MODEL MATEMATIKA PENENTUAN WAKTU PANEN OPTIMAL PADA POPULASI IKAN DENGAN UKURAN AWAL HOMOGEN DAN HETEROGEN M U S T O P A

MODEL MATEMATIKA PENENTUAN WAKTU PANEN OPTIMAL PADA POPULASI IKAN DENGAN UKURAN AWAL HOMOGEN DAN HETEROGEN M U S T O P A SEKOLAH PASCA SARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Model Matematika Penentuan Waktu Panen Optimal pada Populasi Ikan dengan Ukuran Awal Homogen dan Heterogen adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun yang tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Bogor, Agustus 2009 M u s t o p a NRP G551070111

ABSTRACT MUSTOPA. Mathematical Models on Determination of Optimal Harvesting Time for Fish Population with Homogeneous and Heterogeneous Initial Size. Under supervision of PAIAN SIANTURI and DONNY CITRA LESMANA. This thesis analyzed the optimal harvesting time for biological assets consisting of individuals with homogeneous and heterogeneous size. The optimal harvesting time was determined by maximizing the profit function, which was defined as difference between total biomass value and maintenance cost. In the homogeneous case, it was used the Richards growth model, which was a general model for monomolecular growth, as well as the logistic and Gompertz models. There were two species assumed living, one of the them followed the monomolecular growth model and the other followed the logistic model. The result showed that a species, which had the monomolecular growth model, gave an optimal harvesting time faster than the other, which had logistic growth model. The heterogeneous case used continuously of structured population model, which were initially proposed by Sinko and Streifer and had the form of a first order partial differential equation (PDE) for the evolution of the size distribution. An optimality condition of heterogeneous case is obtained and compared with the one known in the case of homogeneous size. If the size heterogeneity is taken into consideration, then under appropriate natural conditions for the biological and economic factors, the population with heterogeneity should be maintained longer compared to the recommendations obtained from the homogeneous models of the same culture. Keywords: growth model, homogeneous and heterogeneous initial size, optimal harvesting time.

RINGKASAN MUSTOPA. Model Matematika Penentuan Waktu Panen Optimal pada Populasi Ikan dengan Ukuran Awal Homogen dan Heterogen. Dibimbing oleh PAIAN SIANTURI dan DONNY CITRA LESMANA. Model fungsi pertumbuhan dari suatu spesies ikan dengan spesies lainnya dapat berbeda sesuai dengan karakteristik faktor-faktor yang mempengaruhi pertumbuhan masing-masing. Pola pertumbuhan suatu spesies pada umumnya mengikuti model pertumbuhan Richards. Richards adalah orang yang pertama kali menerapkan model pertumbuhan yang dibangun dalam model yang disebut model pertumbuhan Von Bertalanffy untuk menunjukkan pertumbuhan pada hewan (France & Thornley, 1984). Model pertumbuhan Richards merupakan model umum dari model pertumbuhan monomolekuler, logistik, Gompertz, dan model lainnya. Pola pertumbuhan yang berbeda dari setiap individu suatu spesies ikan yang sama merupakan fenomena alam yang dipengaruhi oleh beberapa faktor, seperti tingkah laku spesies, persaingan makanan dan keberagaman ukuran ikan yang membawa laju tingkat kematian yang lebih tinggi untuk ukuran ikan yang lebih kecil (Gasca et al, 2007). Faktor-faktor tersebut akan mengakibatkan bervariasinya pertumbuhan setiap individu sehingga berpengaruh terhadap waktu panen optimal. Penelitian ini bertujuan untuk menganalisis model matematika waktu panen optimal pada populasi ikan dengan ukuran awal homogen dan heterogen serta membandingkan waktu panen optimal kedua kultur tersebut. Waktu panen optimal ditentukan dengan memaksimumkan fungsi keuntungan yang merupakan selisih dari fungsi nilai jual ikan pada saat panen dengan fungsi biaya pemeliharaan. Untuk penyederhanaan, fungsi pertumbuhan ikan hanya bergantung pada peubah ukuran berat awal ikan, baik yang homogen maupun yang heterogen, sedangkan faktor-faktor lain seperti kondisi lahan, suhu, persaingan makanan dianggap faktor eksogen yang bernilai konstan. Model matematika waktu panen optimal pada populasi ikan dengan ukuran awal homogen artinya terdapat sejumlah ikan pada kolam dengan ukuran berat awal yang sama. Pada penelitian ini untuk kultur homogen diasumsikan terdapat dua jenis spesies dengan pola pertumbuhan yang berbeda, spesies pertama diasumsikan mengikuti model pertumbuhan monomolekuler dan spesies kedua diasumsikan mengikuti model pertumbuhan logistik. Hasil analisis fungsi keuntungan dari kedua jenis spesies ini diperoleh bahwa ukuran ikan pada saat panen optimal untuk spesies yang mengikuti model pertumbuhan monomolekuler lebih besar daripada spesies model pertumbuhan logistik, sedangkan waktu panen optimalnya lebih singkat. Untuk model dengan ukuran awal heterogen berarti terdapat perbedaan perkembangan ukuran pada waktu yang sama dalam suatu lahan. Persamaan diferensial yang sesuai dengan laju pertumbuhan ikan pada kasus heterogen adalah model Sinko dan Streifer. Pada penelitian ini diasumsikan ukuran awal ikan mengikuti fungsi sebaran seragam atau fungsi sebaran beta. Karena mengandung proses stokastik pada fungsi pertumbuhannya, maka dari analisis

