ISBN

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika SNMPM 6 Strategi Mengembangkan Kualitas Pembelajaran Matematika Berbasis Riset Prodi Pendidikan

PROSIDING SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA STRATEGI MENGEMBANGKAN KUALITAS PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS RISET CIREBON, 6 FEBRUARI 2016 Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika SNMPM 6 Strategi Mengembangkan Kualitas Pembelajaran Matematika Berbasis Riset Prodi Pendidikan

Tim Prosiding Seminar Nasional Matematika Pendidikan Matematika Tim Reviewer : Dr. H. Ena Suhena Praja, M.Pd Cita Dwi Rosita, M.Pd Anggita Maharani, M.Pd Tonah, M.Si Ika Wahyuni, S.Si., M.Pd Ferry Ferdianto, ST., M.Pd Wahyu Hartono, M.Si Laelasari, M.Pd M. Subali Noto, S.Si., M.Pd Toto Subroto, S.Si., M.Pd M. Dadan Sundawan, M.Pd Fahrudin Muhtarulloh, S.Si., M.Sc Surya Amami P., M.Si., Editor : Toto Subroto, S.Si., M.Pd Fahrudin Muhtarulloh, S.Si., M.Sc Tri Nopriana, M.Pd Sri Asnawati, M.Pd Penyunting: Toto Subroto, S.Si., M.Pd ISBN: 978-602-71252-1-6 Link : http://goo.gl/6fdpe5 Penerbit: FKIP Unswagati Press Redaksi: Jl. Perjuangan No 1 Cirebon Kampus 2 Unswagati Cirebon Telp. (0231) 482115 Fax (0231) 487249 Email: fkipunswagatipress@unswagati.ac.id Hak cipta dilindungi undang-undang Dilarang memperbanyak karya tulis ini dengan bentuk dan cara apapun tanpa ijin penerbit Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika SNMPM 6 Strategi Mengembangkan Kualitas Pembelajaran Matematika Berbasis Riset Prodi Pendidikan

i Sambutan Ketua Panitia Assalamu alaikum Wr.Wb. Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Program studi (prodi) di Pendidikan Matematika FKIP Unswagati telah dilaksanakan pada tanggal 6 Februari 2016. Seminar tersebut ditindaklanjuti dengan menerbitkan prosiding sebagai bukti otentik telah berlangsungnya komunikasi dan sharing gagasan ilmiah dari berbagai kalangan yang bersifat nasional. Prosiding ini diharapkan dapat membantu dan bermanfaat bagi semua insan pendidikan khususnya yang berkiprah dalam pengembangan profesi. Tema Strategi Mengembangkan Kualitas Pembelajaran Matematika Berbasis Riset sangat tepat dipilih untuk memberikan sumbangan dalam peningkatan kompetensi pada pengembangan profesi sebagai peneliti, dosen, dan guru serta profesi lainnya. Ketua Panitia menyampaikan penghargaan kepada para pembicara utama, pemakalah, peserta, dan panitia Seminar Nasional Matematika 2016 yang telah mendukung penyelenggaraan kegiatan ini. Kegiatan seminar ini sangat penting diadakan selain untuk pengembangan pribadi dan institusi sekaligus juga untuk menjalin komunikasi ilmiah antar peneliti, dosen, guru, dan praktisi pendidikan dalam rangka memperbaiki pendidikan serta kemajuan bangsa pada umumnya. Akhirnya saya berharap semoga dengan terbitnya prosiding ini dapat bermanfaat dalam rangka membangun insan profesional berkarakter kuat dan cerdas. Amin. Sebagai akhir kata Wabillahi taufiq wal hidayah wassalamu alaikum Wr. Wb. Ketua Panitia Seminar Nasional Dr. H. Ena Suhena Praja, M.Pd NIP. 19570531 198303 1001 DAFTAR ISI Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika SNMPM 6 Strategi Mengembangkan Kualitas Pembelajaran Matematika Berbasis Riset Program studi Pendidikan

