksi mtriks yg diperesr ke etuk eselo ris tereduksi. () y z () y z 8 7 y z 8 5 5 5 (c) y 7z (d) y z y z 5 y z 9 7. Selesik SPL erikut ii deg mereduksi ris mtriks yg diperesr. () () 5 5 (c) (d) (e) 5 7 y z (f) y z y z y z y z y z (g) (h) 5 Didit B. Nugroho

8 B Sistem Persm Lier 5. Tetuk semu peyelesi utuk sistem lier yg dierik erikut ii. () () (c) (d) 7 5 (e) (f) (g) (h). Tujukk hw sistem lier di wh ii dlh kosiste jik hy jik c, d selesiklh sistem dlm ksus terseut. y z y 5z 5 5y z c. 7. Tetuk ili t gr sistem erikut dlh kosiste d selesik sistem utuk ili t terseut. y t y t ( t) y. 8. Dierik sistem persm lier l 5l l l 7 l. () Reduksi mtriks yg diperesr ke etuk eselo ris. () Cri sutu ili l utuk sistem mempuyi peyelesi. Selesik sistem. 9. Selesik sistem homoge.. Tetuk l Î Q gr sistem erikut ii mempuyi peyelesi otrivil. (l )y (l ) y. Selesik sistem homoge 5. Didit B. Nugroho

B Sistem Persm Lier 87. Didik hw A dlh mtriks koefisie dri sistem homoge dlm persm d vriel erikut ii: ( ) ( )! ( ). Tetuk etuk eselo ris tereduksi dri A d seljuty uktik hw peyelesi dri sistem dlh.. Dierik mtriks A. Buktik hw A dlh ekuivle ris deg c d jik d c ¹, tetpi ekuivle ris terhdp sutu mtriks yg ris keduy dlh ol jik d c.. Utuk ilg rsiol yg mkh gr sistem di wh ii () tidk mempuyi peyelesi () tept stu peyelesi (c) tk erhigg yk peyelesi? y z y 5z y ( )z. 5. Jik (,,, ) d (,,, ) dlh peyelesi dri sutu sistem persm lier, uktik hw ( t ) α tβ,..., ( t) α tβ jug merupk peyelesi.. Jik (,,, ) dlh peyelesi dri sutu SPL, uktik hw peyelesi legkpy dlh y,, y, deg (y, y,, y ) dlh peyelesi umum dri sistem homoge yg erkit. 7. Tetuk ili d gr sistem erikut ii kosiste d jug tetuk peyelesi legkp utuk. y z w y z w y w. 8. Dierik sistem persm: y z y z y z. () Tetuk ili d, jik d, gr sistem mempuyi sutu peyelesi tuggl. Berik peyelesi utuk serg d. () Tetuk ili d, jik d, gr sistem tidk mempuyi peyelesi. (c) Tetuk ili d, jik d, gr sistem mempuyi tk erhigg yk peyelesi. Didit B. Nugroho

88 B Sistem Persm Lier 9. Dierik sistem persm: z y z y. () Tetuk ili d, jik d, gr sistem mempuyi sutu peyelesi tuggl. Berik peyelesi utuk serg d. () (c) Tetuk ili d, jik d, gr sistem tidk mempuyi peyelesi. Tetuk ili d, jik d, gr sistem mempuyi tk erhigg yk peyelesi.. Dierik sistem persm: y z y z y z. () Tetuk ili, jik d, gr sistem mempuyi sutu peyelesi tuggl. Berik peyelesi utuk serg ili. () (c) Tetuk ili, jik d, gr sistem tidk mempuyi peyelesi. Tetuk ili, jik d, gr sistem mempuyi tk erhigg yk peyelesi.. Dierik persm: () () (c) y z y z y z. Tetuk ili d, jik d, gr sistem mempuyi sutu peyelesi tuggl. Berik peyelesi utuk serg d. Tetuk ili d, jik d, gr sistem tidk mempuyi peyelesi. Tetuk ili d, jik d, gr sistem mempuyi tk erhigg yk peyelesi.. Dierik sistem persm: y z y z y z 5. () Tetuk ili, jik d, gr sistem mempuyi sutu peyelesi tuggl. Berik peyelesi utuk serg ili. () Tetuk ili, jik d, gr sistem tidk mempuyi peyelesi. (c) Tetuk ili, jik d, gr sistem mempuyi tk erhigg yk peyelesi.. Di tr sistem di wh ii, mkh yg mempuyi peyelesi tuggl. Dlm ksus terseut, tetuklh peyelesi tuggly. () y w () y z y z w y z y z w y y w. Tetuk pkh sistem di wh ii tidk mempuyi peyelesi, mempuyi stu peyelesi, tu mempuyi tk erhigg yk peyelesi. Jik terdpt peyelesi tuggl, seutklh. Didit B. Nugroho

