Bab 2 Sifat Bahan, Batang yang Menerima Beban Axial 2.1. Umum Akibat beban luar, struktur akan memberikan respons yang dapat berupa reaksi perletakan tegangan dan regangan maupun terjadinya perubahan bentuk. Untuk batang yang menerima beban aksial, perubahan bentuk ini dapat berupa pertambahan panjang (akibat beban tarik) ataupun pemendekan (akibat beban tekan). Batasanbatasan yang harus dipenuhi dalam perancangan struktur teknik antara lain berupa kekuatan bahan (strength) dan kekakuan (stiffness).oleh karena itu, beberapa sifat bahan perlu diperhatikan agar didapatkan hasil perancangan yang efisien serta batasan-batasan tersebut dapat dipenuhi. Salah satu sifat penting dan bahan adalah hubungan antara tegangan dan regangan. 2.2. Hubungan Tegangan-Regangan Jika suatu batang menenma beban aksial, maka akan timbul respons yang dapat berupa tegangan dan perubahan panjang, seperti diperlihatkan pada Gambar 2.1. Tegangan yang terjadi pada potongan normal (potongan yang tegak lurus sumbu batang) disebut tegangan normal. Besarnya tegangan normal rata-rata pada penampang batang yang dibebani beban aksial dapat didekati dengan rumus: N σ = (2.1) A 0 dengan N dalah gaya normal yang bekerja pada penampang dan A 0 adalah luas penampang awal (sebelum dibebani luas penampang ini dianggap konstan). Dalam kenyataannya, luas penampang ini berubah jika beban telah bekerja atau jika beban yang berkerja juga berubah. Anggaplah luas penampang ini konstan. Satuan dan tegangan adalah gaya per satuan luas, dalam Sistem Intemasional (SI) misalnya MN/m 2, N/mm 2 atau MPa. Akibat beban, batang akan mengalami deformasi. Dalam hal ini batang akan memendek jika menenima beban tekan dan memanjang jika menerima beban tarik. Adanya perubahan panjang ini, batang mengalami regangan (s). Sedangkan regangan (s) didefinisikan seperti rumus berikut: l l l 0 ε = (2.2) 0
dengan / adalah panjang batang saat batang dibebani dan l 0 adalah panjang batang awal. Sebagaimana luas penampangnya, panjang awal ini sebenarnya juga tergantung dan kondisi pembebanan sebelumnya, sehingga nilainya dapat berubah-ubah. Satuan regangan adalah perubahan panjang tiap satuan panjang, jadi tidak mempunyai dimensi, dapat dalam persen atau nilai mutlaknya. Gambar 2.1. Batang yang dibebani secara aksial Didepan telah disebutkan, bahwa salah satu sifat bahan terpenting adalah hubungan antara tegangan dengan regangan. Hubungan ini dapat disajikan dalam bentuk diagrarn/kurva tegangan-regangan pada tata sumbu ε - σ yang biasanya didapat dari hasil pengujian tarik atau tekan. Umumnya ukuran benda uji dan cara pengujiannya diatur dalam standarisasi, misalnya ASTM (American Society for the Testing of Materials). Dalarn pengujian, beban dapat dilihat pada alat ujinya, sedangkan untuk mengukur perubahan panjang dapat digunakan alat ukur panjang (extensorneter) yang dapat bekerja secara mekanik yang ditunjukkan oleh dial indicator atau bekerja secara elektrik (displacement tranduce,). Dari kedua pengamatan ini dapat dibuat diagram/ kurva hubungan tegangan-regangan. Beberapa contoh diagram tegangan regangan secara umum dalam kondisi ideal diperlihatkan pada Gambar 2.2. Pada umumnya kurva bagian awal memperlihatkan hubungan yang linier. Pada daerah ini berbanding lurus dengan regangan berlaku hukum Hook, dimana tegangan.
