BAB II LANDASAN TEORI Dalam bab ini diuraikan dua subbab yaitu tinjauan pustaka dan landasan teori. Subbab tinjauan pustaka memuat hasil-hasil penelitian yang telah dilakukan. Subbab landasan teori memuat teori-teori yang digunakan dalam penelitian. 2.1 Tinjauan Pustaka Jika jumlah fasilitas pelayanan lebih sedikit dibandingkan dengan jumlah pelanggan maka akan terjadi antrian (Taha [9]). Waktu mengantri yang terlalu lama menyebabkan pelanggan jenuh, sehingga enggan kembali berkunjung (Fitrie [4]). Menurut Taylor [10] dilihat dari desain fasilitas pelayanan terdapat empat struktur antrian, yaitu single channel single phase (satu antrian satu pelayanan), multi channel single phase (beberapa antrian satu pelayanan single), multi channel multi phase (beberapa antrian beberapa pelayanan pararel), single channel multi phase (satu antrian beberapa pelayanan seri). Sistem antrian telah menarik perhatian para peneliti sejak 1909 ketika Erlang pertama kali menganalisis masalah fluktuasi permintaan fasilitas telefon dan keterlambatan pelayanannya (Gross dan Harris [5]). Pei-Chun dan Ann Shawing [3] meneliti efisiensi layanan ATM dari 26 lembaga keuangan mencakup hubungan dengan pelayanan bank di Taiwan dengan menentukan model dan ukuran kinerja sistem antriannya. Bakari et al. [1] melakukan penelitian sistem antrian pada ATM di salah satu bank Nigeria dengan menentukan model antrian di bawah kondisi steady-state dan menentukan ukuran kinerja sistemnya. Sugito [8] menentukan model antrian dan ukuran kinerja sistem pada antrian kereta api di Stasiun Besar Cirebon dan Stasiun Cirebon Prujakan. 4
2.2 Landasan Teori Berikut adalah teori-teori yang melandasi penelitian ini. Teori yang digunakan antara lain, deskripsi antrian, struktur dasar model antrian, notasi Kendall-Lee, faktor sistem antrian, distribusi Poisson, distribusi eksponensial, ukuran steady-state, model antrian, dan uji kecocokan distribusi. 2.2.1 Sistem Antrian Sebuah sistem antrian adalah suatu himpunan pelanggan, pelayan dan suatu aturan yang mengatur pelayanan kepada pelanggan. Sedangkan keadaan sistem menunjuk pada jumlah pelanggan yang berada dalam suatu fasilitas pelayanan, termasuk dalam antriannya. Salah satu populasi adalah jumlah pelanggan yang datang pada fasilitas pelayanan. Besarnya populasi merupakan jumlah pelanggan yang memerlukan pelayanan. Proses antrian dimulai saat pelanggan-pelanggan yang memerlukan pelayanan mulai datang. Mereka berasal dari suatu populasi yang disebut sebagai sumber masukan. Proses antrian sendiri merupakan suatu proses yang berhubungan dengan kedatangan pelanggan pada suatu fasilitas pelayanan, menunggu dalam baris antrian jika belum dapat dilayani, dilayani dan akhirnya meninggalkan fasilitas tersebut sesudah dilayani. Menurut Kakiay [6], ada empat struktur dalam sistem antrian antara lain: 1. Single Channel Single Phase Subjek pemanggilan dalam pelanggan yang dilayani dalam sebuah antrian akan membentuk antrian tiap satu barisan antrian dan selanjutnya akan berhadapan dengan satu fasilitas pelayanan. Model Single Channel Single Phase dapat dilihat pada Gambar 2.1 5