ii Sambutan Ketua Panitia i Daftar Isi ii Kode Nama Judul Hal. P1 Didi Suryadi Didactical Design Research (DDR): Upaya Membangun Kemandirian Berpikir Melalui Penelitian Pembelajaran 1 P2 Widodo Strategi Pengembangan Pembelajaran Berbasis Riset Dan Implementasinya Dalam Pembelajaran Matematika P3 A.K Uswatun Hasanah Problematika Penerapan Model Pembelajaran Kooperatif Tipe Jigsaw Dan Alternatif Penyelesaian Pada PembelajaranMatematika 14 29 P4 Dedek Kustiawati Pembelajaran Aljabar Linear Berbantuan Perangkat Lunak Software Algeberator 4.02 37 P5 Abdul Muin 1), Damayanti 2) Upaya Meningkatkan Pemahaman Konsep MatematikaSiswa Melalui Teknik Scaffolding 61 P6 P7 Ika Wahyuni 1), Ade Tia Ariyani 2) Ena Suhena Praja Efektifitas Model Pembelajaran Scramble Berbantuan CD Pembelajaran Terhadap Motivasi Dan Kemampuan Pemahaman Matematis Siswa SMA Penerapan Strategi REACT dalam Pembelajaran Matematika 78 90 P8 Georgina Maria Tinungki Implementasi Pembelajaran Kooperatif Tipe Team Assested Individualization Untuk Meningkatkan Self Proficiency Mahasiswa P9 Abdul Mujib Pengembangan Kemampuan Pembuktian DalamMatematika Diskrit Menggunakan Pengajaran Berbasis DNR 111 122 P10 Adang Effendi Pembelajaran Matematika Dengan Model QuantumUntuk Meningkatkan Kemampuan 139 Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika SNMPM 6 Strategi Mengembangkan Kualitas Pembelajaran Matematika Berbasis Riset Program studi Pendidikan

vi Kemampuan Siswa Menyelesaikan Masalah Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Di Kelas VIII F SMPN 1 Bulakamba Tahun 2013/2014 P41 Hasan Hamid Evaluasi Bagian Formal-Rhetorical Dan Problem-Centered Dari Bukti Matematis P42 Hetty Perbandingan Kemampuan Berpikir Kritis Patmawati Matematis Peserta Didik Antara Yang Menggunakan Model Discovery Learning Dan Problem Based Learning P43 Hj. Epon Nur aeni L 1), Muhammad Rijal Wahid Muharram 2) Desain Didaktis Kemampuan Pemahaman Matematis Siswa Pada Materi Balok Dan Kubus Di Kelas IV Sekolah Dasar P44 Ida Nuraida Analisis Kurikulum Matematika Sekolah Menengah Indonesia Dan Singapura Kaitannya Dengan Kompetensi Guru Matematika P45 In In Supianti Self Regulated Learning Mahasiswa Pendidikan Matematika P46 Imam Penerapan Analisa Time Series Terhadap Nilai Nulhakim 1), Matematika Di SMAN 3 Cimahi Pattahuddin 2), Kamaruddin 3) P47 Inri Rahmawati P48 Setiyani 1), Anggita Maharani 2),Nu rulikhsan Karimah 3) P49 P50 Imam Nulhakim 1), Oki Neswan 2) Herri Sulaeman 1), Pengaruh Pembelajaran Inkuiri Model Silver Terhadap Kemampuan Pemecahan Masalah Matematis Siswa SMP Implementasi Pembelajaran Berbasis Masalah Terhadap Kemampuan Representasi Matematis Mahasiswa Tingkat1 Pada Perkuliahan Statistika Dasar Di FKIP Unswagati Cirebon 577 587 598 614 630 643 652 664 Masalah Billiar Al HassanUntuk Jajaran Genjang 678 Kajian Model Eksponensial dan Logistik dengan Contoh Aplikasinya pada Pertumbuhan Populasi 685 Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika SNMPM 6 Strategi Mengembangkan Kualitas Pembelajaran Matematika Berbasis Riset Program studi Pendidikan

