ANALISIS ANTRIAN TIPE M/M/c DENGAN SISTEM PELAYANAN FASE CEPAT DAN FASE LAMBAT Oleh : Budi Setiawan 1206 100 034 Dosen Pembimbing : Dra. Laksmi Prita W, M.Si. Drs. Sulistiyo, MT. ABSTRAK Penggunaan teori antrian sering ditemui dalam kehidupan sehari-hari. Selama ini masih terjadi berbagai masalah dalam sistem antrian. Sebuah antrian yang panjang disebabkan terbatasnya jumlah pelayan (server) dalam memenuhi permintaan pelayanan pelanggan (customer). Antrian tersebut juga dipengaruhi dengan kualitas pelayanan. Jika sistem pelayanan berada pada kondisi tingkat pelayanan yang lebih lambat dari kondisi normal atau sistem down karena server ditempati oleh server yang lain dan adanya prioritas, maka pelanggan tidak mendapatkan pelayanan secara maksimal. Ketika sistem beroperasi pada kondisi yang lambat tersebut, pelanggan menjadi tidak sabar. Untuk mendapatkan karakteristik khusus dari sistem antrian tersebut, sistem antrian ini menggunakan model M/M/c untuk 1 < < sehingga dapat mengoptimalkan antrian tersebut. Sistem ini berjalan dalam fase cepat/normal yang berdistribusi eksponensial dengan parameter η, tingkat kedatangan λ, dan tingkat pelayanannya µ. Parameter-parameter yang berhubungan untuk fase lambat adalah γ,λ dan µ ( µ). Sehingga dengan adanya pewaktu individu (individual timer) ξ yang diaktifkan sejak kedatangan itu berakhir dan kondisi tersebut tidak segera diubah ke kondisi normal maka pelanggan akan meninggalkan sistem dan tidak akan pernah kembali lagi. Pada Tugas Akhir ini diperoleh karakteristik khusus sistem antrian tipe M/M/c yaitu probabilitas server menganggur pada fase lambat dan probabilitas server menganggur pada fase cepat serta ekspektasi jumlah pelanggan dalam sistem. Kata kunci: M/M/c, Sistem Pelayanan Fase Cepat, dan Fase Lambat. 1. Pendahuluan Teori antrian secara luas digunakan dalam industri untuk meningkatkan pelayanan pelanggan, sebagai contoh pada supermarket, bank, dan rumah sakit. Dalam pasar ekonomi, pelanggan yang mendapatkan pelayanan yang kurang akan pergi ke tempat lain. Secara umum kedatangan pelanggan dan waktu pelayanan tidak diketahui sebelumnya sehingga jika hal ini dapat diketahui, pengoperasian sarana tersebut dapat dijadwalkan sedemikian rupa dengan menggunakan konsep teori antrian sehingga akan mengurangi keharusan untuk menunggu. Karena semakin sering terjadi proses antrian maka teori antrian merupakan aspek yang penting untuk menganalisa dan menyelesaikan permasalahan yang terjadi pada proses antrian. Proses antrian yang terjadi saat ini tidak selalu mencerminkan suatu antrian yang lancar. Berbagai permasalahan dalam proses antrian sering terjadi karena beberapa faktor. Faktor tersebut ialah adanya jumlah pelayan yang terbatas dalam memenuhi permintaan pelayanan pelanggan sehingga hal ini dapat menciptakan sebuah antrian yang panjang. Proses antrian dipengaruhi pula oleh jumlah pelanggan yang semakin banyak dan kualitas pelayanan. Apabila sistem pelayanan berada pada kondisi tingkat pelayanan yang lambat atau sistem down karena server ditempati oleh server yang lain, adanya prioritas yang lebih diutamakan, maka terjadi ketidaksabaran pada diri para pelanggan. Dengan kata lain fenomena yang terjadi pada antrian ialah pelayanan masih berjalan tetapi dengan tingkat pelayanan yang lebih lambat dari sebelumnya. Apabila sistem pelayanan tidak diubah sebelum waktu individu pelanggan yang diaktifkan sejak kedatangan berakhir maka hal ini mengakibatkan para pelanggan meninggalkan pelayanan dan tidak akan kembali lagi[9]. Penelitian yang sudah dilakukan mengenai teori antrian adalah Model Antrian Perencanaan dan Pengaturan Fasilitas Rawat Inap (Tempat Tidur) di Rumah Sakit[7], Analisis Waktu Pelayanan Bongkar Muat dalam Menghadapi Peningkatan Arus Muatan[8], dan Simulasi Antrian Pelayanan Bongkar Muat Kapal Kontainer[1], penelitian 1
