BAB III PEMBAHASAN Dalam skripsi ini akan dibahas tentang model antrean satu server dengan disiplin antrean Preemptive dengan pola kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial. Bab ini akan membahas tentang penurunan formula untuk mendapatkan ukuran keefektifan sistem, yaitu dilakukan dengan cara pendekatan Quasi Birth-Death Process dan Probability Generating Function (PGF). Ukuran keefektifan yang dimaksud adalah ekspektasi rata-rata banyak pelanggan dalam sistem antrean ( ), ekspektasi rata-rata banyak pelanggan dalam garis tunggu (antrean) ( ), ekspektasi rata-rata waktu tungggu pelanggan dalam sistem antrean ( ), dan ekspektasi rata-rata waktu tunggu pelanggan dalam garis tunggu (antrean) ( ). A. Sistem Antrean Satu Server dengan Disiplin Antrean Preemptive Sejauh ini dalam banyak penelitian, sering dianggap bahwa antrean dari pelayanan akan dilayani berdasarkan aturan disiplin antrean FCFS (First Come First Served) yaitu pelanggan yang datang lebih awal akan dilayani terlebih dahulu dari pada pelanggan yang datang paling akhir. Tentu saja tidak hanya disiplin antrean FCFS saja yang digunakan. Terdapat jenis disiplin antrean lain yang digunakan, misalnya, LCFS (Last Come First Served) yaitu pelanggan yang datang paling akhir akan dilayani terlebih dahulu dari pada pelanggan yang datang paling awal, SIRO (Service In 58
Random Order) yaitu pelanggan dipilih berdasarkan undian (random) dan tidak dipengaruhi siapa yang datang lebih awal. Pada kenyataannya, selain ketiga jenis disiplin antrean yang telah disebutkan di atas, pelanggan juga dapat dilayani secara prioritas atau yang dikenal dengan Priority Service (PS). Aturan dimana pelanggan akan dilayani berdasarkan tipe pelanggan. Pelanggan dengan prioritas tertinggi dalam sistem antrean akan masuk ke dalam layanan terlebih dahulu dibandingkan pelanggan dengan prioritas yang lebih rendah. Model-model di mana tipe pelanggan yang akan dilayani melalui pelayanan ditentukan oleh pelayan disebut model antrean prioritas. Dalam model-model antrean dengan prioritas, diasumsikan bahwa beberapa antrean yang pararel dibentuk di depan sebuah sarana pelayanan dengan setiap antrean diperuntukkan bagi para pelanggan dengan prioritas khusus. Jika terdapat antrean dalam sistem, dapat diasumsikan bahwa antrean 1 memiliki prioritas pelayanan tertinggi, dan antrean untuk pelanggan dengan prioritas terendah. Laju kedatangan dan pelayanan dapat berbeda untuk antrean dengan prioritas berbeda (Taha, 1996). Disiplin pelayanan prioritas memiliki dua aturan yang dapat diikuti, yaitu: 1. Aturan Preemptive (PRD) Disiplin pelayanan Preemptive menggambarkan situasi dimana pelayan sedang melayani seseorang, kemudian beralih melayani orang yang diprioritaskan meskipun belum selesai melayani orang sebelumnya. Misalnya, kasus seperti di rumah sakit saat pendaftaran pasien untuk 59
memperoleh ruang inap. Pasien dengan prioritas yang lebih tinggi akan dilayani terlebih dahulu dari pada pasien dengan prioritas yang lebih rendah, meskipun pasien dengan prioritas yang lebih rendah datang terlebih dahulu. Dalam hal ini, pasien dengan peioritas yang lebih tinggi adalah pasien dengan kondisi penyakit yang lebih parah daripada pasien dengan prioritas yang lebih rendah. 