waktu panen optimal kultur heterogen tidak dapat peroleh formula untuk waktu panen secara eksplisit, namun dari hasil analisis secara matematik dalam penelitian ini diperoleh indikasi bahwa waktu panen optimal kultur heterogen lebih besar dari waktu panen optimal kultur homogen. Kata kunci: model pertumbuhan, populasi dengan ukuran awal homogen dan heterogen, waktu panen optimal.

Hak Cipta milik IPB, tahun 2009 Hak Cipta dilindungi Undang-undang 1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber a. Pengutipan hanya boleh untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah, b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin IPB

MODEL MATEMATIKA PENENTUAN WAKTU PANEN OPTIMAL PADA POPULASI IKAN DENGAN UKURAN AWAL HOMOGEN DAN HETEROGEN M U S T O P A Tesis Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan SEKOLAH PASCA SARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009

Judul Tesis : Model Matematika Penentuan Waktu Panen Optimal pada Populasi Ikan dengan Ukuran Awal Homogen dan Heterogen Nama : M u s t o p a NRP : G551070111 Disetujui Komisi Pembimbing Dr. Paian Sianturi Ketua Donny C. Lesmana, S.Si., M.Fin.Math. Anggota Diketahui Ketua Program Studi Matematika Terapan Dekan Sekolah Pascasarjana Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S. Tanggal Ujian: 13 Agustus 2009 Tanggal Lulus:

PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan karunia-nya. Atas karunia-nya pulalah karya ilmiah ini dapat penulis selesaikan. Tema yang dipilih pada penelitian ini yang dilaksanakan sejak bulan Nopember 2008 adalah penentuan waktu panen optimal, dengan judul Model Matematika Penentuan Waktu Panen Optimal pada Populasi Ikan dengan Ukuran Awal Homogen dan Heterogen. Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada Bapak Dr. Paian Sianturi dan Bapak Donny Citra Lesmana, S.Si., M.Fin.Math., yang dengan penuh kesabaran telah memberikan bimbingan kepada penulis dalam merampungkan karya ilmiah ini. Terima kasih disampaikan kepada seluruh Staf Dosen Departemen Matematika IPB yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama penulis menjadi mahasiswa S2 Program Studi Matematika Terapan. Ungkapan terima kasih penulis sampaikan kepada Departemen Agama yang telah membiayai penulis selama menempuh pendidikan S2 di IPB. Tak lupa penulis sampaikan pula ungkapan terima kasih kepada istri, anak-anakku serta seluruh keluarga yang telah memberikan motivasi dan doa. Semoga kebaikan yang telah mereka berikan kepada penulis, mendapat balasan kebaikan yang berlipat dari Allah SWT. Bogor, Agustus 2009 M u s t o p a

RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 15 Agustus 1965 dari pasangan bapak Muhammad Udi dan ibu Nani Sumirah. Penulis merupakan putra ke sebelas dari duabelas bersaudara. Pada tahun 1985 penulis lulus dari SMA Negeri 5 Bogor. Pada tahun yang sama penulis diterima masuk IPB melalui jalur PMDK, setelah satu tahun mengikuti TPB penulis memilih jurusan Teknologi Industri Pertanian. Karena tuntutan bekerja dari keluarga, penulis memilih mengundurkan diri dari program S1 IPB dan bekerja di perusahaan swasta. Pada tahun 1997 penulis membantu mengajar matematika dan fisika di beberapa madrasah dan sekolah swasta. Seiring dengan tuntutan kualifikasi guru, pada tahun 2000 penulis menempuh pendidikan S1 program pendidikan matematika di STKIP PGRI Jakarta (sekarang bernama Universitas Indraprasta PGRI) dan lulus pada tahun 2004. Pada tahun yang sama penulis diangkat menjadi PNS sebagai guru matematika di MAN 1 sampai dengan sekarang. Pada tahun 2007 penulis mengikuti seleksi beasiswa S2 yang diadakan oleh Departemen Agama, dan alhamdulillah penulis diterima di Program Studi Matematika Terapan IPB. Setelah mengikuti masa perkuliahan selama dua tahun, penulis dapat menyelesaikan program studi ini pada bulan Agustus 2009.

DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL... DAFTAR GAMBAR... xi xii DAFTAR LAMPIRAN... xiii 1. PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang... 1 1.2. Tujuan Penelitian... 2 2. LANDASAN TEORI 2.1. Model Pertumbuhan... 3 2.2. Model Ekonomi Pemanenan... 7 2.3. Fungsi Kepadatan Peluang... 9 2.4. Deret Taylor... 11 3. MODEL MATEMATIKA 3.1. Fungsi Keuntungan Untuk Populasi Awal yang Berukuran Homogen... 12 3.2. Fungsi Keuntungan Untuk Populasi Awal yang Berukuran Heterogen... 13 4. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1. Penentuan Waktu Panen Optimal pada Populasi Awal Berukuran Homogen... 16 4.2. Penentuan Waktu Panen Optimal pada Populasi Awal Berukuran Heterogen... 23 4.3. Perbandingan Waktu Panen Optimal Populasi Awal dengan Ukuran Homogen dan Heterogen... 25 5. SIMPULAN DAN SARAN 5.1. Simpulan... 28 5.2. Saran... 28 DAFTAR PUSTAKA... 29 LAMPIRAN... 30

DAFTAR TABEL Halaman 1. Nilai Parameter (data Hipotetik)... 21 2. Ukuran dan waktu optimal model pertumbuhan monomolekuler dan logistik... 22

DAFTAR GAMBAR Halaman 1. Laju pertumbuhan model monomolekuler untuk nilai k = 0.02, 0.05 dan 0.1 serta ukuran maksimum (x f ) 1000... 4 2. Fungsi pertumbuhan model monomolekuler untuk nilai x 0 = 20, x f = 1000 serta nilai k masing-masing 0.02, 0.05 dan 0.1... 5 3. Laju pertumbuhan model logistik untuk nilai x f = 1000 serta nilai k masing-masing sebesar 0.02, 0.05 dan 0.1... 6 4. Fungsi pertumbuhan model logistik untuk nilai x 0 = 20, x f = 1000 serta nilai k sebesar 0.02, 0.05 dan 0.1... 7 5. Fungsi sebaran seragam dalam selang [2, 4]... 9 6. Fungsi sebaran beta untuk nilai α = 3 dan β = 2... 10 7. Sketsa diagram alur analisis.... 14

DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1. Bukti persamaan (4)... 30 2. Bukti persamaan (6)... 31 3. Bukti persamaan 8)... 32 4. Bukti Lema 1.... 33 5. Bukti Lema 2.... 34 6. Bukti Proposisi 1.... 35