tersebut masih sebatas aplikatif dari teori antrian, sedangkan untuk Analisis Antrian Tipe M/M/1 Dengan Sistem Pelayanan Fase Lambat dan Cepat[3] masih menggunakan single server. Pada tugas akhir ini dilakukan analisis sistem antrian tipe M/M/c untuk sistem pelayanan fase cepat dan lambat. Arti istilah sistem pelayanan fase lambat tersebut berarti suatu sistem awalnya berjalan dalam kondisi normal dengan laju pelayanan normal () berubah menjadi kondisi dengan tingkat pelayanan yang lebih lambat yaitu ( ) sedangkan laju kedatangan tetap pada kondisi pelayanan normal[9]. Sedangkan ketidaksabaran pelanggan bersumber dari tingkat pelayanan yang lambat tersebut. Sistem pelayanan masih tetap melayani tetapi menurun dengan tingkat pelayanan yang lebih lambat dari kondisi sebelumnya maka ketidaksabaran terjadi pada diri pelanggan, sehingga sejak kedatangan, pelanggan menghidupkan pewaktu individu dan ketika pewaktu individu telah berakhir dan kondisi masih belum kembali normal maka pelanggan akan meninggalkan sistem[9]. Dalam tugas akhir ini juga diasumsikan dalam kondisi steady state dengan laju kedatangan dan pelayanan berdistribusi eksponensial. Penelitian ini bertujuan untuk memperoleh karakteristik khusus antrian yaitu probabilitas server menganggur pada kondisi fase lambat dan cepat serta ekspektasi jumlah pelanggan dalam sistem sehingga antrian dapat meningkatkan pelayanannya. 2. Metode Penelitian Metode yang digunakan pada tugas akhir dalam menyelesaikan permasalahan adalah : 1. Studi literatur 2. Analisis model 3. Penyelesaian karakteristik khusus sistem antrian 4. Simulasi Numerik 5. Penarikan kesimpulan 3. Tinjauan Pustaka 3.1 Sistem Antrian Sistem antrian adalah tempat terjadinya pelanggan (customer) tiba menurut proses kedatangan (arrival process) untuk menerima pelayanan dari fasilitas pelayanan[7]. Dalam menganalisis sistem antrian, digunakan teori antrian. Teori antrian merupakan studi matematis dari garis tunggu atau mengantri. Teori tersebut memungkinkan adanya analisis matematis 2 dari beberapa proses yang berkaitan termasuk kedatangan pada antrian, menunggu antrian dan sedang dilayani para pelayan[13]. 3.1.1 Disiplin Antrian Disiplin antrian adalah aturan keputusan yang menjelaskan cara melayani pelanggan. Terdapat 4 bentuk disiplin pelayanan yaitu First Come First Served (FCFS), Last Come First Served (LCFS), Service In Random Order (SIRO), Priority Service (PS). 3.1.2 Struktur Antrian Berdasarkan sifat proses layanan, model struktur antrian dapat terdiri dari satu atau lebih channel (saluran) dan phase (tahap). Terdapat 4 model struktur antrian yaitu Single Channel Single Phase, Single Channel Multi Phase, Multi Channel Single Phase, Multi Channel Multi Phase. 3.1.3 Notasi Kendall Notasi Kendall digunakan untuk mengkategorikan dan mendeskripsikan prosesproses stokastik dan parameter-parameter yang terdapat pada sistem antrian dalam suatu istilah matematika yang singkat[7]. Notasi tersebut sebagai berikut [13]: (a/b/c) : (d/e/f) dengan: a adalah distribusi kedatangan pelanggan, b adalah distribusi waktu pelayanan, c adalah jumlah pelayan dalam sistem, e adalah kapasitas sistem, d adalah disiplin antrian, f adalah ukuran sumber pemanggilan. 