Gambar 2.2. Diagram tegangan-regangan Contoh diagram tegangan regangan tarik baja tulangan dan tekan beton dapat dilihat pada Gambar 2.3 dan 2.4 beserta benda ujinya. Pada benda uji ditempatkan alat untuk mengukur perubahan panjang. Gambar.3. Diagram tegangan regangan tarik baja tulangan (3 buah sampel benda uji)
Gambar 2.4. Diagram tegangan-regangan tekab beton (berbagai kuat tekan beton) Dari diagram tegangan regangan, ada beberapa sifat atau istilah penting antara lain: 1. Modulus elastisitas (Young s Modulus): besaran yang menunjukkan kemiringan diagram!kurva tegangan-regangan. 2. Batas proporsional (proportional limit): tegangan terbesar, pada saat kurva tegangan-regangan masih menunjukkan hubungan yang linier. 3. Batas elastik (elastic limit): tegangan terbesar, dimana bahan akan kembali pada posisi/ukuran semula, jika beban dihilangkan. 4. Titik leleh (yield point): tegangan yang biasanya sedikit di atas batas proporsional, dimana akan terjadi kenaikan regangan meskipun tanpa adanya penambahan atau pengurangan tegangan. 5. Tegangan batas (ultimate stress): tegangan maksimum yang dapat dicapai suatu bahan. 6. Modulus lenting (resilience modulus): luas di bawah kurva tegangan-regangan yang dibatasi oleh tegangan batas proporsional. Satuan modulus lenting adalah satuan energi tiap satuan volume. Luas mi menunjukkan kemampuan bahan dalam menyerap energi, dimana bahan masih bersifat elastik. 7. Keuletan (thougness): luas total di bawah kurva tegangan-regangan. Luas mi menunjukkan kemampuan bahan dalam menyerap energi hingga mencapai runtuh. 8. Pengerasan regangan (strain hardening): kenaikan batas elastik bahan akibat pembebanan ulang (reloading), lihat Gambar 2.3.
9. Ulet (ductile): sifat bahan yang menunjukkan kernampuannya terjadi deformasi plastik tanpa adanya penambahan atau pengurangan beban yang berarti sebelurn mengalami runtuh. 10. Getas (brittle): sifat bahan yang rnenunjukkan deformasi yang sangat kecil sebelum runtuh (lawan dan ulet adalah getas): 11. Isotrop: Bahan yang mernpunyai sifat sama pada berbagai arah. 12. Homogen: Bahan yang mempunyai sifat sama pada setiap titik pada bahannya. 2.3. Angka Poisson (Poisson s Ratio) Batang yang dibebani aksial selain perubahan arah memanjang juga terjadi arah lateral. Gambar 2.5 menunjukkan perubahan bentuk yang berupa kontraksi sebuah batang yang dibebani tarik. Regangan lateral perubahan ukuran pada dihitung dengan rumus: Regangan axial ε x seperti didefinisikan pada Persarnaan (2.2). Sedangkan angka Poisson v (Poisson s ratio) didefinisikan sebagai: Nilai negatif pada rumus di atas menunjukkan adanya kontraksi (pengecilan) pada batang yang dibebani tarik. Gambar 2.5. Deformasi batang yang dibebani tarik 2.4. Hukum Hook Secara Umum Angka Poisson yang didefinisikan pada Persamaan (2.4) berlaku untuk keadaan tegangan uniaksial. Berikut akan ditinjau keadaan yang lebih umum, jika suatu elemen menerima tegangan tiga arah, yaitu: σ σ dan σ xx, yy, zz yang masing-
masing searah dengan sumbu x, y, dan z. Jika bahan dalam keadan linier elastik dan isotrop, maka regangan pada masing-masing arah adalah sebagai berikut: 1. Akibat tegangan σ xx, saja : 2. Akibat tegangan σ yy, saja : 3. Akibat tegangan σ zz, saja : Untuk mendapatkan pengaruh tegangan dan ketiga arah, dapat digunakan azas super posisi, yang nilainya merupakan jumlah aljabar dan masing-masing komponen. Regangan pada masing-masing arah akibat σ σ dan σ xx, yy, zz menjadi sebagai berikut: 2.5. Tegangan dan Regangan Geser Selama ini telah dibahas tegangan dan regangan akibat beban aksial. Berikut akan ditinjau pengaruh tegangan geser pada deformasi. Pandanglah suatu elemen kecil dengan ukuran dx, dy dan d: seperti diperlihatkan pada Gambar 2.6, dimana dianggap hanya terjadi tegangan geser saja (pure shear,) dan hanya bekerja pada bidang zy saja. Tegangan geser pada keempat sisinya masing-masing sebesar τ yz dan τ. OIeh karena keseimbangan gaya F = 0, maka tegangan geser pada zy permukaan sebelah kiri sama dengan sebelah kanan, masing-masing sebesar τ yz, tetapi mempunyai arah yang saling berlawanan. Hal ini juga berlaku untuk permukaan sisi sebelah atas dan bawah. Untuk rnendapatkan hubungan masing-masing tegangan geser τ yz dan τ zy ini, ditinjau momen terhadap titik O: z