B Sistem Persm Lier 89 () y () y z y z z y z w y 5 y w 5. Dierik A d Y 7. Tetuk fktorissi LU dri A d guk fktorissi terseut utuk meyelesik AX Y.. Utuk mtriks A 5 d Y, tetuk mtriks segitig wh L d mtriks reduksi ris U sehigg A LU. Selesik LZ Y d persm UX Z utuk medptk peyelesi dri sistem AX Y. 7. Tetuk fktorissi LU dri A d guk fktorissi terseut utuk meyelesik AX Y, jik dikethui: () A d Y () A d Y 5 9 7 8. Utuk mtriks A, tetuk mtriks segitig wh L d mtriks reduksi ris U sehigg A LU. Selesik LZ Y utuk Y, d persm UX Z utuk medptk peyelesi sistem dri AX Y. 9. Dierik sirkuit elektrik seperti erikut ii: ohm 5 V I I ohm I ohm V () () Tetuk rus I, I, d I deg megguk lis simpul. Tetuk tegg di setip titik utm sirkuit deg megguk lis titik. Didit B. Nugroho

9 B Sistem Persm Lier. Tetuk rus yg meglir di setip cg d jug tetuk tegg di setip titik utm sirkuitsirkuit elektrik di wh ii. () () V ohm V I I I ohm ohm I V ohm I ohm I ohm. Tetuk rus di setip cg pd sirkuitsirkuit elektrik di wh ii: () () 8W A 8W A I I I I I V W W V W 8W I (c) A B V (d) 5W A B V I I I I I W 5W W 8W W 8W I (e) V 8W B A V I B W V B V I I I 5 5 V 5W 5W V I I C D. Tetuk iliili,,, d utuk meyeimgk persm kimi yg eretuk: C H O C H O. Didit B. Nugroho

B Sistem Persm Lier 9. Tetuk iliili,,, utuk digrm rus llu lits erikut ii. 8 5 5 7. Tiju digrm rus llulits erikut ii deg,,,,,,, dlh ilgilg ult positif. Susulh sutu sistem lier dlm vrielvriel,,, d tujukk hw sistem yg teretuk k kosiste jik hy jik:. Ap yg dpt disimpulk megei yky moil yg msuk d meigglk jrig llulits terseut? 5. Didik terdpt tig jeis msyrkt, yitu peti, tukg kyu, d pejhit. Proporsi mk, rumh, d pki yg dikosumsi oleh tig jeis msyrkt terseut dirigks dlm tel erikut ii. Msyrkt Mk Rumh Pki Peti 7/ / / Tukg kyu 5/ / 5/ Pejhit / / / Didik P, P, P dlh iy totl mk, rumh, d pki, secr erturutturut. Ekoomi mecpi sutu ked equilirium jik iy yg dpt dihsilk peduduk sm deg iy yg dpt merek kosumsi. Tetuk iy totl P, P, P. Didit B. Nugroho

INDEKS A Algoritm GussJord, C Crmer, 58 D dekomposisi LU, 9 E elimisi Guss, GussJord, K kosiste, 5 M mtriks diperesr, 5 koefisie, 5 kostt, 5 msukkelur, 8 vriel, 5 model Leotief teruk, 8 Leotief tertutup, 8 P pegli, 5 peyelesi, 5 trivil, 55 poros, 5 produktif, 8 S sistem homoge, 55 persm lier, 5 sustitusi lik,

5 B Sistem Persm Lier T teorem KroeckerCpelli, 5 V vriel es, 5 utm, 5 Didit B. Nugroho