8 II MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT DBD 3.1 Penyebaran Virus DBD DBD adalah penyakit yang disebabkan oleh virus dengue. Penyebaran virus demam berdarah dengue ditularkan oleh nyamuk. Nyamuk Aedes aegypti merupakan nyamuk utama penyebar virus dengue, namun spesies lain seperti Aedes albopictus, Aedes polynesiensis, berperan sebagai nyamuk sekunder. Peningkatan penyebaran demam berdarah dengue yang mencolok terjadi pada awal dan akhir musim hujan hal ini karena tempat perindukan nyamuk terbentuk dengan tertampungnya air hujan. Pada suhu lingkungan 30 0 C, virus DBD memerlukan waktu 8-10 hari untuk menyelesaikan masa inkubasi ekstrinsik dari lambung sampai ke kelenjar ludah nyamuk (Indra, 2003). Di daerah-daerah di mana terjadi perubahan temperatur di dalam setiap musim, transmisi virus demam berdarah selalu berkurang pada suhu rendah. Contoh mewabahnya virus demam berdarah di daerah dingin berhenti pada temperatur yang turun ke 14-15 0 C pada awal musim dingin. Hal ini disebabkan masa inkubasi ekstrinsik di dalam suhu rendah itu adalah lebih lama dari masa inkubasi ekstrinsik di dalam suhu yang tinggi, pada hal rata-rata masa hidup nyamuk 14 hari. Nyamuk-nyamuk itu tidak pernah sembuh dari infeksi karena terinfektif mereka berakhir dengan kematian (Gubler,1998). Pada suhu di bawah 20 0 C sebelum menyebarkan virus, nyamuk sudah mati. Penularan virus ini dapat dikelompokkan menjadi dua mekanisme. Mekanisme pertama, transmisi vertikal dalam tubuh nyamuk. Dimana virus dapat ditularkan oleh nyamuk betina pada telurnya dan juga dapat ditularkan dari nyamuk jantan ke nyamuk betina melalui kontak seksual, tetapi tidak berlaku sebaliknya (Malavige et al. 2004). Mekanisme kedua, transmisi dari nyamuk ke dalam tubuh manusia dan sebaliknya. Penularan dari manusia kepada nyamuk hanya dapat terjadi bila nyamuk mengigit manusia yang sedang mengalami viremia, yaitu 2 hari sebelum panas sampai 5 hari setelah demam timbul. Setelah virus berada dalam tubuh nyamuk, virus yang sampai ke dalam lambung nyamuk akan berkembangbiak, kemudian akan migrasi yang akhirnya akan sampai di
9 kelenjar ludah memerlukan waktu 8-10 hari untuk menyelesaikan masa inkubasi ekstrinsik. Virus yang berada pada lokasi ini setiap saat sudah dapat ditularkan kembali kepada manusia. 3.2 Model Matematika Populasi manusia dibagi menjadi tiga kelas, yaitu manusia yang peka ( ), manusia yang terkena infeksi ( ), dan manusia yang sembuh ( ). Manusia yang peka adalah manusia yang bukan imun dan tidak terkena infeksi. Manusia yang terkena infeksi adalah manusia yang terkena virus DBD dan dapat menularkan kepada individu lain dengan perantara nyamuk. Manusia sembuh adalah manusia yang sembuh dari penyakit dan tidak dapat tertular lagi. Populasi nyamuk dibedakan menjadi dua kelas yaitu nyamuk yang peka ( ), nyamuk yang terkena infeksi ( ). Nyamuk yang peka adalah nyamuk yang rentan terhadap penyakit demam berdarah dengue. Sedangkan nyamuk terinfeksi adalah nyamuk yang terkena infeksi dan dapat menularkan kepada individu lain. Asumsi-asumsi yang berlaku adalah : 1. Ukuran populasi manusia dan nyamuk konstan sehingga laju kelahiran sama dengan laju kematian. 2. Rata-rata gigitan individu nyamuk pada manusia per hari adalah konstan. 3. Nyamuk tidak pernah sembuh setelah terinfeksi penyakit. Secara skematis, pola penyebaran penyakit demam berdarah dengue dapat digambarkan dalam diagram kompartemen berikut: Gambar 1 Skema penyebaran DBD dengan asumsi semua telur nyamuk sehat
10 Dari asumsi-asumsi tersebut, proporsi penginfeksian manusia peka ( ) oleh nyamuk terinfeksi ( ) per hari adalah perbandingan antara peluang transmisi virus demam berdarah dari nyamuk ke manusia dengan banyaknya inang yang menjadi sumber makanan nyamuk dikalikan dengan rata-rata gigitan nyamuk pada manusia per hari dan banyaknya nyamuk yang terinfeksi ( ), dinyatakan sebagai berikut: Manusia peka ( ) tersebut berpindah menjadi manusia terinfeksi ( ). Manusia terinfeksi setiap hari yang meninggal secara alami sebanyak. Proporsi penginfeksian nyamuk peka ( ) akibat menggigit manusia terinfeksi ( ) per hari adalah perbandingan antara peluang transmisi virus demam berdarah dari manusia ke nyamuk dengan banyaknya inang yang menjadi sumber makanan nyamuk dikalikan dengan rata-rata gigitan nyamuk pada manusia per hari dan banyaknya manusia yang terinfeksi ( ), diekspresikan sebagai berikut: Selanjutnya nyamuk peka tersebut berpindah menjadi nyamuk terinfeksi ( ). Nyamuk peka mati secara alami sebanyak per hari. Berdasarkan skema Gambar 1, dapat dimodelkan menggunakan sistem persamaan diferensial berikut : dengan (2) dan adalah populasi manusia, adalah populasi nyamuk, adalah laju kelahiran manusia (perhari),