Gambar 2.1. Single Channel Single Phase 2. Single Channel Multiple Phase Subjek pemanggilan dalam pelanggan yang dilayani dalam sebuah antrian akan masuk dan membentuk satu barisan antrian dan selanjutnya akan berhadapan dengan satu fasilitas pelayanan kemudian membentuk barisan antrian lagi sampai pelayanan selesai. Model Single Channel Multiple Phase dapat dilihat pada Gambar 2.2 Gambar 2.2. Single Channel Multiple Phase 3. Multiple Channel Single Phase Subjek pemanggilan dalam pelanggan yang dilayani dalam sebuah antrian akan masuk dan membentuk satu barisan antrian dan selanjutnya akan berhadapan dengan beberapa fasilitas pelayanan identik secara paralel. Model Multiple Channel Single Phase dapat dilihat pada Gambar 2.3 Gambar 2.3. Multiple Channel Single Phase 6
4. Multiple Channel Multi Phase Subjek pemanggilan dalam pelanggan yang dilayani dalam sebuah antrian akan masuk dan membentuk beberapa barisan antrian dan selanjutnya akan berhadapan dengan beberapa fasilitas pelayanan identik secara paralel kemudian membentuk barisan antrian lagi sampai pelayanan selesai. Model Multiple Channel Multiple Phase dapat dilihat pada Gambar 2.4 Gambar 2.4. Multiple Channel Multiple Phase 2.2.2 Notasi Kendall-Lee Karakteristik sistem antrian dinotasikan dengan notasi Kendall-Lee. Notasi tersebut untuk mengidentifikasikan model dan asumsi yang harus dipenuhi. Bentuk umum notasi tersebut dituliskan oleh Taha [9] dalam bentuk (a/b/c) : (d/e/f), dimana notasi a sampai dengan f berturut - turut merupakan distribusi kedatangan, distribusi pelayanan, jumlah fasilitas pelayanan, disiplin pelayanan, jumlah maksimum yang diizinkan dalam sistem dan ukuran sumber pemanggilan. Notasi a sampai f dapat digantikan oleh simbol yang diberikan dalam Tabel 2.1. 7
Tabel 2.1. Simbol pengganti notasi Kendall-Lee Karakteristik Antrian Simbol Keterangan Distribusi M Eksponensial waktu antar kedatangan D Konstan atau deterministik E k GI Erlang atau gamma dengan parameter k General (umum) Distribusi M Eksponensial waktu pelayanan D Konstan atau deterministik E k G Erlang atau gamma dengan parameter k General (umum) Disiplin antrian FIFO First In First Out (pertama masuk pertama dilayani) LIFO Last In First Out (terakhir masuk pertama dilayani) SIRO Service In Random Order (pelayanan secara acak) 2.2.3 Faktor Sistem Antrian Menurut Kakiay [6], terdapat beberapa faktor penting yang terkait erat dengan sistem antrian yaitu 1. Distribusi waktu antar kedatangan Pola kedatangan para pelanggan biasanya diperhitungkan melalui waktu antar kedatangan, yaitu waktu antar kedatangan dua pelanggan yang berurutan pada suatu fasilitas pelayanan. Kedatangan pelanggan mengikuti suatu proses dengan distribusi probabilitas tertentu. Distribusi probabilitas yang sering memenuhi adalah distribusi Poisson, dimana kedatangan bersifat bebas dan tidak berpengaruh oleh kedatangan sebelum atau se- 8
sudahnya. Berdasarkan asumsi distribusi Poisson tersebut, menunjukkan bahwa kedatangan pelanggan atau barang sifatnya acak dan memiliki laju kedatangan sebesar lambda (λ) merupakan jumlah pelanggan yang datang dalam satuan waktu. Pada sistem antrian, distribusi kedatangan merupakan faktor penting yang berpengaruh besar terhadap kelancaran pelayanan. Pola kedatangan terbagi dua, yaitu kedatangan secara individu (single arrivals) dan kedatangan secara berkelompok (bulk arrivals). 