7 BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Pemahaman Konsep Menurut Benyamin S. Bloom (dalam Siti, 2008 : 9) siswa dikatakan memahami sesuatu apabila siswa tersebut mengerti tentang sesuatu itu tetapi tahap mengertinya masih rendah. Kemampuan mengerti pada tahap ini misalnya mampu mengubah informasi ke dalam bentuk paralel yang lebih bermakna, memberikan interpretasi. Perbuatanya itu dilakukan atas perintah tanpa ada kaitannya dengan yang lain atau melihat kegunaanya. Sedangkan menurut Zulaiha (2006: 19), hasil belajar yang dinilai dalam mata pelajaran matematika ada tiga aspek. Tiga aspek itu adalah pemahaman konsep, penalaran dan komunikasi, serta pemecahan masalah. Ketiga aspek tersebut bisa dinilai dengan menggunakan penilaian tertulis, penilaian kinerja, penilaian produk, penilaian proyek, maupun penilaian portofolio. Pemahaman konsep menurut Rosser (dalam Somantri, 2010) adalah suatu konsep abstraksi yang mewakili suatu kelas objek-objek, kejadian-kejadian atau hubungan-hubungan yang mempunyai atribut yang sama. Jadi pemahaman konsep dapat diartikan tingkat kemampuan untuk menangkap dan menguasai lebih dalam lagi sejumlah fakta yang mempunyai keterkaitan dengan makna tertentu. Kemampuan pemahaman matematis adalah salah satu tujuan penting dalam pem-belajaran, memberikan pengertian bahwa materi-materi yang diajarkan kepada siswa bukan hanya sebagai hafalan, namun lebih dari itu. Dengan pemahaman siswa dapat lebih mengerti akan konsep materi pelajaran itu sendiri. Pemahaman matematis
8 juga merupakan salah satu tujuan dari setiap materi yang disampaikan oleh guru, sebab guru merupakan pembimbing siswa untuk mencapai konsep yang diharapkan. Hal ini sesuai dengan Hudoyo (dalam Siti, 2008) yang menyatakan tujuan mengajar adalah agar pengetahuan yang disampaikan dapat dipahami peserta didik. B. Konsep Bilangan Bulat Jika k bilangan asli maka - k didefinisikan sebagai bilangan yang tunggal, sehingga k + k = -k + k = 0. Dari definisi tersebut (-2) merupakan satu-satunya bilangan yang bila ditambah dengan 2 menghasilkan 0, (-50) merupakan satu-satunya bilangan, bila ditambah 50 menghasilkan bilangan 0. Dengan demikian secara umum -k merupakan satu satunya bilangan bila ditambah dengan k menghasilkan 0, untuk k bilangan asli Bilangan -k disebut invers dari k atau invers aditif dari k, atau lawan dari k, atau negatif k. Selanjutnya bila kita gabungkan antara {...,-k, -4, -3, -2, -1) dengan bilangan asli dan {0), maka disebut dengan bilangan bulat. Dengan demikian bilangan bulat itu adalah {...,-4,-3,-2,-l, 0, 1,2,3,4,...). Selanjutnya dari bilangan bulat itu berarti ada himpunan bilangan asli yang merupakan himpunan bagian dari himpunan bilangan bulat yang disebut dengan himpunan bilangan bulat positif, ditulis 1, 2, 3, 4,... ( 0 ) dan himpunan bilangan bulat negatif yang ditulis.., -4, -3, -2, -1 ).