685 KAJIAN MODEL MATEMATIKA EKSPONENSIAL DAN LOGISTIK DENGAN CONTOH APLIKASINYA PADA PERTUMBUHAN POPULASI BAKTERI PANTOEA AGGLOMERANSDI MEDIUM LURIA BERTANI CAIR SISTEM BATCH CULTURE P50 Herri Sulaiman 1, Dian Permana Putri 2 Pendidikan Matematika FKIP Universitas Swadaya Gunung Jati Cirebon 1 hs_msc@yahoo.com Abstrak Pertumbuhan populasi disebut juga sebagai dinamika pertumbuhan populasi. Dalam menggambarkan dinamika pertumbuhan populasi yang terjadi pada makhluk hidup, sangat diperlukan suatu analisis yang mengacu pada pendekatan matematis. Salah satu model yang dipakai untuk menganalisis pertumbuhan dinamika pertumbuhan populasi tersebut adalah model eksponensial dan logistik, dimana pemodelannya menggunakan pendekatan matematis dengan asumsi yang menyesuaikan pada pola pertumbuhan bakteri, dimana individu-individu di dalam populasi seragam dengan laju reproduksi yang tetap sepanjang waktu. Model pertumbuhan bakteri dikonstruksikan dari suatu model matematika. Sebelum mengkonstruksikan model matematika diperlukan terlebih dahulu teori-teori dari fungsi eksponensial, turunan serta teori-teori lain yang mendukung. Penelitian ini dilakukan untuk menerapkan model matematika eksponensial dan logistik pada pertumbuhan populasi bakteri Pantoea Agglomerans yang ditumbuhkan dalam media luria bertani cair. Data populasi bakteri yang digunakan merupakan hasil pengukuran kekeruhan (optical density) menggunakan spektrofotometri dengan panjang gelombang 420 nm dimana teknik analisis data menggunakan bantuan softwere MAPPLE versi 15. Berdasarkan tabel dan grafik/plot dari pertumbuhan tingkat kekeruhan populasi bakteri dapat disimpulkan bahwa model matematika yang lebih mampu memberikan gambaran objeknya adalah model logistik, karena untuk waktu yang tak terbatas model logistiklah yang menyerupai objeknya, disamping itu kurva model eksponensial selalu naik sampai tak terhingga dan tidak sebanding dengan jumlah nutrien/makanan yang tetap. Kata kunci: model eksponensial, model logistik, medium luria bertani cair

686 A. PENDAHULUAN Biologi ialah ilmu yang mengkaji objek berupa makhluk hidup, baik makhluk hidup satu sel, perkembangan individu/sekelompok makhluk hidup beserta lingkungannya (ekologi), serta perkembangan suatu populasi tertentu. Di dalam ilmu biologi, matematika sangatlah berperan untuk menyusun model matematika. Dengan model matematika ini dapat diperoleh gambaran mengenai objek, serta kemungkinan-kemungkinan yang akan terjadi di masa depan. Model pertumbuhan populasi bakteri sedikit memberikan gambaran tentang dinamika populasi. Bakteri tanah daerah perakaran yang digunakan pada penelitian ini adalah bakteri Pantoea agglomerans yang diambil dari perakaran tanaman alangalang (Imperata cylindrica). Hal ini dikarenakan bakteri ini mampu berinteraksi dengan tanaman, selain itu bakteri ini merupakan salah satu bakteri yang tahan pada daerah kering dan mengandung kadar garam yang cukup tinggi. Setelah diisolasi bakteri ini ditumbuhkan pada medium Luria Bertani (LB) cair, yang mana medium LB ini kaya akan nutrien sehingga membantu mempercepat pertumbuhan bakteri. Salah satu manfaat model matematika pada pertumbuhan populasi bakteri Pantoea agglomerans adalah untuk mengetahui bagaimana pertumbuhan populasinya, memprediksi bagaimana kelanjutan pertumbuhannya, dan menjawab apakah pertumbuhannya eksponensial, konstan, atau bisa jadi populasinya menurun hingga mendekati titik nol. Merujuk pada manfaat model matematika dan tinjauan pustaka yang telah penulis telusuri, tidak ditemukannya adanya sebuah karya tulis ilmiah secara khusus membahas tentang pertumbuhan populasi bakteri Pantoea agglomerans pada medium LB. Oleh karena itu, penulis termotivasi untuk mengkaji lebih lanjut tentang masalah pertumbuhan populasi bakteri Pantoea agglomerans ini.

687 B. LANDASAN TEORI 2.1. MODEL EKSPONENSIAL Masih dalam konteks pembahasan mengenai populasi hipotetik (proses kelahiran murni), dengan penyediaan nutrien yang sesuai dengan jumlah yang cukup, pertumbuhan bakteri yang berasal dari beberapa individu dan pada populasi awal dapat diamati selama 40 jam, masing-masing individu (sel) bakteri setiap jam berkembang biak menjadi dua, sehingga selanjutnya menjadi beberapa individu bakteri. Dengan melambangkan : =kerapatan populasi atau banyaknya bakteri pada saat pengamatan dimulai (periode awal = 0 ) atau generasi awal. =kerapatan populasi pada waktu ke-. Model pertumbuhan bakteri ini dapat dinyatakan dalam persamaan : = (2.1) Model pertumbuhan (2.1) disusun berdasarkan beberapa asumsi yaitu : 1. Nutrien bagi bakteri tersedia dalam jumlah yang cukup. 2. Ruangan hidup selalu mencukupi untuk perkembangbiakan. 3. Keadaan lingkungan seperti suhu dan kelembapan dalam keadaan konstan. 4. Bakteri berkembangbiak teratur setiap jam, sehingga tidak terjadi senjang waktu (time lag) bagi mikroorganisme untuk membelah, misalnya karena belum cukup dewasa atau belum waktunya untuk bereproduksi. 5. Kematian dalam populasi tidak terjadi sehingga populasi dari waktu ke waktu terus meningkat. 6. Perkembangan bakteri setiap jam dinyatakan dengan notasi yaitu pembelahan setiap individu menjadi dua individu yang baru atau = per satuan waktu (jam) (Tarumingkeng, 1994:29). Sehingga model (2.1)dapat dinyatakan sebagai : = (2.2)

