ANALISIS DAN KONTROL OPTIMAL MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN VIRUS WEST NILE DENGAN PENGARUH PENYEMPROTAN NYAMUK SKRIPSI RADITYA REZKI PRADIPTA PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA 2016
ANALISIS DAN KONTROL OPTIMAL MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN VIRUS WEST NILE DENGAN PENGARUH PENYEMPROTAN NYAMUK SKRIPSI RADITYA REZKI PRADIPTA PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA 2016 i
Analisis dan Kontrol Optimal Model Matematika PenyebaranYiras West Nile dengan Pengaruh Penyemprotan Nyamuk SKRIPSI Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Bidang Matematika Pada Fakultas Sains Dan Teknologi Universitas Airlangga Disetujui oleh: Pembimbing I Pembimbing II Dr. Windarto. M.Si NrP. 19730704 199802 2 001 NrP. 19771104 200312 I 001 1l
LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI Judul Penyusun NIM Pembimbing I Pembimbing II Tanggal Seminar Analisis dan Kontrol Optimal Model Penyebaran Virus West Nile dengan Pengaruh Penyemprotan Nyamuk Raditya Rezki Pradipta 08121 1233012 Dr. Fatmawati, M.Si Dr. Windarto, M.Si 28 Januari 2016 Disetujui oleh: Pembimbing I, Pembimbing II 1,- NIP. 19730704 1998022 001 Dr. Windarto. M.Si NIP. 19771 to4zo{nt; 1 001 Mengetahui, Departmen Matematika ins dan Teknologi Koordinator Program Studi S-l Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Badrus Zaman. S.Kom.. M.Cs. NIP. 19780126 20064 I 001 NIP. 19640103 198810 1 001 ilt
PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi kepustakaan, tetapi pengutipan harus seizin penulis dan harus menyebutkan sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen skripsi ini merupakan hak milik Universitas Airlangga. iv
SLTRA T P[R]\ YAT'A4I{ TE]YTAN C ORISI ITA LITAS Yaug berlandatalgan dibawah ini, saya: Nama : Radit-va Rezki pradipta NI]\{ : 08121 1233012 Prcgram Studi :Sl Maternatika Fakultas : Sains dan Teknologi Jenjang : Sarjana (S 1 ) L'Ienyatakan bahwa saya tidak melaknkan kegiatan pla-rdat dalarn penylisap skrisi saya yalrg berjudul: "Analisis dan Kontrot optimal Model Matematika penyetraran virus p/esf Ili/r dengnn Peng*ruh penyemprotan Nyamuk,, Apabila suaftr saat nanti terbukti melak*kan tindakan plagiat maka saya akan menenma sanksi yang telah ditetapkan. Demikia* surat pemyataa:r i*i sa3,a buat dengan sebenar-trenertlya. Surabaya, 5 Januari 2016 Raditya Rezki Pradipta NIM.0812112330t2 v
KATA PENGANTAR Alhamdulillahirabbilalamin, segala puji syukur tercurahkan kepada Allah SWT sumber inspirasi yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-nya sehingga dapat terselesaikannya penulisan skripsi ini. Shalawat serta salam semoga senantiasa tercurahkan kepada junjungan kita, Nabi Besar Muhammad SAW, pemimpin sekaligus suri tauladan yang paling baik bagi kehidupan umat manusia, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul Analisis dan Kontrol Optimal Model Penyebaran Virus West Nile dengan Pengaruh Penyemprotan Nyamuk. Dalam penyusunan skripsi ini, penulis mengucapkan banyak terimakasih kepada: 1. Universitas Airlangga yang telah memberikan kesempatan kepada Penulis untuk menuntut ilmu. 2. Badrus Zaman, S.Kom., M.Cs, selaku Kepala Departemen Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga yang selalu memberikan saran dan motivasi. 3. Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si., selaku Koordinator Program Studi S-1 Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga yang selalu memberikan saran dan motivasi. vi