3.2 Proses Stokastik Proses stokastik adalah suatu kumpulan/himpunan dari peubah acak (variabel random) ():, dengan adalah himpunan indeks yang disebut parameter space, Nilai-nilai yang diasumsikan oleh peubah acak () dinamakan state dan adalah ruang sampel dari peubah acak, disebut state space. 3.3 Transation Rate Diagram Diagram tingkat transisi dari sistem antrian berguna dalam memvisualisasikan dinamika sistem[14]. Pada penelitian Tugas Akhir ini diagram transisi untuk sistem antrian tipe M/M/c dengan sistem pelayanan fase cepat dan fase lambat ditunjukkan pada gambar 3.1 berikut [9]:
= 1 = 0 Gambar 3.1 Diagram Transisi Antrian M/M/c dengan Dua Fase Keadaan dengan : fase/ keadaan sistem (lambat atau cepat) : jumlah pelanggan yang berada dalam sistem : laju kedatangan poisson untuk fase cepat : laju keberangkatan/waktu pelayanan untuk fase cepat waktu antar kedatangan untuk perubahan sistem menuju fase lambat/ rata-rata waktu distribusi pada fase cepat : laju kedatangan poisson untuk fase lambat : laju keberangkatan/waktu pelayanan untuk fase lambat : waktu antar kedatangan untuk perubahan sistem menuju fase cepat/ rata-rata waktu distribusi pada fase lambat 3.4 Proses Poisson Suatu proses stokastik (), 0 disebut sebagai proses hitung (counting process) jika () menunjukkan jumlah banyaknya kejadian yang terjadi sampai pada waktu. Oleh sebab itu, suatu proses hitung () harus memenuhi: [11] 1. () 0. 2. () merupakan nilai bilangan bulat. 3. Jika <, maka () (). 4. Untuk <, () () sebanding dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval (,. 3.5 Birth and Death Process (Proses Input- Output) Rantai Markov waktu kontinu (CTMC) dengan = 0,1,2,3,, dengan laju transisi, = 0 untuk > 1 disebut suatu proses input output. Dengan kata lain proses input output adalah CTMC dengan state 0,1,2, dengan transisi dari state i hanya dapat pergi ke i-1 atau i1. State dari proses ini biasanya tentang ukuran dari beberapa populasi dan bila state naik 1 dikatakan adanya sebuah proses kelahiran dan bila state kurang 1 maka sebuah kematian terjadi. 3.6 Balance Equation Sistem antrian dalam kondisi steady state berarti kondisi tersebut tidak bergantung terhadap waktu sehingga. Disaat sistem berada pada kondisi steady state untuk > 0 dengan merupakan jumlah pelanggan maka 3 tingkat ekspektasi/harapan dari arus masuk dan keluar dari state n harus sama yang berarti input (komponen yang masuk ke sistem antrian) harus sama dengan output (komponen yang keluar dari sistem antrian), sehingga terjadi persamaan keseimbangan (balance equation) yaitu [14] (tingkat ekspektasi dari arus masuk n) = (tingkat ekspektasi dari arus keluar n). 3.7 Probability Generating Function Diasumsikan X adalah variabel acak dan state space adalah 0,1,2. Diberikan f menotasikan probability mass function (pdf) dari X dan misalkan probalilitasnya adalah = = =, = 0,1,2 (3.2). sehingga = 1 3.8 Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu Persamaan differensial adalah suatu persamaan yang mengandung differensialdifferensial atau differensial koefisien[10]. Persamaan differensial linier tingkat satu mempunyai bentuk umum () = () (3.4) dengan fungsi p dan g independen terhadap x. Penyelesaiannya didapatkan dengan mengalikan faktor pengintegral =. 