688 Karena = maka untuk pada model (2.2)menjadi : = 1 =, =. Lebih lanjut jika digunakan bilangan euler ( =, maka dapat ditulis persamaan = dengan = ln. Jika = = maka = ln = 0,. Sehingga model (2.2) dapat dirumuskan menjadi : atau ln = ln +. = t Persamaan ini adalah persamaan garis lurus yang memiliki kemiringan dan intersep 0. Jika nilai dinyatakan dengan 1 ) dan, maka dapat dinyatakan sebagai : = ln ln 1 1 Sehingga untuk pertumbuhan mikroorganisme di persamaan (2.2) dapat dirumuskan : = t atau secara umum = (2.3) Berdasarkan asumsi di atas laju pertumbuhan populasi adalah konstan. Lebih lanjut diperoleh model eksponensial yang lain yaitu : =.(2.4) Ruas kiri dari persamaan di atas diartikan sebagai laju pertumbuhan perkapita, sehingga persamaan di atas dapat ditulis sebagai : = (2.5) Hal ini berarti laju pertumbuhan populasi pada waktu sebanding atau berbanding lurus dengan ukuran populasi pada waktu. Sedangkan merupakan konstanta kesebandingan. Persamaan (2.5) adalah persamaan diferensial orde pertama, sedangkan solusi persamaan diferensial ini adalah persamaan (2.3), dengan kata lain

689 persamaan (2.3) merupakan bentuk integral dari persamaan (2.5). Jadi keduanya adalah sama dan inilah yang disebut persamaan (model) pertumbuhan eksponensial (Hasibuan, 1988: 14). 2.2 MODEL LOGISTIK Model pertumbuhan populasi yang dijelaskan pada sub-bab (2.1) bersifat hipotetik dengan berbagai asumsi yang tidak realistis, antara lain nutrien yang tersedia tidak terbatas (selalu tersedia nutrien dan ruangan yang cukup untuk mendukung berapapun ukuran populasi) dan individu-individu baru yang dilahirkan tidak pernah mati. Asumsi-asumsi ini kemudian ditinggalkan dengan mejelaskan keadaan yang lebih realistis. Model eksponensial diterapkan untuk waktu yang tidak terbatas, tetapi dengan sumber-sumber terbatas sehingga keadaan menjadi tidak realistis. Karena tidak memperhatikan faktor-faktor lain yang mempengaruhi pertumbuhan populasi seperti kerapatan, nutrien, dan sebagainya. Pertumbuhan yang tidak terpaut kerapatan diasumsikan berlaku model pertumbuhan Malthus dengan laju pertumbuhan yaitu : =, (2.6) atau dengan : =, = Kerapatan populasi atau banyaknya bakteri pada waktu jam. = Kerapatan populasi atau banyaknya bakteri mula-mula. = Laju pertumbuhan populasi. = Waktu ke- (jam). Model logistik disusun berdasarkan asumsi-asumsi di bawah ini : 1. Populasi akan mencapai keseimbangan (equilibrium) dengan lingkungan, sehingga memiliki sebaran umur stabil (stable age distribution).