2. Distribusi lama waktu pelayanan Pola pelayanan ditentukan oleh lama waktu pelayanan, yaitu waktu yang dibutuhkan untuk melayani pelanggan pada fasilitas pelayanan. Distribusi probabilitas yang banyak digunakan dalam teori antrian untuk menggambarkan lama waktu pelayanan adalah distribusi eksponensial, dimana variabelnya berdiri bebas tanpa memori masa lalu. Laju pelayanan diberi simbol µ merupakan jumlah pelanggan yang dapat dilayani dalam satuan waktu, sedangkan rata-rata waktu yang diperlukan untuk melayani setiap pelanggan adalah 1. Bentuk pelayanan terbagi menjadi dua, yaitu pelayan- µ an secara individual (single service) dan pelayanan secara kelompok (bulk service). 3. Fasilitas pelayanan Fasilitas pelayanan berkaitan erat dengan baris antrian yang akan dibentuk. Desain fasilitas pelayanan ini dapat dibagi dalam tiga bentuk, yaitu (a) Bentuk series, dalam satu garis lurus ataupun garis melingkar. (b) Bentuk paralel, dalam beberapa garis lurus yang antara yang satu dengan yang lain paralel. (c) Bentuk network station, yang dapat di desain secara series dengan pelayanan lebih dari satu pada setiap stasiun. Bentuk ini dapat juga dilakukan secara paralel dengan stasiun yang berbeda-beda. 9
4. Disiplin pelayanan Disiplin pelayanan berkaitan erat dengan urutan pelayanan bagi pelanggan yang memasuki fasilitas pelayanan. Disiplin pelayanan ini terbagi dalam tiga bentuk, yaitu (a) Pertama datang, pertama dilayani (FIFO = First In First Out). (b) Terakhir datang, pertama kali yang dilayani (LIFO = Last In First Out). (c) Pelayanan dalam random order (SIRO = Service In Random Order). 5. Ukuran dalam antrian Besarnya antrian pelanggan yang akan memasuki fasilitas pelayanan pun perlu diperhatikan. Ada dua desain yang dapat dipilih untuk menentukan besarnya antrian, yaitu (a) Ukuran kedatangan secara tidak terbatas (infinite queue). (b) Ukuran kedatangan secara terbatas (finite queue). 6. Sumber pemanggilan Dalam fasilitas pelayanan, yang berperan sebagai sumber pemanggilan dapat berupa mesin maupun manusia. Bila ada sejumlah mesin yang rusak maka sumber pemanggilan akan berkurang dan tidak dapat melayani pelanggan. Ada dua jenis sumber pemanggilan, yaitu (a) Sumber panggilan terbatas (finite calling source). (b) Sumber panggilan tak terbatas (infinite calling source). 2.2.4 Distribusi Poisson dan Distribusi Eksponensial Menurut Gross dan Harris [5], jumlah kedatangan yang terjadi pada interval waktu t adalah variabel acak yang mengikuti suatu distribusi Poisson dengan parameter λt dan peluang n pelanggan dalam sistem adalah p n (t) = e λt (λt) n, n = 0, 1, 2,... ; 0 λ, (2.1) n! 10
dengan n adalah frekuensi kedatangan per satuan waktu, λt adalah rata-rata kedatangan pelanggan per satuan waktu t, e adalah bilangan Euler (e = 2, 71828...), dan p n (t) adalah peluang n pelanggan dalam sistem pada waktu t. Jika jumlah kedatangan mengikuti distribusi Poisson maka suatu variabel random waktu antar kedatangan mengikuti distribusi eksponensial (Gross dan Harris [5]). Misalkan t adalah interval waktu sejak terjadinya kejadian terakhir, maka cdf untuk t adalah probabilitas nilai waktu antar kedatangan yang dinyatakan dengan T lebih kecil dari t atau dapat dinyatakan F (t) = P (T < t) (2.2) = 1 P (T t). Probabilitas waktu antar kedatangan lebih besar dari t sama dengan probabilitas tidak adanya pelanggan yang datang pada waktu t atau p 0 (t) dengan 0 adalah indeks yang menunjukkan jumlah pelanggan dalam sistem. Persamaan (2.2) dapat dituliskan kembali menjadi F (t) = P (T < t) = 1 P (T t) = 1 p 0 (t). Diasumsikan bahwa banyaknya pelanggan yang datang mengikuti distribusi Poisson, maka probabilitas bahwa tidak ada pelanggan yanng datang selama waktu t dinyatakan sebagai p 0 (t) = e λt (λt) 0 0! = e λt. Sehingga fungsi distribusi komulatif (cdf ) untuk t dinyatakan sebagai F (t) = 1 e λt. Fungsi densitas probabilitas (pdf ) untuk t adalah turunan parsial pertama 11