4. Hasil Penelitian 4.1 Deskripsi dan Analisa Mekanisme Sistem Antrian Tipe M/M/c Pandang suatu antrian tipe M/M/c, yang mengandung arti bahwa dalam sistem antrian terdapat multiserver c, yang dapat melayani pelanggan. Dalam sistem antrian ini, sistem berosilasi pada kedua fase, 0 dan 1. Deskripsi dari kedua fase diberikan sebagai berikut : 1. Jika sistem bekerja pada fase 1 Laju kedatangan pelanggan adalah, laju pelayanannya adalah dan parameter waktu acak adalah. 2. Jika sistem bekerja pada fase 0 Laju kedatangan pelanggan adalah, laju penurunan pelayanan server adalah, dengan, dan parameter waktu acak adalah. Diagram transisi dari sistem antrian ini diberikan dalam Gambar 4.1 :
Gambar 4.1 Diagram Laju Transisi Sistem Antrian tipe M/M/c Dalam Gambar 4.1, = 0 menginterpretasikan fase lambat sedangkan = 1 menginterpretasikan fase cepat/normal. Tanda panah pada gambar menunjukkan kemungkinan transisi dan L menunjukkan jumlah total pelanggan dalam system antrian. adalah laju kedatangan pelanggan. Adanya menunjukkan adanya transisi dari c ke c1 (proses kelahiran). adalah laju pelayanan yang menunjukkan adanya transisi dari c1 ke c (proses kematian). Selanjutnya, menunjukkan adanya transisi dari fase normal ke fase lambat sedangkan menunjukkan adanya transisi dari fase lambat ke fase normal. 4.2 Analisis Proses Kelahiran dan Kematian dari Sistem Antrian Dalam sistem antrian, proses kelahiran mendeskripsikan waktu kedatangan pelanggan sedangkan proses kematian mendeskripsikan waktu pelayanan pada antrian. Dinamika probabilitas proses input-output dapat dijelaskan melalui persamaan beda diferensial. Persamaan beda diferensial yang dicari dalam bagian ini adalah ( ()) yang merupakan laju probabilitas sistem input-output dengan pelanggan, dan juga ( ()) yang menyatakan laju probabilitas sistem input-output tanpa pelanggan (saat tidak ada pelanggan dalam sistem). 4.2.1 Persamaan Beda Diferensial Sistem Antrian Fase Lambat ( = ) Suatu sistem antrian akan mengalami transisi pada selang waktu jika sistem tersebut berada dalam fase lambat. Transisitransisi ini mengakibatkan adanya kemungkinan bertambahnya jumlah pelanggan menjadi pelanggan. Disamping itu, kemungkinan lain yang juga dapat ditimbulkan oleh adanya transisi sistem adalah terjadinya suatu kondisi dimana tidak ada pelanggan dalam sistem antrian, atau dengan kata lain jumlah pelanggan dalam sistem adalah 0. Kedua kemungkinan tersebut dapat dinyatakan dalam persamaan-persamaan berikut: ( ) = (( ) = ) (4.1) ( ) = (( ) = 0) (4.2) 4.2.1.a Persamaan Beda Diferensial ( ()) Deskripsi dari proses kelahiran dan kematian dalam Gambar 4.2 berikut : 4 Gambar 4.2 Transisi-transisi yang mungkin dari 1, dan 1 ke pelanggan. Untuk transisi dari 1 pelanggan ke pelanggan diperoleh persamaan beda diferensial:, ( ) = ( ) ( ) (4.3) dengan ( ) (little Oh ) adalah simbol order Landou dimana ( ) lim = 0 Sedangkan untuk transisi dari 1 pelanggan ke pelanggan diperoleh persamaan beda diferensial :, ( ) = ( ) ( ) (4.4) Selanjutnya, untuk jumlah pelanggan ke, tidak terjadi perubahan jumlah pelanggan. Sehingga diperoleh persamaan beda diferensial :, ( ) = 1 ( ) ( )1 ( ) ( ) ( ) ( ) (4.5) penambahan ( ) ( ) menunjukkan adanya peralihan fase yang bila ditinjau dari fase 0, ( ) menandakan terdapat input dari fase cepat ketika tidak ada penambahan jumlah