Didapat : τ zy = τ yz Dengan cara yang sama, akan berlaku τ = τ dan τ = τ xz zx yz xy Gambar 2.6. Deformasi akibat geseran murni Dari syarat-syarat kesetimbangan gaya dan momen tersebut dapat disimpulkan, bahwa: 1. Tegangan geser pada permukaan yang saling berhadapan adalah sama, tetapi arahnya berlawanan. 2. Tegangan geser pada permukaan yang saling tegak lurus adalah sama, dengan arah masing-masing saling mendekati atau menjauhi. Tegangan geser tersebut akan mengakibatkan perubahan bentuk menjadi keadaan seperti diperlihatkan pada Gambar 2.6(c). Jika bahan bersifat linier, terdapat hubungan linier antara tegangan geser τ dengan sudut penggeseran γ, γ disebut sebagai regangan geser. Hubungan antara tegangan geser dengan regangan geser adalah: τ = Gγ (2.12) dengan G adalah modulus elastisitas geser yang mempunyai satuan sama dengan modulus elastisitas E. Sedangkan satuan dari γ adalah radian, suatu besaran tanpa dimensi. Contoh dalarn praktek, tegangan geser terjadi pada baut yang digunakan sebagai alat sambung seperti diperlihatkan pada Gambar 2.7. Gaya tarik P dari batang sebelah
kanan dilimpahkan pada dua buah batang sebelah kiri masing-masing ½ P melalui baut. Jadi baut menerima gaya geser V yang sama dengan ½ P, sehingga pada penampang k-l dan m-n terjadi gaya yang seolah-olah mengiris baut, yang mengakibatkan pada bidang ini terjadi tegangan geser. Tegangan ini akan terdistribusi pada luas penampang baut. Distribusi tegangan geser ini dalam kenyataannya titik merata pada seluruh penampang baut, sedangkan besarnya tegangan geser rata-rata adalah: dengan V : gaya geser baut A : luas penampang baut, dengan d b = diameter baut Gambar 2.7. Geser pada alat sambung baut Tegangan geser juga terjadi pada batang-batang yang mengalami lentur atau puntir serta bidang atau elemen volum yang menerima tegangan-tegangan normal yang nanti akan dibahan Iebih lanjut pada Bab 4.5 buku ini. 2.6. Hubungan antara E, G dan v Untuk bahan yang bersifat isotrop, konstanta E, G dan v masing-masing saling ketergantungan. Untuk membuktikan hal in pandanglah elemen bidang bujur sangkar yang menerima tegangan tank pada suatu arah dan tekan pada arah yang tegakiurus padanya, seperti diperlihatkan pada Gambar 2.8. Akibat tegangan-tegangan ini elemen akan mengalami tegangan geser sebesar τ = σ dengan membentuk sudut 45 o dari arah tegangan-tegangan di atas, seperti diperlihatkan oleh Lingkaran Mohr pada Gambar 2.8.(c). Pembahasan khusus mengenai Lingkaran Mohr untuk tegangan bidang dapat dilihat pada Bab 8.
Akibat tegangan tarik σ dan tekan σ yy, elemen bujursangkar abcd akan mengalami xx deformasi menjadi a 1 b 1 c 1 d 1. Kedudukan titik O adalah tetap. Sudut geser yang terjadi adalah γ. Pandanglah segitiga Oab, akibat tegangan-tegangan tersebut Ob bertambah panjang menjadi 0b1 dan Oa memendek menjadi 0a1, dengan panjang masing-masing: Dari segitiga Oa 1 b 1 berlaku: tan π γ Oa 1 + ε 1 yy 1 1 = tan = = (2.14) 4 2 Ob 1+ ε ( Ob a ) 1 xx Gambar 2.8. Sebuah elemen bujursangkar yang menerima tegangan tarik dan tekan yang saling tegak lurus Untuk sudut γ, sangat kecil, berlaku : Jika elemen dibebani tegangan murni sebesar: σ xx = σ maka akan mengalami tegangan geser yy
