PEMODELAN MATEMTIKA Oleh : Prof. Dr. Edi Cahyono Edisi pertama Cetakan Pertama, 2013 Hak Cipta 2013 pada penulis, Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak atau memindahkan sebagian atau seluruh isi buku ini dalam bentuk apa pun, secara elektronis maupun mekanis, termasuk memfotokopi, merekam, atau dengan teknik perekaman lainnya, tanpa izin tertulis dari penerbit. Ruko Jambusari No. 7A Yogyakarta 55283 Telp. : 0274-889836; 0274-889398 Fax. : 0274-889057 E-mail : info@grahailmu.co.id Cahyono, Edi, Prof. Dr. PEMODELAN MATEMATIKA/Prof. Dr. Edi Cahyono - Edisi Pertama Yogyakarta; Graha Ilmu, 2013 viii + 128 hlm, 1 Jil. : 23 cm. ISBN: 978-602-262-100-3 1. Matematika I. Judul
KATA PENGANTAR Pemodelan Matematika merupakan salah satu tahapan dalam penerapan matematika. Di sisi lain, penerapan matematika telah banyak membantu komunitas masyarakat maupun negara menjadi lebih maju, baik dalam bidang ekonomi, industri, maupun sains dan teknologi. Hal ini dipertegas oleh Society of Industrial and Applied Mathematics (SIAM), komunitas matematikawan untuk penerapan dan industri, yang berkedudukan di Amerika Serikat. Dalam salah satu laporannya, SIAM menyebutkan bahwa penggunaan matematika di industri telah berkembang pesat, matematikawan memberi kontribusi pada keunggulan teknis, dan penghematan biaya melalui pemodelan matematika, analisis matematika dan perhitungan numerik. Lebih jauh lagi, akhir tahun 2008 majalah The Economist memuat artikel berjudul Innovation in America: A gathering storm. Dikatakan pada artikel tersebut bahwa banyak pebisnis di Amerika mulai khawatir kalah dalam hal inovasi melawan Cina dan India. Khususnya, mereka khawatir karena India dan Cina telah berinvestasi banyak dalam mengajar generasi mudanya dengan matematika dan sains, juga dalam riset ilmiah tingkat lanjut (advanced scientific research). Fakta tersebut menunjukkan bahwa Pemodelan Matematika merupakan salah satu hal yang sangat penting dalam pembelajaran mate-
vi Pemodelan Matematika matika dan penerapannya. Selain itu, akhir-akhir ini penulisan tugas akhir (skripsi, tesis bahkan disertasi) yang didasarkan pada riset interdisipliner yang melibatkan pemodelan matematika juga semakin berkembang. Hal ini terjadi bukan hanya dalam Prodi Matematika, tetapi juga pada bidang ilmu lain seperti ekonomi maupun rekayasa/teknik/ engineering. Namun demikian, keberadaan literatur tentang Pemodelan Matematika, khususnya yang berbahasa Indonesia, sangatlah terbatas. Lebih terbatas lagi buku Pemodelan Matematika yang mengangkat masalah (baik sains, teknologi, ekonomi maupun industri) yang muncul Indonesia. Buku ini merupakan pengantar dari rangkaian buku yang akan mengikutinya yang sedang penulis persiapkan. Buku ini akan menjawab sejumlah pertanyaan tentang apa saja model matematika, serta contoh model matematika dari suatu fenomena sederhana. Namun demikian, disediakan juga contoh yang dari aspek matematikanya begitu lengkap yaitu model matematika gerak ayunan. Fenomena ini memberikan model tak linear. Walaupun ekspresi matematis solusi analitiknya belum diketahui, solusinya secara kualitatif dapat digambarkan dalam bidang fase. Lebih dari itu, untuk kasus ayunan dengan sudut kecil, modelnya dapat dilinearisasi, dan solusi analitiknya dapat dituliskan dalam fungsi matematis. Singkat kata, buku ini diharapkan memberi wawasan bagi setiap pembaca tentang model matematika, serta cara membuat/merumuskan model matematika dari suatu fenomena. Lebih dari itu, bila pembaca juga belajar melakukan kembali proses merumuskan model maka dia dapat mengembangkan pengalaman merumuskan model. Pengalaman ini sangat penting dalam mengembangkan model matematika dari suatu masalah, apalagi masalah-masalah di industri di mana matematika diharapkan dapat ikut berperan dalam penyelesaiannya. Kendari, Juni 2013. Penulis
DAFTAR ISI KATA PENGANTAR DAFTAR ISI BAB I MODEL, MODEL MATEMATIKA DAN PEMODELAN MATEMATIKA 1 1.1 Model Matematika 1 1.2 Model Matematika dan Penerapannya 4 1.3 Pencocokan Kurva (curve fitting) 7 1.4 Persamaan Diferensial Sebagai Model Matematika 18 BAB II MODEL MATEMATIKA GERAK JATUH BEBAS 23 2.1 Pendahuluan 23 2.2 Gerak Benda Jatuh tanpa Gesekan dengan Udara 25 2.3 Gerak Benda Jatuh Mengalami Gesekan dengan Udara 29 2.4 Gerak Parabola 34 2.5 Gerak Vertikal-Horisontal dengan Gesekan Udara 36 BAB III MODEL MATEMATIKA SISTEM PEGAS DAN MASSA 43 3.1 Pendahuluan 43 3.2 Sistem Satu Pegas Satu Massa 44 v vii
