Banyaknya penelpon di waktu sibuk(jam kerja) Operator telepon terbatas Penelpon menunggu dilayani Teoriyang menyangkut studi matematis dari antrianantrian A.K. Erlang tahun 1910 Teori Antrian Proses antrian Sistem antrian Keadaan sistem
Analisis Teori Antrian Ukuran Performansi Waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan dalam sistem Rata-rata jumlah pelanggan dalam sistem Probabilitas sistem pelayanan akan kososng Waktu rata-rata yang dihabiskan pelanggan dalam antrian Panjang antrian rata-rata Probabilitas sejumlah pelanggan berada dalam sistem
Sistem Antrian Karakteristik/ komponen Kedatangan Disiplin antrian Fasilitas pelayanan
Pola kedatangan Pola waktu pelayanan Desain fasilitas pelayanan Disiplin antrian Ukuran antrian Sumber input Perilaku pelanggan
Pola kedatangan Deterministik Probabilistik Waktu antar kedatangan pelangganyang berurutan
Pola waktu pelayanan Deterministik Probabilistik Waktuyang dibutuhkan untuk melayani seorang pelanggan.
Seri Desain fasilitas pelayanan Paralel Gabungan
1 2 3 4 1
FCFS (First Come First Served) Disiplin antrian LCFS (Last Come First Served) SIRO (Service in Random Order) Service Priority
Kapasitasantrian/ kapasitas tempat mengantri Terbatas Ukuran antrian Tidak terbatas
Sumber input Terbatas Tidak terbatas
Jockeying Reneging Balking Perilaku pelanggan
Pelayan 1 Pelayan 2 1 2 1 2 3 4 5 6 Balking Jockeying 7 Reneging
Contoh Antrian
Distribusi probabilitas Poisson paling sering digunakan bila kedatangan didistribusikan secara random. Distribusi Poisson menggambarkan jumlah kedatangan per unit waktu bila sejumlah variabel random mempengaruhi kedatangan. Bila pola kedatangan individu mengikuti distribusi poisson maka waktu antar kedatangan adalah random dan mengikuti suatu distribusi eksponensial.
HUBUNGAN DISTRIBUSI POISSON DAN EKSPONENSIAL Sistem antrian yang dipelajari disini yaitu banyaknya kedatangan dan kepergian(selesainya pelayanan) selama interval waktu tertentu dinyatakan dalam kondisi sebagai Kondisi 1 berikut: Probabilitas terjadinya kegiatan antara waktu t sampai t+h hanya bergantung pada kejadian yang terjadi selama selang h saja (banyaknya kejadian sebelum waktu ke-t tidak akan mempengaruhi kejadian selama selang waktu h) Kondisi 2 Probabilitas bahwa dalam selang waktu h yang sangat kecilakanterjadisuatuevent yaitupositifdan 1 Kondisi 3 Paling banyak satu kejadian yang bisa terjadi selama selang waktu h yang sangat kecil
P n (t) Probabilitas akan terjadi n event dalam waktu t maka (untuk n =0): Kondisi 1 P 0( t + h) = P0 ( t). P0 ( h) Kondisi 2 0 < P0 ( h) 1 dipenuhi jika 0 ( ) = α t P t e ; t 0 α = konstan positif Event kedatangan kepergian α = laju kedatangan α= laju kepergian per satuan waktu untukh 0maka P ( h) 0 P ( h) 0 = e αh 1 αh = 1 αh + ( αh) 2! 2 ( αh) 3! 3 +..."(deret McLaurin)" Kondisi 3 P h) = 1 P ( h) 1 ( 0 αh
Misal : f (t) = pdf dari interval waktu antara 2 event yang berurutan, t 0 F (t) = fungsidensitaskumulatifdari t F t) = f ( 0 ( x) dx Jika T = interval waktu sejak terjadinya event berakhir makap {waktuantar2 event T} = P { tidakada eventyang terjadi selamat } atau Jadi, P{ t T { 0 T } = P ( T ) = e α T T αt αt f ( t) dt = e f ( t) dt = 1 e αt d P( t < T) = F( T) = 1 e f ( T) = F( T) dt ( ) = αt f T αe ; T > 0 P( t < T ) = 1 e αt distribusieksponensialuntukwaktuantar2 kejadian 1 E( T) = satuan waktu rata rata interval waktu antar 2 kejadian α
Contoh Soal (Distribusi Kedatangan & Kepergian) Sebuah mesin selalu memiliki unit cadangan untuk digunakan sebagai pengganti jika terjadi kerusakan. Waktu kerusakan mesin atau unit cadangannya itu adalah ekponensial dengan mean 10 jam. Kerusakan terjadi dengan laju 0.1 kejadian perjam, berapakah probabilitas kerusakan terjadi dalam 5 jam?