dari Persamaan (2.14) dan (2.15) didapatkan: dari Persamaan (2.1 6a) dapat disederhanakan menjadi: Dengan memperhatikan Persamaan (2.1 6b) dan (2.12), akhirnya didapatkan hubungan antara E, G dan v, yaitu: 2.7. Deformasi Batang yang dibebani Gaya Aksial 2.7.1 Batang homogen dan prismatis Di depan telah dibahas tentang terjadinya deformasi batang yang dibebani gaya aksial ataupaun tank. Contoh batang yang dibebani aksial antara lain batangbatang penyusun struktur rangka (truss), kabel jembatan dan kolom. Jika hanya ditinjau gaya dan deformasi aksial saja, maka berlaku hukum Hook yang dapat dituliskan lagi sebagai berikut: Persamaan di atas dapat diubah menjadi:
Secara umum Persamaan (2.19b) menunjukkan bahwa deformasi aksial batang berbanding lurus dengan gaya aksial N dan panjang batang awal 10, serta berbanding terbalik dengan luas penampang A dan modulus elastisitas E. Gambar 2.9. Batang yang dibebani aksial 2.7.2 Batang homogen non prismatis Secara umum, perubahan panjang batang (dx) dengan panjang awal dx yang mempunyai luas penampang A(x) dan bekerja gaya aksial N(x) adalah: Sedangkan perubahan panjang total batang non prismatis yang dibebani gaya aksial adalah sebagai berikut ini (lihat juga Gambar 2.10). Gambar 2.10. Deformasi batang non prismatis yang dibebani aksial 2.7.3 Batang komposit Apabila batang berupa gabungan antara Iebih dari satu bahan, maka tegangan normal dan deformasi aksial dapat dihitung dengan rumus-rumus yang memperhatikan
kekakuan aksial batang tersebut. Asumsi yang digunakan dalam pembahasan ini adalah adanva lekatan yang sempurna antara bahan-bahan penyusunnva. Akibat dari lekatan yang sempurna ini, semua bahan akan memanjang atau memendek dengan besaran yang sama seperti diperlihatkan pada Gambar 2.11. Akibat gava N, masingmasing komponen bahan menahan gaya N 1, N 2, N 3,..., N n, sehingga berlaku: Besarnya gaya aksial masing-masing bahan dapat dituliskan sebagai berikut: Gambar 2.11. Batang komposit yang dibebani gaya aksial N Oleh karena adanya lekatan sempurna antara masing-masing bahan, maka selain deformasi, regangan aksialnya juga sama yaitu sebesar ε. Sehingga gaya aksial N juga dapat dihitung dengan :
Besarnya perubahan panjang dapat dituliskan: Sedangkan tegangan yang terjadi pada masing-masing bahannya dapat dihitung dengan: 2.8. Deformasi Batang akibat Perubahan Suhu Perubahan suhu suatu benda dapat mengakibatkan terjadinya perubahan dimensinya. Jika perubahan suhu terjadi secara merata pada seluruh benda maka perubahan dimensi ini terjadi pada semua arah. Sebuah batang yang dipanasi, akan terjadi regangan (lihat Gambar 2.12) yang besarnya: Gambar 2.12. Batang dengan kenaikan suhu Akibat perubahan suhu batang akan bertambah panjang l sebesar: 2.9. Konsentrasi Tegangan Pada bagian batang yang terjadi perubahan penampang, misalnya lubang, retak atau perubahan geometri, akan terjadi konsentrasi tegangan. Dalam keadaan elastis, tegangan maksimum di sekitar lubang yang berbentuk ellips (lihat Gambar 2.13) dirumuskan:
Gambar 2.13. Konsentrasi tegangan disekitar lubang Dengan demikian tegangan maksimum yang terjadi disekitar lubang yang berbentuk lingkaran adalah tiga kali dibandingkan tanpa lubang. Jika lubang ini memanjang berbentuk ellips, tegangan maksimum akan membesar. Pada bahan yang elastisplastis, jika beban ditingkatkan, tegangan maksimum akan tetap pada tegangan yang besarnya sama dengan tegangan plastis/ieleh, lihat Gambar 2.14. Gambar 2.14. Konsentrasi tegangan di sekitar lubang pada kondisi elastis dan plastis 2.10. Contoh/ApIikasi Contoh 2.1 : Batang komposit baja-beton dengan penampang seperti diperlihatkan pada gambar di bawah dibebani N 1 dan N 2 masing-masing sebesar 400
kn. Jika modulus elastisitas beton E c = 2.10 4 MPa dan baja E s = 3.10 4 MPa, hitunglah tegangan yang terjadi pada masing-masing bahannya pada potongan I-I dan II-Il. Hitunglah pula pertambahan panjang batang tersebut. Penyelesaian Batang 1: Batang 2 : sifat tampang sama dengan batang 1, gaya batang = N 2