690 2. Populasi memiliki laju pertumbuhan yang secara berangsur-angsur menurun secara tetap dengan konstanta. 3. Pengaruh terhadap peningkatan kerapatan karena tumbuhnya populasi merupakan respons seketika itu juga (instantaneous) dan tidak terdapat penundaan atau senjang waktu (time lag). 4. Sepanjang waktu pertumbuhan keadaan lingkungan tidak berubah. 5. Pengaruh kerapatan adalah sama terhadap semua tingkat umur populasi. 6. Peluang untuk berkembang biak tidak dipengaruhi oleh kerapatan. Dengan perjalanan waktu, tumbuh semakin besar sehingga persaiangan antar individu dalam populasi (ruang, nutrien, dsb) semakin meningkat pula dan pertumbuhan populasi semakin terhambat. Hal ini mengakibatkan semakin menurun dan berhenti tumbuh = 0 pada saat daya dukung dicapai. Untuk mengakomodasi faktor berkurangnya daya dukung akibat pertumbuhan, model Malthus = perlu dimodifikasi. Selanjutnya diasumsikan bahwa adalah fungsi linear dimana merupakan faktor penurunan proporsional (Tarumingkeng, 1994: 45). = dengan, > 0 dan > 0. (2.7) Dari persamaan (2.7)diperoleh : =, =. (2.8) Persamaan ini disebut model logistik atau model Verhulst-pearl (Hasibuan, 1988: 23). Persamaan (2.8)merupakan Persamaan Diferensial Biasa (PDB) order satu, sehingga dapat dicari solusinya dengan melakukan pemisahan peubah (separabel) terlebih dahulu, kemudian diintegralkan dari kedua ruas persamaan, sehingga diperoleh :

691 =, (2.9) = +, ( + ) =, ln ln = +, ln = + 1, =. (2.10) Dengan = dan sebagai konstanta integrasi. Jika konstanta = maka persamaan (2.10)diperoleh : = 1+ =, = + =, = +, = + 1,. (2.11) Konstanta pada persamaan (2.11) dapat dihitung berdasarkan persamaan : = (2.12) Jika = 0 maka = sehingga persamaan (2.12)menjadi : = = dengan = 0 (2.13) Karena = sehingga persamaan (2.13)diperoleh :

692 =. Jadi dari persamaan (2.11)diperoleh : =, (2.14) 1+ Dengan adalah daya dukung lingkungan atau batas atas ukuran populasi yang dapat didukung oleh sumber daya yang tersedia. 2.3. Data Pendugaan Pertumbuhan Tingkat Kekeruhan BakteriPantoeaAgglomeransdengan model eksponensial, logistik serta data yang sesungguhnya. Berikut ini diberikan Tabel 2.1 untuk data pertumbuhan tingkat kekeruhan bakteri Pantoea agglomerans menggunakan model eksponensial, model logistik serta data yang sesungguhnya. (Sholihah, Jumailatus: 2010) Kesalahan % Kesalahan Kesalahan % Kesalahan 0 0.1 0.1 0 0 0.1 0 0 1 0.153 0.140192-0.01281-0.08371 0.139724-0.013276-0.086769976 2 0.67 0.196538-0.47346-0.70666 0.19497-0.47503-0.709000058 3 1.34 0.275532-1.06447-0.79438 0.271559-1.068441-0.797343811 4 2.22 0.386274-1.83373-0.826 0.377273-1.842727-0.830057022 5 2.7 0.541526-2.15847-0.79943 0.522308-2.177692-0.806552656 6 3.73 0.759176-2.97082-0.79647 0.719645-3.010355-0.807065599 7 4.08 1.064306-3.01569-0.73914 0.985141-3.094859-0.758543831 8 9.01 1.492074-7.51793-0.8344 1.336976-7.673024-0.851611958 9 9.94 2.091771-7.84823-0.78956 1.794001-8.145999-0.819517022 10 12.68 2.932499-9.7475-0.76873 2.372492-10.30751-0.812894946 11 12.84 4.111134-8.72887-0.67982 3.081206-9.758794-0.760030656 12 11.82 5.763488-6.05651-0.5124 3.915527-7.904473-0.668737166 13 8.08 8.07996-4E-05-5E-06 4.852839-3.227161-0.399401176 14 11.32747 3.247472 0.401915 6.859654-1.220346-0.151032959 15 15.88023 7.800229 0.965375 7.82002-0.25998-0.032175791 16 22.26284 14.18284 1.755302 8.687602 0.6076019 0.075198254 17 31.21076 23.13076 2.862718 9.434195 1.3541948 0.167598372 18 43.75504 35.67504 4.415228 10.05028 1.9702764 0.243846087 19 61.34115 53.26115 6.591726 10.05028 1.9702764 0.243846087 20 85.99549 77.91549 9.643007 10.5413 2.4613016 0.304616536 21 120.559 112.479 13.92066 10.92193 2.8419302 0.351724036 22 169.0142 160.9342 19.9176 11.21068 3.1306757 0.387459862 23 236.9447 228.8647 28.32484 11.42615 3.3461482 0.414127251 24 332.178 324.098 40.11114 11.58498 3.5049778 0.433784381