P n (t)=probabilitas terdapat n (n > 0) kedatangan selama interval waktu t maka untuk h > 0 dan h 0 berlaku : P n ( t + h) = P terdapat n kedatangan selama waktu t, dan terdapat 0 kedatangan selama waktu h, atau terdapat (n-1) kedatangan selama waktu t, dan terdapat 1 kedatangan selama waktu h
P n ( t) = n ( λt) e n! Mean = Variansi = λt λt λt n =0,1,2, Distribusi dari banyaknya kedatangan selama interval waktu t λ = laju kedatangan Distribusi waktu antar kedatangan ~ Eksponensial dengan mean 1/λ
ProsesKepergian (SelesainyaPelayanan) ASUMSI SISTEM N OBJEK (PELANGGAN) LAJU KEPERGIAN (µ) n OBJEK (PELANGGA N) tidak ada obyek baru yang masuk dalam sistem
Misal, waktu t. n (t ) probabilitas terjadi n kepergian selama Untuk h 0, maka terdapat kepergian). 0 (h) = e µh 1 µh (tidak (h) = Untuk h > 0, maka 1 0 (terdapat 1 kepergian). 1 (h) µh
µ µ ) ( 1 ) ( ' ) ( 1 ) ( ) ( t N t N h t N t N h t N = + + µ µ ) ( 1 ) 1 )( ( ) ( h t n h t n h t n + + µ µ ) ( 1 ) ( ) ( ' 1 t n t n t n n n n + = ) ( 0 ) ( 0 ' ) 1 )( ( 0 ) ( 0 t t h t h t µ µ = +
Diperoleh, n ( t ) = ( µ t ) n e n! µ t N ( t ) = 1 N n = 1 0 n ( t ) Waktu pelayanan ~ Distribusi Eksponensial dengan mean 1/μ.
CONTOH KASUS (PROSES KEPERGIAN).
p ( 3 t ) 15 5 e 3 t ( t ) = 5 (15 5 )! Hari ke-t 1 2 3 4 5 6 µt 3 6 9 12 15 18 P5(t) 0.0008 0.0413 0.1186 0.1048 0.0486 0.015 probabilitas tertinggi untuk pemesanan ulang terhadap barang
p (t) = p (t) + p (t) + p (t) + p (t) + p (t) n 5 0 1 2 3 4 + = 1 [p (t) +... + p (t)] 6 15 15 (15 n) ( 3t) (3t) e = 1 n = 6 (15 n)! Hari ke-t 1 2 3 4 5 6 µt 3 6 9 12 15 18 Pn 5(t) 0.0012 0.0839 0.4126 0.7576 0.9303 0.9847 probabilitas monoton naik seiring dengan pemesanan pada hari ke-t. p (t) 5
Ε[n t = 6] = 15 np n n=0= (6) n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Pn(6).792.0655.0509.0368.0245.015.0083.0042.0018.0007.0002.0001 Pn(6) 0, untukn= 12, 13, 14, 15. Ε[n t = 6] = 0.5537
Notasi Kendall untuk merinci suatu ciri dari antrian adalah(a/b/c) : (d/e/f), dimana: a : distribusi kedatangan b : distribusi kepergian(selesainya pelayanan) c : banyaknya fasilitas pelayanan d : disiplin antrian e : banyaknya pengantri maksimal yang diizinkan beradadalamsistempelayanan(yang antridanyang sedang dilayani) f : ukuransumberinput
Model Antrian untuk a dan b biasanya digunakan notasi sebagai berikut: M : jika distribusi kedatangan dan kepergian Poisson D : waktu antar kedatangan dan pelayanan konstan diketahui dengan pasti(deterministik) Ek: distribusi waktu antar kedatangan dan pelayanan Erlang atau Gamma GI: jika distribusi kedatangan General Independent untuk d digunakan notasi: GD: jika digunakan disiplin antrian Dalam pembahasan ini akan dijelaskan model model dengan distribusi kedatangan dan kepergiannya berdistribusi Poisson dan disiplin antriannya GD.