4. Dr. Fatmawati, M.Si selaku dosen pembimbing I yang senantiasa dengan sabar memberikan bimbingan berupa arahan dan masukan kepada penulis. 5. Dr. Windarto, M.Si selaku dosen pembimbing II dan sekaligus sebagai dosen wali selama menjadi mahasiswa Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga yang telah banyak memberikan arahan serta nasihat demi kesuksesan menjadi mahasiswa. 6. Seluruh dosen di Universitas Airlangga, khususnya Departemen Matematika yang telah menyampaikan ilmu kepada Penulis tanpa pamrih dan tak kenal lelah. 7. Yang tercinta kedua orang tua yang selalu memberikan dukungan dan yang selalu memberikan doa terbaiknya. Kakak Penulis yang selalu memberi motivasi dalam menyelesaikan skripsi. 8. Teman-teman Program Studi Matematika 2012 yang telah banyak memberikan pengalaman, motivasi dan semangat yang sangat berharga bagi Penulis. 9. Serta semua pihak yang tidak dapat Penulis sebutkan seluruhnya yang telah membantu menyelesaikan skripsi ini. Penulis berharap skripsi ini dapat bermanfaat sebagai bahan pustaka dan penambah informasi khususnya bagi mahasiswa Universitas Airlangga. Saran dan kritik yang membangun sangat diharapkan untuk menyempurnakan skripsi ini. Surabaya, Januari 2016 Raditya Rezki Pradipta vii
Raditya Rezki Pradipta, 2016, Analisis dan Kontrol Optimal Model Matematika Penyebaran Virus West Nile dengan Pengaruh Penyemprotan Nyamuk. Skripsi ini dibawah bimbingan Dr. Fatmawati, M.Si. dan Dr. Windarto, M.Si. Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Surabaya. ABSTRAK Virus west nile adalah jenis virus yang dapat menimbulkan penyakit yang menyerang syaraf otak dan ditularkan melalui nyamuk betina berjenis culex pipiens. Virus ini termasuk dalam genus Flavivirus dalam family Flaviviridae. Genus Flavivirus ini ditemukan di daerah beriklim sedang dan tropis di dunia. Penyakit ini dapat menyebabkan kematian jika tidak ditangani secara serius. Penyakit ini dapat dicegah dengan adanya penyemprotan nyamuk. Dalam skripsi ini dilakukan analisis model matematika penyebaran virus west nile tanpa pengontrol, dan dengan pengunaan pengontrol berupa penyemprotan nyamuk untuk mengeliminasi penyebaran virus west nile. Pada model tanpa pengontrol diperoleh dua titik setimbang, yaitu titik setimbang non endemik (E 0 ) dan titik setimbang endemik (E 1 ). Titik setimbang non endemik stabil asimtotis jika memenuhi kreteria tertentu. Dari titik setimbang tersebut juga didapatkan besaran Basic Reproduction Ratio (R 0 ) yang merupakan tolak ukur terjadinya endemik virus west nile. Titik setimbang bebas penyakit (E 0 ) stabil asimtotis jika syarat eksistensi titik tersebut terpenuhi dan R 0 < 1. Sedangkan, titik setimbang endemik (E 1 ) stabil asimtotis jika R 0 > 1. Pada model matematika penyebaran virus west nile dengan variabel pengontrol, ditentukan syarat cukup untuk eksistensi kontrol optimal dari pengontrol u yang berupa penyemprotan nyamuk dengan menggunakan Prinsip Maksimum Pontryagin. Dari hasil simulasi numerik menunjukkan bahwa pemberian kontrol cukup efektif untuk meminimalkan jumlah populasi nyamuk yang terinfeksi virus west nile dengan biaya minimal. Kata Kunci : Model Matematika, Virus West Nile, Penyemprotan Nyamuk, Kestabilan, Kontrol Optimal. viii
Raditya Rezki Pradipta, 2016, Analysis and Optimal Control of Mathematic Model Transmission of West Nile Virus by Using Mosquito Spraying. This thesis is supervised by Dr. Fatmawati, M.Si. and Dr. Windarto, M.Si. Mathematic Department, Faculty of Science and Technology, Airlangga University, Surabaya. ABSTRACT West nile virus is a type of virus that can cause neurological disease which can cause neurological disease that ruins the brain and transmitted by the female Culex pipiens mosquito. This virus belongs to the genus Flavivirus genus in the family of Flaviviridae. Genus Flavivirus which are prevalent in tropical and subtropical regions. This desease can lead to death, if there is no serious treatment. This disease can be prevented by mosquito spraying. In this thesis, analyzes the mathematical model of west nile virus transmission without control, and using a controller such as mosquito spraying to eliminate the transmission of west nile virus. A mathematical