9 C. Operasi dan Sifat-Sifat Penjumlahan Bilangan Bulat operasi penjumlahan bilangan bulat : 1. penjumlahan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif. Untuk operasi penjumlahan bilangan bulat yang kedua-duanya positif sama saja dengan penjumlahan pada bilangan cacah. 2. penjumlahan bilangan bulat yang salah satunya bilangan bulat negatif atau kedua-duanya negatif, maka operasi penjumlahan berlaku : Gambar 2.1: Garis Bilangan a. -a + -b = - (a + b) jika a dan b bilangan bulat tak negatif b. a + (-b) a - b jika a dan b bilangan tak negatif serta a > b c. a + ( -b ) = 0 jika a dan b adalah bilangan bulat tak negatif dan a = b d. a + (-b) = -(b - a) jika a dan b adalah bilangan bulat tak negatif dan a < b Kondisi diatas kalau kita masukan kedalam contoh adalah sebagai berikut : 1. -3 + -5 = - (3 + 5) = -8 2. 7 + (-4) = 7-4 = 3 3. 8 + (-8) = 0 4. 3 + (-7) = - (7-3) = -4
10 Penjumlahan bilangan bulat mempunyai beberapa sifat yaitu : 1. Sifat tertutup jika a dan b bilangan bulat, maka a + b juga bilangan bulat. Contoh : 5 bilangan bulat, 7 bilangan bulat. 5 + 7 = 12 dan 12 juga bilangan bulat 2. Sifat pertukaran Jika a dan b bilangan bulat maka a ± b = b ± a contoh : 5 bilangan bulat, 9 bilangan bulat, maka 5 + 9 = 9 + 5 3. Sifat pengelompokan Jika a, b, c bilangan bulat maka ( a + b ) + c = a + ( b + c) Contoh : 5, l dan 3 adalah bilangan bulat, maka (5+7)+3=5+(7+3) 4. Sifat adanya unsur identitas Ada bilangan 0 yang bersifat a - + 0 = 0 + a = a Contoh : 9 + 0 = 0 + 9 = 9 5. sifat adanya invers penjumlahan Untuk setiap bilangan bulat a, ada bilangan bulat b sehingga a + b = b + a = 0, bilangan b disebut invers atau lawan dari bilangan a dan biasanya dinyatakan dengan lambang -a. Contoh 5 + ( -5 ) = 0, maka bilangan -5 merupakan invers atau lawan bilangan 5. 6. Sifat ketertambahan Jika a, b, dan c bilangan bulat, a b, maka a + c = b + c Contoh : 4 + 5 = 4 + 5
11 7. sifat konselasi Jika a, b dan c bilangan bulat, dan a + c = b + c maka a = b Contoh : 3 + 8 = 3 + 8 maka 3 = 3 D. Operasi Pengurangan Dalam Bilangan Bulat Definisi : Untuk p dan q bilangan bulat selisih atau pengurangan q dari p (ditulis p - q) adalah bilangan bulat r jika dan hanya jika p = q + r Dari definisi diatas kita bisa memberikan contoh : 1. 5 3 = 2, sebab 5 = 3 + 2 2. 5 7 = -2, sebab 5 = 7 + (-2) 3. (-4) -3 = -7, sebab -4 = 3 + (-7) 4. (-6) - (-2) = -4, sebab (-6) = (-2) + (-4) Pengurangan bilangan bulat juga dapat diimplikasikan dengan garis bilangan. Pengurangan dipikirkan sebagai invers penjumlahan. Contoh 1 : 3 2 = 1
12 Contoh 2 : 5-7 = -2 Contoh : 3 : (-4) (-5) = 1 E. Pembelajaran Bilangan Bulat Proses pembelajaran akan berhasil dengan baik apabila guru membuat perencanaan dengan pertimbangan aspek siswa, materi, uraian sajian materi, rangkaian proses berpikir dan keterampilan siswa, serta metode penilaian yang sesuai. Perencanaan yang dibuat guru bertujuan untuk memberi kemudahan kepada siswa untuk mencapai sasaran yang diinginkan. Dalam proses kegiatan pembelajaran sebaiknya siswa melakukan berbagai kegiatan sebagai : mengalami, melakukan, mencari dan menemukan sendiri konsep yang dipelajari serta pemecahan masalah dari persoalan yang dihadapi. Berikut ini salah satu contoh rencana pembelajaran penerapan bilangan bulat positif dan negatif dalam kehidupan sehari-hari (rencana pembelajaran untuk siklus l tindakan l).
13 1. Kegiatan Awal a. Guru mengarahkan siswa kearah pembelajaran yang kondusif b. Guru memberikan stimulus yang berhubungan dengan bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif. 2. Kegiatan Inti a. Guru memberikan LKS untuk dikerjakan oleh siswa. b. Guni membimbing siswa dalam mengerjakan LKS. c. Siswa mengumpulkan LKS, berupa pernyataan yang menggunakan bilangan bulat positif dan bilangan bulat negatif 3. Kegiatan Akhir a. Guru dan siswa mengerjakan LKS. b. Penilaian c. Penilaian diambil dari hasil kegiatan belajar siswa dalam LKS. d. Tes akhir F. Matematika di Sekolah Dasar Pelajaran matematika merupakan bidang studi wajib pada tingkat SD (Sekolah Dasar). Hal ini dikarenakan betapa pentingnya peran matematika dalam aplikasi pada kehidupan sehari-hari. Namun dalam kenyataan seringkali siswa mengalami kesulitan dalam menggunakan ide-ide dasar, konsep-konsep matematika dalam kehidupan sehari-hari. Hal ini disebabkan karena pembelajaran matematika selama ini hanya menekankan pada hasil dan bukan pada prosesnya.