pelanggan. Selanjutnya, ( ) menandakan adanya output yang keluar dari fase lambat. Oleh karena itu probabilitas kemungkinan transisi jumlah pelanggan diberikan sebagai berikut: ( ) = (( ) = ) = () ()( ) () () ()( ) () () () ( ) ()( ) () ( ) ()(( )) ()( ) ()( ) () ()( ) (4.6) Selanjutnya, dicari nilai limit dari persamaan (4.6) dengan 0. Sehingga didapat : lim ( ) () = () () () () () () Jadi, () = () () () () (4.7) Perlu diingat bahwa sistem ditinjau dari fase lambat, karena adalah waktu acak pada fase normal (1) maka () pada suku () adalah (). Selain itu, diketahui pula bahwa: i. Untuk adalah jumlah pelanggan dengan 1 1
= ( 1)( ) dan = ( ) sehingga didapat : ()) = ( 1) 0 0.1 () 0 0 0 1 0 0, 1 (4.8) ii. Untuk adalah jumlah pelanggan dengan = ( 1) dan = sehingga diperoleh : ()) = ( ( 1)). (), (4.9) 4.2.1.b Persamaan Beda Diferensial ()) Deskripsi dari proses kelahiran dan kematian dalam Gambar 4.3 berikut : Gambar 4.3 Transisi yang mungkin dari jumlah pelanggan adalah 0 (tidak ada pelanggan dalam sistem antrian. Dengan analogi yang sama dengan bagian 4.1.2.a didapatkan: ( ()) = ()( ) ( ) () () (4.10) 4.2.2 Persamaan Beda Diferensial Sistem Antrian Fase Cepat/Normal ( = ) Bagian ini membahas tentang laju probabilitas transisi jumlah pelanggan pada sistem antrian fase cepat. 4.2.2.a Persamaan Beda Diferensial () Dengan menggunakan analogi yang sama dengan fase lambat maka sistem antrian tipe M/M/c pada fase normal ( = 1) diperoleh salah satu persamaan beda diferensial berikut : Untuk 1 1 : () = ( 1). () () (), () (4.11) Untuk : () =. (), (4.12) 4.2.2.b Persamaan Beda Diferensial () Dengan analogi yang sama dengan bagian 4.2.1.b didapatkan: () = () () () () (4.13) 4.3 Persamaan Keseimbangan Sistem Antrian dan Probabilitas Selain dengan menggunakan persamaan beda diferensial, persamaan keseimbangan juga dapat ditentukan dengan menggunakan diagram transisi pada Gambar 4.1. Sehingga diperoleh persamaan keseimbangan berikut : ( ) = ( ) untuk = 0 ( ( )) =, ( 1)( ), untuk 1 1 ( ) =, ( (0 1)), untuk (4.13) dimana = (, = ), = 0,1, = 0,1,, 1,, 1, Persamaan keseimbangan fase normal ( = 1) ( ) = untuk = 0 ( ) =, ( 1), untuk 1 1 ( ) =,, untuk (4.14) dimana = (, = ), = 0,1, = 0,1,, 1,, 1, Kemudian dari persamaan-persamaan keseimbangan tersebut dibentuk suatu probabilitas steady-state dari proses acak masing-masing fase. Jika dimisalkan. = = ( = ), = 0,1 maka dengan menjumlahkan persamaanpersamaan dalam (4.14) diperoleh : =, ( 1),,, (4.15) Selanjutnya persamaan (4.15) untuk 0 < dan didapat = ( 1),,. =. (4.16) Karena. dan. adalah probabilitas dalam suatu sistem pada dua fase berbeda, maka.. = 1, sehingga dengan mensubstitusikan persamaan (4.16) pada kriteria tersebut diperoleh:.. = 1. = (4.17) Selanjutnya, persamaan (4.16) disubstitusikan pada persamaan (4.17) didapat: 5
. = = () (4.18) Dari persamaan (4.17) dan (4.18) tampak bahwa probabilitas steady-state untuk semua fase bergantung pada parameter waktu acak kedua fase. 4.4.1 Probability Generating Function pada Fase Lambat Dengan menjumlahkan ketiga persamaan keseimbangan pada fase lambat, dan membentuknya ke dalam deret untuk = 1,2, untuk kemudian suku-suku yang mengandung deret dikalikan maka diperoleh : ( ) ( ( )) ( ) = ( ), ( 1)( ),, ( ( 1)), (4.19) Selanjutnya diperoleh : ( ) () () () ( ) = () () () () (4.20) 4.4.2 Probability Generating Function pada Fase Cepat Dengan mengalikan persamaan ( = 1, ) dan ( =, ) dengan kemudian kedua persamaan hasil perkalian tersebut dijumlahkan dengan persamaan ( = 0) kemudian suku-suku yang memuat dibawa ke bentuk deret diperoleh : ( ) ( ) ( ) =, ( 1),,, Selanjutnya diperoleh : () = () () () () () (4.21) 4.4.3 Probability Generating Function Sistem Antrian Setelah memperoleh probability generating function (pgf) dari sistem antrian pada masing-masing fase, maka maka dapat diperoleh: () = () (1 ) ( ) () 0 () (1 ) 1 =0 ( ) 1 ( )(1 ) Misalkan : () = ( )(1 ), () = ( ), () = ( ) maka didapat : (1 ) () = ( )(1 ) () () () (1 ) () () () () misalkan : () = ( )(1 ) maka : () () () () = () () () () () () (4.22) Perhatikan persamaan berikut : () = (4.23) Terlihat bahwa persamaan (4.23) berbentuk persamaan kuadrat. Misalkan akar-akar dari persamaan (4.23) adalah dan, maka () = ( 1 )( 2 ) dimana : = dan = sehingga akar dari persamaan kuadrat (4.23) adalah : = (), = 1,2 misalkan diambil = = 0 maka : = = diperoleh > 0 dan > 1 Perhatikan kembali persamaan (4.22), dimisalkan : () = () () dan () = () () () () () () maka dapat diperoleh suatu persamaan diferensial linear tingkat satu berikut : () () () = () (4.24) sehingga () = () () () () () () ( ) ( ) = dengan = 1 ( 2 1) 2 1 ) dan = ( ) ( ) Langkah selanjutnya adalah menyelesaikan persamaan diferensial pada persamaan (4.24). Karena persamaan tersebut adalah suatu persamaan diferensial linear tingkat 1, maka diperlukan faktor pengintegral. Untuk itu, dibutuhkan hasil integral dari (), yaitu: () = 0 0 ln() ln 1 ln 2 sehingga didapatkan faktor pengintegral berikut: = () = 0 0 1 ( 2 ) (4.25) selanjutnya persamaan (4.31) dikalikan ke persamaan (4.30) sehingga didapat : () = () 6
( ) () = () () () ( ) ( ) () (4.26) dari sifat nilai mutlak pada persamaan faktor pengintegral, maka dapat dilakukan suatu pemisahan terhadap factor pengintegral menjadi dua bagian sebagai berikut : () = ( ) () = ( ) Sehingga persamaan (4.26) dapat ditulis menjadi: () () = () () () () (), untuk 1 dengan mengintegralkan kedua pesamaan tersebut didapat: () () = () () () 1 (), () = () () () () () (), untuk dengan menjadikan sebagai variabel dummy, maka diperoleh : () = kemudian () () = () () () () () () () () () () () dengan cara yg sama diperoleh : () = 2 (), () () () () () () () (4.27) (4.28) dari persamaan (4.27) dan (4.28) didapat bahwa : () () () () () () () () () () () () () () (),, (4.29) 7 Persamaan (4.29) adalah probability generating function (pgf) dari sistem antrian tipe M/M/c pada fase lambat ( = 0). Pgf ini bergantung pada dan. 4.5 Probabilitas Server Menganggur dari Sistem Antrian tipe M/M/c pada Kedua Fase Perhatikan kembali persamaan (4.29), persamaan ini dapat memberikan nilai dan, yaitu probabilitas server menganggur pada fase cepat dan lambat. Diketahui bahwa. =, sedangkan (1) = (1) = =. (4.30) Selanjutnya, pada persamaan (4.29) untuk = 1 diperoleh : (1) = 1 ( ) 1 2, () =0 1 0 1 1 ( ) 1, () =0 2, () 0 1, 2, (1) dengan substitusi persamaan (4.30) didapat :, (), () () = ( ), ( ), (), (4.31) kemudian, untuk =, maka didapat:, = (),, () () (),, (), Sementara =, mengakibatkan, = 0, sehingga diperoleh : ( ) ( ), (), (), (), = 0 (4.32) dari persamaan (4.31) dan (4.32) dimisalkan : = ( ), (),, (),, (), (), (), = ( ), () = ( ), dan = ( ) maka persamaan (4.31) menjadi :, () =, (), (), () (4.33), persamaan (4.32) menjadi : 1, 1, () () 1, 1, () 10 0 00 = 0 (4.34) 0 Kemudian dari persamaan (4.33) diperoleh : =,(), (), (), (), (4.35)