MODEL ANTRIAN Ukuran Performansi P n L s W s W L λw n=o npn L s / λ -1/λ W s ᴥ λlaju kedatangan ᴥP n adalahprobabilitasterdapatnobjekyang beradadalam sistem ᴥL s adalahekspektasibanyaknyaobjek(pengantri) dalamsistem ᴥW s adalahekspektasiwaktumenunggudalamsistem(dalam antrian + dalam pelayanan) ᴥW adalahekspektasiwaktumenunggudalamantrian ᴥL adalahekspektasibanyaknyaobjek(pengantri) dalam antrian(tidak termasuk yang sedang dilayani
(M / M / 1) : ( GD / / ) Model Antrian (M / M / 1) : ( GD / N / )
(M / M / 1) : ( GD / / ) Distribusi Poisson λ ρ= µ Laju kedatangan λ Laju kepergian μ ρ L s = 1 ρ 1 pelayanan rata-rata banyaknya objek dalam sistem L ρ 2 = 1 ρ rata-rata banyaknya objek dalam antrian General disiplin Tidak ada batasan sumber input W = W s Tidak ada batasan kapasitas sistem pelayanan 1 µ (1 ρ) rata-rata waktu menunggu dalam sistem W ρ = µ( 1 ρ) rata-rata waktu menunggu dalam antrian
, (M / M / 1) : ( GD / N / ) Batas maksimal N panjang maksimal N-1, λ eff laju kedatangan dari objek yang bisa bergabung dalam antrian λ < λ eff P n = 1 ρ n ρ N+1 1 ρρ 1 N + 1 ρ 1 ρ = 1 n = 0,1,2,..., N L S = ρ { N N + 1 1 ( N + 1) ρ + N ρ } (1 ρ )(1 ρ N + 1 ) ρ 1 N 2 ρ =1
Jadi, P [ terdapat 1 kedatangan yang tidak bisa masuk antrian karena penuh ] =P N P { n > N} = 1 PN λeff =λ( 1 PN ) L L W = = λ eff λ ( 1 P N ) λ eff λ( 1 PN ) LS = L + = L + µ µ 1 LS LS WS = W + = = µ λ(1 P ) λ λ eff = µ ( LS L ) = λ(1 PN ) N eff
Contoh Soal Sebuah salon mempekerjakan satu orang sebagai tukang potong rambut. Pada hari sabtu pelanggan yang datang cukup membuat sibuk pegawainya. Kedatangan pelanggan berdistribusi poisson dengan tingkat rata-rata kedatangan 5 pelanggan per jam. Waktu yang dibutuhkan untuk melayani pelanggan berdistribusi eksponensial dengan rata-rata 10 menit per pelanggan. Jika ruang tunggu salon hanya tersedia 4 kursi tunggu, berapa lama waktu tunggu dalam sistem?
Penyelesaian: pelanggan per menit atau pelanggan per jam maka Dalam satu jam-nya, rata-rata pelanggan yang membatalkan antriannya karena penuh adalah pelanggan per jam. Rata-rata waktu tunggu sampai mobil selesai dicuci
Jadi, jam