2. Aturan Non-Preemptive (NPD) Disiplin pelayanan Non-Preemptive menggambarkan situasi dimana pelayan akan menyelesaikan pelayanannya baru kemudian beralih melayani orang yang diprioritaskan. Misalnya, dalam suatu pesta, dimana tamu-tamu yang dikategorikan VIP akan mendapat pelayanan terlebih dahulu dibandingkan tamu dengan kategori biasa. Pada sistem antrean ini, pola kedatangan pelanggan memiliki laju kedatangan berdistribusi Poisson, terdapat satu server layanan yang memiliki laju pelayanan berdistribusi Eksponensial, dan disiplin pelayanan yang digunakan adalah disiplin prioritas Preemptive. Notasi untuk model antrean pada pembahasan ini adalah. Sesuai notasi dalam Kendall Lee, proses Poisson, menyatakan distribusi kedatangan atau keberangkatan dari menyatakan distribusi Eksponensial dari service time atau keberangkatan (departure), 1 menyatakan banyaknya server dalam sistem antrean, dan menyatakan aturan disiplin pelayanan prioritas Preemptive. 60
B. Quasi Birth-Death Process adalah probabilitas steady state untuk unit prioritas dalam sistem dengan laju kedatangan dan laju pelayanan, unit prioritas dalam sistem dengan laju kedatangan dan laju pelayanan, misalkan kedatangan pertama atau prioritas kelas yang lebih tinggi memiliki laju kedatangan, kedatangan kedua atau kelas yang lebih rendah memiliki laju kedatangan, maka total tingkat kedatangan adalah dengan faktor utility sistem atau peluang server sibuk adalah. Gambar 3.1 Proses kedatangan dan kepergian sistem antrean dengan disiplin pelayanan Preemptive Dari gambar 3.1 maka dapat dituliskan beberapa kemungkinan kejadian dari model antrean dengan disiplin prioritas Preemptive, yaitu: Kasus 1 61
(Tidak ada kedatangan = Prioritas dilayani + Prioritas dilayani) Kasus 2 (Prioritas datang dan dilayani = Datang pelanggan dengan prioritas sebanyak unit kemudian dilayani pelanggan dengan prioritas sebanyak unit) Kasus 3 (Prioritas prioritas sebanyak sebanyak datang dan dilayani = Dilayani pelanggan dengan kemudian ada kedatangan pelanggan dengan prioritas unit lalu dilayani pelanggan dengan prioritas unit) Kasus 4 (Prioritas datang dan dilayani = terdapat kedatangan pelanggan dengan prioritas 1 sebanyak kedatangan pelanggan dengan peioritas 2 sebanyak unit dan unit kemudian dilayani pelanggan dengan prioritas 1 sebanyak unit) Dari uraian kasus di atas dapat ditulis persamaan probabilitas untuk sistem antrean dengan disiplin pelayanan Preemptive dengan prioritas pertama dan prioritas kedua sebagai berikut (3.1) 62
(3.2) (3.3) (3.4) Langkah pertama yang dilakukan dalam menentukan ukuran keefektifan sistem antrean (M/M/1):(PRD/ / ) adalah mencari probabilitas untuk masing-masing prioritas. Jika adalah variabel diskrit yang menyatakan banyaknya pelanggan dalam sistem, dengan probabilitas maka berdasarkan Definisi (2.6) PGF dari adalah 1. Probabilitas prioritas pertama (3.6) Ketika, maka (3.7) Penyelesaian Persamaan (3.6) dengan mencari PGF dari adalah sebagai berikut 63
Persamaan (3.6) dikalikan dengan, maka didapatkan Persamaan (3.8) terpenuhi jika, maka. Jumlahkan persamaan tersebut dari Berdasarkan Persamaan (3.5) maka Persamaan (3.9) adalah Dari (3.7) diketahui bahwa, akibatnya 64
(3.11) Untuk mencari nilai, maka substitusikan ke Persamaan (3.5) diperoleh Akibatnya Substitusikan Persamaan (3.12) ke Persamaan (3.11) diperoleh (3.12) (3.13) Selanjutnya akan mencari turunan pertama dari (3.13) terhadap untuk memperoleh nilai harapan banyaknya pelanggan dalam antrean untuk prioritas pertama Mencari turunan parsial dari persamaan (3.13) dengan memisalkan 65
Substitusikan (3.14) 66
2. Probabilitas prioritas kedua Jika adalah variabel diskrit yang menyatakan banyaknya pelanggan dalam sistem, dengan probabilitas maka berdasarkan Definisi (2.6) PGF dari adalah Penyelesaian Persamaan (3.3) dengan mencari PGF dari adalah sebagai berikut Persamaan (3.3) dikalikan dengan, maka didapatkan Persamaan (3.16) terpenuhi jika dari, maka. Jumlahkan persamaan tersebut Berdasarkan Persamaan (3.15) maka Persamaan (3.16) adalah 67