dimisalkan pula :,, () (), () =,,, () =, =, (), dan, () =, oleh karena itu, persamaan (4.33) dan (4.34) menjadi : ( 10 1 ) ( 00 2 ) = 0 (4.36),() = (4.37) selanjutnya, persamaan (4.37) disubstitusikan pada persamaan (4.36) dan didapat : ( ) = () ( ) (4.38) tampak bahwa persamaan (4.37) dan (4.38) memberikan probabilitas server menganggur pada fase lambat ( = 0) dan fase cepat ( = 1). 4.6 Ekspektasi Jumlah Pelanggan dalam Sistem () Pada bagian ini diberikan ekspektasi banyaknya pelanggan dalam sistem (). Ekspektasi banyak pelanggan secara keseluruhan merupakan hasil penjumlahan dari ekspektasi banyaknya pelanggan pada kedua fase, yaitu fase 0 dan fase 1. Pernyataan tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut : = Untuk memperoleh nilai ekpektasi ini, dilakukan pemotongan vertikal terhadap diagram transisi pada Gambar 4.1. Pemotongan ini memberikan hasil yang ditunjukkan dalam gambar berikut : = 1 = 0 = 1 = 0,() (a) (b). Perpotongan vertikal terhadap diagram transisi dengan Dari Gambar 4.4 diperoleh persamaan keseimbangan berikut : untuk = 1 () = ( 1),, 1 1 () =,, untuk = 0 ( ) = ( 1)( ),, 1 1 ( ) = ( ( 1)),, sehingga untuk 1 1 didapat persamaan : = ( 1), ( 1)( ), (4.39) dan untuk didapat : () ( ) =, ( ( 1)), =, ( ( 1)), =, ( ( 1)), (4.40) dengan menjumlahkan persamaan (4.39) dan (4.40) untuk = 1,2,,, : = ( ( ) ) ( ( ) ) (4.41) sementara itu, sesuai dengan sifat pgf yang menyebutkan bahwa (1) = ( = ) = () sehingga didapat : () = = ( ), = 0,1 (4.42) dengan mensubstitusikan persamaan (4.39) pada persamaan (4.38) maka diperoleh : ( ) = ( ) () () jika dimisalkan : = dan = ( ) maka persamaan (4.40) menjadi : ( ) = () () sedangkan untuk mendapatkan ( ) diperlukan turunan dari (),yaitu: () = () () ()1 1 ( ) () ()1 1. (1 ) (1 1 ) 0 ()( 1 1) 1 =0 ( ) 1 ()(1 1 ) (b) Gambar 4.4 (a). Perpotongan vertikal terhadap diagram transisi dengan 1 1 ( ) = () = ( ) 1 0 0 (1)() 1 (1) 8
Oleh karena itu, ekspektasi dari banyaknya pelanggan dalam sistem secara keseluruhan diberikan oleh : () = ( ) ( ) = () () () ()() () 4.7 Simulasi Pada bagian ini akan diberikan simulasi terhadap kedua rumusan yang telah diperoleh sebelumnya. Simulasi ini dilakukan dengan menggunakan Matlab2008a. 4.7.1 Simulasi Terhadap Nilai Parameter Jika dimisalkan suatu sistem antrian dengan 2 server kemudian diambil nilai dari tiap-tiap parameternya adalah = 3, = 1, = 2, = 1, = 2, = 1 dengan nilai yang berbedabeda, yaitu = 10, 11,12,13,14 dan 15. Maka akan didapat nilai probabilitas menganggur pada tiap fase seperti ditunjukkan dalam tabel berikut: Tabel 4.1 Nilai probabilitas server menganggur pada kedua fase dan ekspektasi jumlah pelanggan dalam server dengan nilai laju kedatangan pelanggan pada fase cepat yang berbeda-beda () 10 14.9104 0.2415 0.8807 11 20.6148 0.1684 0.6673 12 27.6464 0.1236 0.4818 13 34.6593 0.0831 0.3031 14 44.4904 0.0523 0.1649 Kemudian dari hasil yang diperoleh dalam Tabel 4.1, grafik antara (),, terhadap nilai parameter yang berbeda-beda disajikan sebagai berikut. 