dari fungsi densitas komulatifnya, sehingga pdf dari t adalah F (t) f(t) = t = (1 e λt ) t = λe λt. Terlihat bahwa fungsi densitas probabilitas untuk t mengikuti distribusi eksponensial dengan parameter λ atau waktu antar kedatangan berdistribusi eksponensial. 2.2.5 Ukuran Kesetimbangan (Steady State) Menurut Taha [9], probabilitas steady-state dari P n untuk n pelanggan dalam sistem yang ditentukan yaitu λ < µ. Ukuran-ukuran kinerja yang terpenting dari situasi antrian setelah terpenuhi kondisi kesetimbangan yang dipergunakan untuk menganalisis situasi antrian adalah rata-rata banyaknya pelanggan yang menunggu dalam antrian dan rata-rata lama waktu menunggu dalam antrian. Oleh karena itu diperoleh persamaan kesetimbangan ρ = λ cµ < 1, dengan λ adalah laju kedatangan pelanggan dan µ adalah laju pelayanan pelanggan. Setelah kondisi kesetimbangan steady-state tercapai, dapat dihitung ukuranukuran dari kinerja situasi antrian tersebut. Adapun notasi dalam kondisi steadystate yaitu L s : ekspektasi jumlah pelanggan dalam sistem, L q : ekspektasi jumlah pelanggan dalam antrian, W s : ekspektasi waktu menunggu dalam sistem, W q : ekspektasi waktu menunggu dalam anttrian. 12
2.2.6 Model Antrian (M/M/1) : (F IF O/ / ) Model antrian (M/M/1) : (GD/ / ) adalah model antrian dengan waktu antar kedatangan berdistribusi eksponensial dan lama waktu pelayanan berdistribusi eksponensial dengan jumlah pelayan adalah satu. Menurut Taha [9], model ini merupakan model pelayanan tunggal tanpa batas kapasitas baik dari kapasitas sistem maupun kapasitas sumber masukkan. Asumsi pada model ini adalah laju kedatangan dan laju pelayanan konstan, yaitu λ n = λ dan µ n = µ untuk semua n. Dengan mendefinisikan ρ = λ, diperoleh nilai probabilitas terdapat n pe- µ langgan dalam sistem yaitu P n = ρ n P 0, n = 0, 1, 2,.... Dalam penentuan P n dengan menggunakan fakta bahwa jumlah semua nilai P n untuk n = 0, 1, 2,... sama dengan 1 diperoleh P 0 (1 + ρ + ρ 2 +...) = 1 Dengan mengasumsikan ρ < 1, deret geometri akan memiliki jumlahan ( 1 ), sehingga 1 ρ 1 P 0 ( 1 ρ ) = 1 atau P 0 = 1 ρ. Dengan demikian diperoleh rumus umum untuk probabilitas terdapat n pelanggan dalam sistem adalah sebagai berikut P n = (1 ρ)ρ n, n = 0, 1, 2,.... Keadaan dimana ρ < 1, atau λ < µ menunjukkan bahwa laju kedatangan harus secara ketat lebih kecil daripada laju pelayanan di suatu fasilitas pelayanan agar sistem tersebut mencapai stabilitas (steady-state). Hal ini masuk akal karena dalam kondisi lainnya, ukuran antrian akan meningkat menjadi tak hingga sehingga kondisi steady-state tidak dapat tercapai (Taha [9]). 13