model without a controller, there are two equilibrium point, the first one is disease free equilibrium point (E 0 ) and and another one is the endemic equilibrium point (E 1 ). It is asymptotically stable if it fulfills some certain criterias. From those equilibrium points, also obtained amount of Basic Reproduction Ratio (R 0 ) which is a meassure the endemic of west nile virus. It is asymptotically stable if the existence conditions is obtained and R 0 < 1. Whereas, endemic equilibrium point E 2 that is asymptotically stable if R 0 > 1. In the mathematic model of west nile virus transmission with controller variable, is determined by specific conditions existence of optimal control from controller u mosquito spraying by using Pontryagin Maximum Principle. The result of numerical simulation shows that giving a controller is effective for minimizing amount of the number of mosquitoes infected with west nile virus with minimal cost. Keywords: Mathematic Model, West Nile Virus, Mosquito Spraying, Stability, Optimal Control ix
DAFTAR ISI Halaman LEMBAR JUDUL... i LEMBAR PERNYATAAN... ii LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI... iii LEMBAR PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI... iv SURAT PERNYATAAN TENTANG ORISINALIATAS... v KATA PENGANTAR...... vii ABSTRAK... viii ABSTRACT... ix DAFTAR ISI..... x DAFTAR TABEL... xiii DAFTAR GAMBAR... xiv DAFTAR LAMPIRAN... xv BAB I PENDAHULUAN... 1 1.1. Latar Belakang... 1 1.2. Rumusan Masalah... 3 1.3. Tujuan... 3 x
1.4. Manfaat... 3 1.5. Batasan Masalah... 4 BAB II TINJUAN PUSTAKA... 5 2.1. Virus West Nile... 5 2.1.1. Penularan Virus West Nile... 6 2.1.2. Gejala Terinfeksi Virus West Nile... 7 2.1.3. Pencegahan Virus West Nile... 8 2.1.4. Pengobatan Virus West Nile... 9 2.2. Sistem Persamaan Differensial... 10 2.3. Sistem Autonomus... 11 2.4. Titik Setimbang... 12 2.5. Kestabilan Sistem Linear... 13 2.6. Kriteria Routh-Hurwitz... 15 2.7. Masalah Kontrol Optimal... 17 2.8. Prinsip Maksimum Pontryagin... 18 BAB III METODE PENELITIAN... 21 BAB IV PEMBAHASAN... 23 4.1. Model Matematika Penyebaran Virus West Nile... 23 4.1.1. Titik Setimbang Model Matematika Penyebaran Virus West Nile... 28 4.1.2. Analisis Kestabilan Asimtotis Lokal... 32 4.1.2.1. Kestabilan Asimtotis Lokal Pada Titik Setimbang xi
Bebas Penyakit... 34 4.1.2.2. Kestabilan Asimtotis Lokal Pada Titik Setimbang Endemik... 35 4.2. Model Matematika Penyebaran Virus West Nile dengan Kontrol Optimal... 38 4.2.1. Solusi Numerik... 43 BAB V PENUTUP... 51 5.1. Kesimpulan... 51 5.2. Saran... 52 DAFTAR PUSTAKA... 53 LAMPIRAN xii
DAFTAR TABEL Tabel Judul Halaman 4.1 Parameter Model Penyebaran Virus West Nile 24 4.2 Nilai Parameter Model Penyebaran Virus West Nile 32 4.3 Nilai Awal Populasi 36 4.4 Nilai Parameter Model Penyebaran Virus West Nile 44
DAFTAR GAMBAR Gambar Judul Halaman 4.1 Diagram Transmisi Model Penyebaran Virus West Nile 26 4.2 Grafik Bidang Fase Populasi Nyamuk Rentan S m (t) Terhadap Populasi Nyamuk Terinfeksi I m (t) Pada Model Penyebaran Virus West Nile. 36 4.3 Diagram Transmisi Model Penyebaran Virus West Nile dengan Kontrol 38 4.4 Dinamika Populasi Nyamuk Rentan Terhadap Virus West Nile (S m ) 45 4.5 Dinamika Populasi Nyamuk Terinfeksi Terhadap Virus West Nile (I m ) 46 4.6 Dinamika Populasi Burung Rentan Terhadap Virus West Nile (S b ) 47 4.7 Dinamika Populasi Burung Terinfeksi Terhadap Virus West Nile (I b ) 48 4.8 Grafik Kontrol u 49 xiv
DAFTAR LAMPIRAN Nomor Judul Lampiran 1. Perhitungan Titik Setimbang Endemik E 1 2. Analisa Kestabilan Titik Setimbang Bebas Penyakit E 0 3. Kode Program MATLAB Grafik Bidang Fase Pada Titik Setimbang Endemik 4. Skrip M-File toolbox DOTcvp pada Matlab untuk Model Penyebaran Virus West Nile tanpa Pengontrol. 5. Skrip M-File toolbox DOTcvp pada Matlab untuk Model Penyebaran Virus West Nile dengan Pengontrol. xv