14 Matematika pada Kurikulum 2004 (Depdiknas, 2003 : 5) dinyatakan sebagai suatu bahan kajian yang memiliki objek abstrak dan dibangun melalui proses penalaran deduktif, yaitu kebenaran suatu konsep diperoleh sebagai akibat logis dari kebenaran sebelumnya sehingga keterkaitan antar konsep dalam matematika bersifat sangat kuat dan jelas. Dalam kurikulum 2004 mata pelajaran matematika (Depdiknas, 2003 : 6) bahwa matematika berfungsi untuk mengembangkan kemampuan bernalar melalui kegiatan penyelidikan, eksplorasi, dan eksperimen, sebagai alat pemecahan masalah melalui pola pikir dari model matematika, serta sebagai alat komunikasi melalui simbol, tabel, grafik, diagram, dalam menjelaskan gagasan. Bagi siswa sekolah dasar belajar matematika itu sangat penting karena dapat diaplikasikan atau dapat dipraktekkan secara langsung dalam kehidupan sehari-hari. Di samping itu juga belajar matematika di sekolah dasar merupakan langkah pertama untuk belajar matematika di tingkat lanjutan. Karena matematika di sekolah dasar merupakan prasyarat untuk belajar matematika di tingkat yang lebih tinggi. Dalam Kurikulurn Berbasis Kompetensi mata pelajaran matematika (Depdiknas, 2003 : 6) disebutkan bahwa tujuan pembelajaran matematika pada jenjang pendidikan dasar, yaitu : (1) melatih siswa bagaimana cara berpikir dan bernalar dalam menarik kesimpulan, misalnya melalui kegiatan penyelidikan, eksplorasi, eksperimen, menunjukkan kesamaan, perbedaan, konsisten, dan inkonsistensi, (2) mengembangkan aktivitas kreatif yang melibatkan imajinasi, intuisi, dan penemuan dengan mengembangkan pemikiran orisimi, rasa ingin tahu, membuat prediksi dan dugaan, serta mencoba-coba, (3) mengembangkan
15 kemampuan siswa dalam memecahkan berbagai permasalahan matematika, (4) mengembangkan kemampuan menyampaikan informasi atau mengkomunikasikan gagasan antara lain melalui pembicaraan lisan, catatan, grafik, peta, diagram, dalam menjelaskan gagasan.. Tujuan umum dibebankannya matematika pada jenjang pendidikan dasar seperti yang dikemukakan dalam kurikulum pendidikan dasar 1994 (dalam Hidayat, 2005) adalah: 1. mempersiapkan siswa untuk menghadapi tantangan perubahan keadaan saat ini yang selalu berkembang, melalui latihan bertindak atas dasar pemikiran secara logis, rasional, kritis, cermat, jujur, dan efektif 2. mempersiapkan siswa agar mampu menerapkan matematika dan pola pikir matematika dalam kehidupan sehari-hari, dan dalam mempelajari berbagai ilmu pengetahuan. Agar tujuan itu dapat tercapai, maka harus dilakukan berbagai macam kegiatan pembelajaran matematika, baik dari segi pendekatan, strategi belajar mengajar, maupun metode mangajar yang digunakan. Kegiatan-kegiatan tersebut harus dapat menunjang tercapainya tujuan yang diharapkan. Tujuan tersebut dianggap tercapal bila siswa telah memiliki sejumlah kemampuan di bidang matematika. G. Pendekatan Realistik Pendekatan realistik adalah proses pembelajaran matematika yang menggunakan konteks dunia nyata sebagai titik awal pembelajaran dan mengutamakan keaktifan siswa selama proses pembelajaran.