11 b r adalah rata-rata gigitan individu nyamuk pada manusia (per hari), adalah peluang transmisi virus demam berdarah dari nyamuk ke manusia, adalah peluang transmisi virus demam berdarah dari manusia ke nyamuk, adalah laju kematian alami manusia (per hari), adalah laju kesembuhan manusia terinfeksi (per hari), adalah laju kematian alami dari nyamuk (per hari). Sistem persamaan (1) disederhanakan dengan pemisalan,,,, dan, maka diperoleh sistem persamaan (2) sebagai berikut : dengan, dan (4) dengan ketiga kondisi dan (5) 3.3 Modifikasi Model Model penyebaran virus DBD sebelumnya menggunakan asumsi semua telur nyamuk sehat. Berdasarkan penelitian, nyamuk yang terinfeksi dapat menularkan virus pada telurnya, maka modifikasi model diperlukan untuk mendapatkan model yang lebih baik. Model yang baru menggunakan asumsi sebagian telur nyamuk terinfeksi. Parameter baru yaitu menyatakan peluang transmisi virus dari nyamuk pada telurnya dan parameter yang lain tetap. Kondisi populasi manusia pada model dengan asumsi sebagian telur nyamuk terinfeksi sama dengan model awal. Keadaan populasi nyamuk mengalami perubahan karena asumsi sebagian telur nyamuk terinfeksi. Jumlah nyamuk yang peka ( ) akan meningkat karena bertambahnya kelahiran nyamuk
12 sehat dan akan berkurang karena gigitan nyamuk kepada populasi manusia terinfeksi serta karena kematian alami. Populasi nyamuk yang terkena infeksi ( ) akan meningkat karena kelahiran nyamuk terinfeksi, gigitan nyamuk kepada populasi manusia terinfeksi dan berkurang karena kematian alami. Secara skematis, pola penyebaran virus DBD dengan asumsi sebagian telur nyamuk terinfeksi dapat digambarkan dalam diagram kompartemen berikut: r Gambar 2 Skema penyebaran DBD dengan asumsi sebagian telur nyamuk terinfeksi Model matematika penyebaran penyakit demam berdarah dengue dengan asumsi sebagian telur nyamuk terinfeksi, dapat dinyatakan dengan persamaan-persamaan berikut : dengan kondisi (7) dan adalah populasi manusia, adalah populasi nyamuk, adalah laju kelahiran manusia (per hari), adalah laju kelahiran nyamuk (per hari),
13 b r adalah rata-rata gigitan individu nyamuk pada manusia (per hari), adalah peluang transmisi virus demam berdarah dari nyamuk ke telurnya, adalah peluang transmisi virus demam berdarah dari nyamuk ke manusia, adalah peluang transmisi virus demam berdarah dari manusia ke nyamuk, adalah laju kematian alami manusia (per hari), adalah laju kesembuhan manusia terinfeksi (per hari), adalah laju kematian alami nyamuk (per hari). Sistem persamaan (6) disederhanakan dengan pemisalan,,,, dan, maka diperoleh sistem persamaan berikut: dengan, dan n= (9) dengan ketiga kondisi + + =1 dan S v + I v = 1 (10) 3.4 Model dengan Pengaruh Musim Perubahan musim membuat perubahan suhu, sehingga pola musiman mempengaruhi di dalam penyebaran penyakit demam berdarah. Variasi di dalam masa inkubasi ekstinsik disebabkan oleh perubahan-perubahan suhu, semakin rendah suhu masa inkubasi semakin lama. Periode laten masa inkubasi virus di dalam nyamuk bergantung pada suhu (T), dengan asumsi perubahan suhu bersifat periodik mengikuti perubahan musim. Ketergantungan masa inkubasi pada suhu dapat diperhatikan pada variasi berikut, pada T= 31 0 C, hari dan pada T= 21 0 C, hari (Pongsumpun, 2006). Variasi ini dapat dinyatakan sebagai suatu variasi sinusoidal sedemikian bahwa
14 (11) di mana adalah suatu ukuran dari pengaruh pola musiman pada proses transmisi. Dengan demikian model matematika dari model modifikasi karena pengaruh perubahan musim dapat dinyatakan oleh persamaan diferensial berikut: dengan kondisi (13) Selanjutnya sistem persamaan (12) disederhanakan, dengan pemisalan,,,, dan, maka sistem persamaan diferensialnya menjadi dengan, dan n= dengan ketiga kondisi dan (15) Selanjutnya dilakukan analisis kestabilan model penularan penyakit demam berdarah dengue yang menghasilkan beberapa titik tetap. Analisis titik tetap tersebut nantinya akan dihasilkan syarat kestabilan untuk masing-masing titik tetap.