Karena, maka Diperoleh persamaan sebagai berikut Persamaan (3.4) dikalikan dengan Persamaan (3.18) terpenuhi jika. Jumlahkan persamaan tersebut dari, maka Berdasarkan persamaan (3.15) maka persamaan (3.19) adalah 68
Karena, maka Diperoleh persamaan sebagai berikut (3.20) Untuk mencari nilai, substitusikan pada persamaan (3.20) (3.21) Substitusikan nilai pada (3.17) ke (3.21) Diperoleh nilai untuk sebagai berikut, 69
persamaan (3.20) kalikan dengan Substitusikan nilai pada (3.17) dan pada (3.22) ke (3.23) 70
Kemudian substitusikan nilai Maka nilainya 71
Jika, dan, maka Selanjutnya akan mencari turunan pertama dari (3.24) terhadap untuk memperoleh nilai harapan banyaknya pelanggan dalam antrean untuk prioritas kedua Akan dicari turunan parsial dari persamaan (3.24) dengan memisalkan 72
Maka turunan pertama dari yaitu Untuk dan, diperoleh 73
Ketika, diperoleh persamaan C. Ukuran Keefektifan Model Antrean Ukuran ukuran keefektifan dari suatu sistem antrean tersebut adalah banyak pelanggan dalam sistem, banyak pelanggan yang menunggu dalam antrean, waktu tunggu setiap pelanggan dalam sistem, waktu tunggu setiap pelanggan dalam antrean. Ukuran ukuran keefektifan terssebut dapat digunakan untuk menganalisis operasi situasi antrean, yang dimaksudkan untuk pembuatan rekomendasi tentang rancangan sistem tersebut. 1. Untuk antrean dengan prioritas pertama Nilai harapan banyaknya pelanggan dalam sistem ( hubungan sederhana antara jumlah pelanggan yang antri mempunyai dan berbagai kemungkinan Nilai harapan banyaknya pelanggan dalam sistem untuk prioritas pertama, yaitu diperoleh dari persamaan (3.14) 74
Rata-rata waktu tunggu dalam sistem dipengaruhi jumlah rata-rata pelanggan dalam sistem dibanding tingkat kedatangan dalam sistem. Akan dicari nilai harapan waktu tunggu dalam sistem menggunakan little formula sebagai berikut: Substitusikan Persamaan (3.26) ke Persamaan (3.27) sehingga di peroleh Rata-rata waktu tunggu dalam antrean dipengaruhi oleh ratarata waktu menunggu dalam sistem dengan waktu pelayanan. 75
Akan dicari nilai harapan waktu tunggu dalam antrean menggunakan little formula sebagai berikut: (3.29) Substitusi persamaan (3.28) ke persamaan (3.29) sehingga diperoleh Nilai harapan banyaknya pelanggan dalam antrean ( ) berkaitan erat dengan lamanya tingkat kedatangan dikali rata-rata waktu menunggu pelanggan dalam antrean. Akan dicari nilai harapan banyaknya pelanggan dalam antrean menggunakan little formula sebagai berikut: Substitusikan Persamaan (3.30) ke Persamaan (2.67) 76
2. Untuk antrean dengan prioritas kedua Nilai harapan banyaknya pelanggan dalam sistem ( hubungan sederhana antara jumlah pelanggan yang antri mempunyai dan berbagai kemungkinan Nilai harapan banyaknya pelanggan dalam sistem untuk prioritas kedua, yaitu diperoleh dari persamaan (3.25) Rata-rata waktu tunggu dalam sistem dipengaruhi jumlah rata-rata pelanggan dalam sistem dibanding tingkat kedatangan dalam sistem. Akan dicari nilai harapan waktu tunggu dalam sistem menggunakan little formula sebagai berikut: Substitusikan Persamaan (3.32) ke Persamaan (3.27) sehingga di peroleh 77
Rata-rata waktu tunggu dalam antrean dipengaruhi oleh ratarata waktu menunggu dalam sistem dengan waktu pelayanan. Akan dicari nilai harapan waktu tunggu dalam antrean menggunakan little formula sebagai berikut: Substitusi persamaan (3.33) ke persamaan (3.29) sehingga diperoleh Nilai harapan banyaknya pelanggan dalam antrean ( ) berkaitan erat dengan lamanya tingkat kedatangan dikali rata-rata waktu menunggu pelanggan dalam antrean. Akan dicari nilai harapan banyaknya pelanggan dalam antrean menggunakan little formula sebagai berikut: Substitusikan Persamaan (3.34) ke Persamaan (2.63) 78