viii Pemodelan Matematika 3.3 Sistem Satu Pegas Satu Massa Teredam 47 3.4 Analisis Bidang Fase 53 3.5 Sistem Dua Pegas Satu Massa 61 3.6 Sistem Dua Pegas Satu Massa Lanjutan 64 3.7 Transformasi ke Variabel Tanpa Dimensi 67 BAB IV MODEL MATEMATIKA GERAK AYUNAN MASSA 73 4.1 Pendahuluan 73 4.2 Model Matematika Gerak Ayunan Massa 74 4.3 Pendekatan untuk Simpangan Kecil 76 4.4 Analisis Bidang Fase 79 4.5 Gerak Ayunan Teredam 88 4.6 Transformasi ke Variabel Tanpa Dimensi 89 BAB V MODEL MATEMATIKA GERAK KACA PADA PROSES PRODUKSI CERMIN 95 5.1 Pendahuluan 95 5.2 Model Matematika Gerak Kaca Didekati dengan Fungsi Tangga 97 5.3 Model Matematika Gerak Kaca Didekati dengan Fungsi Linear 104 5.4 Model Matematika Gerak Kaca Didekati dengan Fungsi Mulus 109 DAFTAR PUSTAKA 123 -oo0oo-
BAB I MODEL, MODEL MATEMATIKA DAN PEMODELAN MATEMATIKA 1.1 MODEL MATEMATIKA Kita sering mendengarkan kata model dalam kehidupan sehari-hari. Model pesawat terbang atau model mobil yang dijalankan dengan menggunakan pengendali jarak jauh (remote control). Dalam hal ini kata model dapat diterjemahkan sebagai tiruan yang menyerupai sesungguhnya; dalam beberapa hal memiliki karakteristik benda aslinya. Model pesawat terbang adalah tiruan pesawat terbang, dalam beberapa hal memiliki karakteristik seperti pesawat sesungguhnya, misalnya: bentuk, proporsi ukuran, bahkan beberapa model pesawat bisa terbang. Meskipun hanya berupa tiruan suatu objek, beberapa model memiliki manfaat yang penting. Desain pesawat terbang baru perlu diuji coba untuk mengetahui sifat aerodinamikanya. Untuk tujuan ini, model pesawat terbang dapat diuji sifat aerodinamikanya dalam terowongan angin (wind tunnel). Uji coba ini jelas lebih aman dan lebih murah daripada membuat dan merakit pesawat sungguhan, kemudian menerbangkannya. Sifat aerodinamika model dalam banyak hal sama dengan sifat aerodinamika pesawat sesungguhnya, tentunya dengan perhitungan-perhitungan tertentu.
2 Pemodelan Matematika Pada masa-masa awal, akan lebih aman dan lebih murah bagi para calon pilot untuk menggunakan model yang menyerupai cockpit pesawat daripada langsung berlatih menerbangkan pesawat sungguhan. Jadi secara umum, di tahap awal penggunaan model lebih praktis, lebih mudah, lebih murah dan lebih aman daripada langsung berhubungan dengan objek sesungguhnya. Model dapat dibedakan menjadi model ikonik, model analog, dan model simbolik. Model ikonik menyeruapi model aslinya dari segi fisik, seperti bentuk, pola dan fungsi, misalnya model mobil atau model pesawat terbang. Model analog adalah model yang berupa sistem dan digunakan untuk menggambarkan atau menjelaskan sistem lain. Model analog biasanya lebih mudah dimengerti daripada sistem yang digambarkannya. Model aliran air seringkali digunakan untuk menjelaskan aliran listrik. Aliran air dapat diamati dengan mata, dibandingkan aliran listrik yang tak terlihat. Sedangkan model simbolik adalah model yang menggunakan simbol atau lambang untuk menggambarkan sifat-sifat (karakteristik) objek yang dimodelkannya. Model matematika merupakan salah satu model yang menggunakan lambang atau simbol. Model matematika suatu fenomena adalah suatu ekspresi matematika yang diturunkan dari fenomena tersebut. Ekspresi dapat berupa persamaan, sistem persamaan atau ekspresi-ekspresi matematika yang lain seperti fungsi maupun relasi. Model matematika digunakan untuk menjelaskan karakteristik fenomena yang dimodelkannya, dapat secara kualitatif atau kuantitatif. Dalam memperoleh, membuat, mengembangkan atau menurunkan model matematika kita melibatkan asumsi-asumsi, pendekatan-pendekatan maupun pembatasan-pembatasan yang didasarkan atas eksperimen maupun observasi terhadap fenomena sebenarnya. Asumsi, pendekatan maupun pembatasan ini digunakan untuk mempelajari fenomena tersebut secara sederhana (penyederhanaan fenomena sesungguhnya), dan juga seringkali digunakan untuk mempelajari kontribusi faktor-faktor tertentu dengan tiadanya faktor yang lain pada fenomena yang dipelajari. Keberadaan kontribusi faktor tertentu