693 25 465.6875 457.6075 56.6346 11.701 3.6209972 0.448143221 26 652.8575 644.7775 79.7992 11.78518 3.7051848 0.458562479 27 915.2552 907.1752 112.2742 11.84598 3.7659805 0.466086692 28 1283.116 1275.036 157.8015 11.88973 3.8097311 0.471501375 29 1798.829 1790.749 221.62729 11.92114 3.8411367 0.475388207 30 2521.817 2513.737 311.1061 11.94364 3.8636401 0.478173281 31 3535.39 3257.31 436.5483 11.95974 3.8797439 0.480166326 32 4956.34 4948.26 612.4085 11.97126 3.8912574 0.481591266 33 6948.401 6940.321 858.9507 11.97948 3.8994836 0.482609362 34 9741.115 9733.035 1204.584 11.98536 3.9053584 0.483336432 35 13656.28 13648.2 1689.134 11.98955 3.9095524 0.483855492 36 19145.04 19136.96 2368.436 11.99255 3.9125458 0.484225963 37 26839.85 26831.77 3320.763 11.99468 3.9146819 0.484490335 38 37627.37 37619.29 4655.852 11.99621 3.9162061 0.484678972 39 52750.63 52742.55 6527.543 11.99729 3.9172935 0.484813556 40 73952.25 73944.17 9151.506 11.99807 3.9180693 0.484909571 C. METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Jenis Penelitian Jenis penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah penelitian kepustakaan (library research) yaitu penelitian yang pengumpulan datanya dilakukan dengan menghimpun data dari berbagai literatur. Literatur di sini tidak terbatas pada buku-buku saja melainkan dapat juga berupa bahan-bahan dokumentasi, serta bahan-bahan lain yang diambil dari internet. Penelitian ini mengimplementasikan model matematika terhadap data sekunder dari pertumbuhan tingkat kekeruhan bakteri Pantoea agglomerans berdasarkan hasil identifikasi secara biokimiawi pada penelitian tesis yang berjudul Analisis Fisiologis dan Molekuler Rhizobakteri Osmotoleran pada Cekaman Kemasaman (Sholihah, Jumailatus 2010). 3.2 Rancangan Penelitian Penelitian ini dilakukan dengan membuat langkah-langkah pemodelan di bawah ini : 1. Merumuskan masalah

694 Mengidentifikasi permasalah yang timbul pada objek penelitian, mencari semua peubah kemudian dinyatakan dengan lambang matematika dan dicoba untuk mengenali pola masalah matematika yang sesuai dengan masalah. 2. Penyelesaian masalah Menyelesaikan masalah dalam model matematika dengan alat matematika yang sesuai. 3. Menafsirkan kembali Hasil model ditafsirkan dan dibandingkan dengan model semula dan data pertumbuhan populasi bakteri yang sebenarnya. 4. Mengkaji penyelesaiannya Hasil penafsiran perlu dikaji apakah cukup shahih, hal ini dapat dikerjakan dengan membandingkan hasil dengan softwere MAPPLE versi 15 dan juga dilakukan dengan mengecek tingkat kesalahan dari hasil model yang didapat. 5. Pelaksanaan Hasil yang sudah dianggap cukup shahih, dapat dilaksanakan atau digunakan untuk mencapai tujuan semula dan model bisa digunakan untuk menjelaskan, memprediksi, memutuskan dan mendesain hasil model hingga waktu ke-t. 3.3 Teknis Analisis Data 1. Mengimplementasikan (menerapkan) dari model matematika pertumbuhan populasi terhadap data yang diperoleh dari pertumbuhan tingkat kekeruhan bakteri Pantoea Agglomerans pada medium LB dengan menentukan parameter dari setiap data tersebut. 2. Metode yang digunakan untuk menganalisis data dalam penelitian ini adalah analisis deksriptif. Dimana hasil penelitian merupakan deskripsi dari bagaimana model pertumbuhan bakteri Pantoea Agglomeranspada medium LB dan menjawab apakah model pertumbuhannya eksponensial (selalu naik tak terbatas) atau pertumbuhannya konstan (tetap), atau bisa jadi populasinya menurun hingga