Oleh karena N2 = 0,5; maka besarnya tegangan-tegangan: Besarnya pertambahan panjang total adalah: 2.11. Rangkuman Ada beberapa hal penting yang dapat dirangkum dan bab mi, yaitu: 1. Batang yang menerima gaya aksial sentris atau perubahan suhu, akan terjadi deformasi arah memanjang, regangan, dan tegangan normal. 2. Hubungan tegangan-regangan dapat digunakan untuk mengetahui sifat-sifat mekanik dan kekuatan bahan, antara lain: modulus elastisitas, batas elastik, batas sebanding, tegangan Ieleh, sifat getas, daktail dan sebagainya. 3. Secara umum hukum Hook berlaku untuk bahan yang bersifat masih bersifat elastis linier. Rumus umum untuk mencari deformasi batang yang dibebani secara aksial adalah:
Sedangkan tegangan rata-rata yang terjadi pada luasan A(x) adalah: 4. Pada setiap bahan yang clastik linier, ada hubungan antara modulus elastisitas E, modulus geser G dan Poisson s ratio yang dirumuskan sebagai berikut: 5. Tegangan batang yang terbuat lebih dari satu bahan (komposit) tergantung dari modulus elastisitas masing-masing komponen bahannya, yang dirumuskan: 2.12. Soal-soal 1. Sebuah batang pnsmatik dengan penampang bujur sangkar dengan sisi 20 mm. Batang tersebut menenma gaya tank sebesar 100 kn. Panjang batang L 3,0 m dengan Modulus Elastisitas E = 80 GPa. Hitunglah deformasi aksial (l) jika bahan bersifat elastik linear. 2. Sebuah pilar jembatan mendukung beban aksial sentris sebesar 3000 kn. Bahan pilar tersebut adalah beton bertulang dengan luas tulangan sama sepanjang pilar, sedangkan penampang pilar non prismatis (lihat gambar). Modulus elastisitas beton E c = 2.10 4 MPa dan baja E s = 2.10 5 MPa.
Pertanyaan: Berapakah tegangan yang terjadi pada beton dan baja pada bagian pangkal pilar Sama dengan soal no. 2.1 pada bagian tengah pilar Berapakah penurunan bagian atas (ujung) pilar tersebut. 3. Pengujian silinder beton dengan diameter 15 cm dan tinggi 30 cm didapatkan basil bahwa pada saat pembebanan tekan P = 250 kn tercatat adanya penurunan sebesar 0,17 mm dan pembesaran diameter 0,1 mm. Dari pengujian ini, berapakah modulus elastisitas E dan angka Poisson vbeton tersebut. Jika sampai pada pembebanan mi beton dalam kondisi elastis, gambarkanlah hubungan tegangan dan regangan (6). 4. Suatu batang tarik perlu dilakukan penyambungan dengan alat sambung baut. Diameter baut yang digunakan adalah 20 mm dan tegangan geser ijin 140 MPa. Gaya yang harus dipikul batang tank tersebut adalah 150 kn. Berapa buah baut yang dibutuhkan agar sambungan tersebut mampu menahan beban. 5. Ketentutan seperti pada no. 4 di atas. Jika penyambungnya dilakukan seperti pada cara di bawah, berapa buah baut yang diperlukan.
6. Suatu batang terdiri dari dua bagian (lihat gambar). Batang tersebut dipanasi (merata), sehingga terjadi reaksi pada tumpuan A dan B. (catatan : diketahui angka muai termal baja α = 12.10-6 / C. Berapakah besar reaksi pada ujung batang. 7. Suatu pelat metal diperlihatkan pada gambar di bawah dibebani gaya aksial P = 40 kn. Hitunglah tegangan normal maksimurn yang terjadi pada potongan I-I, II-II, III- III dan IV-IV.
Sebuah batang AB rnempunyai dua buah penampang Iingkaran dengan diameter masing-masing d 1 = 30 cm dan d 2 = 40 cm. Pada titik C dibebani gaya aksial P sebesar 100 kn (lihat gambar di samping). Jika batang tersebut terbuat dan bahan dengan modulus elastisitas E = 25000 MPa, tentukanlah besarnya reaksi pada ujung atas dan bawah batang tersebut. Sebuah kaki kolom beton dengan penampang bujur sangkar denganpanjang sisi 100 mm ditulangi empat buah batang baja dengan luas tulangan total 500 mm 2. Tegangan ijin baja 200 MPa dan beton 20 MPa. Hitung beban maksimum P yang dapat didukung kaki kolom tersebut jika modulus elastisitas baja E, = 200.000 MPa dan beton E =20 000 MPa.