Ekspresi untuk L s, L q, W s dan W q pada model ini yaitu L s = ρ 1 ρ, L q = L s ρ = ρ 1 ρ ρ = ρ2 1 ρ, W s = L s λ = 1 ρ λ 1 ρ = ρ λ(1 ρ), W q = L q λ = 1 ρ 2 λ 1 ρ = ρ 2 λ(1 ρ). 2.2.7 Model Antrian (M/M/c) : (F IF O/ / ) Dalam model antrian ini sering dijumpai dua atau lebih jalur atau stasiun pelayanan yang tersedia untuk menangani pelanggan yang datang. Dengan asumsi pelanggan menunggu pelayanan membentuk satu jalur dan akan dilayani pada stasiun pelayanan yang tersedia pertama kali pada saat itu. Model antrian jalur berganda banyak ditemukan pada sebagian besar bank. Para pelanggan tiba dengan laju konstan λ dan maksimum c pelanggan dapat dilayani secara bersamaan dan laju pelayanan adalah µ. Pengaruh penggunaan c pelayan yang paralel adalah mempercepat laju pelayanan dengan memungkinkan dilakukanya beberapa pelayanan secara bersamaan. Jika jumlah pelanggan dalam sistem adalah n dimana n c, maka laju pelayanan gabungan dari sarana tersebut sama dengan cµ. Sedangkan jika n < c, maka laju pelayanan adalah nµ. Dengan memisalkan r = λ dan ρ = r = λ, Taha [9] menentukan µ c µc nilai probabilitas terdapat n pelanggan saat n < c dalam model ini adalah dan untuk n c P n = ρ n P 0 = λ n µ(2µ)(3µ)...(nµ) P 0 = λn n!µ n P 0 P n = ρ n P 0 = λ n c!c n c µ P 0. n 14
Jika diambil r = λ µ dan ρ = r c maka nilai P 0 ditentukan dari n=0 P n = 1 yang memberikan c 1 P 0 = { n=0 λ n n!µ + n n=c r n c!c n c } 1. Dengan mengambil m = n c diperoleh r n = rc ( r c!c n c c! c )n c n=c n=c = rc ( r c! c )m Sehingga diperoleh nilai P 0 yaitu n=0 = rc c! m=0 1 1 r, ( r c = ρ < 1). c c 1 λ n P 0 = { n!µ + rc 1 n c! 1 r } 1, ( r c = ρ < 1). c Ekspresi untuk ekspektasi jumlah pelanggan dalam antrian L q sebagai berikut dengan m = n c diperoleh L q = L q = (n c)p n, n=c+1 r c ρ c!(1 ρ) 2 P 0. diperoleh Kemudian dapat ditentukan semua ukuran kinerja sistem antrian pada model ini yaitu L s, W s dan W q sebagai berikut L s = L q + r W q = L q λ W s = W q + 1 µ. 2.2.8 Uji Kecocokan Distribusi Uji kecocokan distribusi yang digunakan untuk menguji data waktu antar kedatangan dan lama waktu pelayanan teller adalah uji Kolmogorov. Uji Kolmogorov merupakan suatu uji yang digunakan untuk menguji hipotesis tentang 15
kecocokan data pada suatu distribusi. Pada uji tersebut akan diketahui apakah data waktu antar kedatangan dan lama waktu pelayanan teller berdistribusi eksponensial. Langkah pengujian diuraikan sebagai berikut. 1. Menentukan hipotesis H 0 : Data yang diamati berdistribusi eksponensial, H 1 : Data yang diamati tidak berdistribusi eksponensial. 2. Menentukan taraf signifikansi Taraf signifikansi α sebesar 5%. 3. Kriteri uji H 0 ditolak jika nilai D > nilai D tabel. 4. Statistik uji D = sup S(x) F 0 (x), x = 0, 1, 2,..., x dengan S(x) adalah distribusi kumulatif data sampel (fungsi distribusi empiris), F 0 (x) adalah distribusi kumulatif dari distribusi yang dihipotesiskan (fungsi distribusi tertentu). 2.3 Kerangka Pemikiran Berdasarkan tinjauan pustaka dapat disusun suatu kerangka pemikiran yang telah dituliskan. Pada penelitian ini diterapkan sistem antrian yang diawali dengan pengambilan data dari suatu proses antrian pada bagian teller di Bank Tabungan Negara (BTN) Kantor Cabang Surakarta. Setelah itu, dilakukan pengecekan kondisi kesetimbangan (steady-state), dimana harus memenuhi kondisi kesetimbangan (steady-state) (ρ = λ cµ < 1), selanjutnya di cek uji kecocokan ditribusi untuk menentukan model yang sesuai berdasarkan data yang telah dikumpulkan. Kemudian menentukan model dan ukuran kinerja sistem antrian bagian teller di Bank Tabungan Negara (BTN) Kantor Cabang Surakarta. 16