695 mendekati titik nol (karena persaingan antar bakteri yang semakin ketat dengan persediaan makanan yang terbatas). 3. Softwere MAPPLE versi 15 yaitu metode yang digunakan untuk mengolah data variabel (data sekunder) yang diperoleh dari tesis yang berjudul Analisis Fisiologis dan Molekuler Rhizobakteri Osmotoleran pada Cekaman Kemasaman (Sholihah, Jumailatus: 2010) ini dengan membuat grafik/plot dari hasil perhitungan pertumbuhan tingkat kekeruhan bakteri Pantoea agglomerans pada medium LB cair. D. HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Sebagai pendekatan awal untuk memasuki pemodelan pertumbuhan populasi yang biasanya dikaji melalui kajian atas satu spesies, kita perlu menetapkan beberapa asumsi yang ideal walaupun kurang realistis, seperti : 1. Daya dukung lingkungan hidup populasi terdiri atas sumber-sumber yang tidak terbatas persediannya dan kondisi-kondisi lain dari lingkungan seperti suhu dan kelembapan tidak berubah selama perkembangan populasi. Jadi, disini dianggap bahwa makanan selalu tersedia, ruang untuk hidup mencukupi, dan masingmasing anggota populasi tidak saling bersaing dalam proses kehidupannya. 2. Anggota populasi tidak pernah mati, sehingga kerapatan populasi ini senantiasa meningkat atau tidak pernah akan menurun. Pielou menamakan populasi hipotetik dengan asumsi-asumsi ini sebagai proses kelahiran murni (pure birth prosess). Proses pertumbuhan populasi hipotetik yang mendekati proses kelahiran murni di alam mungkin saja dapat terjadi tetapi tidak berlangsung secara terus menerus tanpa batas. Proses demikian dapat terjadi pada beberapa bakteri yang diberi medium yang sesuai dalam ruangan yang cukup seperti cawan petri untuk beberapa waktu saja (Tarumingkeng, 1994: 26).

696 Seperti halnya proses perkembangbiakan bakteri Pantoea agglomerans ini, bakteri dikembangbiakkan pada medium Luria Bertani dalam waktu beberapa hari saja, yakni selama 40 jam, dengan pengambilan data setiap 2 jam sekali. 4.1. Mengolah data hasil penelitian dari pertumbuhan tingkat kekeruhan bakteri Pantoea agglomerans pada medium LB. 4.1.1 Hasil penelitian dari pertumbuhan bakteri Pantoea agglomerans pada medium LB dengan menggunakan model eksponensial. Berdasarkan model eksponensial yaitu dari persamaan (2.3) dan tabel 2.1, maka dapat diasumsikan dengan lambangdan definisi dalam bentuk tabel sebagai berikut : Lambang Definisi Tingkat kekeruhan bakteri Pantoea agglomerans pada saat pengamatan dimulai (periode awal atau = 0). Tingkat kekeruhan sesungguhnya dari bakteri Pantoea agglomerans pada waktu ke-t. Tingkat kekeruhan bakteri Pantoea agglomerans dengan model eksponensial pada waktu ke-t. Laju partumbuhan populasi Waktu ke-t dari pertumbuhan bakteri. Diketahui bahwa : = dengan nilai = l 2 l 2. Kesalahan = dan % Kesalahan = h 00% Lebih lanjut, berikut ini disajikan kurva pertumbuhan tingkat kekeruhan bakteri menggunakan softwere MAPPLE versi 15 dengan model eksponensial berdasarkan tabel 2.1.

697 Gambar 4.1 Kurva Pendugaan Pertumbuhan tingkat Kekeruhan bakteri Pantoea agglomerans dengan model eksponensial dengan sumbu = = 0 dan sumbu =. Dari gambar 4.1 di atas dapat diambil kesimpulan bahwa tingkat kekeruhan bakteri Pantoea agglomerans dengan model eksponensial untuk waktu yang dimulai dari 0 sampai dengan ke-40 menunjukkan bahwa kurva di atas selalu naik secara eksponensial hingga ke tingkat kekeruhan mencapai nilai sebesar73952.25.hal ini sesuai dengan tabel 2.1 yang menyatakan bahwa untuk t = 40 jumlah tingkat kekeruhan bakteri sebesar 73952.25. Persentase kesalahan dengan model eksponensial cukup besar yaitu 9151.506%. Berarti dalam hal ini model eksponensial tidaklah sesuai dengan keadaan yang sebenarnya. 4.1.2. Hasil penelitian dari pertumbuhan bakteri Pantoea agglomerans pada medium LB dengan menggunakan model logistik Dari persamaan (2.14) telah diketahui bahwa model logistik dengan : = 1+ dimana nilai = l 2 l.sedemikian sehingga dari 2 model persamaan (2.14) dapat dilambangkan dalam bentuk tabel sebagai berikut : Lambang Definisi Daya dukung lingkungan/batas atas ukuran populasi yang dapat didukung oleh sumber daya yang tersedia.