16 Pengembangan pembelajaran matematika dengan pendekatan realistik ini merupakan salah satu usaha untuk meningkatan kemampuan siswa memahami matematika. Dengan menggunakan pendekatan realistik, seperti yang dilaporkan dalam sebuah penelitian yang dilakukan oleh Turmudi, 2000 (dalam MKPBM, Tim, 2001, h.131) bahwa pembelajaran matematika berdasarkan realistik telah mengubah sikap siswa menjadi lebih tertarik terhadap matematika, dan siswa pada umumnya menyenangi matematika karena cara belajarnya berbeda dari biasanya, pertanyaanpertanyaannya menantang, adanya pertanyaan-pertanyaan tambahan sehingga menambah wawasan dan lebih mudah mempelajarinya karena persoalannya menyangkut kehidupan sehari-hari (siswa tidak asing terhadap konteks yang diberikan). Demikian juga dengan hasil laporan beberapa penelitian matematika yang menggunakan pendekatan realistik, telah menghasilkan adanya perubahan positif setelah dilakukannya pembelajaran matematika dengan pendekatan ini. Diantaranya yaitu dengan suasana belajar yang interaktif siswa dapat aktif dalam belajar matematika di kelas, siswa dapat mengetahui bermacam-macam cara dalam mengerjakan soal dan siswa lebih termotivasi serta bersemangat dalam belajar matematika. Oleh karena itu,pendekatan realistik merupakan salah satu pendekatan yang cocok untuk disampaikan pada siswa sekolah dasar. Begitu pula penelitian yang dilakukan Armanto, 2002 (dalam Siti, 2010 : 31) tentang pengembangan alur pembelajaran lokal topik perkalian dan pembagian dengan pendekatan realistik di SD di dua kota, Yogyakarta dan Medan, menunjukan bahwa siswa dapat membangun pemahaman tentang perkalian dan pembagian dengan menggunakan strategi penjumlahan dan pembagian berulang.
17 Penelitian Armanto, 2002 (dalam Siti, 2010 : 31) juga menunjukan bahwa siswa belajar perkalian dan pembagian secara aktif membangun pemahaman mereka sendiri dengan menggunakan strategi penemuan kembali, dan mendapatkan hasil (menyelesaikan soal) baik secara individu maupun kelompok. Kesempatan siswa untuk belajar dalam situasi yang berbeda-beda mendorong mereka merumuskan kembali proses belajar mereka. Selama proses belajar siswa menunjukan kemajuan yang signifikan dalam belajar perkalian dan pembagian bilangan multi-angka. Penelitian yang lain telah dilakukan Fauzan, 2002 (dalam Siti, 2010 : 32) tentang implementasi materi pembelajaran realistik untuk topik luas dan keliling di kelas 4 sekolah dasar di Surabaya menunjukan bahwa materi PMR dapat digunakan dalam pembelajaran matematika di SD. Dalam penelitian tersebut Fauzan, 2002 (dalam Siti, 2010 : 32) menemukan bahwa para guru dan siswa-siswa menyukai materi pembelajaran matematika dengan pendekatan PMR, yaitu menurut mereka materi tersebut sangat berbeda dengan buku yang dipakai sekarang baik dari segi isi maupun pendekatannya. Dalam pembelajaran matematika selama ini, dunia nyata hanya dijadikan tempat mengaplikasikan konsep. Siswa mengalami kesulitan matematika di kelas, akibatnya siswa kurang menghayati atau memahami konsep-konsep matematika dan siswa mengalami kesulitan untuk mengaplikasikan matematika dalam kehidupan sehari-hari. Salah satu pembelajaran matematika yang berorientasi pada matematisasi pengalaman sehari-hari dan menerapkan matematika dalam kehidupan sehari-hari adalah pembelajaran matematika realistik.
18 adalah pendekatan pembelajaran matematika yang berdasarkan pandangan kontruktivistik Yaitu proses belajar matematika yang memberi keleluasaan kepada siswa tentang konsep-konsep matematika melalui konteks (Kontekstual Problem). Konteks diterjemahkan siswa kedalam model-model matematika sebagai jembatan untuk menghantarkan siswa sampai ke memahami konsep-konsep formal. Tahap belajar mengajar dengan pendekatan realistik, pertama guru menyajikan konteks (Kontesktual Problem) yaitu sebuah masalah situasi nyata yang dikenal dan dipahami siswa. Melalui konteks yang dikenal dan dipahami, siswa diharapkan termotivasi untuk membuat representasi bentuk model, baik model tingkat rendah berupa reprentasi sederhana situasi konteks tingkat tinggi berupa model yang mirip dengan konsep personal, tetapi bentuknya masih belum formal tahap membuat model-model ini yang disebut sebagai matematisasi horizontal. Ketika siswa membuat model formal sehingga sampai menemukan konsep formalnya, maka tahap ini disebut matematisasi vertikal. Pada pembelajaran matematika dengan pendekatan realistik guru tidak boleh menjelaskan, menerangkan. Guru sebagai fasilitator, membimbing atau mengarahkan melalui pertanyaan-pertanyaan untuk mengiring siswa sampai menemukan konsep (guide reinvormation). Ada lima ciri pembelajaran dengan pendekatan matematika realistik yaitu : 1 menggunakan konteks, 2) siswa menggunakan model-model, 3) siswa memproduksi dan mengkontruksi model-model, 4) pembelajaranya interaktif dan 5) terjadi proses keterhubungan antara konsep atau antar pokok bahasan (intertwinment)