5. Penutup (b). Probabilitas server menganggur fase lambat terhadap laju kedatangan fase cepat (c). Probabilitas server menganggur fase cepat terhadap laju kedatangan fase cepat 5. Penutup 5.1 Kesimpulan Dari analisis yang dilakukan pada model antrian tipe M/M/c dengan sistem pelayanan fase cepat dan lambat, maka dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut : 1. Penyelesaian karakteristik khusus sistem antrian dapat diketahui bahwa proporsi waktu server menganggur adalah a. Pada fase lingkungan cepat/normal (1),(1) = b. Pada fase lingkungan cepat/normal (1) = ( ),() () ( ) dengan nilai masukan parameter sebagai berikut : Laju kedatangan pada fase cepat : > 0 ( pelanggan per satuan waktu) Laju pelayanan pada fase cepat : > 0 (pelanggan per satuan waktu) Laju kedatangan pada fase lambat: > 0 (pelanggan per satuan waktu) Laju pelayanan pada fase lambat: > 0 (pelanggan per satuan waktu) Rata-rata waktu fase cepat : > 0 (satuan waktu) Rata-rata waktu fase lambat : > 0 (satuan waktu) Individual timer pelanggan > 0 (satuan waktu per pelanggan). c. Ekspektasi jumlah pelanggan dalam sistem adalah : = (a) (b) = 1 (1) 0 0 (1) (c) Gambar 4.5 (a). Ekspektasi jumlah pelanggan terhadap laju kedatangan fase cepat 9 () ()() () dengan =, = ( ) dan = () 2. Hasil analisa simulasi menunjukkan bahwa semakin besar laju kedatangan pada kedua fase ( dan ), semakin kecil probabilitas server menganggur ( dan ) karena server sibuk melayani pelanggan sedangkan ekspektasi
jumlah pelanggan semakin besar. Akan tetapi apabila semakin besar laju pelayanan pada kedua fase ( dan ), semakin kecil probabilitas server menganggur ( dan ) karena server telah melayani pelanggan dengan cepat sehingga ekspektasi jumlah pelanggan dalam sistem semakin kecil atau berkurang. 5.2 Saran Pada pembahasan Tugas Akhir ini telah didapatkan karakteristik khusus dari antrian dengan sistem pelayanan fase cepat dan lambat untuk tipe M/M/c, diharapkan pada penelitian selanjutnya bentuk model antrian yang digunakan adalah sistem antrian dengan sistem pelayanan fase cepat dan lambat untuk M/M/ dan menggunakan simulasi yang lebih dinamis. 6. Daftar Pustaka [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] Abadi, Risky. 2010. Simulasi Antrian Pelayanan Bongkar Muat Kapal Kontainer. Jurusan Matematika ITS, Surabaya Adan, Ivo dan Resing, Jacques. 2002. Queueing Theory. Departement of Mathematics and computing science Eindhoven University of Technology. The Netherland Al Hamzany, Isna K. 2011. Analisis Antrian Tipe M/M/1 dengan Sistem Pelayanan Fase Lambat dan Cepat. Jurusan Matematika ITS. Surabaya Allen, L.J.S. 2003. an Introduction to Stochastic Processes with Applications to Biology. New Jersey: Pearson Education, Inc Haryono, dkk. 2007. Laporan Modul Ajar: Proses Stokastik. Jurusan Statistika ITS, Surabaya Hiller, Frederick dkk. 2004. Pengantar Riset Operasi. Erlangga:Jakarta. Lasono, Eka S. 2009. Model Antrean Perencanaan dan Pengaturan Fasilitas Rawat Inap (Tempat Tidur) di Rumah Sakit. Jurusan Matematika ITS, Surabaya Nugroho, Reza D. 2009. Analisis Waktu Pelayanan Bongkar Muat dalam Menghadapi Peningkatan Arus Muatan. Jurusan Matematika ITS, Surabaya Perel, Nir dan Yechiali, U. February. 2009. Queues with slow servers and impatient customers. European Journal of the Operational Research 201 (2010) 247-258 Riogilang, RH. 1978. Persamaan 10 [11] [12] [13] [14] Differensial. Binacipta. Bandung Ross, S.M. 1996. Stochastic Processes second edition. Canada: John Wiley & Sons. Siagian, P. 1987. Penelitian Operasional : Teori dan Praktek. Universitas Indonesia Press. Jakarta Subagyo, Pangestu, dkk. 2000. Dasar Dasar Operations Research. BPFE. Yogyakarta Publishing Coop. Stordahl, Kjell. 2007. The History Behind The Probability and The Queuing Theory. ISSN 0085-7130 Telenor ASA