698 Tingkat kekeruhan bakteri Pantoea agglomerans pada saat pengamatan dimulai (periode awal atau = 0). Tingkat kekeruhan bakteripantoea agglomerans yang sesungguhnya. Tingkat kekeruhan bakteripantoea agglomerans dengan model logistik. Berdasarkan tabel 2.1. berikut ini disajikan kurva pertumbuhan tingkat kekeruhan bakteri Pantoea agglomerans dengan menggunakan model logistik berbantuan softwere MAPPLE versi 15. Gambar 4.2 Kurva Pendugaan Pertumbuhan Tingkat Kekeruhan bakteri Pantoea agglomerans dengan Model Logistik dengan sumbu = = 0 dan sumbu =. Dari gambar 4.2 di atas dapat diambil kesimpulan bahwa tingkat kekeruhan bakteri Pantoea agglomerans dengan model logistik untuk waktu ke-0 sampai dengan ke-40 menunjukkan bahwa kurva di atas selalu naik secara eksponensial hingga sampai ke pada waktu =. Lebih lanjut kurva cenderung stabil atau konstan di posisi 0 =. Dalam hal ini dapat diartikan bahwa pertumbuhan naik monoton menuju kapasitas batas = = ±, disebabkan karena

699 pengambilan nilai 0 <. Dengan demikian tingkat kekeruhan dengan menggunakan model logistik mendekati fase stasioner (konstan) dari sampai dengan > yaitu konvergen ke angka 12. E. PENUTUP Berdasarkan gambar untuk kurva baik itu dari model eksponensial maupun model logistik serta tabel 2.1 yaitu data dari pertumbuhan tingkat kekeruhan bakteri yang sesungguhnya dapat diambil kesimpulan bahwa model matematika untuk pertumbuhan populasi yang lebih mampu memberikan gambaran objeknya adalah model logistik, karena untuk waktu yang tak terbatas (waktu yang cukup lama) model logistik yang lebih menyerupai objeknya karena kurva model eksponensial selalu naik sampai tak terhingga dan tidak sebanding dengan jumlah nutrien yang tetap tanpa ada penambahan, sementara jumlah populasi meningkat sehingga persaingan untuk mendapatkan makanan (nutrien) semakin ketat. Di samping itu kondisi yang berdesakan karena ruang kultur yang sempit dan adanya persaingan dalam mendapatkan nutrien mengakibatkan beberapa populasi bakteri mengalami kematian, hal ini berakibat semakin menurunnya jumlah populasi bakteri. DAFTAR PUSTAKA Atlas,R.M.(2010).Handbook of Microbiological Media.USA:CRC Press. Finizio, L.(1988).Persamaan Diferensial Biasa dengan Penerapan Modern. Jakarta: Erlangga. Hasibuan,K.M.(1988).Pemodelan Matematika di dalam Biologi Populasi (Dinamika Populasi). Bogor: Pusat antar Universitas, Institut Pertanian Bogor bekerja sama dengan Lembaga Sumberdaya Informasi-IPB. Holt,J.G.,Bergey,D.H.(2000). Bergeys Manual of Determinitative Bacteriology. Philadelphia: Lippincott Williams and Wilkins.

700 Irwanto.(2006). Penggunaan Tanaman Actinorhizal Casuarina Equisetifolia L pada Rehabilitasi Lahan Alang-Alang dengan Sistem Agroforestrihttp://www.irwantoshut.com jam 14.15 WIB hari Kamis tanggal 17 Desember 2015. Leithold,L.(1986).Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik. Jakarta: Erlangga. Purcell,E.j.,Varberg,D.(2001).Kalkulus Jilid Satu Edisi Tujuh.Batam:Interaksara. Soemartojo,N.(1955).Kalkulus Edisi Ketiga. Jakarta: Erlangga. Sholihah,J.(2010).Analisis Fisiologis dan Molekuler Rhizobacteri Osmotoleran pada Cekaman Kemasaman.Program studi S2 Bioteknologi UGM. Tarumingkeng,R.C.(1994).Dinamika Populasi Kajian Ekologi Kuantitatif. Jakarta: Pustaka Sinar Harapan. Yuliawanto.(1998).Dinamika Pertumbuhan Populasi.Fakultas MIPA UGM.